Wyznaczanie mediany Litvaka w przypadku występowania obiektów równoważnych w ocenie grupowej

Instytut BadaĔ Systemowych

Streszczenie

Wiele metod wyznaczania oceny grupowej mo
na stosowa w sytuacjach, kiedy w ocenach ekspertów wystpuj obiekty równowa
ne. Uwzgldnienie mo
liwoci wy-stpowania obiektów równowa
nych w ocenie grupowej jest trudniejszym zagadnie-niem i w wielu metodach wyklucza si tak ewentualno, co w istotny sposób ogra-nicza zakres dopuszczalnych rozwiza. Jest to szczególnie istotne w przypadku me-tod wyznaczania oceny grupowej, których podstaw stanowi minimalizowanie sto-sownie zdefiniowanej odległoci midzy uporzdkowaniami obiektów. Przyjcie za-ło
enia o wystpowaniu obiektów równowa
nych w ocenie grupowej wyznaczanej na podstawie odległoci midzy uporzdkowaniami wi
e si z koniecznoci uwzgld-nienia wszelkich mo
liwych postaci uporzdkowa przyjmowanych jako ocena gru-powa. Zadanie to mo
na rozwiza przeszukujc wszystkie mo
liwe uporzdkowa-nia. Mo
liwo zastosowania tego podejcia ogranicza liczba uporzdkowa, które nale
y uwzgldni, szybko rosnca ze wzrostem liczby obiektów. Racjonalnym podej-ciem wydaje si próba wyznaczenia oceny grupowej poprzez rozwizanie odpo-wiedniego zadania optymalizacji. W pracy przedstawiono sformułowanie tego zada-nia. Podano równie
przykłady numeryczne.

Słowa kluczowe: decyzje grupowe, oceny ekspertów, obiekty równowaĪne, mediana Litvaka 1. Wprowadzenie

W praktyce stosowania ocen grupowych czĊsto zdarza siĊ, Īe eksperci nie są w stanie jedno-znacznie okreĞliü czy – w sensie przyjĊtego kryterium lub zbioru kryteriów - dany obiekt jest lep-szy, czy teĪ gorszy od drugiego. Wiele metod wyznaczania oceny grupowej moĪna stosowaü w sy-tuacjach, kiedy w ocenach ekspertów wystĊpują obiekty równowaĪne. UwzglĊdnienie moĪliwoĞci wystĊpowania obiektów równowaĪnych w ocenie grupowej jest juĪ znacznie trudniejszym zagad-nieniem i w wielu metodach wyklucza siĊ taką ewentualnoĞü. PrzyjĊcie tego załoĪenia w istotny sposób ogranicza zakres dopuszczalnych rozwiązaĔ. Jest to szczególnie istotne w przypadku me-tod wyznaczania oceny grupowej, których podstawĊ stanowi minimalizowanie stosownie zdefi-niowanej odległoĞci miĊdzy uporządkowaniami obiektów. W metodach tych wyznaczenie oceny grupowej sprowadza siĊ do znalezienia uporządkowania, które w sensie przyjĊtej odległoĞci jest najmniej oddalone od uporządkowaĔ podanych przez ekspertów. Do grupy tych metod naleĪą np. mediana Kemeny’ego (Kemeny (1959), Kemeny, Snell (1960)), metoda Cooka-Seiforda (Arm-strong, Cook, Seiford (1982), Cook, Seiford (1978), Cook, Kress, Seiford (1997), Cook (2006)) i mediana Litwaka (Litvak (1982)), róĪniące siĊ przyjĊtą definicją odległoĞci. Zakładając brak obiektów równowaĪnych w ocenie grupowej wymienione metody moĪna łatwo oprogramowaü - powstały liczne algorytmy heurystyczne; moĪna teĪ wyznaczenie oceny grupowej sprowadziü do

rozwiązania zadania optymalizacji całkowitoliczbowej (Bury, Wagner (1999), (2000), (2007), Hwang, Lin (1987), Litvak (1982), Nurmi (1987)).

PrzyjĊcie załoĪenia o moĪliwoĞci wystĊpowania obiektów równowaĪnych w ocenie grupo-wej wyznaczanej na podstawie odległoĞci miĊdzy uporządkowaniami wiąĪe siĊ z koniecznoĞcią uwzglĊdnienia wszelkich moĪliwych postaci uporządkowaĔ przyjmowanych jako ocena grupowa. Zadanie to moĪna rozwiązaü przeszukując wszystkie moĪliwe uporządkowania i wybierając to (lub te), które w sensie przyjĊtej odległoĞci znajduje siĊ (znajdują siĊ) najbliĪej zbioru uporządko-waĔ podanych przez ekspertów. MoĪliwoĞü zastosowania tego podejĞcia ogranicza liczba upo-rządkowaĔ, które naleĪy uwzglĊdniü, szybko rosnąca ze wzrostem liczby obiektów.

