Wpływ sztywności i tłumienia w układzie sterowania sterem wysokości na stateczność podłużną samolotu i oscylacje steru

M E C H AN I KA TEORETYCZNA I STOSOWANA

2, 13 (1975)

WPŁYW SZTYWN OŚ CI I TŁUMIEN IA W UKŁADZIE STEROWANIA STEREM WYSOKOŚ CI NA STATECZN OŚĆ PODŁUŻ NĄ  SAMOLOTU  I OSCYLACJE STERU*

JERZY  M A R Y N I A K , ZDOBYSŁAW  G O R A J (WARSZAWA)

1. Wstę p

W pracy zbadan o wpł yw sztywnoś ci ukł adu sterowania sterem wysokos'ci na statecz-ność podł uż ną  sam olotu. Rzeczywistą  sztywność i tł umienie ukł adu sterowania zastą piono sztywnoś cią zastę pczą  c i o tł umieniu wiskotycznym p. Zastosowano teorię  mał ych za-kł óceń [1, 2, 6, 7, 8], co pozwolił o uzyskać liniowe równania ruchu [4, 5]. Zał oż ono, że wystę pują  zakł ócenia tylko symetrycznych ruchów samolotu. Powyż sze zakł ócenia mają wpł yw wył ą cznie n a symetryczne obcią ż enia samolotu. Pozwala to n a rozprzę gnię cie ukł adu róż niczkowych równ ań ruchu [3]. Z ał oż ono, że konstrukcja samolotu jest dosko-nale sztywna oraz że ster kierunku i lotki są  nieruchome wzglę dem samolotu. W oparciu o powyż sze zał oż enia, poł oż enie ukł adu: samolot +  drgają cy ster wysokoś ci opisano za pomocą  czterech współ rzę dnych uogólnionych. W celu uzyskania róż niczkowych równań ruchu w ukł adzie nieinercjalnym [1, 10] wyprowadzono wyraż enie n a bezwzglę dną  energię kinetyczną  ukł adu, a nastę pnie zastosowano równania Boltzmanna- H amela.

W dotychczas opublikowanej literaturze wyprowadzenie równań ruchu samolotu z elementami drgają cymi prowadzon o w dwóch etapach : wyprowadzano równania ruchu dla samolotu sztywnego, a nastę pnie oddzielnie wyprowadzano równania Lagrange'a I I rodzaju dla elementów drgają cych i ł ą czą c obie metody próbowano wprowadzić sprzę ż enia do równ ań ruchu samolotu sztywnego [2, 6, 1, 8]. Taka metoda nie zawsze gwarantował a wprowadzenie wszystkich sprzę ż eń w równaniach ruchu, co wykazano w niniejszej pracy. N astę pnie, uzyskane róż niczkowe równania ruchu zapisano w postaci macierzowej [5, 9, 11, 12, 14]. D oprowadzon o macierzowy ukł ad równ ań do równania macierzowego I rzę du. Znaleziono wartoś ci i wektory wł asne, co pozwolił o n a obliczenie współ czynników tł u-mienia i czę stoś ci oscylacji wahań fugoidalnych, oscylacji szybkich oraz drgań steru. Przez porównanie z wynikami otrzymanymi dla samolotu sztywnego oraz dla swobodnego steru drgają cego w inercjalnym ukł adzie odniesienia w opł ywie i bez opł ywu, zbadano wpł yw sztywnoś ci ukł adu sterowania n a statecznoś ć. Obliczenia przeprowadzono dla samolotu sportowego n a elektronowej maszynie cyfrowej G I E R w Zakł adzie Obliczeń N umerycznych U niwersytetu Warszawskiego przy wykorzystaniu standardowych pro-cedur.

* Fragmenty pracy były referowane na IX Mię dzynarodowej Konferencji «Dynamiki Maszyn» w Smolenicach (CSRS) 1974 r. i na Sympozjum «D rgania w ukł adach fizycznych*, Poznań 1974 r.

262 J. MARYN IAK, Z. G ORAJ

2. Równania ruchu samolotu

Równania ruchu samolotu wyprowadzono stosują c równania Boltzmanna- H amela dla ukł adów holonomicznych w quasi- współ rzę dnych, które są  uogólnieniem równań Lagrange'a I I rodzaju. N ależy podkreś lić, że dla sam olotu, w ukł adzie współ rzę dnych zwią zanym ze ś rodkiem masy samolotu, nie moż na napisać klasycznych równań Lagrange'a I I rodzaju, gdyż ukł ad współ rzę dnych zwią zany z samolotem nie jest ukł adem inercjalnym.

Rys. 1. U kł ad współ rzę dnych i przemieszczeń ką towych

Wprowadzono ukł ad współ rzę dnych Oxyz zwią zany ze ś rodkiem masy sam olotu i w tym ukł adzie przyję to nastę pują ce quasi- współ rzę dne i quasi- prę dkoś ci:

V—quasi- prę dkoś ć w kierunku osi x, W —quasi- prę dkoś ć w kierunku osi z, Q — quasi- prę dkość ką towa wokół  osi y,

0 — quasi- współ rzę dna (ką t obrotu samolotu wokół  osi y),

/? — quasi- współ rzę dna (ką t wychylenia steru wysokoś ci z poł oż enia okreś lonego warunkami lotu ustalonego).

