Streszczenie
W przedstawionym opracowaniu wskazano na zakres moĪliwych zastosowaĔ ba-dania miar rozpływu energii drganiowej wykorzystywanych w badaniu procesów drganiowych i metodach analizy modalnej w obszarze budownictwa, w ramach meto-dologii badaĔ i metodyk szczegółowych. Analizy teoretyczne i weryfikacja praktyczna badania wielu róĪnych materiałów i budowli oraz róĪnych maszyn związanych z bu-downictwem i technologią realizacji róĪnych procesów fizycznych w ujĊciu interdyscyplinarnym wskazują na szerokie moĪliwoĞci zastosowaĔ opisanych doko-naĔ.
Uznając potrzebĊ doskonalenia metod badania maszyn i konstrukcji budowlanych dla potrzeb oceny ich stanu degradacji - w tej pracy przedstawiono uogólnione oraz istotne wyniki postĊpowania badawczego w zakresie weryfikacji skutecznoĞci opraco-wanych róĪnych metodyk szczegółowych realizoopraco-wanych w badaniach symulacyjnych, stanowiskowych i eksploatacyjnych.
Słowa kluczowe: dynamika, degradacja stanu, drgania, analiza modalna, diagram stabilizacyjny
Wprowadzenie
Klasycznie wyrónia si metodologie nauk: cisłych, przyrodniczych (tu: technicznych) i spo-łecznych. W naukach technicznych (udowadnianie tez, albo weryfikacja hipotez), czsto dokonuje si pomiaru za pomoc mierników z zachowaniem właciwych warunków otoczenia a uzyskane tak wyniki mog by zbierane i porównywane z wynikami uzyskanymi przez innych badaczy przy za-chowaniu tych samych zmiennych lub nieznacznej ich modyfikacji. Do opracowania stosuje si tu czsto opis matematyczny. Wiele nauk posiada własne metodologie lub korzysta z dorobku innych zapoyczajc ich metodologie w formie zmodyfikowanej i dostosowanej do szczególnych zagad-nie.
W tej pracy przedstawiono uogólnione procedury badania własnoci dynamicznych rónych elementów maszyn i konstrukcji budowlanych, uwzgldniajce badania symulacyjne oraz ich we-ryfikacj w badaniach stanowiskowych i eksploatacyjnych.
Zagadnienie opisu i badania zmian stanu destrukcji elementów, materiałów i konstrukcji oraz maszyn budowlanych prowadzi si przy wykorzystaniu miar diagnostyki drganiowej oraz opartych na drganiach metod analizy modalnej. Wanym jest tu problem opisu i badania rozpływu energii drganiowej przydatny w szeroko ju wykorzystywanej diagnostyce drganiowej i rzadziej nieco wy-korzystywanych metodach analizy modalnej.
Ocena stanu dynamicznego maszyn i konstrukcji budowlanych za pomoc miar propagacji energii drganiowej, wymaga skojarzenia cech struktury ocenianego obiektu ze zbiorem miar i ocen procesów wyjciowych. Wprowadzane drgania do obiektu maj charakter dynamiczny i zachowuj warunki równowagi pomidzy stanem bezwładnoci, sprystoci, tłumienia i wymuszenia. Zabu-rzenia rozchodz si od ródeł w postaci fal w sposób zaleny od własnoci fizycznych oraz granic konfiguracji, wymiarów i kształtów budowli. Powoduje to w konsekwencji rozpraszanie energii fal,
ich ugicia, odbicia i wzajemne nakładanie si. W rezultacie istnienia wejcia i realizacji transfor-macji stanów reprezentujcych cechy i właciwoci konstrukcji, powstaje szereg dajcych si mierzy objawów charakterystycznych, zawartych w procesach wyjciowych.
Drgania mog mie wpływ na stan uytkowania budowli poprzez zmniejszenie komfortu pra-cujcych tam ludzi, jak te mog osiga poziom zagraajcy bezpieczestwu konstrukcji. Wpływ drga na konstrukcj przejawia si głównie, jako dodatkowe naprenia w rozpatrywanym prze-kroju, które sumuj si z napreniami od obcie statycznych, co moe prowadza do ich zniszczenia.
Metody analizy modalnej zastosowane w rozwaaniach tego postpowania zostały zaadopto-wane z obszaru dynamiki konstrukcji mechanicznych. Ich przydatno jest wiksza dla jednorodnych struktur konstrukcji stalowych, ni dla materiałów budowlanych takich jak elementy murowe, gdzie kady wynik badania jest zwizany ze struktur, kształtem i stanem fizycznym próbki. Jest obawa, e niejednorodno i gruboziarnista struktura betonu i ceramiki mog by prze-szkod, co do skutecznoci proponowanej bardzo precyzyjnych techniki pomiarowej.
Analiza modalna oparta jest na wykorzystania miar rozpływu energii drganiowej, a w ocenie stanu degradacji konstrukcji jest stosowana ju na etapie badania i doskonalenia prototypu, w czasie eksploatacji, a take modyfikacji istniejcych konstrukcji i maszyn budowlanych. W opisanych ba-daniach dokonano analizy przydatnoci i oceny efektywnoci metod modalnych (eksperymentalnej i eksploatacyjnej), a take wybranych miar procesu drganiowego dla oceny stanu destrukcji wybra-nych elementów i budowli murowych oraz badawybra-nych w eksploatacji maszyn i konstrukcji budowlanych.
Celem bada opisanych ogólnie w tej pracy było wypracowanie metodologii oceny stanu de-gradacji (uszkodze) w materiałach oraz elementach konstrukcji i maszyn budowlanych za pomoc estymatorów drganiowych i metod analizy modalnej.
1. Identyfikacja stanu maszyn i konstrukcji budowlanych
Obcienia eksploatacyjne maszyn i konstrukcji budowlanych maj najczciej charakter lo-sowy, co utrudnia poredni ocen zmian ich stanu dynamicznego warunkujcego bezpieczne uytkowanie. Obecnie obserwuje si tendencje do skracania czasu wyznaczania stanu destrukcji ba-danej konstrukcji poprzez rezygnacj z czci utrudnionych bada eksperymentalnych na rzecz symulacji komputerowych. Badania eksperymentalne s stosowane do weryfikacji modeli symula-cyjnych poprzez porównanie wyników z symulacji komputerowych i eksperymentu fizycznego. Do okrelenia zmiennoci obcie słu modele dynamiczne w postaci układu brył sztywnych, gdzie symuluje si warunki eksploatacyjne pracy tych konstrukcji [4,7,9,14].