Dla trzech obiektów mamy 13 moĪliwych uporządkowaĔ (w tym 6 uporządkowaĔ bez równowaĪ-noĞci), dla czterech obiektów – 75 (w tym 24 bez równowaĪrównowaĪ-noĞci), dla piĊciu – 541 (w tym 120 bez równowaĪnoĞci), dla szeĞciu obiektów – 4683 (w tym 720 bez równowaĪnoĞci) itd.

Racjonalnym podejĞciem wydaje siĊ zatem próba wyznaczenia oceny grupowej poprzez rozwiąza-nie odpowiedrozwiąza-niego zadania optymalizacji. Zdarozwiąza-niem autorów sformułowarozwiąza-nie tego zadania moĪna uproĞciü stosując zaproponowany przez Armstronga, Cooka i Seiforda (1982) zapis pozycji zaj-mowanych przez obiekty równowaĪne w uporządkowaniach oraz posługując siĊ wprowadzonym w pracy Bury, Wagner (2007) pojĊciem struktury.

W pracy podjĊto próbĊ sformułowania tego zadania. Podano równieĪ przykłady numeryczne. 2. Zapis pozycji zajmowanych przez obiekty i struktury obiektów

ZałóĪmy, Īe mamy zbiór obiektów O = {O1, …, On} oraz K ekspertów, których zadaniem jest

uporządkowanie zbioru obiektów zgodnie z przyjĊtym kryterium (zbiorem kryteriów). Eksperci podają swoje opinie w postaci uporządkowaĔ

Pk = Oi₁,...,Oi_n, k=1, …, K, (1)

gdzie obiekt uwaĪany za najlepszy zajmuje pierwszą pozycjĊ a obiekt uwaĪany za najgorszy ostat-nią. Zakłada siĊ równieĪ, Īe zarówno w opiniach ekspertów, jak i w ocenie grupowej, na jednej pozycji moĪe znajdowaü siĊ wiĊcej niĪ jeden obiekt.

NajczĊĞciej stosowany zapis uporządkowaĔ, w których wystĊpują obiekty równowaĪne ma po-staü Oi₁,...,

(

Oi_p,...,Oi_p+_r

)

,...,Oi_n, gdzie w nawiasie jest ujĊta grupa obiektów równowaĪnych. Zapis

ten bĊdziemy nazywaü tradycyjnym. W dalszych rozwaĪaniach przyjmujemy, Īe numer pozycji w uporządkowaniu (w zapisie tradycyjnym) jest oznaczony literą j, licznoĞü grupy obiektów rów-nowaĪnych wynosi r. Przy tym zapisie liczba pozycji, na których są rozmieszczone obiekty nie jest stała; zaleĪy bowiem od liczby grup obiektów równowaĪnych oraz od licznoĞci kaĪdej z tych grup. W przypadku braku obiektów równowaĪnych liczba pozycji zajmowanych przez obiekty w ich dowolnym uporządkowaniu jest równa liczbie obiektów n.

Armstrong, Cook i Seiford (1982) (dalej cytowani jako ACS) zaproponowali nastĊpujący spo-sób zapisu uporządkowaĔ, w których wystĊpują obiekty równowaĪne. Przyjmujemy, Īe grupa obiektów równowaĪnych o licznoĞci r zajmuje w uporządkowaniu miejsca rozpoczynając od po-zycji j = p. Według propopo-zycji ACS obiekty Oi_p,...,Oi_p+_r umieszczone są na pozycji bĊdącej Ğred-nią okreĞloną jak nastĊpuje:

2 1 r p r r 2 ) 1 r ( p 2 r ) 1 r p ( ... ) 1 p ( p t= + + + + + − = + − = + − . (2) JeĪeli licznoĞü grupy obiektów równowaĪnych jest liczbą parzystą (przyjmijmy, Īe wynosi 2b, b ≤ n/2), to grupie tej bĊdzie przyporządkowana pozycja t=(p+b)−1/2. JeĪeli zaĞ jest to liczba nieparzysta (przyjmijmy 2b+1, gdzie b < n/2) to t=(p+b). Pozycje t, w odróĪnieniu od tradycyj-nych, bĊdą nazywane połówkowymi.

A zatem w zaleĪnoĞci od tego czy r jest liczbą parzystą, czy teĪ nie, bĊdą wystĊpowaü pozycje opisane przez liczby całkowite bądĨ ułamkowe. Przy liczbie obiektów równej n, obiektom mogą byü przyporządkowane nastĊpujące pozycje w uporządkowaniu:

T = {1, 1½, 2, 2½, 3, 3½, ….., n-1, n-½, n}. (3)

Liczba moĪliwych pozycji wynosi 2n-1.

NaleĪy podkreĞliü, Īe w zapisie ACS suma pozycji obiektów w uporządkowaniu jest stała. Przykład 1.

