BEHANDELING VAN DE KOPPELKROMME MET BEHULP VAN ISOTROPE COÖRDINATEN
Behandeling van de koppelkromme
met benulp van isotrope coördinaten
PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING
VAN DE GRAAD VAN DOCTOR IN
DE TECHNISCHE WETENSCHAP AAN
DE TECHNISCHE HOGESCHOOL TE
DELFT, KRACHTENS ART. 2 VAN HET
KONINKLIJK BESLUIT VAN 16
SEP-TEMBER 1927, STAATSBLAD No 310 EN
OP GEZAG VAN DE RECTOR
MAGNI-FICUS DR. IR. C. B. BIEZENO,
HOOG-LERAAR IN DE AFDELING DER
WERKTUIGBOUWKUNDE,
SCHEEPS-BOUWKUNDE EN
VLIEGTUIGBOUW-KUNDE, VOOR EEN COMMISSIE UIT
DE SENAAT TE VERDEDIGEN OP
WOENSDAG 22 FEBRUARI 1950
DES NAMIDDAGS TE 2 UUR
DOOR
JAKOB TJ AKKO GROENMAN
GEBOREN TE ROOSENDAAL EN NISPEN
DIT PROEFSCHRIFT IS GOEDGEKEURD DOOR DE PROMOTOR PROF. DR. O. BOTTEMA
Aan mijn Moeder.
Aan mijn Vrouw.
I
I N L E I D I N G
INHOUD.
pag.
9 H O O F D S T U K I. Vergelijkingen der koppelkromme.
§ 1. Invoering van isotrope coördinaten 12 § 2. Eerste vergelijking van HAARBLEICHER 13 § 3. Herleiding van de eerste vergelijking van HAARBLEICHER;
invoering van een tweede puntendrietal A i B j C i . . 16
§ 4. Herleidingen van enkele vormen 19 § 5. Afleiding van de derde vergelijking van HAARBLEICHER 20
§ 6. Afleiding van de vierde vergelijking van HAARBLEICHER 21
H O O F D S T U K II. Eigenschappen der koppelkromme.
§ 7. D e isogonale verwantschap 23 § 8. Bijzondere punten van de koppelkromme 24
§ 9. Drievoudige voortbrenging van de koppelkromme . . 26 § 10. Relaties tussen brandpunten en dubbelpunten . . . 28
§ 11. Het begrip bundel 33 § 12. Eigenschappen van geconjugeerde punten 34
H O O F D S T U K I I I . Krommen, die met een koppelkromme zijn
ver-bonden.
§ 13. De middenkromme Q 42 § 14. De antikromme <p 43 § 15. D e middenkromme Q (vervolg) 50
§ 16. De koppelkromme als meetkundige plaats van brand-punten van speciaal gekozen kegelsneden; de kromme
0 , 52 § 17. Over de snijpunten van de antikromme (p met de zijden
van A A i B i C i 53 § 18. Over de snijpunten van de koppelkromme met de
anti-kromme 55
H O O F D S T U K IV. Eigenschappen van koppelkrommen, die met
be-hulp van bundels worden bewezen.
pag.
HOOFDSTUK V. Rationale en ontaarde koppelkrommen.
§ 20. Rationale koppelkrommen; ontaardingen 60 § 21. Verband tussen de ontaardingen van de krommen C,,
<P3 en Qs 65
§ 22. Bundels met ontaarde exemplaren 68
HOOFDSTUK VI. Koppelkrommen met bijzondere ligging van
brandpunten en dubbelpunten.
§ 23. De koppelkromme met drie keerpunten 72 § 24. De koppelkromme met één zelfcontactpunt en één
keer-punt 82 § 25. De koppelkromme met drie samenvallende
dubbel-punten 89 § 26. De kromme van ALT 89
§ 27. De semi-Altse kromme 94 § 28. De koppelkromme, waarbij de brandpuntsdriehoek en
de dubbelpuntsdriehoek rechtstreeks congruent zijn . 95 Ie TOEVOEGING.
§ 29. Ontstaan van een koppelkromme met behulp van
ge-lijkvormig veranderende systemen 97 2e TOEVOEGING.
§ 30. Constructie der dubbelpunten van een koppelkromme
volgens ECKHART 100
LITERATUUROVERZICHT 103
INLEIDING.
Een koppelkromme wordt als volgt verkregen:
W i j gaan uit van een stangenvicrzijde BCNM (zie figuur 1). Van de hoekpunten worden B en C vastgehouden; de punten M en N kunnen resp. cirkels om B en C beschrijven. Bij deze beweging beschrijft een p u n t P, dat door stangen van vaste lengte met M en N is verbonden een koppelkromme.
In deze verhandeling noemen wij: B C de vaste stang
MB en NC de armen (Rj en R2) MN d e koppelstang (d) en
A PMN de koppeldriehoek met zijden
PM = di; PN = da; MN = d.
D e belangrijkste klassieke resultaten op het gebied der koppelkrommen zijn af-komstig van S. ROBERTS *) en A. CAYLEY *).
Zij kunnen als volgt worden samen-gevat :
Een koppelkromme is van de graad 6;
zij bevat de isotrope punten als drievoudige ^'8- ^•
punten. Zij bevat verder 3 dubbelpunten en is dus elliptisch, want haar geslacht is =
1 / 2 X 5 x 4 — 6 — ^ = 7 .
D e raaklijnen in de isotrope punten aan de takken der kromme geven — als men de toegevoegd komplexe combineert — drie reële snijpunten: de (speciale) brandpunten. T w e e dezer brandpunten zijn de eindpunten der vaste stang BC. Het derde (A) ligt zó, dat A ABC direct gelijkvormig is met de koppeldriehoek PMN.
D e brandpunten A, B, C en de dubbelpunten A,, B j , Ci liggen op een cirkel. Is K een vast punt op deze cirkel, dan geldt de volgende relatie (verder aangeduid als relatie van C A Y L E Y ) :
2J boog KA = Z boog KA^ (mod. 2 n). A,B,C Al, Bi, Cl
Van ROBERTS is verder afkomstig de stelling der drievoudige voort-brenging ener koppelkromme; het blijkt nl. dat één en dezelfde koppel-kromme op drie manieren volgens de beschreven wijze kan worden voortgebracht. Hier zij voorlopig slechts vermeld, dat daarbij resp.
BC, CA en A B als vaste stang optreden.
') S. ROBERTS. On three bar-motion in plane space. Proc. Londen. Math. Soc. T. VII, p. 14—23 (1875).
•) A. CAYLEY. Three bar-motion. Proc. Londen. Math. Soc. T. VII, p. 136—166 (1876).
Naast de genoemde Engelse mathematici heeft ook DARBOUX zich met de koppelkrommen beziggehouden en daarbij o.a. gebruik gemasikt van elliptische functies ^).
Van belang zijn verder de — merendeels kleinere — publicaties van R E I N H O L D M U L L E R ; zijn onderzoekingen betreffen o.a. de dubbel-punten en de speciale vormen der kromme. Van hem is ook de voort-brenging van koppelkrommen met behulp van gelijkvormig veranderde systemen ^). Hierover bestaan ook verhandelingen van M E H M K E ^) en SKUTSCH ').
De ontwikkeling der theorie van de koppelkromme heeft sedert 1920 belangrijke vorderingen gemaakt. De stoot tot deze ontwikkeling werd gegeven door R. L. H I P P I S L E Y ^), die in genoemd jaar een nog onbe-kende eigenschap — betreffende een toevoeging van punten op de kromme — publiceerde. Zijn resultaat was aanleiding tot een uitgebreide verhandeling van G. T . B E N N E T T *).
Het door H I P P I S L E Y gevondene werd opnieuw bewezen, terwijl veel nieuws werd toegevoegd. Als belangrijkste resultaat zij hier vermeld: Beschouwt men de isogonale verwantschap waarvan de driehoek der dubbelpunten A^BiCi gronddriehoek is, dan voert die verwantschap de koppelkromme in zich zelf over. Daarbij worden aan elkaar — in deze verwantschap — toegevoegde punten bij de beweging verkregen uit twee posities der koppelstang, die t.o.v. de vaste stang BC elkanders spiegelbeeld zijn.