Wprowadzono również inercjalny ukł ad odniesienia Oxx1y1z1, w którym poł oż enie samolotu wraz z drgają cym sterem okreś lono za pom ocą  czterech współ rzę dnych uogól-nionych :

xx, zt — współ rzę dne uogólnione okreś lają ce poł oż enie ś rodka masy sam olotu,

0 — ką t obrotu samolotu wzglę dem osi yx,

/? — ką t wychylenia steru wysokoś ci z poł oż enia okreś lonego warun kam i lotu ustalonego.

WPŁ YW SZTYWNOŚ CI I TŁ UMIENIA W UKŁ ADZIE STEROWANIA 263

Równania Boltzm anna- H am ela dla ukł adów holonomicznych mają postać [4]

d dt

I8T* \

8T* k

V

k a = l 8T* 8co_r

(0

gdzie: fx, r, a =  1, 2, ..., k.

Zależ noś ci pomię dzy prę dkoś ciami uogólnionymi i quasi- prę dkoś ciami są okreś lone za pomocą zwią zków:

(0„ = oraz

(2)

przy czym

aa* =  aaoL(qi. •  •  • »1k)> baii =   b , ^ , ...,qk) oraz attfl są elementami macierzy odwrotnej do macierzy bail> tzn.

(3)  K J -  [K,]-

1

.

W powyż szych wzorach n^ oznacza ą uasi- współ rzę dną, natomiast ca,, — quasi- prę d-koś ć, przy czym fc^ = co^.

Stan ukł adu: sam olot +  drgają cy ster wysokoś ci opisano więc za pomocą wektora współ rzę dnych uogóln ion ych: c o lf^ , q2, ą %, qĄ = col[x!, zx, 6, /?] oraz prę dkoś c i uogól-n ioi uogól-n ych: cól[iji, q2, ^3> 94] =  c o l[ i i ,  ź1 ; Q, /?], a także za pomocą wektora quasi współ

-rzę dn ych:

col[OT!, it₂, n₃, n₄] =  col[n_u, n_w, 6, p]

oraz quasi- prę dkoś ci:

c o l[ c ox, co2, o)3, co4] =  col[U, W , Q, j8].

Zwią zki kinematyczne pom ię dzy ukł adam i Oxyz i OiX^yiZ^ są nastę pują ce:

v J

 Ż! =  - t / si n 0 +  JF cose. N a podstawie (2), (3), (4) okreś lono m acierze: [aff/ 1] i [£„„]:

cos0 sin0 0 0 - si n 0 cos0 0 0 0 0  1 0 0 0 0 1 cos0 - si n 0 0 0 sin0 cos0 0 0 0 0  1 0 0 0 0 1 Po zróż niczkowaniu macierzy [aff/ 1] wzglę dem 6 otrzym an o:

(5)

IZ\;:A

- si n 0 - c o s0 0 0 cos0 - si n 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

264 J . MARYNIAK, Z . GORAJ

Trójwskaź nikow

e symbole Boltzmanna y^ wystę pują ce w równaniach (I ) obliczono na

podstawie definicji [4]

Ponieważ macierze (5) zależą  tylko od współ rzę dnej uogólnionej 0 i mają  budowę

quasi- diagonalną , wyraż enie (6) upraszcza się  do postaci

2

(7)

' ' ' " / A

yg«

 Af)f

,

gdzie /•  =  1, 2; p, a, = 1,2,3.

Obliczone na podstawie (7) niezerowe symbole Boltzmanna mają  wartoś ć:

(8) yh =   - yi i =   - 1 ;  y ł » - - y i a - l .

Bezwzglę dna energia kinetyczna w quasi- prę dkoś ciach ukł adu samolot sztywny 4-

 drga-ją cy ster wysokoś c

i jest nastę pują ca [1]:

T * =  ~]?m

i

[(U+Qzd

2

 + (W - Qx

i

)

2

]+ j ]?

i i samolot bez steru ster

+  [j9f ,oos(a +  «

_{Z H}

Wprowadzają c momenty statyczne i bezwł adnoś ci cał ego samolotu S

y

, J

y

 oraz steru

wysokoś ci S

Hn

,J

Hn

, doprowadzono energię  kinetyczną  ukł adu do nastę pują cej postaci:

T* =  }- u

2

 + W

2

+JQ

2

 + J

2

Po obliczeniu energii kinetycznej ukł adu T* w quasi- prę dkoś ciach i uwzglę dnieniu (1)

i (8) otrzymano ukł ad równań ruchów symetrycznych samolotu w postaci ogólnej:

— równania ruchu samolotu jako ciał a sztywnego

dt\ 8U

d(8T*\  8T*

~di

\ 8Q)

8W

równanie uwzglę dniają ce ruchy steru wysokoś ci

cl I 8T* \  8T*

P o zróż niczkowaniu energii kinetycznej i uwzglę dnieniu sił  dział ają cych n a samolot

otrzymano z (9)—(12) ukł ad równań w postaci (13)—(16).