ZałóĪmy, Īe piĊciu ekspertów przedstawiło uporządkowania piĊciu obiektów (w nawiasach ujĊto obiekty równowaĪne):

Tabela 1.

zapis tradycyjny

suma

pozycji zapis połówkowy

suma pozycji P1: O4, O5, (O2, O3),O1 4, 3, 3, 1, 2 13 5, 3.5, 3.5, 1, 2 15 P2: O2, O1, O4, O5, O3 2, 1, 5, 3, 4 15 2, 1, 5, 3, 4 15 P3: O2, (O1, O3, O5), O4 2, 1, 2, 3, 2 10 3, 1, 3, 5, 3 15 P4: (O2,O3), O4, (O1, O5) 3, 1, 1, 2, 3 10 4.5, 1.5, 1.5, 3, 4.5 15 P5: (O1,O2), (O3, O4, O5) 1, 1, 2, 2, 2 8 1.5, 1.5, 4, 4, 4 15

„UĞredniony” zapis pozycji zajmowanych przez obiekty umoĪliwia utworzenie macierzy zawierającej wszystkie moĪliwe struktury uporządkowaĔ obiektów, w tym uporządkowaĔ zawierających grupy obiektów równowaĪnych. NaleĪy zaznaczyü, Īe sam numer pozycji nie prze-sądza, ile obiektów równowaĪnych znajduje siĊ na danej pozycji. Warunkiem jednoznacznego okreĞlenia liczby obiektów równowaĪnych znajdujących siĊ na danej pozycji jest wykorzystanie dodatkowej informacji o pozycji (w zapisie tradycyjnym) zajmowanej przez pierwszy z grupy obiektów równowaĪnych. PozycjĊ tĊ nazwiemy poziomem i bĊdziemy dalej oznaczaü literą " ,

" =1, ..., n.

Poziom " =1 wyznacza te grupy obiektów równowaĪnych, w których pierwszy obiekt znajduje siĊ na pierwszej pozycji w uporządkowaniu.

Poziom " =2 okreĞla te grupy obiektów równowaĪnych, w których pierwszy obiekt stoi na drugiej pozycji w uporządkowaniu itd.

zarów-no od pozycji t, t∈ T , jak i od poziomu " . LiczbĊ elementów danej struktury, to znaczy liczbĊ pozycji równowaĪnych odpowiadających danej pozycji połówkowej t oraz poziomowi " ozna-czymy przez s"t, 1≤s"t≤n. Szczegółowe omówienie macierzy struktur S zostało podane w pracy

Bury, Wagner (2007).

W wierszach macierzy struktur S są umieszczone struktury t

S" odpowiadające danemu

pozio-mowi " a w kolumnach te, które są związane z daną pozycją połówkową t (J oznacza pozycjĊ „podwojoną”, J=2t). Tabela 2. J 2 3 4 5 6 7 8 9 t 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 1 = " _{1 (1,2) (1,2,3) (1,2,3,4) (1,2,3,4,5) (1,2,3,4,5,6) (1,2,3,4,5,6,7) (1,2,3,4,5,6,7,8)} 2 = " _{2 (2,3) (2,3,4) (2,3,4,5) (2,3,4,5,6) (2,3,4,5,6,7)} 3 = " _{3 (3,4) (3,4,5) (3,4,5,6)} 4 = " 4 (4,5) 5 = "

WartoĞci współczynników s"t dla n=5 podano w tabeli 3.

Tabela 3. J 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 "=1 1 2 3 4 5 "=2 1 2 3 4 "=3 1 2 3 "=4 1 2 "=5 1

3. Wyznaczanie oceny grupowej za pomoc mediany Litwaka

B.G. Litvak (1982) zaproponował, aby odległoĞü miĊdzy uporządkowaniami wyznaczaü na podstawie tzw. wektorów preferencji.

Definicja 1 (Litvak (1982)). Danemu uporządkowaniu Pk moĪna przypisaü wektor preferencji

}

{

,..., k , k 1,...,K n k 1 k₌

_π

_π

₌

π

(4) gdzie k i

π

jest równe liczbie obiektów poprzedzających i-ty obiekt w rozwaĪanym uporządkowa-niu, K – liczba uporządkowaĔ podanych przez ekspertów.

Przykład 2.

Dla uporządkowaĔ podanych w Przykładzie 1 wektory preferencji są, jak nastĊpuje: Tabela 4. wektory preferencji P1_{: O} 4, O5, (O2, O3),O1 4, 2, 2, 0, 1 P2_{: O} 2, O1, O4, O5, O3 1, 0, 4, 2, 3 P3_{: O} 2, (O1, O3, O5), O4 1, 0, 1, 4, 1 P4: (O2,O3), O4, (O1, O5) 3, 0, 0, 2, 3 P5: (O1,O2), (O3, O4, O5) 0, 0, 2, 2, 2

Definicja 2 (Litvak (1982)). Dane są dwa wektory preferencji

π

k1 _i

π

k2_{. OdległoĞü miĊdzy} ty-mi wektoraty-mi zdefiniowana jest nastĊpująco

(

)

¦

=

π

π

π

π

= − n 1 i k i k i k k1_, 2 1 2 d (5)

MoĪna wykazaü, Īe tak zdefiniowana odległoĞü spełnia wszystkie aksjomaty jednoznacznie okreĞlające miarĊ "bliskoĞci" (Litvak (1982)).