Celem studium dynamiki złoonego układu konstrukcji dwigowej jest ocena stanu obcie dynamicznych, odzwierciedlajcych stan degradacji i przewidywanie czasu poprawnego zachowa-nia si układu. Wraz ze wzrostem wartoci obcie, zwikszeniem wymaga dotyczcych trwałoci i niezawodnoci, a take koniecznoci stosowania w wielu przypadkach bezdemontaowej oceny degradacji ronie znaczenie analizy dynamiki konstrukcji [4,7,17].
Badania jakoci stanu degradacji prowadzi si przy pomocy metod identyfikacji (prostej, zło-onej), wykorzystujcych do oceny zmian stanu miary rozpływu energii drganiowej, a głównie: czstoci drga własnych, wartoci amplitudy oraz współczynniki tłumienia w tych czstociach.
Własnoci dynamiczne konstrukcji maj bezporedni wpływ na poziom drga układu, emito-wany hałas, wytrzymało zmczeniow i stabilno konstrukcji. Analizy własnoci dynamicznych
w wikszoci przypadków spotykanych w praktyce dokonuje si na podstawie analizy zachowania si modelu kon¬strukcji [7,10,11], gdy badania obiektów rzeczywistych nie zawsze jest moliwe. Model konstrukcji moe by tworzony w procesie analitycznych przekształce formalizmów stoso-wanych do opisu dynamiki układu, bd na podstawie wyników eksperymentów wykonystoso-wanych na rzeczywistym obiekcie [1,3,6]. Taki model powinien wiarygodnie odwzorowywa odpowiedzi kon-strukcji (naprenia, przemieszczenia) poddanej działaniu dowolnego obcienia dynamicznego [2,7,12].
W wikszoci zastosowa korzysta si z identyfikacji prostej, gdzie wyznacza si zmiany war-toci m, k, c, albo zmiany parametrów charakterystyk amplitudowo-czstotliwociowych (widma). Do zada identyfikacji prostej naley:
– wyznaczanie struktury modelu, czyli wartoci i wzajemnych połcze midzy elementami masowymi (m), sprystymi (k) i dyssypacyjnymi (c);
– wyznaczanie charakterystyk amplitudowo-czstotliwociowych badanych układów. W zakresie czstotliwoci niskich maszyny mona modelowa układami dyskretnymi o kilku stopniach swobody, a czsto o jednym stopniu swobody. Układ dyskretny w odrónieniu od cigłego cechuje si punktowym rozkładem mas, sztywnoci tłumienia i wymiary tych elementów nie odgry-waj roli. Dla układów mechanicznych, zwłaszcza majcych wizy spryste ustalajce ich połoenie w przestrzeni, przyjmuje si zwykle liczb stopni swobody równ liczbie mas w układzie.
Badania zmian transmitancji (rys.1) odzwierciedlajcej własnoci dynamiczne obiektu w iden-tyfikacji prostej mona przeprowadzi trzema metodami [2]:
– za pomoc testu impulsowego (uderzenie młotkiem); – za pomoc testu harmonicznego (sygnał z generatora);
– za pomoc testu przypadkowego (pobudzanie wielu rezonansów jednoczenie).
Przedstawione podejcia i uzyskane zalenoci obrazuj ruch drgajcy obiektu (modelu) i wy-nikajce z niego parametry procesu drganiowego, co pozwala na zaniechanie trudnego opisu analitycznego (szczególnie dla wielu stopni swobody) i zastpienie go bezporednimi pomiarami drga. Stan obiektu mona wic opisywa zamiennie, zamiast modelowania w kategoriach (m,k,c) mona stosowa opis drganiowy w kategoriach (a,v,x) [7].
Rysunek 1. Identyfikacja stanu dynamicznego testem impulsowym, harmonicznym, przypadkowym
ródlo: [2]. P r z e tw o r n i k d r g a c z s t o t li w o a m p l it u d a te s t h a r m o n i c z n y te s t im p u l s o w y te s t p r z y p a d k o w y W z m a c n ia c z m o c y W z b u d n i k D r g a B a d a n y o b ie k t P r z e tw o r n i k s ił y F i ltr P r z e d w z m a c n ia c z A n a liz a t o r d r g a R e je s t r a to r A ( f) M ie r n ik w a r t o c i s k u t e c z n e j s ił y A
Dla układów złoonych, czsto nieliniowych uywa si dla potrzeb identyfikacji złoonej ana-lizy modalnej (teoretycznej, eksperymentalnej lub eksploatacyjnej). Model modalny, który stanowi uporzdkowany zbiór czstoci własnych, odpowiadajcych im współczynników tłumienia oraz po-staci drga własnych (rys.2) pozwala przewidzie reakcje obiektu na dowolne zaburzenie, zarówno w dziedzinie czasu, jak i czstotliwoci. Analiza modalna w diagnozowania stanu maszyn i obiektów budowlanych moe zatem znale zastosowanie w nastpujcych obszarach:
• wyznaczanie wymusze działajcych na układ i ich widm czstotliwociowych na podstawie parametrów modelu modalnego i zmierzonej odpowiedzi układu;
• badanie podobiestwa charakterystyk czstotliwociowych: drganiowych i modalnych; • wyznaczenie parametrów modelu modalnego eksploatowanego obiektu i ledzenie ich
zmian;
• dostrojenie na bazie modelu modalnego modelu elementów skoczonych konstrukcji w sta-nie zdatnoci oraz ledzesta-nie zmian tego modelu w czasie eksploatacji; dostrojony model elementów skoczonych jest podstaw do modyfikacji konstrukcji
Rysunek 2. System pomiarowy do realizacji eksperymentu w analizie modalnej
ródło: [4].
1.1. Drgania w identyfikacji maszyn i konstrukcji
W tym opracowaniu sygnał drganiowy jest podstaw badania destrukcji maszyn i konstrukcji budowlanych, a wiele proponowanych procedur pomocniczych dla rozwizania postawionego za-dania doskonali dziedzin inynierii drga w budownictwie. Wielokrotnie dalej w tej pracy przywoływane tylko bd wiadomoci z obszaru drga, szczególnie w zakresie opisu i pozyskiwania sygnałów, wyznaczania estymatorów drganiowych i przetwarzania statystycznego wyników dla po-trzeb bada destrukcji wybranych konstrukcji mechanicznych lub fragmentów (elementów) konstrukcji budowlanych, omówione w pracach [5,8,13].