B E N N E T T maakt hierbij hoofdzakelijk gebruik van driehoekscoördi-naten.
Later werden de voornaamste resultaten van BENNETT langs zeer overzichtelijke weg opnieuw gevonden door F. V. MORLEY *), die ook aansluit bij het artikel van DARBOXIX. Van M O R L E Y zijn ook belangrijke opmerkingen afkomstig over rationale en ontaarde koppelkrommen.
Tenslotte zij vermeld een artikel van E. A. W E I S S *). O p elegante wijze worden hierbij langs zuiver synthetische weg alle vragen be-handeld over de brandpunten en de dubbelpunten. Bijzondere aan-dacht schenkt W E I S S aan de reeds door B E N N E T T gegeven stelling, dat elke koppelkromme kan worden beschouwd als Laguerre-beeld van een correspondentie van Hesse op een derde graadskromme, terwijl hij tevens verband legt tussen rationale en ontaarde koppelkrommen ener-zijds en rationale en ontaarde 3e graadskrommen anderener-zijds.
') G. DARBOUX. De l'emploi des functions elliptiques dans la theorie du quadrilatère plan. Buil. des Sciences, math, et astronom. 2e serie T . III, pag. 109—128 (1879.
") R. MULLER. Erzeugung der Koppelkurve durch ahnlich veranderlichen Systemen. Z. f. Math. u. Physik. Bd. 58. 247—251 (1909).
In deze zelfde band vindt men resp. op pag. 257—259 en 252—257 de artikelen van MEHMKE en SKUTSCH.
') R. L. HIPPISLEY. A new method of describing a three-bar-curve. Proc. Lond. Math. Soc. 2e serie. Vol. XVIII, pag. 136—140 (1920).
*) G. T . BENNETT. T h e three-bar sectie. Proc. Lond. Math. Soc. Vol. XX, pag. 59—84 (1921).
' ) F. V. MORLEY. An analytical treatment of the three-bar curve. Proc. Londen. Math. Soc. 2e serie. Vol. XXI, pag. 140—160, (1923).
•) E. A. WEISS. Über Koppelkurven Math. Zeitschrift. Bd. 47. Heft 5, pag. 187—198 (1941).
Een bijzonder geschikte methode voor de behandeling van koppel-krommen is die, waarbij gebruik gemaakt wordt van isotrope coördinaten. Zij werd aangegeven door R. BRICARD ^). Hij volstaat met de belang-rijkste klassieke resultaten langs deze weg af te leiden; zijn methode werd uitgebreid tot de nieuwere resultaten door A N D R É HAARBLEICHER *).
In deze verhandeling zal de door HAARBLEICHER ontwikkelde methode worden gevolgd. O p enkele ondergeschikte punten wordt slechts ervan afgeweken. Zij wordt aangevuld met enkele resultaten, die door HAAR-BLEICHER niet worden gegeven, maar door andere onderzoekers zijn gevonden. Uitgebreid wordt de methode in de richting der speciale bundels van koppelkrommen — daarmee worden bedoeld die koppel-krommen, welke een gemeenschappelijke brandpuntsdriehoek en een gemeenschappelijke dubbelpuntsdriehoek bezitten. Over dit onder-werp publiceerde reeds A. E. M A Y E R ^). Verschillende bijzondere ge-vallen komen daarbij aan de orde. Onder meer komen te voorschijn de kromme, door H . A L T *) beschreven, (waarbij de dubbelpunten en de brandpunten samenvallen) en die, welke drie keerpunten bezit, be-studeerd door M A Y E R (dubbelpunten en brandpunten in zgn. FEUER-BACH-ligging). Nieuw zijn het geval, waarbij koppelkrommen optreden, die één keerpunt en één zelfcontactpunt bezitten; eveneens het geval, waarbij de dubbelpuntsdriehoek en de brandpuntsdriehoek direct congruent zijn.
Ook zal worden behandeld de door ECKHART gegeven constructie der dubbelpunten ^).
Een overzicht van de tot 1930 gegeven publicaties op dit gebied treft men aan bij R. KANAYAMA: Bibliography on the theory of linkages. Tokohu Math. Journal. Vol. 37. p. 294.
Het ligt in de bedoeling aan het slot van deze verhandeling een lijst te geven van publicaties, die na 1920 zijn verschenen en dus tot de moderne literatuur op dit gebied mogen worden gerekend.
•) R. BRICARD. Lemons de cinematique, tome II, 1927, pag. 301—313. Sur la courbe du trois-barres.
') ANDRÉ HAARBLEICHER. Application des coordonnées isotropes k l'étude de la courbe des trois barres. Journal de '1 Ecole polytechnique, II serie, Cah. 31., pag. 13—40, (1933). *) A. E. MAYER. Koppelkurven mit drei Spitzen. Speziale Büschel von Koppelkurven. Math. Zeitschrift. Bd. 43, pag. 389—445, (1938).
*) H . A L T . Zur Synthese der ebenen Mechanismen. Zeitschrift für angewandte Mathematik und Mechanik. Bd. I, pag. 373 e.v. (1921).
') L. ECKHART. Konstruction der Doppelpunkte einer Koppelkurve. Reuleaux Mitteilungen. Archiv für Getriebetechnik (der Betrieb). 4, pag. 697—698 (1936).
HOOFDSTUK I
VERGELIJKINGEN VAN DE KOPPELKROMME. § 1. INVOERING VAN ISOTROPE COÖRDINATEN.
In een plat vlak zij een rechthoekig assenstelsel gegeven. De ortho-gonale coördinaten van een punt zijn daarin (X, Y).
De isotrope coördinaten x, y worden dan gedefinieerd door de be-trekkingen
: : ^ : ; n <•>
Een volledig overzicht van deze coördinaten met toepassing op de driehoeksmeetkunde vindt men bij A. HAARBLEICHER in zijn werk „de
l'Emploi des droites isotropes comme axes de coordonnées; nouvelle geometrie du triangle". Paris 1931. Dit werk zal verder worden aangeduid als E.D.I.A.C. De voornaamste, voor ons belangrijke, resultaten laten wij
hieronder volgen.
1. Als assen treden op de isotrope lijnen door de oorsprong van het orthogonale stelsel. De homogene coördinaten der isotrope punten zijn (1, O, 0) en (O, 1, 0).
2. De graad van de vergelijking van een kromme is dezelfde als die bij gewone rechthoekige coördinaten; zo kan de vergelijking van een rechte lijn geschreven worden in de vorm:
y = px + q (2)
3. Evenwijdige lijnen geven daarbij dezelfde waarde voor p; onder-ling loodrechte lijnen geven waarden voor p, die eikaars tegen-gestelde zijn.
4. De afstand Q van twee punten (xi, yi) en (xa, yt) wordt gegeven door de betrekking
e" = {xi — xj) (yi — yt) (3) 5. Uit 4 volgt dat de vergelijking van een cirkel geschreven kan
worden in de vorm
xy — ay — bx + c — O (4)
daarin stellen a en b de coördinaten van het middelpunt voor en Q de straal van de cirkel; Q wordt gegeven door de relatie Q^ = ab — c. 6. In het bijzonder geldt voor de eenheidscirkel (middelpunt in de
oorsprong; straal = 1) de vergelijking
xy — 1 = O (5)
zodat een punt op die cirkel gegeven wordt door de coördinaten
i-i)-7. Voor de afstand Q van twee punten op de eenheidscirkel A l a , — )
en B[fi, jj geldt:
Va/?
(6)Opmerking. In principe zijn negatieve afstanden mogelijk. Is argument A < argument B (waarbij beiden inliggen tussen O en 360°), dan wordt die afstand positief; wij moeten dan argument van vöïp gelijk kiezen aan de halve som der argumenten van A en B.
8. Wij merken tenslotte op, dat x en y kunnen worden opgevat als vectoren in het complexe vlak.
x = OP en y = ÓP;
daarin is P het spiegelbeeld van P t.o.v. X-as. § 2. DE EERSTE VERGELIJKING VAN HAARBLEICHER.