Definicja 3 (Litvak (1982)). Dany jest zbiór uporządkowaĔ {Pk}. OdległoĞü uporządkowania P od tego zbioru wyraĪona jest nastĊpującą zaleĪnoĞcią

(

)

¦¦

= =

π

π

π

π

= − K 1 k n 1 i k i P i ) k ( , d . (6)

Definicja 4 (Litvak (1982)). Uporządkowanie M

(

1 K

)

(

(k)

)

, d min arg P ,..., P M

π

π

π = (7)

nazywane jest medianą Litvaka zbioru

(

1 K

)

P ,..., P .

Wyniki uzyskane przez Litvaka (1982) zostały uogólnione w pracy Bury, Wagner (2003), dziĊki czemu obliczanie odległoĞci (6) zostało znacznie ułatwione.

RozwaĪymy dwa przypadki:

• w medianie nie wystĊpują elementy równowaĪne; w tym przypadku liczba obiektów oraz licz-ba zajmowanych przez nie pozycji są równe,

• w medianie mogą wystĊpowaü elementy równowaĪne; w tym przypadku naleĪy uwzglĊdniü dodatkowe ograniczenia wynikające z macierzy struktury obiektów S.

3.1. W ocenie grupowej nie wystpuj równowano
ci

k i ) j ( P i ) j ( k i h =

π

−

π

i=1,...,n; k=1,...K, j=1,...,n; j=1,…,n (8)

gdzie

π

iP(j) jest liczbą obiektów poprzedzających i-ty obiekt w przypadku, gdy zajmuje on j-tą

pozycjĊ w uporządkowaniu P. Sumując współczynniki k(j) i h po k (k=1,...,K) otrzymujemy (j) i h

¦

= = K 1 k ) j ( k i ) j ( i h h . (9) Macierz współczynników (j) i h oznaczamy jako H.

Współczynniki h(ij) wyraĪają zagregowaną róĪnicĊ miĊdzy pozycją i-tego obiektu

w uporządkowaniu P a jego pozycją w uporządkowaniach Pk (k=1,...K). OdległoĞü (6) moĪna zapisaü nastĊpująco

¦¦

¦¦¦

= = = = = = − =

π

π

n 1 i n 1 j ij ) j ( i n 1 i n 1 j ij K 1 k k i ) j ( P i x h x d (10) gdzie

jeĪeli w uporządkowaniu P obiekt Oi zajmuje j-tą pozycjĊ

¯ ® ­ = 0 1 xij w przeciwnym razie (11)

Kres dolny odległoĞci (10) wynosi (Litvak (1982))

¦

= = n 1 i min i h G , gdzie h min[h ,....,h(in)] ) 1 ( i j min i = (12)

W rozwaĪanym przypadku problem wyznaczenia mediany Litvaka moĪna sformułowaü jako na-stĊpujące zero-jedynkowe zadanie programowania matematycznego (Litvak (1982), Bury, Wagner (2000))

¦¦

= = → n 1 i n 1 j ij ) j ( i x min h , (13) z ograniczeniami

¦

∀

= = = n 1 j ij n ,..., 1 i 1 x , (14)

ograniczenie to oznacza, Īe dany obiekt moĪe zajmowaü tylko jedną pozycjĊ oraz

¦

∀

= = = n 1 i ij n ,..., 1 j 1 x , (15)

ograniczenie to oznacza - zgodnie z przyjĊtym załoĪeniem - Īe na jednej pozycji moĪna umieĞciü tylko jeden obiekt.

3.2. W ocenie grupowej wystpuj równowano
ci

W tym przypadku wyznaczenie uporządkowania najmniej odległego od zbioru uporządkowaĔ podanych przez ekspertów wymaga zmodyfikowania zadania optymalizacji (13) - (15). Modyfika-cja polega na wprowadzeniu dodatkowych ograniczeĔ uwzglĊdniających moĪliwoĞü wystąpienia w ocenie grupowej obiektów równowaĪnych. Oznacza to, Īe naleĪy uwzglĊdniü moĪliwoĞü wystą-pienia róĪnych struktur St".

Do zapisu pozycji obiektów wykorzystujemy zapis połówkowy ACS. Przy okreĞlaniu wektora preferencji przydatne jest spostrzeĪenie, Īe liczba obiektów poprzedzających i-ty obiekt w upo-rządkowaniu bezpoĞrednio wynika z poziomu " , na którym ten obiekt wystĊpuje w macierzy struktur S i wynosi ( " -1), co oznacza, Īe obiekty wystĊpujące na poziomie " =1 poprzedza 0 obiektów, obiekty z poziomu " =2 poprzedza jeden obiekt itd. Wektory preferencji nie zaleĪą od rodzaju zastosowanego zapisu pozycji obiektów.