Podstawowym zadaniem podczas analizy dynamiki obiektu jest wyznaczenie czstoci drga własnych badanych elementów konstrukcji (tzw. widmo drga). Zwykle obserwuje si, e drgania
Układ Generujcy Sygnał wymuszajcy Badany obiekt Układ wzbudzania drga Układ pomiaru wymuszenia i odpowiedzi Układ kondycjonowania sygnałów Układ przetwarzania sygnałów Komputerowy system analizy modalnej
swobodne tych czstoci w konstrukcji podlegaj szybkiemu wytłumieniu. Najbardziej niebez-pieczne stany obcie dynamicznych i zwizane z tym ekstremalne wartoci naprenia powstaj w obszarze drga rezonansowych, z najniszymi czstociami własnymi konstrukcji. Takie stany mog powstawa np. podczas szybkiej (skokowej) zmiany warunków otoczenia konstrukcji, oddzia-ływa klimatycznych, wiatru, temperatury, lub przejedajcych pojazdów. Zwykle zachodzce przy tym zmiany stanu obcienia wzłów konstrukcji maj charakter procesów przejciowych o ga-sncej amplitudzie [15,16].
Wykorzystanie informacji zawartych w energii drganiowej (opisanej przez róne estymatory drganiowe) interesujcego nas fragmentu lub całej konstrukcji budowlanej jest obszarem zaintere-sowa drganiowej diagnostyki konstrukcyjnej. Zmiany stanu degradacji konstrukcji obiektów budowlanych opisywane sygnałem drganiowym w wielu przypadkach wymagaj szczegółowego opisu energii procesu w dziedzinie amplitud, czasu i czstotliwoci. Metody selekcji informacji (PCA, BEDIND, OPTIMUM, SVD) umoliwiaj wybór uszkodzeniowo zorientowanych sympto-mów stanu degradacji, wykorzystywanych dalej w badaniu modeli zwizania (relacji przyczynowo – skutkowych) przedstawiono w wielu pracach autora [6,8,12]. W tym te to obszarze ulokowano zagadnienia główne wielu bada i opracowa [8,9,11,12,13,15,17].
Cechy modelu przejcia sygnałów drganiowych w maszynach i konstrukcjach w warunkach losowych zakłóce oparte s na załoeniach [2]:
• stan konstrukcji jest okrelony jednoznacznie przez sygnał charakterystyczny ϕi(t,θ),
ge-nerowany oddzielnie przy kadym wymuszeniu. Sygnał ten ulega zmianom w czasie dynamicznym (krótkim) „t” oraz ewolucji w czasie wolnym (długim) „θ„;
• sygnał uszkodzenia jest złoony z procesu zdeterminowanego ϕo i przypadkowego n, za jego intensywno zmian charakteryzuje stan destrukcji konstrukcji;
• przekształcony sygnał charakterystyczny bdcy odwzorowaniem oddziaływa wewntrz-nych – degradacji konstrukcji – jest odbierany jako y(t,θ) i w najprostszym przypadku jest odpowiedzi badanego elementu konstrukcji o charakterystyce h(t,θ) na wymuszenie x(t,θ). Uwzgldniajc rozległo przestrzenn (wymiary) „r” konstrukcji mona taki sygnał zapisa w postaci:
y(θ,r) = i= ∞
¦
1 ϕi(t,θ,r) ∗ h(t,θ,r) ∗ δ(t – iT) (1)
• procesy wyjciowe z konstrukcji (selektywnie) wpływaj zwrotnie na procesy destrukcji i w dalszym cigu na stan budowli (elementu) przez dodatnie, destrukcyjne sprzenie zwrotne, zniekształcajc pierwotny sygnał ϕ i (t,θ);
• dla ustalonej wartoci czasu eksploatacji θi=const wszystkie obiekty budowlane traktowane
s jako liniowe i stacjonarne układy, których własnoci opisuje odpowied impulsowa h(t,θ,r) albo jej transformaty: operatorowa Laplace’a H(p,θ,r) lub widmowa Fouriera H(jω,θ,r).
W modelowaniu przyjto, e sygnał drganiowy wyjciowy z dowolnego punktu odbioru mona wyrazi wzorem [2,7]:
&
! "#
$
%
(2) ¾ impulsowa funkcja przejcia h(*) ujmuje własnoci destrukcji materiału,Przedstawiony w formie zalenoci (2) sposób interpretacji drganiowego sygnału wyjciowego y(t,θ,r) jest w ogólnym przypadku wymusze obiektów o działaniu okresowym prawdziwy, lecz nie zawsze tak prosty jak na rys.3, gdzie pokazano powstawanie wymusze ze strony losowych oddzia-ływa wiatru na wysokie budowle, kominy, wiee i rejestracj odpowiedzi w postaci złoonego sygnału drganiowego. napd u x y T 2 T T T 2T t t t T - okresow a transform ac ja U kład kinem atyc zna d ynam iczny
ϕi(t,θ,r) x(t,θ)= Σ ϕi∗ δri h(t,θ,r) S=Σ h∗ ϕi∗δri
Rysunek 3. Schemat blokowy generacji sygnału drganiowego w obiekcie
ródlo: [2].
W modelowaniu uwzgldniono równie to, e odbierany sygnał wyjciowy w dowolnym miej-scu konstrukcji (rys.3) jest waon sum odpowiedzi na wszystkie zdarzenia elementarne ϕi(t,θ,r),
wystpujce zawsze w tej samej sekwencji w poszczególnych punktach układu dynamicznego o impulsowej funkcji przejcia h(t,θ,r). Oddziaływania te sumuj si i ulegaj dodatkowemu prze-kształceniu wzdłu rónych osi odniesienia, przy czym zmiana miejsca odbioru sygnału „r” zwizana jest równie ze zmian transmitancji H(f).
Zmiany stanu degradacji odzwierciedlaj si take w zmiennych wartociach poziomu drga, w zmianie transmitancji H(f), albo FRF okrelanych od punktu wymuszenia do punktu odbioru (rys.4).