Wij tekenen de stangenvierhoek BCNM met de koppeldriehoek
PMN. Voorts maken wij A ABC
rechtstreeks gelijkvormig met A PMN. Zonder de algemeenheid te schaden, kunnen wij aannemen, dat A ABC positiefis georiënteerd. De omgeschreven cirkel van A ABC zij de eenheidscirkel; het middelpunt de oorsprong.
De in de figuur gegeven punten zijn als volgt gegeven.
A ( . 1 ) B{,n c(r.l)
Pix,y)
/3-M (xi, yi) N (X2, y^) Fig. 2. Omdat de lijnstukken jRi, Rg, di,
dï en d een constante lengte heblDen, gelden volgens § 1; (3) de volgende betrekkingen. Zij bepalen het probleem.
( X ï
P)
(y.
--})
= R^^
y)
[y, -
i . )
==
R^.
(1)
(x - xi) (3» - Ji) = di« (3)
(x - X,) {y - yd = d^^ (4)
(xi - xa) (>., - y^) = d^ (5) Uit deze relaties moeten de grootheden Xi, yi, x^ en y^. worden
ge-ëlimineerd.
Aan (3) en (4) is blijkbaar voldaan als wij schrijven: X — Xj = ait\Cli X X2 = ^25202 1
; en j \ . . . . (6) y — yi = —T^i ^ ~ >'2 = T T ^2
aiti aiti '
Daarin zijn a^ en a^ willekeurig te kiezen constanten; ti en t2 para-meters. (5) wordt bij substitutie:
(a2t2d2 — iitidi) —— d2 dl) = d^ \a2t2 aiti /
aiüïtita (dl* -f da* - d*) - (ai*ti* -|- a^H^^) d4i = 0.
EI is geen bezwaar om ti en tg aan elkaar gelijk te kiezen, omdat üi en a^ nog willekeurig waren; wij voeren dus één parameter t in; tussen
dl en ^2 bestaat nu een relatie. Zij heeft onderstaande gedaante: (toe-gepast is de cosinusregel)
dl* -f- 02* — 2 diflz cos A = 0.
{/_ A stelt Z BAC voor).
Daaruit volgt:
— = cos A ± i sin A == e^^ (7) d2 (6) wordt nu: Xi = X — d j t d l X2 = X — d j t dg ; ; . . . . (6*) 3»! = 3' — 7 7 ^ 1 yi = y — —idi ciit a^ '
Wij substitueren (6*) in (1) en (2); na enige herleiding komt respec-tievelijk :
d i * d i ( > - - ^ ) t * - a i ( ( x - / 3 ) ( 3 ' - ^ ) + d i « - R i * } t + d i ( x - ^ ) = (} . . (8) a 2 ' ' d 2 ( > — - ^ ) t * - a 2 { ( x - r ) ( y - ^ ) - f d 2 * - R 2 ' ' } t + d 2 ( x - y ) = 0 . . (9)
Uit (8) en (9) moet t worden geëlimineerd. Eliminatie van t uit:
At* -f Bt -I- C = O Alt* + Bit + Cl = O voert tot:
(ACi - A,CY + (AiB - ABi) {BC^ - B^C) = 0. 14
+ ^1^2
Wij passen dit toe op (8) en (9). Ons resultaat is:
di*d2* { ai* (X -Y){y-j)~ a,' (x - ,8) [y - y ) }' +
aid2 (x - y) {(x - ^)(y-j)+ dl' - Ri*} +
- a,di (x - /S) {(X -y)(y-j)+ d,' - R2*}
- flidi(y-jjii'^- y) (y -j) + d,'- R^*} +
+ a2d2 (y - y ) {(x -/9) ( 3 - - ^ ) + dl* - Ri*}] = 0.
(10)
Verder geldt:
^= e
+ 2iA _ (^g + iAyVolgens (7) kunnen wij ai en «2 dus laten voldoen aan;
d l a2
De gelijkvormigheid van de driehoeken PMN en ABC geeft onder
gebruikmaking van §1. (6):
(a - /5) \ / ^ ] dl = d d<i = d .(/S - y) V ^
(« - y) V ?
(12)
{p~y)Va J
Bij substitutie van (11) en (12) in (10) volgt:
-f- V/3y
-f d2* - R2
X
Wij herleiden eerst de vorm
Hx ~ v)[y - ^) - y {x - (i)[y - ^).
(13)
X
(I)
Na uitwerken komt daarvoor
(/3 - y) (xy - 7).
Wij vullen dit antwoord in in (13) en komen nu tot de eerste
verge-lijking van
HAARBLEICHER:d*(°-^)'j"->-^x,-;)* +
+ p(a-y){x-y)[{x-^)(y-jj+ di* - Ri*) +
-y{a-P){x-p)[{x-y)[y-~)+ d,' - R,^]
X -{a-P)(y- j){ix~y) (y-j)+ d,' - R^} +
+ {a-y)[y- -i) | (x - /?) (3; - - ^ ) + di* - Ri*} = 0.
Wij schrijven nog:
W = xy~7.
Ki = /3 (« - y) (x - y) {(x - /S) {y-j) + di' - Ri*} +
- y(« - ^ ) (x - /3) {(x -y)i^y-l-) + d2* - R2*}.
K2= (a - y ) (y _ i - ) | ( x - ^) {y-j) + dl' - Ri*) +
- (« - /3) (3' - - j ) { ( x - y ) {y-j) + 4* -
R^'}-W = O stelt voor de eenheidscirkel.
JKi = O en Kj = O stellen krommen voor van de derde graad.
(I) krijgt nu de vorm (P)
(14)
(15)
d* (a - ^)* (a - y)*
W* + K,K2 = O
(P)
§ 3. HERLEIDING VAN DE EERSTE VERGELIJKING VAN HAARBLEICHER. INVOERING VAN EEN TWEEDE PUNTENDRIETAL AiBiC,.
Wij gaan Ki en K2 nog herleiden:
De vorm voor Ki (§ 2; 14) laat zich zonder moeite herleiden tot:
16
(x - /?) (x - y) (/? - y) (a 3- - 7) - d 2 ( « - ^ ) ( « y)/3y (x — a) « (/5 - y)
- Ri* (a-y)Hx-y) + R2' (a - ^) y (x - ^) = (|8 - y) [a x*3; - (a/3 + ay) xy + apyy - x* + (/? +y) x-M +
-d'(a~ P)(a-y)Pyx d" (a - p) (a - y) py
a ( / 3 - y ) + / 3 - y - Ri* (a - y) /3 X + Ri* (a - y) p y + + R2* (« - ^) y X - R,* (a -p)Py = (/3 - y) [aWx - (ai? -}- ay) W - X* -(- (« + /? + y) X
— a^ — ay — Py -\- afiy y] +
/3) (a - y) Py
i^-Y)
d^a-P)ia-y)pyx d* (a
aiP-y) ^ p-y - Ri' (« -y)^x + Ri* (« - y) /Sy -h
+ R2^ (a - /?) yx - R2* (a -P)Py^ aW{x~ p-y)-x'-^ Sx + Py - T + d* (a - /3) (a - y) ^yx , d* (a - /Ö) (a - y) ^y
+
a (|S - y)* ' {p R^(a-y)Px , R i * ( a - y ) / 9 y , yy+
+
y • / S ) y x / 3 - y R2* (a - /S) /9y (1) p — y P — y Daarin: S = a + p + y T=aP + ya + py (2) P=aPyzodat a, p, y wortels zijn van de vergelijking:
z^ - Sz'' + Tz - P =^ 0.