Składowe wektora preferencji dla uporządkowania P są nastĊpujące:

" "

"_{− λ} =

π

Pi() ( 1) , "=1, …, n , (16)

jeĪeli w uporządkowaniu P obiekt Oi wystĊpuje na poziomie ", gdzie

jeĪeli struktura z poziomu " _{wystĊpuje w uporządkowaniu P}

¯ ® ­ = λ 0 1 " w przeciwnym razie (17)

Oznaczenia wystĊpujące we wzorze (10) modyfikujemy w nastĊpujący sposób:

k i ) ( P i ) ( k i h " =

π

" −

π

i=1,...,n, k=1,...K, "_{=1,...,n. (18)} Sumując współczynniki hki() " po k (k=1,...,K) otrzymujemy h(i ) "

¦

= = K 1 k ) ( k i ) ( i h h" " . (19) Macierz współczynników h(i ) " oznaczamy jako H.

Ze sposobu wyznaczania elementów macierzy H wynika, Īe H = H. Oznaczenie „górna kre-ska” wskazuje na inny sposób ustalania składowych wektorów preferencji.

» » » » » ¼ º « « « « « ¬ ª = = = = ) n ( n ) 2 ( 1 ) 1 ( n ) n ( 2 ) 2 ( 1 ) 1 ( 2 ) n ( 1 ) 2 ( 1 ) 1 ( 1 n 2 1 h h h h h h h h h H O O O n 2 1          " " " . (20)

Zadanie minimalizacji odległoĞci (10) przybiera postaü:

¦¦ ¦

= = = n 2 2 J n 1 i J i ) ( i y J J J i y h min " " " " " " , (21) gdzie

jeĪeli w uporządkowaniu P obiekt Oi zajmuje J-tą pozycjĊ

(J=2t oznacza pozycjĊ podwojoną) na poziomie "

°¯ ° ® ­ = 0 1 yiJ " w przeciwnym razie (22) ] 2 / J [ ), n J , 1 max( J J = − " = " _{. (23)}

WartoĞci "J, "J zaleĪą od liczby obiektów n oraz od numeru pozycji J w macierzy struktur S.

Przykładowe wartoĞci współczynników "J, "J dla struktury piĊciu obiektów z tabeli 3 podano w

tabeli 5. Tabela 5. J 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 "=1 1 2 3 4 5 "=2 1 2 3 4 "=3 1 2 3 "=4 1 2 "=5 1 J " _{1 1 1 1 1 2 3 4 5} J " 1 1 2 2 3 3 4 4 5

Ograniczenia dla zadania optymalizacji (

21

) ÷ (

23

) są nastĊpujące:

(i) iJ iJ n 2 ,..., 2 J n ,..., 1 i x y J J =

¦

∀

∀

= = = " " " " , gdzie (24) ¯ ® ­ = 0 1 xiJ

jeĪeli w uporządkowaniu P obiekt Oi zajmuje J-tą pozycjĊ

Ograniczenie to oznacza, Īe dla ustalonej pozycji J dany obiekt moĪe byü umieszczony co najwy-Īej na jednym poziomie.

(ii) J J n 1 i J i ,..., n 2 ,..., 2 J s y J J " " " " " " γ =

¦

∀

∀

= = = , gdzie (26) °¯ ° ® ­ = γ 0 1 J "

jeĪeli struktura SJ" wystĊpuje w uporządkowaniu P

w przeciwnym razie (27)

Ograniczenie to oznacza, Īe na pozycji J oraz na poziomie " (struktura J

S") moĪna umieĞciü zero

lub s"J obiektów, s"J =J−2"+1. (28) (iii)

_∀

¦

= = = n 2 2 J J i n ,..., 1 i 1 x

.

(29)

Ograniczenie to - analogiczne do (

14

) - oznacza, Īe dany obiekt moĪe zajmowaü tylko jedną po-zycjĊ. (iv)

∀

¦

+ = = λ = γ " " " " " n 2 J J n ,..., 1 , (30)

gdzie λ jest zdefiniowane zaleĪnoĞcią (17). "

Ograniczenie to oznacza, Īe na ustalonym poziomie " obiekty moĪna umieĞciü co najwyĪej na jednej pozycji.

NaleĪy zauwaĪyü, Īe λ1=1 (w uporządkowaniu P musi wystąpiü jedna ze struktur z poziomu

" =1) oraz, Īe (v)

∀

¦

− = − + = γ = λ 1 1 m 1 m , m n ,..., 2 " " " " dla " =2, …, n. (31)

Ograniczenie to oznacza, Īe wystĊpowanie struktury z poziomu " zaleĪy od tego, jakie struktury wystąpiły na poziomach poprzedzających.

Warto podkreĞliü, Īe ogólna postaü zadania optymalizacji z uwzglĊdnieniem moĪliwoĞci wy-stĊpowania obiektów równowaĪnych w ocenie grupowej, w której jako odległoĞü przyjĊto media-nĊ Cooka-Seiforda została podana w pracy ACS oraz w pracach Cooka i Seiforda (1978), Cooka, Kressa i Seiforda (1997) oraz Cooka (2006). W przedstawionym powyĪej sformułowaniu zadania optymalizacji posłuĪono siĊ innymi zmiennymi, uwzglĊdniającymi wprowadzone przez autorów pojĊcie struktury oraz narzucono inne ograniczenia.