'''''''''''''''''''''''''()
*+,-
,.,
,-*+ (3)
Rysunek 4. OkreĞlenie transmitancji oraz FRF (Frequency Response Function)
Opracowany model przejcia sygnału drganiowego przez badane fragmenty konstrukcji został opisany funkcj FRF – wyznaczan w eksperymentalnej analizie modalnej, jako stosunek siły wy-muszajcej drgania na wejciu do amplitudy przyspieszenia drga na wyjciu. Inwersj funkcji FRF jest transmitancja H(f) zdefiniowana jako stosunek odpowiedzi do wymuszenia [8].
Wskazane właciwoci przedstawionego opisu modelu przejcia energii procesów drganiowych przez badane struktury konstrukcji wykorzystano w rónych badaniach autora do oceny zmian stop-nia degradacji konstrukcji w rónych strukturach (modelowanych i rzeczywistych) elementów maszyn i konstrukcji budowlanych.
F(t) FRF ..
x
1.2. Analiza modalna w identyfikacji stanu
Analiza modalna jest szeroko stosowana w badaniu uszkodze, modyfikacji struktury, aktuali-zacji modelu analitycznego, czy kontroli stanu, a take wykorzystywana jest do monitorowania poziomu dopuszczalnego drga wielu rónych struktur w inynierii ldowej [6,8,15,17]. Stosowana ju czsto w rónych zastosowaniach analiza modalna jest technik badania własnoci dynamicz-nych fragmentów konstrukcji, korzystajc z parametrów modelu modalnego, składajcych si z czstoci modalnych, tłumienia i postaci drga [2,5,17].
Dla układów złoonych, czsto nieliniowych uywa si dla potrzeb identyfikacji degradacji konstrukcji metodyk analizy modalnej. W wyniku jej realizacji otrzymuje si na bazie diagramów stabilizacji model modalny pozwalajcy przewidzie reakcje obiektu na dowolne zaburzenie, za-równo w dziedzinie czasu, jak i czstotliwoci [2,4,17].
Parametry modelu modalnego umoliwiaj rozprzenie równa opisujcych drgania układu, a ich wartoci wyznacza si z zalenoci [4,8]:
ir r r
R
j
m
ϖ
2
1
=
;
k
r=
ϖ
nr2m
r;
c
r=
2
m
rϖ
rnδ
m(4) Wielkoci te opisuj własnoci układu zwizane z r – t czstoci własn, a zmiany czstoci własnej zale od wielkoci zmian sztywnoci lub masy, jak te zale od miejsca rozwoju uszko-dzenia w konstrukcji [2,7,14]. Model modalny moe by dalej zidentyfiko¬wany na rzeczywistym obiekcie na podstawie wyników eksperymentu identyfikacyjnego [6,12].
W praktyce wyrónia si nastpujce rodzaje analizy modalnej [8,17]:
• teoretyczn, która wymaga rozwizania zagadnienia własnego dla przyjtego modelu struk-turalnego badanego obiektu;
• eksperymentaln, wymagajc sterowanego eksperymentu identyfikacyjnego, podczas któ-rego wymusza si drgania obiektu oraz dokonuje pomiaru wymuszenia i pomiaru odpowiedzi w jednym lub w wielu punktach, rozmieszczonych na badanym obiekcie;
Teoretyczna analiza modalna jest definiowana jako problem własny, zaleny od macierzy mas, sztywnoci i tłumienia. Teoretyczna analiza modalna wymaga rozwizania zagadnienia własnego dla przyjtego modelu strukturalnego badanej konstrukcji [4,13]. Wyznaczone zbiory czstoci wła-snych, współczynników tłumienia dla czstoci własnych oraz postacie drga własnych pozwalaj na symulacje zachowania si konstrukcji przy dowolnych wymuszeniach, doborze sterowa, mody-fikacji konstrukcji i innych. Teoretyczna analiza modalna ma zastosowanie głównie w procesie projektowania, gdy nie ma moliwoci realizacji bada na obiekcie.
Eksperyment identyfikacyjny w eksperymentalnej analizie modalnej (rys.5A) polega na wymu-szeniu drga obiektu z pomoc młotka modalnego przy jednoczesnym pomiarze siły wymuszajcej i odpowiedzi układu, najczciej w postaci widma przyspiesze drga.
A. B.
Rysunek 5. Istota badaĔ w eksperymentalnej (A) oraz eksploatacyjnej analizie modalnej (B)
Model modalny (czstoci drga własnych, postacie drga oraz tłumienie) uzyskiwany jest z diagramu stabilizacyjnego i prezentowanej programowo animacji postaci drga. Dane te pozwa-laj na wyznaczenie charakterystycznych czstoci drga, które podlegaj fluktuacjom podczas degradacji stanu w czasie trwania uytkowania, co wskazuje na zaawansowanie procesów destrukcji konstrukcji.
Kolejn metodyka bada modalnych jest analiza eksploatacyjna, opierajc si na eksperymen-cie eksploatacyjnym, w którym dokonuje si pomiarów tylko odpowiedzi układu w wielu punktach pomiarowych, podczas gdy ruch obiektu spowodowany jest rzeczywistymi wymuszeniami eksplo-atacyjnymi.
Wykorzystywana jest do identyfikacji obiektów o duych rozmiarach przestrzennych i duych masach, a oparta jest o pomiar odpowiedzi na wymuszenia eksploatacyjne, bdce wynikiem dzia-łania sił zewntrznych (rys.5B), bd wymusze kinematycznych oraz procesu destrukcji elementów budowli [4,12]. Eksploatacyjna analiza modalna umoliwia analiz modaln obiektów o duych rozmiarach, dla których testy laboratoryjne byłyby utrudnione do realizacji. Modeluje te poprawnie obiekty, gdy wymuszenia odpowiadaj obcieniom rzeczywistym ze wzgldu na ich przebieg czasowy, rozkład przestrzenny oraz amplitudy i warunki brzegowe [2,4,7].
W praktycznym zastosowaniu w badaniach sygnalizowanych w tej pracy w wikszoci zasto-sowa zakłada si, e na skutek uszkodzenia zmienia si lokalnie sztywno konstrukcji, co powoduje zmiany parametrów modelu modalnego. Za pomoc ledzenia zmian postaci drga wła-snych mona okreli obszar, w którym wystpuje znaczna destrukcja [17].