WPŁYW SZTYWNOŚ CI I TŁUMIENIA W UKŁADZIE STEROWANIA 265

W równaniach (13)—(16) wprowadzono oznaczenia mał ych zmian quasi- prę dkoś ci

oraz quasi- współ rzę dnych:

u — przyrost prę dkoś ci lotu ustalonego EĄ  w kierunku osi x,

w • — przyrost prę dkoś ci w kierunku osi z,

q — przyrost prę dkoś ci ką towej pochylania, obrót wokół  osi y,

• & — zmiana ką ta pochylenia — obrót wokół  osi y •

(13) mu + S

Hn

ń n(a. + u

ZH

+fi

H

)fi- X

u

u- X

v/

M>- X

ą

q+mgcosQ

l

'd- - X

li

p = 0,

(14) mw+S

H

qCOs(a+<x

zn

+p

H

)ji- Z

u

u~Z

w

w- (mU

i

+Z

ll

)q+mgsmd

1

&- Zi

l

p =  0,

(15) Jyq+A^ - M^ w- M^ - M^ - M^ - Mfp- MpP =  0,

(16) S

nn

s

\l*k

a

p-  jQU

a

l

SB

a&l +  fl) j j8 +  [cklll- ~

Q

U

2 H

S

H

l

SH

b^ x

+p

H

) = 0.

W równaniach powyż szych został y wprowadzone sił y uogólnione pochodzą ce od sił

i momentów aerodynamicznych, od tł umienia i sztywnoś ci ukł adu sterowania oraz sił

cię ż koś ci

. Przyję to, że sił y i momenty aerodynamiczne są  stacjonarne, co pozwolił o na

wprowadzenie pochodnych aerodynamicznych. Wzory na pochodne aerodynamiczne

dotyczą ce ruchów steru wyprowadzono zgodnie z [2] i [3].

U kł ad równań (13)—(16) przy zał oż eniu nieskoń czeni

e sztywnego ukł adu sterowania

sprowadza się  do ukł adu opisują cego ruchy samolotu sztywnego i jest przedstawiony

w pracach [2] i [3],

Powyż sza metoda opisu ruchu samolotu może być zastosowana przy uwzglę dnieniu

dowolnie duż ej skoń czone

j liczby stopni swobody, zarówno dla ruchów symetrycznych,

antysymetrycznych lub też asymetrycznych. Jej zaleta to jednolite podejś cie bez rozdział u

na ruchy samolotu sztywnego i czę ś ci elastyczne lub drgają ce oraz pewnoś ć, że zostaną

uwzglę dnione sprzę ż enia w równaniach ruchu.

3. Rozwią zanie równań ruchu i badanie statecznoś ci

U kł ad równań (13)—(16) przekształ cono do postaci bezwymiarowej dzielą c równania

sił  przez gUf S, a równania momentów przez

 QUJSIH.

 Aby współ czynnik przy q równał  się

1, oraz w równaniach momentów zawiasowych steru przy /? również równał  się

 1, doprowa-dzono równania momentów do tzw. postaci zmodyfikowanej dzielą c równanie (15) przez

jyl/ j, oraz (16) przez j

H

Jfi.

Wprowadzono oznaczenia przyję te w lotnictwie [2, 3, 6, 7, 8]:

* m

t =  -  czas aerodynamiczny,

QAU

266 J. MARYN IAK, Z . G ORAJ t -  t(i czas bezwymiarowy, T ;,  =  —| s_{,  j , ,} J S n = - 2§ - , %„ =   " - 7 1

 bezwymiarowe momenty bezwł adnoś ci i statyczne, M, w, # , (8 bezwymiarowe prę dkoś ci liniowe i ką towe,

Otrzymano ukł ad równań w postaci bezwymiarowej zmodyfikowanej, gdzie w celu ujednolicenia zapisu wprowadzono dodatkowe oznaczenia: (17) u+xji'^ - xuti- xww - q+x^ - xp^  =  0, ix [ zq\ 1 -  — \  A* /

(19) m^w + q+m- ll- (i + rnuu + mww+mqq + 'mp^+infili =  0, (20) i,;M +   ^ w +   ^ c +  ^ +  *„ « +  &ww +  6 V? + ^ A +   ^ ? -  b0,

przy czym pochodne aerodynamiczne sił  w postaci bezwymiarowej mają  postać:

i" / «

2

 ZI

 •  2 V  a «

_H

'

1 S„l 8C

xH

\  1 [„ . aC„

2 5 \

v

" e*

_B

 ' "

w

 2 r

T

l « / '

1 / t/ ff\2 / 5H\ 5CxH IIUBYISB\  8CzH

s~i~w

 z

"~

 -Zmodyfikowane pochodne aerodynamiczne momentów w postaci bezwymiarowej są nastę pują ce:

1 SH de / i

WPŁYW SZTYWNOŚ CI I TŁUMIENIA W UKŁADZIE STEROWANIA 267 pochodne aerodynamiczne równania ruchu steru wysokoś ci: JH,, JH,, "2 S"ja; IHXUJ 8u '

1 S

_H

 / t l

sH

 I ds\

/"

?5 /

_K

  2 \ t /

2

J '

U kł ad równań (17)- (20) zapisano w postaci macierzowej: (21) Ax +  Bx +  Cx =  D , gdzie

— macierz współ czynników bezwł adnoś ci:

1 0 0 x

A = 0 1 z 0

0 mte 1 my b,; b^ b- ą 1

— macierz współ czynników tł um ien ia: xu

 X-B -

_

z

,  _

z

.   . ( , - i ) o

m

M

m

a

— macierz współ czynników sztywnoś ci:

O

n .. v 0 0 ^stgflj —zf C =   0 0 0 TMp 0 0 0 ~bf — macierz wyrazów woln ych : D  =  col [ 0 , 0 , 0 , ^ 0 ] ,

268  J . M/ VRYNIAK,  Z . G ORAJ

przy czym

x =  col [n

u

 ,n

w

, &,f}].