Wij bepalen eerst de snijpunten der kromme Ki = O met W — 0. Van de zes snijpunten liggen er drie in het eindige. Daartoe stellen wij in (1) 3» = —. De x van een dergelijk punt is dan een wortel van de vergelijking: Z » - 2 *
+ 2
S - d* (a - /?) (a - y) Py a{p- y)* d* (a - ;3) (g - y) /9y (j8 - y)^ P = 0 . i ^ i ' ( « - y ) / 5 ^ R 2 * ( a - ^ ) y P-y Ri'ia-y)py P~y+
p-v
R^{a-P)Py P-y+
+
W i j noemen deze drie snijpunten
^ . ( " . • ^ ) BAPi, /?i^ ' y " Yi ( > ' ^ ) -Zij verder
Si = Oi + /?i + yi
Tl = Oipi + Yiai + PiYi (4)
P i = t^iPiYi
dan gelden tussen de punten (A, B, C) en (Ai, Bi, Ci) de volgende betrekkingen: d'{a-p)ia-y)Py Si Tl S T -aip- y)* a 2 ( a _ ; j ) ( a - y ) ; j y (/5 - y)' RiHa-y)P R^{a-P)Y .31. P ~ y P-y Rr'ia-Y)PY , R 2 * ( a - ^ ) ^ y P — y p - y Pi . (5*) (5') Opmerking: D e drie andere snijpunten liggen op !„.
Wij stellen in (1) het hoogste graads deel gelijk aan nul. Uit x*3i = O komt dan twee maal het punt I^ en één maal het punt 7i. Zij liggen ook op W = 0.
of
Vullen wij de (5'"^'^) in in (1) dan komt er:
Ki^{p- y) [aW{x - |3 - y) - X* + Six + Piy Tl]
Ki De vergelijking
{P-y)[aW{x-P-y)~U] (6)
U = X* - Six - P13; + Tl = O, (7)
is die van een parabool, waarvan de asrichting die der 3;-as is. Zij gaat door de punten A i B i C i . M e n ziet dat uit (7) wanneer men de coördinaten van die punten invult.
Ki (§ 2; 15) wordt op volkomen analoge wijze herleid.
H e t resultaat is: K2 = (/5 - y) D e vergelijking V ^ P i y * - Tiy X + Si = O (8)^ (9) stelt weer een parabool voor. De as is evenwijdig de x-as.
Ook V = O gaat door de punten A i B i C i .
In de loop van de herleiding blijkt, dat de kromme K^ = O ook door A i B i C i gaat; de andere snijpunten met W = O zijn weer de isotrope punten. Het punt li treedt nu tweemaal; het punt I2, éénmaal op.
(I) gaat bij substitutie van de gevonden uitdrukkingen voor Ki en
d* (a - /?)* (g - y)* \ V * - f ( / ? - y ) * [ g \ V ( x - ^ - y ) [/] X X 1_ waaruit: J2 ( « - ^ ) ' ' ( « V /3y y)^
g* ip - y)*
W*-f
P /Sy ^ \ |S ^ y /W
X II. X [V - PyyW + {p + Y)W] = 0.Dit is de tweede fundamentele vergelijking voor de koppelkromme volgens HAARBLEICHER.
In II stelt W = O de eenheidscirkel voor; U = O en V = O zijn parabolen, die door de punten Ai, Bi en Ci gaan. De assen zijn resp. evenwijdig aan 3'-as en x-as.
Opmerking: Door verandering van het nulpunt op de eenheidscirkel kunnen wij zorgen dat aPy = J. Het kan zelfs op drie manieren.
De vergelijkingen kunnen dan een iets eenvoudiger vorm krijgen. Zo komen voor (2) en (4) resp. (10) en (11).
S = g - f ^ + y g ^ y P = 7 Si = ai + Pi + Yi
T-1+1+1
^'~ai + Pi + Yi P. = 1 (10) (11)Tenzij uitdrukkelijk anders vermeld, is deze verandering niet door ons doorgevoerd.
§ 4. HERLEIDING VAN ENKELE VORMEN.
De formules 5 van § 3 zijn nog op andere wijze te schrijven. Wij voeren nl. weer de grootheden dj en d2 in en krijgen dan vormen, die bij het bundelonderzoek een rol zullen spelen.
Wij gebruiken weer
d,* = d* (g - py y en (g - y)* p S i iP - y)* g en schrijven Si in de vorm: ^ g _ d M ^ ^ - m ^ ^ i y ) _ ^ , « _ „ , _ p 2 ( « - y ) / 5 iP - y)* g
a{p- yf
iP-y)-Ri'
P
+ R2 ( « - ^ ) y p - y= S + di'^-^f^-d.'^-^f^-Ri'^-^p^ + R^^^^
p - y P — Y P — y P — YSi = S -f (dl* - Ri*) i ^ ^ - (d2* - R2*) ^ ^ ^ . . . (1^) Daarna gaan wij Ti herleiden. Daarvoor komt:
Tl = T + (dl* - Ri*) ^^f^ - (d2* - R2*) ^y^Y^ • . (1^)
tenslotte
Pi = P (1^) Uit deze vergelijkingen zien wij dat voor koppelkrommen met
ge-meenschappelijke A ABC (zelfde stang BC met direct gelijkvormige driehoek PMN) en met dezelfde waarden voor di* — Ri* en dg* — R2* dezelfde punten AiBiCi komen.
De grootheden |di* — Ri*| noemt BENNETT de moduli van het stelsel. Er zijn er drie (verg. § 9), waarvan twee de derde bepalen.
§ 5. AFLEIDING VAN DE DERDE VERGELIJKING VAN HAARBLEICHER. Uit I volgt: g
+ [(x - P){x- y) (ay -7){p-y) +
+ ,^_d..i^^llL^^^^R^.^a-y)P+R^ia-P)y} +
+ d*. ^" - ^ ^ ( : ; / ) ^^ + R.'(« -y)PY- R2- ia-P)PY]x
7X 113' -j) [y - 7J (^ - °) (/5 - y) +
+ y{d'^-^^^-^^lr^P^^=^-R.Ha-Y) + R.'ia-P)} +
+ d * ^" - ^> (" - >^\y - y ) + R i * ^ ^ - R2*. ^a{p~y)
Vermenigvuldigen wij het linkerlid met
P
0.py
. a_ \2 sii slaan daarbij
acht op (5^) en (5*) van § 3, dan komt de derde vergelijking van HAAR-BLEICHER :
d* (g - py (g - y)* Py
a{P-yf
{xy - 7)* +
-f {«(x - P){x -y)(y-l) + ( S i - S)x - (Tl - T)}
>^{Py[y -j){x- a)[y ~ l)-^{Ti~ T)y -{Si- S)] ^ 0.
§ 6. AFLEIDING VAN DE VIERDE VERGELIJKING VAN HAARBLEICHER. Uit (7) en (9) van § 3 volgt:
Y + y^ + Ll + Uy^ =
a Py py a ' V Vx aU PyUy _ a^ py ^ P '^ P SiW ,xW_^ „ . TiW 1 \- ayW 5—. a a PY (1)Nu laat (II) zich als volgt schrijven: d« (g - /?)* (g - y)* W* g* (P - y)*
+
7 + (4 + i + 7)^
w
a Wx PYP
V+{p + y)W
V+{p-\-Y)W
V+{a+ P + Y)W+
aW^ + (
f + i i ^
+
- PyWy^ + (i + i ) -
+
en volgens (1): d* (a - /9)* (g - y)* W* «* (P - y)* - W+
U T + W'xy - W* = O+
V + S W TiW - SiW ,xW, „ . g g py+
W* ^ + y + -jL+^ + -(T-/y^ + y{s-a) Py apy -hW" of: U T p i- p vv^ V + S W-P xW* - S3/\l/* + W' +
+ w
Si-p-y ^ Tl - gy - ap ^ d* (g - p)' {a - yY = O . (2) /5y g* (/3 - y)*Wij bespreken eerst de coëfficiënt van W* in de laatste term van het linkerlid.