2. Metodologia bada
Metodologia jest to nauka o metodach bada naukowych, ich skutecznoci i wartoci poznaw-czej. Uogólnia w danej dziedzinie zasady i metodyki postpowania badawczego majcego na celu poznanie rzeczywistoci w ujciu poznawczym i utylitarnym.
Badania naukowe s w wikszoci przedsiwziciami złoonymi, nastawionymi na efek-tywn realizacj i uzyskiwanie wartociowych wyników. Metod bada naukowych mona rozumie jako sposób sprawdzony, wiadomie stosowany, powtarzalny i wzorcowy, a działanie me-todyczne – jako działanie zgodne z regułami działa racjonalnych. Metoda jest to sposób wykonywania czynu złoonego, polegajcy na okrelonym doborze i układzie jego działa składo-wych, a przy tym zaplanowany i nadajcy si do wielokrotnego stosowania.
Proces badawczy to całociowy schemat działa podejmowany w celu wytworzenia wiedzy, to paradygmat naukowych docieka. Etapy procesu badawczego: problem badawczy, hipotezy, plan badawczy, pomiar, zbieranie danych, analiza danych, uogólnianie (generalizowanie).
Wynikiem postpowania badawczego prezentowanych przypadków badania w tej pracy, w ujciu wskazanych zapisów metodologicznych, jest denie do:
¾ wypracowania metodyk szczegółowych badania rozwijajcych si uszkodze w materiałach i w elementach maszyn i konstrukcji budowlanych za pomoc estymatorów rozpływu energii drganiowej (w diagnostyce drganiowej i analizie modalnej);
¾ opracowanie algorytmów identyfikacji parametrów, akwizycji sygnałów, selekcji i redukcji informacji oraz optymalizacji modeli dynamicznych;
¾ opracowania procedur monitoringu rozwijajcych si uszkodze dedykowanym systemem dia-gnostycznym badania rozpływu energii drganiowej obiektów w inynierii ldowej.
W metodzie pomiarowej okrelania zmiennych obcie rejestruje si przebiegi czasowe przy-spiesze bd odkształce w wybranych punktach konstrukcji, które stanowi odpowied układu na zadane obcienia. Bezporedni pomiar obcie jest bardzo trudny i kosztowny, a czsto prawie niemoliwy. Wyznaczanie obcie przeprowadza si czsto za pomoc symulacji komputerowej modelu konstrukcji, w której przyjmuje si parametry zmierzonych przebiegów odpowiedzi modelu w punktach odpowiadajcych rozmieszczonym na konstrukcji czujnikom pomiarowym [1,2,3,5].
Pod wzgldem istotnych składników plany bada naukowych s podobne, ale kady plan rea-lizacji tematu badawczego powinien obejmowa nastpujce zadania:
¾ wybór problemu i ustalenie zakresu badania, ¾ ustalenie i uzasadnienie hipotez roboczych, ¾ wybór albo opracowanie metod badawczych,
¾ opracowanie metodyki bada (wybór obiektów, aparatura, warunki bada), ¾ analiz literatury zwizanej z tematem badania.
Realizacja tematu badawczego obejmuje wiele rónych czynnoci, które dzieli si na grupy, stanowice główne etapy realizacji zadania badawczego:
¾ zebranie i opracowanie wiedzy tematu, ¾ sformułowanie uogólnie i prognoz, ¾ przygotowanie bada właciwych, ¾ sprawdzenie dokonanych uogólnie, ¾ zredagowanie tekstu naukowego.
Do identyfikacji i opisu procesów drganiowej degradacji (uszkodzenia) obiektów (technicz-nych, budowlanych) opisanej metodologii postpowania, w tym opracowaniu zaproponowano (rys. 6) i zweryfikowano procedury: akwizycji procesów drganiowych, przetwarzania procesów drganio-wych, badania współzalenoci procesów drganiodrganio-wych, badania wraliwoci symptomów drganiowych, wnioskowania statystycznego oraz wizualizacji wyników analizy.
Rysunek 6. Schemat układu pomiarowego do badania rozpływu energii drganiowej w obiekcie
Moliwo szybkiej oceny stanu i degradacji (technicznych, budowlanych) przy wykorzysta-niu proponowanych szczegółowych zastosowa miar rozpływu energii drganiowej wykorzystano w wielu opracowaniach [2,4,8,10,11,12,13,14,15,16,17] dla potrzeb:
– nowych procedur metodyki bada w zakresie opracowywania danych pomiarowych; – opracowania modeli przejcia energii drganiowej przez badane obiekty dla potrzeb oceny zmiany ich degradacji pod zmiennym obcieniem;
– opracowanie szczegółowych metodyk badania destrukcji elementów murowych za po-moc estymatorów drganiowych;
– opracowanie systemu akwizycji, przetwarzania i wnioskowania statystycznego dla sy-gnałów drganiowych w badaniu destrukcji elementów i budowli murowych;
– weryfikacja przydatnoci zaproponowanych procedur w ocenie statystycznej badanych estymatorów drganiowych.
Due moliwoci metod modalnych w identyfikacji degradacji maszyn i obiektów budowla-nych zweryfikowano w badaniach [4,5,6,8,9,11,14,16,17]:
– akwizycji procesów drganiowych w badaniach modalnych, przetwarzania procesów drganiowych wg. algorytmów metod modalnych,
– oceny współzalenoci procesów drganiowych w modelach modalnych, – wraliwoci parametrów modalnych,
– wnioskowania statystycznego, – wizualizacji wyników analizy.
Przydatno metod analizy modalnej do oceny destrukcji elementów i budowli murowych pro-wadzono w szerokim zakresie zastosowa w oparciu o zaproponowan (rys.7) metodyk bada, ujmujc wszelkie zadania postpowania badawczego [4,8,12,15,16].
Rysunek 7. Metodyka realizacji badaĔ modalnych
Proponowane metody i rodki badawcze do badania rozpływu energii drganiowej dla oceny destrukcji stanu w ewolucji systemów budowlanych i technicznych, stanowi o istocie aspektów poznawczych zrealizowanych bada.
3. Przykłady zastosowa miar rozpływu energii drganiowej
Wskazania w zakresie wykorzystywania miar rozpływu energii drganiowej w ocenie jakoci i degradacji systemów budowlanych przedstawiono sygnalnie na wybranych fragmentach rónych bada [2,4,7,8,10,14,16]. W badaniach rozpływu energii drganiowej wykorzystuje si róne konfi-guracje dostpnej aparatury i oprogramowania (rys.8).