N astę pnie przekształ cono równanie macierzowe (21) I I rzę

du do równania macierzo-wego rzę du I [5, 9, 12] wprowadzają c nastę pują ce oznaczenia:

- [* «] •

Równanie macierzowe I rzę du ma postać (E oznacza macierz jednostkową ):

TA BI

 . r o q ro

Rozwią zaniem powyż szeg

o równania jest suma rozwią zań: rozwią zania ogólnego

równania jednorodnego i rozwią zania szczególnego równania peł nego. W celu znalezienia

czę stoś ci i tł umień ruchów samolotu wystarczy rozwią zać równanie jednorodne.

Wprowadzono nastę pują ce oznaczenia:

TA B1 I" O C l

[ o

 EJ'

 [- E Oj

Równanie macierzowe jednorodne przybierze postać

(23)  Q q + P q =  O .

Macierzą  fundamentalną  powyż szeg

o równania jest nastę pują ca macierz kwadratowa

stopnia 8:

[ q i o ^1 * )  q 2 oe ^2 ' j • • •)  q 8 o ^s ' ] >

gdzie q

i 0

 — macierz kolumnowa wartoś ci począ tkowych

Rozwią zanie ogólne równania jednorodnego jest nastę pują ce:

(24)  3 ( 0

-gdzie q,

w

 — wektor wł asny odpowiadają cy / - tej wartoś ci wł asnej Xj,

Cj — stał e zależ ne od warunków począ tkowych.

W celu znalezienia wartoś ci i wektorów wł asnych podstawiono rozwią zanie szczególne

ą  = ą

w

e

Xt

 do (23) i po przekształ ceniu otrzymano:

QAq,„+ Pq

w

 =  O.

Po wprowadzeniu oznaczenia

R =   - Q - ' P ,

otrzymano

[AE - R ]q

w

 =  O,

WPŁYW SZTYWNOŚ CI I TŁUMIENIA W UKŁADZIE STEROWANIA 269 gdzie TA  B 1 - 1  r O C l

R= _ Q - lp= - |.

o

 Ej L- E Oj'

(25) R = E

O

Ostatecznie problem sprowadza się  do wyznaczenia wartoś ci i wektorów wł asnych macierzy R.

Trzeba podkreś lić praktyczną  korzyś ć, jaka wynika z przedstawienia macierzy R w postaci macierzy blokowej. Otóż zamiast odwracać macierz Q o wymiarach. 8 x 8 i mno-ż yć nastę pnie macierze o wymiarach  8 x 8 , wystarczy odwrócić macierz A i mnoż y ć ma-cierz o wymiarach  4 x 4 . Skraca t o znacznie czas obliczeń n a maszynie cyfrowej.

Otrzymano wartoś ci wł asne zespolone sprzę ż one w postaci:

oraz rzeczywiste

k -  ft.

D la sam olotu statecznego wszystkie czę ś ci rzeczywiste wartoś ci wł asnych muszą  być ujemne:

N ależy zaznaczyć, że wś ród 8 wartoś ci wł asnych zawsze dwie bę dą  zerowe, gdyż quasi-prę dkoś ci Ut, W i odpowiadają  quasi- współ rzę dnym cyklicznym i to wyjaś nia istnienie

zerowych wartoś ci wł asnych i odpowiadają cych im jednostkowych wektorów wł asnych [4, 13].

4. Zbadanie wpływu ruchu drgają cego steru na ruch samolotu sztywnego oraz zbadanie wpływu ruchu samolotu na ruch steru w opJywie stacjonarnym i bez opływu W celu porówn an ia współ czynników tł umienia i czę stoś ci drgań wahań fugoidalnych i oscylacji szybkich rozwią zano równania ruchu samolotu sztywnego z nieskoń czenie sztywnym ukł adem sterowania. Wyniki przedstawiono wykreś lnie i przeprowadzono analizę .

Aby zbadać wpł yw ruchów samolotu n a drgania steru wyprowadzono równanie ru-chów drgają cych steru w inercjalnym ukł adzie odniesienia. Rozważ ono 2 przypadki:

A. Ster swobodny w opływie stacjonarnym. Równanie ruchu otrzymano w nastę pują cej po-staci z równ an ia (20) ukł adu równ ań (17)- (20) przy zał oż eniu, ż eu = w — q = 0 (26) t u

gdzie pochodn e aerodynamiczne ~bfr, bfi i b0 przedstawiono wyż ej.

270 J. MARYN IAK, Z . G ORAJ

B. Ster swobodny bez oplywu. Równanie ruchu otrzym an o z równ an ia (26) opisują cego ruchy steru z opł ywem aerodynamicznym, przy zał oż eniu, że u =  w =  q =  0, oraz p o odrzuceniu czł onów reprezentują cych wpł yw opł ywu UH  = 0 w bezwymiarowych po-chodnych aerodynamicznych bp i bp.