Vullen wij de waarden voor Si resp. Ti uit § 3 (5^ en (5*) daarin in, dan wordt deze coëfficiënt:
^ _ d * ( « - ^ ) ( g - y ) ( ^ - f y ) _ ^^, {a-j){p + a) ^
a {p - y)* {p-y) a
, (g - P){y + g)
+ R
{p-y) a2 — d*(a y/ap ^ X ^ ^ ^ X py
V^ iP -
YY VJ^ P + Y X ^-1 +_ K , . . ( £ ^ x ^ x ^ - f
V^ P-Y V^
- | - R . * . - ( ^ x ^ x ^
V ^ P-y Vay •_iiP-Y)
(y) Nu is BC AC en AB.De afstand van O tot BC is gelijk aan
-{P + Y)
i-ö- en overeenkomstige uitdrukkingen zijn er voor
(4)
2 Vpy
BC bezit de vergelijking:
X + Pyy — P ~ y = 0.
Volgens E.D.I.A.C. (pag. 4; 8) is de afstand van een punt Po(xo3'o) tot een lijn l met vergelijking ax -\- by -\- c — O gelijk aan:
dXp + byo + c
2 Vab
Voor de afstand van O tot BC komt dus inderdaad (4):
-P-Y 2 Vp^ •
Voor (3*) kan dan geschreven worden: ^ ,, OL X AB X CA , 2d^ X ïTT^s h 2Ri* X
BC'
CA X ON
BC
2 Ri' X AB X OMBC
(5)Daarin zijn L, M, N de voetpunten van de loodlijnen uit O resp. op BC, CA en AB neergelaten. De vorm (5) kan nog worden geschreven in de vorm (5*). BC X ABx CA d* , X -7- + BC' tg A CA xAB Ri* X AB X CA Ra* X ^ . . (5^) BC tgC BC
tgB-Vullen wij dit uiteindelijk in in (2) dan krijgen wij voor de koppel-kromme de vierde vergelijking van HAARBLEICHER
(y + y ^ ) iV + SW) - ~ xW' - SyW +W' + AB x'BC x'CA ( d'
+
22BC*
+
2 I ^ 1tg A tgB tgC/J
W'=0.
IV)
H O O F D S T U K I I
EIGENSCHAPPEN VAN DE KOPPELKROMME § 7. DE ISOGONALE VERWANTSCHAP.
S t e l l i n g 1. De koppelkromme is met zich zelf verwant in de
isogonale verwantschap, die betrekking heeft op de driehoek AiBiCi.
Vooruitlopende op een der volgende eigenschappen kunnen wij ook zeggen:
De koppelkromme is met zich zelf verwant in de isogonale verwant-schap, die betrekking heeft op de driehoek van haar dubbelpunten.
Wij schrijven (II) homogeen: d* (g - /?)* (g - y)*
+
g* {P - y)* UZ WX P PY X [VZW'Z' +
+
P^
P Y' YIwz
X PYy w + (/3 -f- y) WZ] - o
(II) waarin nu W = XY -Z'L7 = X* - SiXZ - PiYZ + TiZ* V = PiY* - TiYZ - XZ 4- SiZ*.
Tussen twee punten Po(xo3'o) en Pi(X]3'i), die in de op A AiBiCi betrokken isogonale verwantschap aan elkaar zijn toegevoegd bestaat (zie E.D.I.A.C. pag. 15 § 34) het volgende verband:
^ _ V(xo3'o) .. _ — tJ(xo>'o) (1)
MWo) '^ PMWo)
of homogeen:
Xi - V(X.Y„Z,) 1
y _ c/(Xoy„Zo)
P iZi = - MXoYoZo) 1
en daarmee symmetrisch:
Xo=V(XiYiZi) 1
„ U(XiYiZi)
n p^
Zo = - MXiYiZi) 1
(2)
23-Wensen wij dus het isogonaal verwante beeld te hebben van de koppel-kromme, voorgesteld door (II), dan moeten wij daarin de volgende substituties uitvoeren:
W^ -Z X^ V U -> PiY Y^ j ^
V ^ X Z ^ -W.
De eerste term van het linkerlid gaat over in zich zelf. De tweede term bestaat uit twee factoren.
WZ
Eerste factor:
= i-[VZ- py YW+{p + y) WZ] = 4- X tweede factor.
PY PY Tweede factor:
Ü7
VZ - py YW + {p + y) WZ-* - XW + PY ^ + {p + y)WZ =
Py
UZ wx (7 7\ P py ^ \ P ^ y) = Py X eerste factor.Daaruit volgt dat het linkerlid van (II) onveranderd blijft, waarmee de stelling is bewezen. Als nevenresultaat volgt de volgende stelling. S t e l l i n g 2. Bij de isogonale verwantschap, die betrokken is op de
driehoek der dubbelpunten gaat de kromme Ki = O over in de kromme Ki = O en omgekeerd, (zie Stelling 5.)
§ 8. BIJZONDERE PUNTEN VAN DE KOPPELKROMME.
Snijden wij de oneindig verre lijn l„ met de koppelkromme, dan moet daartoe in de homogeen gemaakte vorm van (II) Z gelijk aan nul worden gesteld. Er komt:
- ^ X - PyXY' = X^Y» = 0.
py
Beide isotrope punten treden dus drie maal als snijpunt op. De oneindig verre I„ raakt daar niet aan de koppelkromme. Ook de lijnen X = XZ, resp. Y = //Z hebben daar een drievoudig snijpunt. (Zie bij de afleiding van Stelling 4). Hiermee is bewezen:
S t e 11 i n g 3. De koppelkromme is een tricirculaire kromme van de
zesde graad.
Wij snijden nu met de lijnen X = XZ en Y — y.Z. Daartoe wordt (III) homogeen geschreven:
X d* (g — P)' (g — Y)'PY , „ „ .^^.^ „2 1
^ (^ _ y)2 ( X l ^ - Z ) Z -f
+ { g ( X - ^Z) ( X - yZ) ( Y - -^z) + (Si - S) XZ* - (Ti - T)Z^}
X
{PY(^Y-JZ)I^Y-1Z^{X-aZ) + (Tl - T) YZ'- (S, - S)Z'] = 0.
Stellen wij hu X = XZ, dan kunnen wij door Z* delen; dat wijst
op het drievoudig zijn der isotrope punten.
Er rest dan:
d * ( g - ^ ) * ( g - y ) * ^ y a{P - y)'
- f ( g ( A - ^ ) ( A - y ) ( Y - - ^ z ) + ( S i - S)AZ + ( T i - T)Z ) X
x{py(y-jZ){Y--z){X-a) + {Ti- T) YZ-(Si-S)Z*} = (?.
W e krijgen een raaklijn, als het linkerlid nog een factor Z bevat. Dit kan alleen, als A = a, /? of y wordt gekozen. Als asymptoten treden dus op de rechten: 7 X = a 3; = — a X = P en daarnaast 3' ~ "ö" 7 X = y y = — y Zij geven reële snijpunten in de punten A, B en C.
S t e 11 i n g 4. De koppelkromme bezit drie speciale brandpunten. Als zodanig treden op de eindpunten der vaste stang, benevens het punt dat met deze twee een driehoek vormt, die direct gelijkvormig is met de koppel-driehoek.
Wij snijden de koppelkromme nu met de cirkel W — 0. Van de 12 snijpunten kunnen wij het volgende overzicht geven. Wij stellen in ( I I ) : W = 0. Er komt dan [/VZ* = 0. Snijpunten zijn d u s :
d. D e snijpunten van U = O met W = 0. Als zodanig treden o p : Al, Bi, Cl en h {O, 7, 0),
b. D e snijpunten van V — O met W = 0. Als zodanig treden o p : Al, Bi, Cl en h (7, 0. 0).
c. D e snijpunten van Z = O met W — O, die dubbel moeten worden geteld. Dat zijn dus Ii en I^ elk twee maal.
Het blijkt dus dat Ai, Bi en Ci twee maal voorkomen. N u zou de mogelijkheid kunnen bestaan dat een dezer punten raakpunt is van W^ = O en de koppelkromme. D e koppelkromme gaat bij de isogonale verwantschap ten opzichte van A A i B i C i over in zich zelf. In het
algemeen gaat daarbij een kromme van de graad n, die yi maal door Al, y2 maal door Bi en ys maal door Ci gaat over in een kromme van de graad 2 n — yi — y^ — y^.