Rysunek 8. Układ pomiarowy ze wstĊpnym przetwarzaniem danych
A. Miary drganiowe w zastosowaniach oceny degradacji elementów maszyn i konstrukcji budowlanych
¾ Miary proste i zło one wykorzystywane w diagnostyce drganiowej maszyn i konstrukcji budowlanych definiowane w kategoriach amplitudy, czasu i czstotliwoci (A, t, f) na sygnale podstawowym z mierzenia drga A(t) w róny sposób prezentuj badane zjawiska rys.9–11.
Rysunek 9. Przebiegi wartoĞci miar prostych (A(t), Rxy(t) oraz miar złoĪonych funkcji koherencji i funkcji korelacji wzajemnej
ródło: [8].
Rysunek 10. Widmo drgaĔ łoĪyska zdatnego (z lewej) i uszkodzonego
ródło: [7]. 0 25 50 75 100 125 150 175 200 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06
RMS, CEGLA PELNA : C3y
Czas P rz y s p ie s z e n ie [ m m /s 2] U RMS = 0.0073 [mm/s 2] 1050 1100 1150 1200 1250 1300 1350 -0.2 0 0.2 0.4 X: 1022 Y: 0.3006 X: 1026 Y: 0.05777
Korelacja, CEGLA PELNA : (F3y, C3y)
Czas A m p lit u d a δ = 0.8247 0 25 50 75 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Koherencja, CEGLA PELNA : (C0x,F0x)
Czestotliwosc K o h e re n c ja Cxy = 194.04 1000 1200 1400 1600 1800 2000 0 0.2 0.4 X: 1354 Y: 0.01681 X: 1023 Y: 0.5751 X: 1940 Y: 0.01218
Korelacja, CEGLA PELNA : (F0x, C0x)
Czas A m p lit u da δ = 0.15379
B. Selekcja informacji – przedstawione przykładowe miary stanu degradacji lepiej lub gorzej odzwierciedlaj badane zmiany stanu, co wymusza potrzeb selekcji pozyskiwanych informacji.
¾ OPTIMUM to zaproponowana wstpna metodyka selekcji informacji porzdkujca mie-rzone symptomy w kolejnoci rankingowej zalenej od odległoci od punktu idealnego (1,1). Wykorzystuje si tu miary statystyczne (np. zmienno symptomów, współczynnik zmiennoci, ko-relacji) opisujce wraliwo i przydatno mierzonych symptomów, a do dalszego wnioskowania arbitralnie wybiera si najlepsze (rys.12), połoone najbliej punktu idealnego [8,12].
Rysunek 12. Ranking wraĪliwoĞci miar drganiowych segmentów ceramicznych
¾ SVD (Singular Value Decomposition) to numeryczna metodyka przetwarzania informacji podczas wielowymiarowej obserwacji zachodzcych procesów destrukcji w budownictwie. Zaleca si w niej wykorzystywanie we wnioskowaniu wszystkich moliwych do mierzenia miar procesów drganiowych [2], uzyskujc po unormowaniu miar informacj o liczbie rozwijajcych si uszko-dze, ocen przydatnoci miar we wnioskowaniu i predykcj wraliwych symptomów (rys.13).
Rysunek 13. Wyniki z SVD dla badanych segmentów silikatowych wzdłuĪ osi X
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 2 3 4 5 Optimum diagram
f1* : Center (mean) & normalized (σ)
f2 * : C o rr e la ti o n c o e fi ci e n t 1 - FRFr 2 - H(f)u 3 - FRFu 4 - coher 5 - H(f)r 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 2 3 4 5 Optimum diagram
f1* : Center (mean) & normalized (σ)
f2 * : C o rr e la ti o n c o e fi ci e n t 1 - FRFu 2 - FRFr 3 - H(f)u 4 - coher 5 - H(f)r 1 2 3 4 5 6 7 8 9 - 50 0 50 Matrix of symthoms A m p lit u d e State 1 2 3 4 5 6 7 8 9 - 10 - 5 0 5
M atrix of transformate symthoms
R e a lt iv e a m p lit u d e State 1 2 3 4 5 0 50 100
Contribution of generalize faults
% (S in g u la r v a lu e s) State 2 4 6 8 -15 -10 -5 0 5 10
First fault generalized
% State 1 2 3 4 5 -1 0 1 Corelation (SG1,Symptoms) R e a lt iv e co re la ti o n Symthoms
– modele zwizania opisujce zalenoci przyczynowo – skutkowe (co od czego jak zaley), wy-korzystuj miary proponowane do wnioskowania w procedurach OPTIMUM oraz SVD. Dobro modelu w odniesieniu do wyników pomiarów oceniana jest współczynnikiem determinacji R2.
Dostpne oprogramowanie EXCEL, MATLAB s bardzo przydatne na etapie tworzenia modeli wnioskowania i w przyjazny sposób prezentuj wyniki – rys. 14.
Rysunek 14. Matematyczny model destrukcji segmentów silikatowych – X
C. Analiza modalna w opisie degradacji stanu
Właciwoci dynamiczne układów liniowych o stałych parametrach mona scharakteryzowa za pomoc impulsowej funkcji przejĞcia h(t) definiowanej w dziedzinie czasu, albo za pomoc
trans-mitancji H(f) definiowanej w dziedzinie czstotliwoci. Sposób postpowania badawczego w celu
okrelenia transmitancji w eksperymentalnej analizie modalnej (EAM) przedstawiono na rys.15.
Rysunek 15. Idea wyznaczania H(f) dowolnej konstrukcji w EAM
Do pomiarów przebiegów czasowych wymuszenia i odpowiedzi badanego układu jak i okre-lenia funkcji H(f) wykorzystano aparatur pomiarow firmy LMS TEST.XPRESS. Oprogramowanie to umoliwia w łatwy sposób przeprowadzi analiz modaln elementów kon-strukcyjnych, jak i innych dowolnych konstrukcji budowlanych. Program posiada łatwy i przyjemny interfejs przyjazny dla uytkownika.