Opisane zadanie optymalizacji całkowitoliczbowej (21) ÷ (31) zostało rozwiązane za pomocą pakietu CPLEX dla n∈<5,10> obiektów.

4. Przykłady obliczeniowe

4.1. Uporzdkowania piciu obiektów podane przez piciu ekspertów

Dla zbioru uporządkowaĔ podanych przez ekspertów w Przykładzie 1 mamy n=5, J=2, …, 10. Funkcja celu jest obliczana przy uĪyciu współczynników [h(i)

"

] macierzy „odległoĞci” H . Macierz H ma postaü: (wiersze odpowiadają obiektom O1, …, O5, kolumny odpowiadają

ko-lejnym poziomom " w macierzy struktur S):

9 6 7 8 11 2 5 8 13 18 H = 9 6 5 8 11 (32) 10 7 4 7 10 10 5 4 5 10 Elementy h min[h ,....,h(in)] ) 1 ( i j min

i = zostały zacieniowane. Kres dolny odległoĞci (

21

) wynosi 21.

WartoĞci " oraz J " dla J=2, …, 10 podano w tabeli 4. J

Funkcja celu ma postaü sumy składowych dla J=2, ..., 10: J=2: 9y121+2y221+9y321+10y421+10y521

J=3: 9y131+2y231+9y331+10y431+10y531

J=4: 9y141+6y142+2y241+5y242+9y341+6y342+10y441+7y442+10y541+5y542

J=5: 9y15 1 +6y15 2 +2y25 1 +5y25 2 +9y35 1 +6y35 2 +10y45 1 +7y45 2 +10y55 1 +5y55 2

J=6: 9y161+6y162+7y163+2y261+5y262+8y263+9y361+6y362+5y363+10y461+ (33)

7y462+4y463+10y561+5y562+4y563

J=7: 6y17 2 +7y17 3 +5y27 2 +8y27 3 +6y37 2 +5y37 3 +7y47 2 +4y47 3 +5y57 2 +4y57 3

J=8: 7y183+8y184+8y283+13y284+5y383+8y384+4y483+7y484+4y583+5y584

J=9: 8y194+13y294+8y394+7y494+5y594

J=10: 11y110 5 +18y210 5 +11y310 5 +10y410 5 +10y510 5 Ograniczenia (24) ÷ (

31

) mają postaü:

(i) iJ iJ 10 ,..., 2 J 5 ,..., 1 i x y J J =

¦

∀

∀

= = = " " " " (34) (ii) J J 5 1 i J i ,..., 10 ,..., 2 J s y J J " " " " " " γ =

¦

∀

∀

= = = (35) (iii)

∀

¦

= = = 10 2 J J i 5 ,..., 1 i 1 x (36)

(iv) . 5 2 J J 5 ,..., 1

¦

∀

+ = = γ = λ " " " " " (37) (v)

∀

¦

− = − + = γ = λ 1 1 m 1 m , m 5 ,..., 2 " " " " (38) Wszystkie zmienne y , "iJ x , iJ γ oraz "J λ przyjmują wartoĞci 0 lub 1. "

Rozwiązanie zadania minimalizacji odległoĞci (33) z ograniczeniami (34) – (38) jest nastĊpujące: Tabela 6.

y221 y142 y383 y483 y583 x22 γ21 x14 γ42 x38 x48 x58 γ83 λ2 λ3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Pozostałe 140 zmiennych przyjmuje wartoĞci zerowe.

Oznacza to, Īe uporządkowanie najmniej odległe w sensie odległoĞci (21) od zbioru uporząd-kowaĔ podanych przez ekspertów ma postaü:

O2, O1, (O3, O4, O5). (39)

Funkcja celu ma wartoĞü 21 i jest to najmniejsza odległoĞü od danego zbioru uporządkowaĔ eks-pertów.

KolejnoĞü obiektów w ocenie grupowej zaznaczono obramowaniem odpowiednich elementów macierzy H (

32

).

StrukturĊ uporządkowania wynikowego przedstawiono w tabeli 7. Tabela 7. J 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 "=1 O2 "=2 O1 "=3 O3, O4, O5 "=4 "=5

Warto zauwaĪyü, Īe w przedstawionym przykładzie postaü oceny grupowej moĪna wyznaczyü bezpoĞrednio na podstawie analizy macierzy H (

32

).

Umieszczając obiekt O2 na poziomie pierwszym, obiekt O1 na poziomie drugim oraz obiekty (O3,

O4, O5) jako grupĊ obiektów równowaĪnych na poziomie trzecim otrzymamy rozwiązanie

rozpa-trywanego zadania.

NaleĪy podkreĞliü, Īe w przypadku wiĊkszej liczby obiektów (wiĊkszy wymiar macierzy H ) oraz wystĊpowania w wierszach macierzy H kilku elementów o najmniejszej wartoĞci, znalezie-nie rozwiązania na drodze bezpoĞredznalezie-niej analizy postaci macierzy H nie wydaje siĊ byü moĪliwe.