Hier geldt dus 6 = 72 — yi — y2 — ys. Nu zijn yi, yg, y^ minstens gelijk aan 7 en niet meer dan 2; dat wil zeggen, dat yi = y2 = y» = 2. Bij raking in een der punten zou een der getallen y^ = 7 zijn; deze raking is dus uitgesloten. Daarmee zijn wij dus gekomen tot:
S t e 11 i n g 5. De koppelkromme bezit drie dubbelpunten Ai, Bi, Ci,
die met de drie brandpunten A, B, C concyclisch zijn.
Een zesde graadskromme met twee drievoudige punten en drie dubbelpunten is van het geslacht 1 en dus elliptisch.
Er kan nog een vierde dubbelpunt optreden; omdat de kromme met zich zelf isogonaal verwant is, moet dit samenvallen met het middel-punt van één der vier cirkels, die aan de zijden van de dubbelmiddel-punts- dubbelpunts-driehoek raken.
De koppelkromme is dan rationaal. Bij nog meer dubbelpunten — ook weer in de middelpunten der genoemde cirkels — valt zij uiteen. Wij komen hierop nader terug.
§ 9. DRIEVOUDIGE VOORTBRENGING VAN EEN KOPPELKROMME. S t e l l i n g 6. Elke koppelkromme kan op drie wijzen door een
be-wegend mechanisme worden voortgebracht.
/ /
De bewering is, dat wij dezelfde koppelkromme kunnen krijgen als we uitgaan van de vaste stang AB met stangenvierzijde AMNB en
koppeldriehoek PMN; bovendien met vaste stang CA, stangenvierzijde
CMNA en koppeldriehoek PMN. D e drie koppeldriehoeken zijn
direct gelijkvormig.
De stangen leggen wij verder bij keuze vast. W i j kiezen voor de figuur
op AB: op CA: MN = ^Ri=l d NB =di = R ; MA = ^^ R2 = Wi d
dan is in de figuur 3 (waarin de drie punten P, P , P in één punt zijn samengenomen, hetgeen ach-ter af blijkt in orde te zijn) door de gelijkvormigheid: PM = dl PN = J. d X di di j , 5; ^ d ^ -d X -r = Ri-dl MN = ^ R, NA =^Ri M c = d2 = d
= w,
= % PM = di = d x ^ = R2 " 2 PN d X ^ = ^^ X R2. d2 dW i j zoeken naar de vergelijking van de o p AB beschreven koppel-kromme en gaan daartoe in (IV) verschillende grootheden vervangen.
D e grootheden Si, Ti, P i gaan daarbij wegens h u n symmetrie in zich zelf over evenals de veeltermen U, V en W. Wij behoeven slechts te zien naar het stuk
AB X BC X CA ( d* BC'
Wij gaan uit van
CA X AB X BC
+
R2+
Ri' tgA^ tg B tgC AB X BC ( -Tn' V+
ABDit gaat over in:
CA XXB xBC AB' CA xAB xBC tgC ^x R i ' , 19 . /~" l " Ri^ R2 tg A tgB ) • 4}' d dl' ^2 X ,0 I . „ A + (omdat dl : d AB AB : BC) tgC
41
d* , dl* R2* tgA^ d' tg B+
R,' tgA ' tgB ' tgC CAx AB X BC\ d BC'+
+
Ri' tg A tgB tgCDit is de vorm, die boven staat. W i j krijgen dus (IV) terug. Wij hadden dus het recht de punten P, P , en P te laten samenvallen.
PMBN; PMAN en PMCN zijn parallelogrammen.
Opmerking: D e drie polen der bewegingen liggen met P op één lijn, die loodrecht staat op de raaklijn in P aan de koppelkromme (fig. 3).
§ 10. RELATIES TUSSEN BRANDPUNTEN EN DUBBELPUNTEN.
De zes punten A, B, C en Ai, Bi, Ci op de eenheidscirkel voldoen aan de relatie
P = Pi (zie (5') van § 3).
Meten wij de bogen tot die punten vanaf het snijpunt van W = O met de reële as, dan is
a = cos q>a + i sin q>a enz.
Bovenstaande relatie wil zeggen:
aPy = aiPiYi
of
gi{Va + <Pfi + Vy) _ gi C", + 9'ft + 9'n)
waaruit
V'' + <Pfi + <PY = fai + fh + Vn (mod. 2 n).
S t e l l i n g 7. Meet men vanaf een willekeurig punt op de
eenheids-cirkel de bogen tot de brandpunten en de dubbelpunten, dan krijgt men dat de som der bogen tot de brandpunten gelijk is aan die der bogen tot de dubbelpunten {mod. 2 n) {relatie van CAYLEY).
S t e l l i n g 8. De driehoeken ABC en A i B ] C i zijn verwisselbaar. Daarmee bedoelen wij, dat men een koppelkromme kan vinden (zelfs een speciale bundel), die A A i B i C i tot brandpuntsdriehoek en A ABC tot dubbelpuntsdriehoek bezit {P^).
Stelt men zich zo'n koppelkromme F voor, dan kan men I^ als volgt bepalen:
Gegeven zijn de relaties (1) van § 4. Het is nu de vraag of de verge-lijkingen
S = Si + (V - ^ 1 ^ ) % = ^ - (V - ,.') V ^ ^
Pi — yi Pi — yien
T = Tl + {öi' - ei*) ^"' 7 ^-) ^'^^ - {ö,' - ,2*) ^"^ - ^ ' Y ' ' ^
Pi — yi Pi — yi oplosbaar zijn naar de onbekenden^i' — Q' en Ó2* — 02*.
Uit de waarde van de determinant blijkt, dat dit het geval is, indien
S t e l l i n g 9. De lijnen van Wallace van een punt van de
eenheids-cirkel t.o.v. de driehoeken ABC en AiBiCi zijn parallel.
{O.a. is dus de Wallace-lijn van A t.o.v. A A i B i C i evenwijdig met de hoogtelijn ha in A ABC).
Bewijs: Zij een punt op de eenheidscirkel gegeven als D ( Ó , - j ) . D a n is volgens E.D.I.A.C. pag. 9, § 19 de vergelijking van de lijn van W A L L A C E t.o.v. A ABC:
p ( 2 y - ^ - j ) - d { 2 x - S - d ) = 0 . . . . (1)
De richtingscoëfficiënt is dus = - ^ Die van de Wallacelijn t.o.v. A A i B i C i = p - = eveneens ^ . D e twee lijnen zijn dus evenwijdig.
r i r M e n kan deze stelling 9 nog anders formuleren:
Heeft men een parabool en daarvan een raaklijnendriehoek, dan ligt het brandpunt der parabool op de omgeschreven cirkel van de driehoek, terwijl de Wallace-lijn van dat brandpunt t.a.v. die driehoek identiek is met de topraaklijn der parabool (zie bijv. RUTGERS, Inleiding tot de Anal. Meetkunde I (1943) pag. 180). D e richtlijn krijgt men door deze topraaklijn met het brandpunt als centrum met 2 te vermenigvuldigen. Stelling 9 krijgt dan de vorm 9*:
S t e l l i n g 9*. De richtlijnen van twee confocale parabolen, waarvan
de ene is ingeschreven in de brandpuntsdriehoek en de andere in de dubbel-puntsdriehoek van de koppelkromme zijn evenwijdig.
Opmerking: H e t bestaan van dergelijke parabolen kan desgewenst worden gecontroleerd met de bij het bewijs van stelling 12 gebruikte methode. H e t blijkt dan, dat men in (2) A en ^i gelijk moet nemen. D e coördinaten van het brandpunt zijn dan l-r-, A, 7j.
S t e 11 i n g 10. De lijnen van WALLACE van de punten Ai, Bi en
Cl t.o.v. driehoek ABC, benevens die van de punten A, B en C t.o.v. driehoek AiBiCi gaan door één punt. Dit punt is het midden van de verbindingslijn van de hoogtepunten van beide driehoeken.