Podstawowe dane do modelu modalnego (czstoci drga, tłumienie) wyznacza si z uzyski-wanych w badaniach diagramów stabilizacji. Dla charakterystycznych i wanych czstoci drga mona wygenerowa postacie drga, bardzo przydatne podczas wnioskowania [4,8]. Przedstawione diagramy stabilizacji na rys.16 (z dodatkowo wyznaczonym widmie drga czstotliwoci
dominu-5HJUHVMDZLHORPLDQRZD -60 -40 -20 0 20 40 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Numer pomiaru W a rt o c i p a ra m e tr ó w FRFr FRFu coher y = 0,025 FRFr - 0,066 FRFu + 0,827 coher - 7,024 R kwadrat = 0,793
Rysunek 16. Diagramy stabilizacji Ğciany ceglanej z jedną rysą (z lewej) i z dwiema rysami pĊkniĊcia (z prawej) z wymuszeniem
Poniej przedstawiono tabelaryczne zestawienie czstoci drga własnych wygenerowanych dla pomiarów rónych stanów degradacji badanej konstrukcji ceglanej.
Tablica 1. Zestawienie czĊstoĞci drgaĔ własnych dla róĪnych stanów degradacji konstrukcji
Wymuszenia ciana zdatna 1 pknicie 2 pknicia
bez wymuszenia 71,388Hz 39,999Hz 29,831Hz
bez wymuszenia 81,699Hz 40,806Hz 39,207Hz
z wymuszeniem 43,526Hz 41,271Hz 70,844Hz
z wymuszeniem 81,699Hz 147,588Hz 110,296Hz
Z przytoczonych wyników bada mona wstpnie wnioskowa, e dla konstrukcji murowych ceglanych zdatnych wygenerowano czsto drga własnych na poziomie 70–80Hz, a dla konstruk-cji uszkodzonych wygenerowano czstoci drga własnych na poziomie o wiele niszym – 30–40Hz [15].
D. Badania miar energii drganiowej w technologii produkcji materiałów
Zastosowania przemysłowe miar drganiowych dotycz głównie wykorzystania miar złoonych energii drganiowej dobrze rónicujcych badane stany degradacji. Badane elementy murowe w pro-cesie technologicznym wytwarzania oceniano za pomoc diagramów stabilizacji i funkcji koherencji, a przykładowe wyniki tych bada przedstawiono na rys.17.
Wnioskowanie o stanie z przebiegów funkcyjnych w warunkach przemysłowych jest utrud-nione, wic zaproponowano miary dyskretyzujce w postaci pola pod badan funkcj (wyraanego liczbowo) dla diagramu stabilizacji i funkcji koherencji, co obrazuje rys.18.
Rysunek 17. Przykładowe przebiegi diagramu stabilizacji i funkcji koherencji dla produkowanych cegieł
Rysunek 18. WartoĞci pola do oceny liczbowej w zadanym przedziale
Zaproponowane miary uytkowe oceny jakoci produkcji cegieł maj prost interpretacj fizyczn i du efektywno rozpoznawania elementów wadliwych [17].
E. Doskonalenie MES metodami analizy modalnej
Metody analizy modalnej wykorzystywane s do doskonalenia praktycznej weryfikacji jakoci modeli destrukcji w metodach elementów skoczonych (MES). Zamodelowano wybrany fragment konstrukcji kratownicowej w oprogramowaniu INVENTOR, które powizano za pomoc relacji geometrycznych, zgodnie z charakterem współpracy tych elementów. Na rys.19 przedstawiono rze-czywisty i zamodelowany model fragmentu konstrukcji poddany badaniom przy uyciu teoretycznej analizy modalnej [15].
Do opisu dynamiki konstrukcji zastosowane zostały modele strukturalne, które zbudowano zgodnie z zasadami metody elementów skoczonych (MES). W ramach wykonania oblicze teore-tycznych z wykorzystaniem metody analizy modalnej wygenerowano charakterystyczne czstoci drga własnych dla badanego fragmentu konstrukcji dwigowej, które zostały zestawione w tablicy 2. Podczas symulacji ograniczono liczb wyznaczanych czstotliwoci drga własnych do 20.
0 25 50 75 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Koherencja, CEGLA PELNA : (C1x,F1x)
Czestotliwosc K o h e re n c ja Cxy = 154.03
Rysunek 19. Model rzeczywisty, teoretyczny i stanowisko badawcze elementu kratownicy Tablica 2. CzĊstoĞci drgaĔ własnych wygenerowane przy pomocy teoretycznej analizy modalnej
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 [Hz] [Hz] [Hz] [Hz] [Hz] [Hz] [Hz] [Hz] [Hz] [Hz] 71,29 289,40 345,10 350,83 792,55 904,46 995,99 1063,37 1063,84 1168,01 F11 F12 F13 F14 F15 F16 F17 F18 F19 F20 [Hz] [Hz] [Hz] [Hz] [Hz] [Hz] [Hz] [Hz] [Hz] [Hz] 1273,96 1373,37 1577,62 1702,82 1814,78 1847,73 1930,23 2076,51 2290,80 2357,98
Otrzymane w wyniku symulacji czstotliwoci i postacie drga własnych pozwalaj wskaza najbardziej podatne dynamicznie obszary badanego fragmentu konstrukcji (rys.20).
Rysunek 20. Drgania giĊtne kratownicy spawanej przy czĊstotliwoĞci 71,29 [Hz]– z lewej oraz pierwsza postaü drgaĔ o charakterze giĊtno – skrĊtnym przy czĊstotliwoĞci 995,99 [Hz]
Dokładna analiza postaci drga własnych uzyskana z bada diagramów stabilizacji (rys. 9) umoliwia porównanie z wynikami z MES i bardzo wnikliwe poznanie struktury i stanu degradacji, ale wymaga to jednak połczenia wiedzy z kilku innych dziedzin nauk technicznych [12].
Wyniki rozwaa teoretycznych w modelowaniu symulacyjnym oraz ich weryfikacja stanowiskowa na modelu fragmentu kratownicy, daj przesłanki do metodologii rozpoznawczych bada drganiowych fragmentów obiektów złoonych metodami analizy modalnej i stanowi pocztek oraz przygotowanie do szerszych bada obiektów rzeczywistych.
4. Podsumowanie
Przedstawiona problematyka wieloletnich docieka teoretyczno-eksperymentalnych mieci si w obszarze bada i oceny stanu destrukcji konstrukcji i maszyn budowlanych w zakresie optymali-zacji ich stanu dynamicznego, odzwierciedlajcego przepływ energii w nowoczesnych konstrukcjach, przy rónych wymuszeniach. Tematyka ta, w praktycznych zastosowaniach, pozwala na lepsze zrozumienie zachowania si złoonych konstrukcji, ich optymalizacj w procesie projek-towania i oceny stanów niebezpiecznych w eksploatacji.
