liczby zespolone.

Denicja: C = R × R = {(a, b); a, b ∈ R}. Dziaªania w C:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc).

Para (a, 0) odpowiada liczbie rzeczywistej a:

(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0), (a, 0) · (c, 0) = (ac, 0).

Przyjmuj¡c i = (0, 1) mamy:

a + bi = (a, 0) + (b, 0) · (0, 1) = (a, 0) + (0, b) = (a, b),

Liczb¦ zespolon¡ z mo»na jednoznacznie przedstawi¢ w postaci z = a + bi,

gdzie a, b ∈ R.

Na pªaszczy¹nie Gaussa liczbie z odpowiada punkt o wspóªrz¦d-nych (a, b).

Dziaªania wykonujemy jak na wyra»eniach algebraicznych, pa-mi¦taj¡c o tym, »e

i2 = −1.

Dodawanie: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. Mno»enie:

Wªasno±ci dziaªa« na liczbach zespolonych 1. (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)

2. z1 + z2 = z2 + z1

3. z + 0 = z, zero: 0 = 0 + 0 · i

5. (z1 · z2) · z3 = z1 · (z2 · z3) 6. z1 · z2 = z2 · z1 7. z · 1 = z, jedynka: 1 = 1 + 0 · i 8. z · z−1 _{= 1, gdzie z}−1 ₌ a a2 + b2 + −b a2 + b2 · i dla z = a + bi, a, b ∈ R 9. (z1 + z2) · z3 = z1 · z3 + z2 · z3

Odejmowanie i dzielenie liczb zespolonych Odejmowanie: z1 − z2 = z1 + (−z2),

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i.

Dzielenie: z1 z₂ = z1 · z −1 2 , a + bi c + di = (a + bi)(c − di) (c + di)(c − di) = (a + bi)(c − di) c2 + d2 . Mamy: 1 z = z −1_. Przykªad: 1 + 2i 2 − 3i = (1 + 2i)(2 + 3i) (2 − 3i)(2 + 3i) = 2 + 3i + 4i + 6i2 22 + 32 = = −4 + 7i 13 = − 4 13 + 7 13 · i.

Pot¦gowanie liczb zespolonych

Dla liczby zespolonej z i liczby naturalnej n > 0 przyjmujemy: zn = z · z · . . . · z

| {z }

n

.

Ponadto, je±li z 6= 0, to przyjmujemy z0 _{= 1 oraz}

z−n = (z−1)n = z−1 · z−1 · . . . · z−1

| {z }

n

.

Zauwa»my, »e (z−1₎n _{= (z}n₎−1_.

Dla liczb caªkowitych m, n zachodz¡ wzory: zm+n = zmzn, zm−n = z

m

zn , z

Posta¢ algebraiczna liczby zespolonej: z = a + bi, a, b ∈ R, cz¦±¢ rzeczywista: Re z = a,

cz¦±¢ urojona: Im z = b,

liczba sprz¦»ona: z = a − bi.

Przykªad. Dla z = 2 − √3i mamy: Re z = 2, Im z = −√3, z = 2 + √3i.

Wªasno±ci sprz¦»enia liczby zespolonej 1. z1 + z2 = z1 + z2 2. z1 − z2 = z1 − z2 3. z1 · z2 = z1 · z2 4. z1 z₂ ! = z1 z₂ 5. (z) = z 6. z = z ⇔ z ∈ R

Moduª i argument liczby zespolonej

Denicja. Moduªem liczby zespolonej z = a + bi (gdzie a, b ∈ R) nazywamy liczb¦ rzeczywist¡

|z| =

q

a2 + b2.

Przykªad: |3 + 4i| = q32 + 42 = √25 = 5.

Na pªaszczy¹nie Gaussa moduª liczby z jest równy jej odlegªo±ci od liczby 0. Odlegªo±¢ liczb z1 i z2 jest równa |z1 − z2|.

Wªasno±ci moduªu: 1. | − z| = |z|, |z| = |z| 2. z · z = (a + bi)(a − bi) = a2 _{+ b}2 _{= |z|}2 3. |z1 · z2| = |z1| · |z2| 4.   z₁ z₂    = |z₁| |z₂| 5. |z1 + z2| 6 |z1| + |z2|

Denicja. Argumentem liczby zespolonej z = a + bi 6= 0 (gdzie a, b ∈ R) nazywamy liczb¦ rzeczywist¡ ϕ speªniaj¡c¡ warunki

       cos ϕ = a r, sin ϕ = b r, gdzie r = |z| = qa2 + b2.