Het hoogtepunt van A A B C is gegeven door het punt H ( S, -^)
(zie E.D.I.A.C. pag 6, § 12). / T \
Dat van A A j B i C i door Hi ( Sj, - p ^ j . Het midden van de verbin-T + verbin-Tl
dingslijn dus door 7 2 ( S + S i ) ; 1/2 P
Wij nemen er één der 6 lijnen uit, b.v. die van A i t.o.v. A ABC. D e overigen kunnen op dezelfde wijze worden nagerekend.
D e vergelijking van deze lijn is (volgens (1):
Hierin vullen wij in:
S-f Si T + Tl en y —
2P •
Er komt na uitwerking inderdaad nul. Daarmee is stelling 10 be-wezen.
S t e l l i n g 11. Ieder hoekpunt van een der driehoeken ABC of AiBiCi is in de isogonale verwantschap, die op de andere driehoek is
be-trokken, toegevoegd aan het oneindig verre punt van de overstaande zijde.
Wij rekenen een der zes gevallen na en bepalen het aan Ai toege-voegde punt in de isogonale verwantschap, betrokken op A ABC.
Al = A l ( « 1 , ^ , 7 ) .
Het toegevoegde punt vinden wij (zie § 7) uit: X = v ( g i , l , 7 )
U {ai, 1,7)
Y
Z
= -w(ai,l,7)X = P~ - T - - g i + S = - - x(gi* - Sgi - - + T
Oi' ai ai \ aiai' - Sai- pl+ T
Z ' i x s . ' ) " "
-De coördinaten van het aan Ai toegevoegde punt zijn dus na vereen-voudiging
V Piyi /
Nu is de homogene vergelijking van de overstaande zijde BjCi: Piyi \Pi Yi'
zodat het bovengevonden punt inderdaad het oneindig verre is van BiCi.
S t e 11 i n g 12. De dubbelpuntsdriehoek en de brandpuntsdriehoek
be-zitten een gemeenschappelijke ingeschreven parabool, waarvan het brand-punt op de omgeschreven cirkel ligt.
Immers: Elke lijn door het hoogtepunt van een driehoek is richtlijn van een parabool die aan de zijden raakt. Zij bepaalt bij gegeven drie-hoek de parabool. Men behoeft slechts de verbindingslijn der beide hoogtepunten als richtlijn te kiezen om een parabool met de genoemde eigenschap te krijgen. Wij rekenen het nog eens voor om de coördinaten van het brandpunt te bepalen.
De klassevergelijkingen van parabolen, die resp. raken aan de zijden van A ABC en A AiBiCi luiden:
Pu' — Suv — vw -\- X{ Tuv — v' -{- Puw) = O 1
PiU* — Siuv — vw -\- ki{ Tiuv — v' + Piuw) = O j Hieraan is voldaan door de lijn u = u = O
w == 7
Het zijn dus parabolen.
We controleren bijv. of BiCi tot de tweede verzameling behoort en stellen dus:
PlYl' " •' - p,y, en vullen deze waarden in de tweede vergelijking in:
J^-(a.+ P. + yi) X -^— + - j ^ +
+ K
(«1/3, + PiYr + aiyi)4--- ? - aipiYi^^'-^ ^"^ = 0.PiYi ' ^ ' ' ' i5i*yi*
De vraag is nu of beide vergelijkingen dezelfde parabool kunnen voor-stellen door geschikte keus van A en Ai. Daartoe moeten de overeen-komstige coëfficiënten evenredig zijn:
P _ - S -\- XT ^ XP ^ - X ^ - 7
Pi - Si + XiTi~ XiPi~ -Xi~ -7
d.w.z. men moet X = Xi kiezen en verder
-S-^XT ^^ ^^ Si- S
-Si + XTi T i - T '
De vergelijking wordt dan:
(Tl - T) {Pu' - vw) + (S, - S) {Puw - v') -h \
+ ( S i T - STi)ut; = O f (3)
We bepalen de coördinaten van het brandpunt K. Daartoe bepalen we eerst de vergelijking van de raaklijnen uit de isotrope punten.
d. Il (7, O, 0); raaklijn . . . . Y — XZ =- O
u — O v = 7 w = — X.
Dit ingevuld in (3) geeft:
Si - S ( T l - T ) A - ( S i - S) = 0 X =
T-b. h (O, /, 0); raaklijn X — fiZ = O u = 7 V = O w = ~ IX Tl {Tl ~ T) P + {Si -S) X - P/x = O -* fi Si H e t brandpunt is dus: f^(Tx-T Si Si-S'
Ti-Dit punt ligt op W = 0.
S t e 11 i n g 13. Zij K het brandpunt van die parabool, die is
inge-schreven in de dubbelpuntsdriehoek A i B i C i en in de brandpuntsdriehoek ABC, dan geldt:
KAX KB X KC = KAï x KBi x KCi Deze stelling vindt men ook bij B E N N E T T .
Neemt men voor K voorlopig («, —1 dan is
Vxa
Wij berekenen
KA X KB X KC - KAï x KBi x KCi =
^ i» {x - a){x - P) {x - y) i^ {x — ai) {x — Pi) {x - yi) ^
VJeSP V^^i
^ i^ [x^ - Sx'-\~ Tx - P -x^ + Six* - Tix + P] ^
_ - i [ ; . * ( S i - S ) _ - ( T i - T ) ; . ] ^ - i [x (Si - S) - ( T i - T)]
Vx^P VxP
T — T
Dit verschil is dan en slechts dan = O als « = „^ _ ^^ ; dus als
K = brandpunt der parabool. K is het enige punt met de genoemde eigen-schap.
S t e l l i n g 14. Door B E N N E T T werd het volgende resultaat ge-vonden.
Hij berekende het product:
AAi X A B i X A C i (en overeenkomstige producten).
A A i X A Bi X A Cl = (zie daarvoor afleiding van de vorige stelling) = i" (a - ai) (g - pi) {a - yO _ i' [a^ - Sia' -\- Tia - P J _
Va^aiPiYi Va^aiPiYi
volgens § 3 ; (5)
d* (g - P) (g - y) Py
~i^'-<^i^- a{p-y)'
^^(j_d'{a-P){a-Y)PY Ri (P - y)' - R i ' (« •ia-Y)P P-Y Y)PY p-y + R.'^ P)PY VcfiaPy- i\a^- Sa' + Ta-P+ Ri'^-^-p^^^- R^^-^-=-^h^ +
I P — Y P — Y
Ri'{a-Y)aPY R,'{a - P) apy p-y ^ p-y a- Vpy
[Ri'{a-y)'P-R,'{a-P)'Y] _ a{p-Y)VJy
P-Y ^ [Ri'P(«-y)*- R2'Y(«- P)']
X
= - BC X
/py a{p- y)*
- (y - «)' - (a - /?)* Ri* ya - R . aP
-{P-yY "* -{P-y)'
= -BC py R l ^ - ^ - R 2 ^ 4 i ^ BC BC ^-BC PY d 2 d 2 R 2 .^2 D 2 ^ = -f BC(volgens Stelling 6 en figuur 3)
= 2 1
AM - AN
Wij hebben nu dus:
AAi X ABi X ACi = BC AM -AN
met twee overeenkomstige relaties (zie voor de betekenis der letters fig. 3). §. 11 HET BEGRIP BUNDEL.
S t e l l i n g 15. Elke tricirculaire kromme van de graad 6 met drie
brandpunten A, B, C en drie dubbelpunten Ai, Bi, Ci zodanig, dat deze zes punten op één cirkel liggen en dat de zijden der driehoeken aan één parabool raken, is een koppelkromme.
Uit de afleiding van Stelling 12 blijkt onmiddellijk, dat uit de laatst-genoemde voorwaarde volgt P = Pi. Deze conditie is niet alleen vol-doende voor het raken der 6 driehoekszijden aan één parabool, zij is ook noodzakelijk. Men kan nu uit de vergelijking (1) van § 4 de groot-heden dl* — Ri* en d2* — R2* oplossen. Er komen nog 00^ oplossingen; immers men kan bijv. d willekeurig kiezen. Daaruit volgen vanwege de gelijkvormigheid van de koppeldriehoek met de driehoek der brand-punten de grootheden di en d2. Omdat di* — R]* en dj* — R2* bekend
zijn, kan men de armen Ri en R2 vinden en is het bewegend mechanisme volledig bekend.