4. 2. Uporzdkowania siedmiu obiektów podane przez jedenastu ekspertów Tabela 8. P1: (O3, O4), O2, (O1, O7), O6, O5 P2: O6, O3, O5, O1, O2, O7, O4 P3: (O2, O4, O5, O6), (O1, O3), O7 P4: O3, O4, O2, O1, O7, O6, O5 P5: (O3, O6), O4, (O1, O5, O7), O2 P6: O4, O2, O6, O5, O3, O1, O7 P7: O2, O1, O6, O3, (O5, O7), O4 P8: O6, O3, O4, O5, O1, O7, O2 P9: O6, (O2, O4), (O1, O3, O7), O5 P10: O2, O1, O6, O3, O5, O7, O4 P11: O3, O2, (O1, O4), O5, (O6,O7) Macierz H ma postaü 32 21 14 9 14 23 34 23 18 19 24 29 36 43 19 16 17 18 25 36 47 H = 26 21 20 25 30 35 40 (40) 41 32 23 16 15 20 25 21 20 19 24 29 34 45 49 38 27 16 11 10 17

Elementy himin zostały zacieniowane.

Rozwiązanie zadania optymalizacji (

21

)- (

31

) jest nastĊpujące: Tabela 9.

y621 y342 y273 y473 y1125 y5125 y7125

1 1 1 1 1 1 1

x62 γ12 x34 γ24 x27 x47 γ37 x112 x512 x712 γ512 λ2 λ3 l5

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Wynikowe uporządkowanie ma postaü:

O6, O3, (O2, O4), (O1, O5, O7). (41)

macierzy H . NaleĪy zauwaĪyü, Īe uporządkowanie O6, O2, O4, (O1, O3), (O5, O7) daje taką samą

wartoĞü funkcji celu. Elementy tego uporządkowania zaznaczono podwójną ramką w macierzy H. Warto podkreĞliü, Īe na podstawie analizy macierzy H (40) trudno byłoby bezpoĞrednio wy-znaczyü postaü oceny grupowej. W ocenie grupowej nie wszystkie obiekty zajmują pozycje odpo-wiadające minimalnym wartoĞciom h(i )

"

, co powoduje, Īe wartoĞü funkcji celu dla oceny grupo-wej (41) jest wiĊksza od kresu dolnego i wynosi 116 (kres dolny odległoĞci (21) wynosi 107). StrukturĊ uporządkowania wynikowego przedstawiono w tabeli 10.

Tabela 10. J 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 t 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 "=1 O6 "=2 O3 "=3 O2,O4 "=4 "=5 O1,O5,O7 "=6 "=7

4. 3. Uporzdkowania dziewiciu obiektów podane przez jedenastu ekspertów Tabela 11. P1 _(O 2, O3, O5), O1, O8, (O7, O9), O4, O6 P2 _O 5, (O1, O2), O3, O8, O4, O6, O7, O9 P3 (O2, O3, O5), O1, (O4, O7, O9), O8, O6 P4 O3, O2, O1, O5, O8, O7, O6, O4, O9 P5 O1, (O2, O3, O5), (O6, O8, O9), (O4, O7) P6 O2, O3, (O1, O5), O4, O7, O9, O6, O8 P7 O3, (O2, O5), O1, O7, O8, O6, O4, O9 P8 O2, O3, O1, O5, O4, O8, O6, O9, O7 P9 (O1, O5), (O2, O3), O4, O9, O6, (O7, O8) P10 O2, O5, O1, O3, O8, O4, O6, O7, O9 P11 O2, (O1, O3, O5), O4, (O6, O8), (O7, O9) Macierz H ma postaü 19 12 9 14 25 36 47 58 69 6 7 16 27 38 49 60 71 82 12 9 14 21 32 43 54 65 76

58 47 36 25 14 13 16 19 30 H = 12 9 14 21 32 43 54 65 76 (42) 68 57 46 35 24 15 8 13 20 66 55 44 33 22 15 14 13 22 57 46 35 24 13 12 17 22 31 70 59 48 37 26 19 16 15 18

Elementy himin zostały zacieniowane.

Kres dolny odległoĞci (

21

) wynosi 94, funkcja celu jest równa 98. Rozwiązanie zadania optymali-zacji jest nastĊpujące:

Tabela 12.

y221 y162 y362 y562 y4105 y8126 y6147 y7178 y9178 γ12 γ26 γ510 γ612 γ612

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

γ714 γ817 x22 x16 x36 x56 x410 x812 x614 x717 x917 λ2 λ5 λ6 λ7 λ8

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Wynikowe uporządkowanie ma postaü:

O2, (O1, O3, O5), O4, O8, O6, (O7, O9). (43)

KolejnoĞü obiektów w ocenie grupowej zaznaczono obramowaniem odpowiednich elementów macierzy H .