W obu przypadkach otrzymano równania róż niczkowe zwyczajne I I rzę du opisują ce drgania tł umione. Znaleziono współ czynniki tł umienia drgań £fc i czę stoś ci oscylacji rjk przez rozwią zanie równania charakterystycznego, które jest w tym przypadku równaniem kwadratowym. Otrzymane wyniki porównano z wartoś cią wł asną X5 i 6 =  ^5,6 +  ^5, 6,

która opisuje ruchy steru w nieinercjalnym ukł adzie zwią zanym z samolotem i uwzglę dnia wpł yw ruchów samolotu na ruchy steru wysokoś ci.

5. Przykł ad liczbowy i wnioski

Obliczenia przykł adowe wykonano dla lekkiego sam olotu turystycznego klasy « Wilga». Rozwią zano peł ny ukł ad równań (17)- (20) wyznaczając wektory wł asne qiu>

 i odpowiada-ją ce im wartoś ci wł asne Aiw macierzy stanu R (25).

Wszystkie obliczenia wykonano wedł ug wł asnych program ów na E M C G I E R w Za-kł adzie Obliczeń N umerycznych U niwersytetu Warszawskiego.

Jako parametry zmienne traktowan o:

C — sztywność ukł adu sterowania sterem wysokoś ci, TL — tł umienie w ukł adzie sterowania sterem wysokoś ci,

XZW H—wyważ enie steru wysokoś ci mierzone w odniesieniu do cię ciwy steru,

V—prę dkoś ć lotu samolotu,

hi — zapas statecznoś ci statycznej samolotu z trzym anym sterem, H—wysokoś ć lotu samolotu n ad poziomem m orza.

Wyniki przedstawiono w postaci wykresów, n a których linią cią głą naniesiono zmiany współ czynników tł umienia Hlw, a przerywaną czę stoś ci oscylacji ijiw . Jednakowymi in-deksami oznaczono na wszystkich wykresach odpowiadają ce sobie wartoś ci wł asne, cha-rakteryzują ce te same ruchy samolotu i steru wysokoś ci:

^i)2 =  ?i>2±  »?H2 — szybkie oscylacje lub ruchy aperiodyczne samolotu odpowiada-lub iL =  Jt ją ce pochylaniu wokół  ś rodka cię ż koś ci • & i q,

_&2 = §2

^3,4 — £ 3,4+ '^3,4 — wahania fugoidalne lub ruchy aperiodyczne odpowiadają ce lub A3 =  £3 przemieszczeniom poziomym i pionowym samolotu u i w,

_ ^4 = _{* 4}

As,6 =  £ 5,6± '^5,6 — drgania periodyczne lub ruchy aperiodyczne steru wysokoś ci lub A5 =  f 5 samolotu wokół  osi zawieszenia /3.

A.6 — f 6

N a wykresach przedstawiono wyniki charakteryzują ce drgania steru otrzymane przy uwzglę dnieniu trzech stopni swobody sam olotu: pochylenia # , zm ian prę dkoś ci poziomej

u i pionowej w — linia gruba oznaczona literą P (peł ne równ an ia). N atom iast wyniki

dotyczą ce drgań steru izolowanego pokazano liniami cienkimi z oznaczeniami: S.so — drgania steru z uwzglę dnieniem opł ywu powietrza i S.sw — drgania swobodne steru bez uwzglę dnienia sił  i momentów aerodynamicznych.

^ — 1 - ill 1 1*8

W * •  13?

\ V ra  ^  ^ ^ , ! • § .  j ^ , g _ Q. oj cd  £ : Ą - §

V N ,

 § \  1*1

V \  ^ \  S'Sfi

\  ^x r \

 s

 1 °

!  " / ^ " 

^

^ *\

i l ^ °°

 v

 " T ? w ,|-  H

' u  • »  ' S i to ' W . «! S |(J«-  I-MJ1 I«W 5

\

 a

 111

% \ g Q.  co co' >g S 5

V % }  11!

- Vv §-  I**

i i  - :

- ^ 1 1 1 1 1 1 1  v -  ^ rt < o £ b ! oo ^r O T °0  S d w ^ - L ? « ' ' T \ $ <* * 9* [271]

272 J. MARYN IAK, Z. G ORAJ

A. Wpł yw sztywnoś ci ukł adu sterowania na drgania steru wysokoś ci. Z rys. 2- 4 wyn ika , że dla

idealnie wyważ onego steru wysokoś ci XZW H = 0, tzn . gdy ś rodek cię ż koś ci znajduje się n a osi obrotu steru, uwzglę dnienie stopni swobody sam olotu sztywnego m a istotny wpł yw przy wię kszym tł umieniu w ukł adzie sterowania T L  =  200 (rys. 4). N atom iast praktycznie nie wpł ywa on o n a charakter rozwią zań przy tł um ien iu m ał ym T L  =  20 (rys. 2). Wniosek ten dotyczy zarówno czę stoś ci drgań steru rj5>6, ja k i tł um ien ia drgań

I

_a

, „ (rys. 2).

D la ś ciś le okreś lonego tł umienia w ukł adzie sterowania T L , w zależ noś c i od sztyw-noś ci ukł adu C, ruchy steru z aperiodycznych silnie tł um ion ych f 5 < 0 i £6

 < 0, prze-chodzą w oscylacje periodyczne tł um ione F5 > 6 < 0 o czę stoś ci rjs,6 (rys. 3 i 4). Sztywność ukł adu sterowania C przy mał ym tł um ieniu T L  nie m a istotnego wpł ywu na tł umienie drgań Is,6, natomiast m a istotny wpł yw n a czę stość drgań rjs,6 (rys. 2).