Argument liczby zespolonej jest okre±lony z dokªadno±ci¡ do wie-lokrotno±ci 2π, tzn. je±li ϕ jest argumentem liczby z, to ϕ + 2kπ (dla k ∈ Z) te» jest argumentem liczby z.

Jako argument liczby 0 mo»emy przyj¡¢ dowoln¡ liczb¦ rzeczy-wist¡ ϕ.

Na pªaszczy¹nie Gaussa argument liczby z to miara k¡ta zorien-towanego, jaki tworzy dodatnia póªo± rzeczywista z póªprost¡ o pocz¡tku 0, przechodz¡c¡ przez z.

Liczba z ma jednoznacznie okre±lony argument z przedziaªu [0, 2π). Argument ten nazywamy argumentem gªównym.

Oznaczenie argumentu (gªównego): ϕ = arg z.

Uwaga. Czasami wygodniej jest wybra¢ argument z przedziaªu (−π, π].

Posta¢ trygonometryczna liczby zespolonej Dla r = |z| mamy a = r cos ϕ, b = r sin ϕ, wi¦c

z = r(cos ϕ + i sin ϕ), gdzie r, ϕ ∈ R, r > 0.

Mno»enie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycz-nej:

r(cos ϕ + i sin ϕ) · s(cos ψ + i sin ψ) = rs(cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ))

r(cos ϕ + i sin ϕ) s(cos ψ + i sin ψ) =

r

Wzór de Moivre'a

(cos ϕ + i sin ϕ)n = (cos nϕ + i sin nϕ)

Przykªad: (1 + i)100 = √2(cos π 4 + i sin π 4) 100 = = 250(cos 25π + i sin 25π) = −250.

Pierwiastek liczby zespolonej

Pierwiastkiem stopnia n liczby z ∈ C nazywamy liczb¦ w ∈ C tak¡, »e wn _{= z.}

Przykªady.

1) Liczba i jest pierwiastkiem kwadratowym (tzn. stopnia 2) liczby −1, liczba −i te»!

2) Liczby 2, −2, 2i i −2i s¡ pierwiastkami stopnia 4 liczby 16. 3) Liczba 1 + i jest pierwiastkiem stopnia 100 liczby −250_.

Liczba zespolona z 6= 0 ma dokªadnie n pierwiastków stopnia n. Je±li

z = r(cos ϕ + i sin ϕ),

gdzie r, ϕ ∈ R, r > 0, to wszystkie pierwiastki stopnia n liczby z s¡ postaci w_k = √n r cos ϕ + 2kπ n + i sin ϕ + 2kπ n  , gdzie k = 0, 1, . . . , n − 1.

Na pªaszczy¹nie Gaussa pierwiastki stopnia n danej liczby zespo-lonej s¡ wierzchoªkami n-k¡ta foremnego o ±rodku 0.

Przykªad. Pierwiastkami stopnia 4 liczby −√3 + 3i = 2√3(cos 2π 3 + i sin 2π 3 ) s¡ liczby 4 q 2√3 cos 2π 3 + 2kπ 4 + i sin 2π 3 + 2kπ 4  = = √4 2√8 3 cos(π 6 + kπ 2 ) + i sin( π 6 + kπ 2 )  dla k = 0, 1, 2, 3.

Zasadnicze twierdzenie algebry. Wielomian stopnia n > 0 o wspóªczynnikach zespolonych posiada (z uwzgl¦dnieniem krot-no±ci) dokªadnie n pierwiastków.

Zatem dla dowolnego wielomianu o wspóªczynnikach zespolo-nych

W (T ) = a_nzn + a_n−1zn−1 + . . . + a₁z + a₀

istniej¡ liczby zespolone z1, z2, . . . , zn (niekoniecznie ró»ne) takie,

»e

W (T ) = a_n(z − z₁)(z − z₂) . . . (z − z_n).

Wniosek. Wielomian stopnia n > 0 o wspóªczynnikach rzeczy-wistych mo»na rozªo»y¢ na czynniki stopnia 1 i 2.