Model (21) - (31) moĪna zastosowaü równieĪ do wyznaczenia obiektów, które zajmują trzy pierwsze pozycje w uporządkowaniu wynikowym. Zbiór ograniczeĔ naleĪy wówczas uzupełniü nastĊpującymi zaleĪnoĞciami:

γ12=1, co oznacza, Īe narzucamy strukturĊ jednoelementową na poziomie 1 i na pozycji

po-dwojonej J=2,

γ24=1, co oznacza, Īe narzucamy strukturĊ jednoelementową na poziomie 2 i na pozycji

po-dwojonej J=4,

γ36=1, co oznacza, Īe narzucamy strukturĊ jednoelementową na poziomie 3 i na pozycji

po-dwojonej J=6.

WartoĞü funkcji celu wynosi wówczas 105 a uporządkowanie wynikowe ma postaü: O2, O3, O5, O1, O8, O4, O6, (O7, O9). (44)]

5. Podsumowanie

W pracy Bury, Wagner (2003) podano algorytmy heurystyczne pozwalające wyznaczyü me-dianĊ Litvaka w przypadku, gdy nie moĪna zastosowaü prostego algorytmu rozwiązywania zada-nia przydziału. Uogólnienie tych algorytmów na przypadek wystĊpowazada-nia obiektów równowaĪ-nych w ocenie grupowej - zdaniem autorów istotny z punktu widzenia zastosowaĔ praktyczrównowaĪ-nych – byłoby trudne. Przedstawione w podrozdziale 3.2 sformułowanie zadania wyznaczania mediany Litvaka przy załoĪeniu, Īe w ocenie grupowej mogą wystĊpowaü obiekty równowaĪne w istotny sposób rozszerza moĪliwoĞci stosowania tej mediany. Koncepcja struktury obiektów St"

wprowa-dzona w pracy Bury, Wagner (2007) umoĪliwia łatwe dopasowanie modelu do wymaganej postaci oceny grupowej. Przypadek braku obiektów równowaĪnych w ocenie grupowej moĪna uwzglĊdniü wprowadzając ograniczenia na zmienne zero-jedynkowe γ . JeĪeli ze wzglĊdów praktycznych "J

(np. przy zastosowaniu metody mediany Litvaka do wyłonienia Ğcisłego zarządu danego gremium) byłoby konieczne znalezienie uporządkowania, w którym istotne byłyby jedynie obiekty zajmują-ce m pierwszych bądĨ ostatnich miejsc, wówczas takie ograniczenia bez trudu moĪna wprowadziü do rozpatrywanego zadania optymalizacji.

Przedstawione podejĞcie moĪe byü stosowane równieĪ w przypadku innych definicji odległo-Ğci miĊdzy uporządkowaniami.

Bibliografia

1. Armstrong R.D., Cook W.D., Seiford L.M.: (1982) Priority ranking and consensus formation: The case of ties, Management Science, 28, no. 6

2. Bury H., Wagner D. (1999) Wyznaczanie oceny grupowej metodą mediany Kemeny’go, w: Modelowanie preferencji a ryzyko’99, cz.2,

3. Bury H., Wagner D.(2000) The use of Kemeny median for group decision making. Integer programming approach, proceedings of MMAR 2000 conference.

4. Bury H., Wagner D. (2003) Use of preference vectors in group judgement. The median of Litvak. In: Group decisions and voting, EXIT, Warszawa

5. Bury H., Wagner D. (2007): Determining the group judgement when ties can occur, w przygotowaniu

6. Cook W.D., Seiford L.M. (1978) Priority ranking and consensus formation, Management Science, 24, no. 16,

7. Cook W.D., Kress M., Seiford L.M. (1997) A general framework for distance-based consen-sus in ordinal ranking models, European Journal of Operational Research, 96, issue 2

8. Cook W.D. (2006) Distance-based and ad hoc consensus models in ordinal preference rank-ing, European Journal of Operational Research, 172

9. Hwang C.-L., Lin M.-J. (1987) Group decision making under multiple criteria, Springer Ver-lag, Berlin, Heidelberg

10. Kemeny J. (1959) Mathematics without numbers, Daedalus 88

11. Kemeny J., Snell L. (1960) Mathematical Models in the Social Sciences. Ginn. Boston 12. Litvak B.G. (1982) Ekspertnaja informacija. Mietody połuczienija i analiza, Radio i Swjaz,

Moskwa

DETERMINING LITVAK MEDIANWHEN TIES CAN OCCUR Summary

Many methods of determining group judgment are based on the assumption that there are no equivalent alternatives in this judgment even if tied alternatives appear in expert judgemenst. This assumption seems to be restrictive, especially in the case of distance-based methods.

When tied alternatives are allowed in group judgment it is necessary to consider all the possible forms of preference orders to be group judgement. This approach is limited by the number of preference orders to be considered growing fast with the number of alternatives.. The solution of the problem may be obtained by means of in-teger optimization. In the paper the formulation of an inin-teger programming task for Litvak median is presented as well as some numerical examples.

Keywords: group decisions, experts’ judgments, ties, Litvak median

Hanna BURY, Dariusz WAGNER

Instytut BadaĔ Systemowych, Polska Akademia Nauk bury@ibspan.waw.pl,