Przy wię kszym tł umieniu w ukł adzie sterowania m oż na okreś lić ś ciś l e sztywność kry-tyczną, przy której wystą pi przejś cie z ruchów aperiodycznych n a oscylacje periodyczne (rys. 4 i 5), niekorzystne dla sam olotu.

N a rys. 5 przedstawiono wyniki dla tł umienia  £5 ) 6 i czę stoś ci rjs,6  drgań steru wyso-koś ci w funkcji sztywnoś ci C przy róż nych tł um ieniach w ukł adzie sterowania T L  dla przypadku peł nego. Jak wynika z analizy, tł umienie w istotny sposób wpł ywa n a czę stość oscylacji i ich tł umienie, n atom iast sztywnoś ć, przy okreś lonym tł umieniu, n a charakter drgań steru (rys. 5 i 4).

N ależy stwierdzić, na podstawie rys. 3- 5, że przy badan iu drgań steru należy uwzglę d-niać stopnie swobody wynikają ce z przemieszczeń sam olotu ja ko ukł adu sztywnego, a nie ograniczać się wył ą cznie d o badań steru izolowanego.

B. Wpł yw tł umienia w ukł adzie sterowania na drgania steru wysokoś ci. U wzglę dnienie Stopni swobody samolotu sztywnego m a istotny wpł yw n a okreś lenie wielkoś ci tł umienia kry-tycznego w ukł adzie sterowania (rys. 6- 8). Szczególnie silnie wpł ywa t o przy mniejszej sztywnoś ci ukł adu sterowania (rys. 6). C harakter drgań steru wysokoś ci w funkcji tł u-mienia nie zmienia się beż wzglę du n a sztywność ukł adu (rys. 8). D otyczy t o również uwzglę dnienia tł umienia aerodynamicznego i dodatkowych stopn i swobody (rys. 6 i 7). Przy mał ym tł umieniu w ukł adzie sterowania T L  wystę pują drgania okresowe steru o czę stoś ci rjs,6, zawsze tł umione, f5)6 < 0. Ze wzrostem tł um ien ia czę stość oscylacji

^i5,6 maleje do zera przy równoczesnym wzroś cie tł umienia  £5 ) 6 drgań steru. P

rzy kry-tycznym tł umieniu T L  drgania okresowe przechodzą w silnie tł um ion e ruchy aperiodyczne |5 < 0 i f 6 < 0.

Sił y i momenty aerodynamiczne wpł ywają tł um ią co n a ruchy steru (rys. 6- 8),  |5 ) 6 < 0

nawet przy T L  = 0.

C. Wpł yw wyważ enia steru wysokoś ci na jego drgania. Wyważ enie steru wysokoś ci silnie wpł ywa n a charakter ruchów steru w zależ noś ci od tł um ien ia w ukł adzie sterowania (rys. 12). Przy mał ym tł umieniu T L  =  20- 100 wystę pują drgan ia okresowe, których tł umienie wzrasta wraz z wyważ eniem steru, tzn . XZW H - > 0. P rzy wzroś cie tł umienia

TL > 100 pojawiają się ruchy aperiodyczne steru wysokoś ci silnie tł um ione w zakresie

a 8 1  f a 8 |  | | ­

» u II » » » 6 JS £ ->- V \ & •­ "5 3

V ­ V

 Ar § 4

  1

S

^

A

 III

\ \ _ 1 \ S O (S v  ^ — a \ \ cl & t*

\ \ 1H

\ \ • \  ^ 1

I «

 w

 * °

 T

 » s ,|

  i i "

. uv iry Ms

\ • \ 1

  l J

|

A  ' l i l . « w« ^ S  ^ O ^ ^  ^ ^ N ­ a­ to co  . 2 ^ 8

x

 // : \ \ •

  I

1

!

v  / /  \ V \  , 5 2 : =

\

 R

  / / \

 X

^

_s

 ­

  i l l

//

  / ^ ^ \

 \ i ­

%

SB  / / / \ \ & ­S &

S ­ T V

 / \  A "

  s

l ­

/ / / \ \  c l °

9  / / I § i 6 £ \ \ 1 M

­, IU \

 .ji

 .A

 '­\

 &}

| ?o 1. \  / /  l l

\\  / y

 **i

;  _ ­ 

^

^ fl­B

^ ­ ^

 «, . i/

  f f l

// / H

 J^J

/ / / a­ cd c^ ­a S |

// / 1 ° ­S M

/ / f

 x

 >> g K

* / / I i" .5

/; h & 1

^ v «  £ • •» * ­ *

 T

 T ^ f ? s:  8 ) ' ^

"1?­  / / atfi

Sill H  T ^ 7 II

- . I 1 p

 ­

 111

I t / If  ­ S o

^ ­ ^[^ £_ §|

l(^

 °°

 «,$

 * •* «

 Y T

 « ^8 | «

 ;gg

 §;  ^ .

[274]

to 5 in-  S. ' i io

•  1 Ił   f - i h jlj

—f- f-  »

J

i— f ill?