Treci tego opracowania wpisuj si w rozwój nowych technologii diagnostyki i identyfikacji uszkodze konstrukcji i maszyn w budownictwie, przy wykorzystaniu metod badania rozpływu energii drganiowej, a w tym przypadku głównie diagnostyki drganiowej i analizy modalnej.
Przedstawione wyniki bada wskazuj na fakt, i istnieje moliwo rozróniania własnoci materiałowych konstrukcji rónymi sposobami, z wieloma problemami pozyskiwania, przetwarza-nia i opracowaprzetwarza-nia statystycznego, co ma wpływ na du moliwo rozróprzetwarza-niaprzetwarza-nia stanu degradacji oraz własnoci wytrzymałociowych.
Badania wykazały jednoznaczne zmiany wartoci mierzonych symptomów rozpływu energii drganiowej w rónych zastosowaniach i w okrelonym przedziale zmiennoci opisanych szczegó-łowo jako wyniki bada w wielu publikacjach. W badaniach potwierdzono równie przydatno oprogramowania INVENTOR do modelowania stanu i rozpoznawania degradacji obiektów okre-lanych w metodzie elementów skoczonych. Wyniki bada symulacyjnych weryfikowane wynikami z bada modalnych potwierdzaj moliwo doskonalenia MES metodami modalnymi.
Zweryfikowana praktycznie ocena wraliwoci estymatorów drganiowych i składowych mo-delu modalnego na stopie degradacji maszyn i konstrukcji budowlanych ukazuje w stopniu zadawalajcym dla praktyki rónice pomidzy konstrukcj zdatn i uszkodzon. Moliwe staje si, zatem nieinwazyjne okrelanie zagroe budowlanych na podstawie badania wybranych miar roz-pływu energii drganiowej.
Bibliografia
[1] Brown D., Allemang R.: Multiple Input Experimental Modal Analysis. Fall Technical Meet-ing, Society of Experimental Stress Analysis, Salt Lake City, UT, November 1983.
[2] Cempel C.: Vibroacoustical Condition Monitoring, Ellis Ltd., Chichester, ¬New York, 1991. [3] Peeters B., Ventura C.: Comparative study of modal analysis techniques for bridge dynamic
characteristics. Submitted to Mechanical Systems and Signal Processing, 2001.
[4] Uhl T.: Computer-aided identification of mechanical structure models ( in Polish). WNT (Scientific Technical Publishers), Warszawa 1997.
[5] Williams R., Crowley J., Vold H.: The multivariate mode indicators function in modal anal-ysis. Proceedings of International Modal Analysis Conference III, January 1985.
[6] ółtowski B., ółtowski M.: Vibration signals in mechanical engineering and construction. ISBN 978-83-7789-350-0, ITE-PIB, Radom, 2015.
[7] ółtowski B., Cempel C.: Engineering of diagnostics machines. PTDT, ITE – PIB, Radom, ISBN 83-7204-414-7, 2004 s.1109.
[8] ółtowski M.: Operacyjna analiza modalna w badaniach konstrukcji budowlanych. WU UTP, Bydgoszcz 2012 s.210.
[10] ółtowski M.: Investigations of harbour brick structures by using operational modal analysis. Polish Maritime Research No 1/2014, pp 32–38.
[11] ółtowski M., ółtowski B.: Vibrations signal to the description of structural damage of dynamic the technical systems. XIII International Technical Systems Degradation, Confer-ence, Liptowski Mikulesz, 2015, ISBN 978-83-930944-7-9, pp.44–49.
[12] ółtowski M.: Opis drganiowy konstrukcji budowlanych. Logistyka nr.6/2014, ISSN 1231-5478, Index Copernicus 4,57, Lublin 2014, s. 412–423.
[13] ółtowski M.: Investigations of harbour brick structures by using operational modal analysis. Polish Maritime Research, No. 1/(81), vol.21, ISSN 1233-2585, 2014, pp.42–54.
[14] ółtowski M., Liss M.: The use of modal analysis in the evaluation of welded steel structures. Studies and Proceedings of Polish Association for Knowledge Management, Tom 79, ISSN 1732-324X, Bydgoszcz 2016, pp. 233–248.
[15] ółtowski M., Liss M. ii: Zastosowanie eksperymentalnej analizy modalnej w ocenie zmian sztywnoci prostego elementu konstrukcyjnego. Studies and Proceedings of Polish Associa-tion for Knowledge Management, Tom 80, ISSN 1732-324X, Bydgoszcz 2016, s.103–126. [16] ółtowski M., Martinod R.M.: Technical Condition Assessment of Masonry Structural Com-ponents using Frequency Response Function (FRF). Masonry International Journal of the International Masonry Society, Vol.29, No1, ISSN 2398-757X, 2016, pp.23–26.
[17] ółtowski M., Martinod R.M.: Quality identification methodology applied to wall-elements based on modal analysis. Civil Engineering the Athens Institute for Education and Research, Emerald, Athens, 2015, ISBN 978-618-5065-96-6, pp.56–64.
RESEARCH METHODOLOGY PROPAGATION OF MACHINES AND CONSTRUCTION VIBRATION ENERGY
Summary
In the study author pointed out the range of possible applications of research measures propagation of vibration energy used in the study of the processes of vibra-tion and modal analysis methods in the construcvibra-tion area, within metodologii research and detailed methodologies. Theoretical analysis and verification practical research of many different materials and structures and various related machines-of construc-tion and technology implementaconstruc-tion of various physical processes in the kissing-five interdisciplinary indicate a wide range of applications described achievements.
Recognizing the need to improve methods of testing machines and construction building-tion in order to assess their state of degradation - in this paper the general-ized-AD and the important results of the research in the field of verification of the effectiveness-COMPONENTS developed different methodologies of specific ongoing research sy-mulacyjnych, bench and consumables.
Keywords: dynamics, degradation state, vibration, modal analysis, stability diagram
Mariusz ółtowski
Katedra Informatyki w Zarzdzaniu i Controllingu Wydział Zarzdzania
Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy im. Jana i Jdrzeja niadeckich w Bydgoszczy e-mail: mazolto@utp.edu.pl