II I o - g 43 _

'« f x

^  | ; g |  a

i °  1 1

1—

[

r~ a~|  ^

 _o

  | |  a

\  . 1 •  I p i t " ll

—- i- t sJ*  —^

  Ś

||

Kg-  is- m - a ^

i- a

 P

§

 „  i,

 i

/  f   / /  ł ii

1

ej /  /   -

y

 ^ ^ V ^,  f S S? |

Ł/  i/ 5 /  ' •  A ' 1  1  ".J

, t " ^ " ~ ^ T

 :t

?

 :

 f f

 f

  !

f 'f ^ ^| S

[27S]

=5 w

,i I'$  'i i

 _r

  j i i

. tdi \ v i r '*** n  ^

v, \  X. i rag

A Vi ;g |  i .5

*  ~ *  ? ^ f ? )

IX «

  &

' ' § l

g §  /  /   J |

- ć i-   l i i i * , /  ^ »»lfe

/  *  /  \  \  \  -  ^ co Co „ •

-  /•  »!•  ^Xv-   I i i !

- . 1 1—i—1  ,—.  1  1  LU L,  1 m~ 3 %  - n .2

\  .

 ///  ' HI

1276]

WP Ł YW SZ TYWN OŚ CI I TŁU M IEN IA W U K Ł AD Z I E STEROWAN IA ₂₇₇

przednim XZW H < - 0, 27 i tylnym XZW H > 0,24 wystę pują  drgania okresowe z tł u-mieniem maleją cym.

U wzglę dnienie stopni swobody samolotu sztywnego m a istotny wpł yw na miarodajność wyników okreś lają cych charakter ruchów steru przy wię kszych wartoś ciach tł umienia i sztywnoś ci, co m a miejsce w ukł adach sterowania z urzą dzeniami wspomagają cymi

11=100

R>s. 12. Porównanie zmian czę stoś ci oscylacji t]i<6 i tł umienia  |5 | 6 drgań steru wysokoś ci w funkcji

wyważ enia steru wysokoś ci XZWH przy sztywnoś ci ukł adu sterowania C = 100 i trzech wartoś ciach parametrów tł umienia

(boosterami) (rys. 10 i 11). N atom iast przy ukł adach sterowania sprę ż ystych o mał ym tł umieniu wyniki otrzym an e dla steru izolowanego i w rzeczywistym ukł adzie samolotu są  tego samego rzę du i wskazują  n a identyczny charakter oscylacji steru wysokoś ci (rys. 9). D. Wpływ sztywnoś ci i tłumienia układu sterowania sterem wysokoś ci i stopnia wyważ enia steru na stateczność podłuż ną  samolotu. N a rys. 13, 14 porówn an o zmiany współ czynników oscylacji

.i^N

 f i? ii

lit?, i*ui  1 / 2 ^ ­R

­Hi—

 V f-

 iii

J d i . ­ —/ •"?§

/ | / ^ VQ Q

^rii^Brf .^­ ­ ­ III

\ j \ /  J I !

>, i \ / t § ­s

—/' JJ. / \  l

Q E

l ­

  N

J |

/ f rr/

x

  u ^ s.§

« i  l i , 

I

I

I

\  H I ' S ^J I

 2

 V 5

i M /  a

?

  | | |

1 J 4 ­J­­ iii

L

 L_ _L^ ... ni

Jriicg li / , \  1 1 1

1 / \ CO F> N

1 ^ ? " ° "o T w Q T f  ? !  i s a  5 ; a i­<yi rt &

l i l t 1 ' •

WPŁYW SZTYWNOŚ CI I TŁUMIENIA W UKŁADZIE STEROWANIA ₂₇₉

«U » z wynikami otrzym anym i przy uwzglę dnieniu sztywnoś ci i tł umienia w ukł adzie sterowania sterem wysokoś ci oraz wpł ywu stopnia wyważ enia steru wysokoś ci «P».

Z miany sztywnoś ci (rys. 13) i tł um ienia (rys. 14) w ukł adzie sterowania sterem wyso-koś ci wpł ywają  zarówn o n a oscylacje szybkie, zmieniają c współ czynniki tł umienia fu2 i czę stoś ci oscylacji rjU2, jak i n a tł umienie przemieszczeń fugoidalnych f3.

XZWH

Rys. 15. Zmiany czę stoś ci oscylacji r\  i tł umienia f ruchów symetrycznych samolotu i drgań steru wysokoś ci w funkcji wyważ enia steru wysokoś ci

Stopień statycznego wyważ enia steru wysokoś ci tzn . wzglę dna odległ ość poł oż enia ś rodka masy od osi obrotu nie m a istotnego wpł ywu jakoś ciowego n a ruchy samolotu, n atom iast silnie wpł ywa n a drgania steru (rys. 15).

D rgan ia steru wysokoś ci w rozpatrywanym przypadku są  zawsze silnie tł umione I5.6 < 0 (rys. 13- 15), a ch arakter drgań steru zależ ny jest od sztywnoś ci i tł umienia w ukł adzie sterowania (rys. 13 i 14) oraz od stopnia wyważ enia steru (rys. 15).

280 J. MARYN IAK, Z . G ORAJ

6. Wnioski ogólne

Z astosowanie równ ań Boltzm an n a- H am ela przy wyprowadzaniu w quasi- współ rzę d-nych równ ań ruchu obiektów swobodnych, t zn . obiektów latają cych jak i pojazdów, umoż liwia w stosunkowo prosty sposób uwzglę dnienie wah ań elementów ruchom ych i drgań sprę ż ystych konstrukcji.

P rzy badan iu drgań powierzchni sterowych należy uwzglę dniać stopnie swobody sa-m olotu sztywnego, które poprzez sprzę ż enie ruchów mają  iloś ciowy i jakoś ciowy wpł yw na charakter rozwią zań (rys. 2- 12).

W rozpatrywanym przypadku oscylacje steru lub ruchy aperiodyczne są  silnie tł u-mione i nie wykazują  silnego wpł ywu jakoś ciowego n a stateczność sam olotu. Jedn ak nie należy tego uogólniać i odnosić do innych obiektów latają cych.

W przedstawionych rozważ aniach przyję to aerodyn am ikę  stacjonarną , co m oże mieć niekorzystny wpł yw n a rezultaty obliczeń w zakresie wię kszych czę stoś ci drgań steru.

Literatura cytowana w tekś cie

1.  I I . AnnEJib, TeopemunecKOH mexanuKa, Pfefl. <J>H3.- MaT.3 MocKBa 1960. 2. B. ETKIN , Dynamics of Flight Stability and Control, New York 1959. 3. W. FISZDON, Mechanika lotu, PWN , Łódź —Warszawa 1961. 4. R. GUTOWSKI, Mechanika analityczna, PWN , Warszawa 1971.

5. R. GUTOWSKI, Równania róż niczkowe zwyczajne, WNT, Warszawa 1971.

6. i. MARYNIAK, Uproszczona statecznoś ć podł uż na szybowca w locie holowanym, Mech. Teoret. i Stos., 1 (1967).

7. J. MARYNIAK, Statecznoś ć dynamiczna podł uż na szybowca w zespole holowniczym. Mech. Teoret. i Stos., 3 (1967).

8. J. MARYNIAK, M. LOSTAN, W pł yw odksztalcalnoś ci gię tnej skrzydł a na statecznoś ć podł uż ną  szybowca, Mech. Teoret. i Stos., 2 (1970).

9. K. OGATA, Metody przestrzeni stanów w teorii sterowania, WN T, Warszawa 1974. 10. JI. A. IIAPC, AnanumumcKan dunamma, Yisp,. HayKa, MocKBa 1971. 11. T. TRAJDOS- WRÓBEL, Matematyka dla inż ynierów, WN T, Warszawa 1966.

12. J. I. NEJMARK, N . A. FUFAJEW, Dynamika ukł adów nieholonomicznych, PWN , Warszawa 1971. 13. K. A. AsrAPHH, Mampuunue u acuMnmomuHecKue Memodu e meopuu AtiueuHux cucmeM, Bfefl. H ayKa,

MocKBa 1973.

14. H . B. CTPA>KEBA, B. C . MEJIKYMOBJ BeKmopH Mampuwbie Memodu e Mexanuxe noAema, M BU IH H O-CTpoeHHe3 MocKBa 1973.

P e 3 IO M e

BJIH flH H E 5KECTKOCTH  H  ,H EMn4>H POBAH H .a B C H C T E M E YnP AJKH EH H H p yjI E M BBICOTŁI H A nPOflOJIBH YK) yC T O fł ^ H BO C T Ł CAM OJIETA

H H A OC U H JU M U H H  PYJIH

B paS oTe paccMaipHBaeTCH BJimnnie >i<ecTK0CTH H fleiwn4)HpoBaHHH B CHcreiwe ynpaBJieHHH pyneM BbicoTH a TaK*e ypaBHOBeuieHHOCTH pyjm na ycroiłTOBOCTB caMOJieTa H Ha KOJie6aHHH  pyjw

ypaB H emiH flBH*eHHH camojieia c oci(HJiJiHpyiomHM pyneM S WJ I H BbraeAeHbi c ypaBHemra BoJiBiwaHHa- XaMejiH fljia TOJIOHOMHŁK CHCTCM.

PemeH H e CBe^eHO K onpeflejiemno coS cTBeHHtix 3Hwieim& H cooTBeTCTByiomHX HM co6cTBeifflbix BeKTopoB MaTpHiiw cocTOHHHH. IIpoBeaeH bi BbiiHCJniTejn.Hbie pacweTbi flJiH cnopTHBHoro caMOJieia5 nojryieH H bie pe3yjibTaTbi conocraBnaiOTCH c pe3yntTaTaMH pacieTOB HJIH JKecicKoro caM oneTa.

WPŁYW SZTYWNOŚ CI I TŁUMIENIA W UKŁADZIE STEROWANIA 281

S u m m  a r y

IN F LU EN C E O F  STIF F N ESS AN D  D AM PIN G  I N  TH E ELEVATOR CON TROL SYSTEM ON  LON G ITU D IN AL STABILITY OF  AN  AIRCRAF T AN D  VIBRATION S

OF AN  ELEVATOR In the paper, the titled problem, including the analysis of elevator mass balance, is presented. The equations of motion of an aircraft with oscillating elevator are derived by application of BoJtzmann- Hamel's equations for holonomic systems. The solution is obtained by the method of eigen- values and eigen-vectors of the state matrix. The numerical calculations performed for the light aircraft are compared with results for the same aircraft with blocked elevator. POLITECHNIKA WARSZAWSKA