(II) en (III) geven dan de vergelijking der kromme. Gebruikt men d als parameter, dan laat (II) zich schrijven in de vorm
r
+
xw' =
0.
Door elk punt van het platte vlak gaat één en slechts één exemplaar van deze verzameling.
De genoemde voorwaarden geven 27 condities. Een dubbelpunt geeft 3 condities; een drievoudig punt geeft er 6. Omdat de brandpunten zijn gegeven kent men de takraaklijnen in de isotrope drievoudige punten; dat geeft er nog 6 bij. Samen 9 - f l 2 - | - 6 — 27.
Nu is een kromme van de graad 6 door ^/a X 6 X 9 = 27 gegevens bepaald. Onze gegevens zijn dus afhankelijk en wij hebben te doen met een bundel. Door elk punt van het vlak gaat één en slechts één exemplaar van de bundel.
Er moeten 36 basispunten zijn; daarvan vallen er 3 X 4 == 12 in de dubbelpunten en 2 X 12 = 24 in de isotrope punten. Men bedenke daarbij, dat twee exemplaren van de bundel daar dezelfde raaklijnen hebben. Elke tak van één exemplaar heeft daar 4 snijpunten met de andere exemplaren.
Wij vinden dus het belangrijke resultaat:
S t e 11 i n g 16. De koppelkrommen met dezelfde brandpunten en
dezelfde dubbelpunten vormen een bundel.
Opmerking: Waar van bundel wordt gesproken, wordt een bundel van deze soort bedoeld.
§ 12. EIGENSCHAPPEN VAN GECONJUGEERDE PUNTEN.
S t e l l i n g 17. Ldten P en PQ twee geconjugeerde punten zijn in de
isogonale verwantschap, die de koppelkromme in zich zelf overvoert. Wij spiegelen het punt PQ t.o.v. de middelloodlijnen resp. van BC, CA en AB en noemen de spiegelpunten opvolgend P^ P^, P3. Indien wij P {met Po)
de koppelkromme laten doorlopen, beschrijven de middens van PiP, van
PiP en P3P cirkels. Middelpunten van die cirkels zijn de middens van de zijden BC, CA en AB der brandpuntsdriehoek. De stralen zijn de hoogte-lijnen uit P op de resp. bij BC, CA en AB behorende koppelstangen neer-gelaten {drievoudige voortbrenging).
Wij geven het bewijs voor punt Pi, dat betrokken is op BC. Daarbij gaan wij uit van Po en bepalen punt Pj.
Zij Po = Po (xo, 3'o) en Pi = Pi (xi, yi). Het midden van PoPi heeft als coördinaten
[V2 {xo + Xi), V2 (3'o + 3'i)]. Dit punt ligt op de middelloodlijn van BC. Nu heeft BC de vergelijking:
PY P Y
en die middelloodlijn:
Er komt dus
en omdat PoPi 1/ BC
'^TY'-yo^ yi = -ö- {xo + xi)
yi — yo =
PY ( X i — Xo)
Uit deze vergelijking volgt:
xi = PY yo 7 yi py XQ .(1) (2) (3)
H e t aan Po toegevoegde p u n t P heeft als coördinaten x en y, waarin
W' ^^ ~ PW • • ^ '
zie § 7.
Xo
W i j gaan uit van de 2de vergelijking van HAARBLEICHER, (II) (zie § 3).
U Wx
Py'^yp P^ YI
w
X [V - PyyW -f (/3 -f y)W] =d' (g - p)' (g - y)* g* {P - y)* W' of U aW x + P + Y V PyW y '^ ~^ + "77 p y ^ - d* (g - p)' (g - y)* «M|8 - y ) ' (5) Met behulp van (4) schrijft men hiervoor:
^ 0 I 1 PY iPyyo + X - p -y] ^ , i' (g - PY ^ i* (g - y)* ^ g ^ en volgens (3). Xi + X P + Y ay i'{p-y)' Y = d' AB X AC BC' yi + y
7 +
-p y = d*. AB' X AC' 4^C' (6)Het linkerlid is het quadraat van de afstand van het midden van BC (vast punt) tot het midden van P P i (veranderlijk punt).
Het rechter lid is constant. Er rest ons nog aan te tonen, dat dit het quadraat is van de hoogtelijn uit P op B C neergelaten.
Nu is AB' X AC' = d* 4 BC AB' X CA' X 'BC' AB' X CA' X BC'
dW:' xlsc'
X 76 X 1/4 hA' X BC BC(waarin hA = hoogtelijn uit A in de brandpuntsdriehoek) AB' X 'CA' X 'BC' .. hA' j , hA'
{4 Opp ABC
X = d*
BC BC
is (omdat A ABC co de koppeldriehoek) gelijk aan het quadraat van de hoogtelijn uit P in de koppeldriehoek.
Daarmee is stelling 17 bewezen.
S t e l l i n g 18. Twee geconjugeerde punten van een koppelkromme
corresponderen met twee standen van het bewegend voortbrengend mecha-nisme, die t.o.v. de vaste stang eikaars spiegelbeeld zijn. (HIPPISLEY).
Daarvoor hebben wij de volgende hulpstelling nodig.
Wij beschouwen een positie van het punt P der koppelkromme en de
daarmee verbonden figuur der drievoudige voortbrenging. Beschouwen wij verder de koppelstang, die bij BC hoort, gespiegeld t.o.v. BC. De positie van het punt der koppelkromme, dat bij deze nieuwe stand der koppelstang hoort zij P. Ook P kan op drie wijzen worden voortgebracht. Daarbij
Fig. 4. 36
horen weer drie posities van een koppelstang. De bewering is nu: niet alleen de beide koppelstangen van P en P zijn gespiegeld t.o.v. BC, maar ook de beide andere paren koppelstangen liggen gespiegeld t.o.v. elkaar en wel met betrekking tot de vaste stang, waarbij ze horen.
Zie figuur 4; daarbij hebben wij de letters (vergeleken met figuur 3) veranderd om goed te kunnen aangeven welke punten bij elkaar horen. Wij voeren de hoeken 6>i, ©g en ©3 op de volgende wijze in; daarbij mogen wij omdat de koppeldriehoeken gelijkvormig zijn met de drie-hoek ABC zetten:
0, = 6>, Cs en P = Al = B2 = Cs) Z (AsBs, AB) L {B,Cs. BC) = 0., Z (CsAs, CA) (daarbij is P = Ai = B2 Z ( B i C i , BC) Z ( A i B i . AB) Z (CiAi, CA) Z (C2A2, CA) Z (B2C2, BC) Z (A2B2, AB) Daaruit volgt: Z ( B B i . BC) = ©s Z ( B , C i , BC) = 01 • Z ( C i C , B C ) = 6>2 Z^{AA„AB) = © 2 Z (AsBs, AB) = ©s 1,{B,B,AB) = © 1
De koppelstang B B i C i C wordt gespiegeld t.o.v. BC.
/_{BBi^BC) = - © 3 . Z (Bi Cl, BC) = - ©1 > \ ^ ^^^' ^ ^ ) = l Z ( C i A i , C A ) = Z (CC2. CA) = ©1 Z (C2A2. CA) = ©2 Z (A2A, CA) = ©3 Z (Cl C, BC) = -*L ( B s Q , BC) = ( a ) . . Z ( A 3 B 3 , A B ) = Z (CsAs, CA) = Hieruit volgt: ©1 ©1 Z ( B s ^ , AB) Z (CC2, CA) Z (A2A, CA) - 0 1 - © 1 - © 3 Z (AAs, AB) = -Z ( B 2 C 2 , BC) = - ©2 Z (C2A2, CA) = - ©2 Z ( A 2 B 2 , A B ) = - © 2 . . . . (d) . . . . (fe) . . . . (b) . . . . (d).
De resultaten (d) geven aan dat B B 3 A 3 A het spiegelbeeld is van BBsAsA t.o.v. AB
en de resultaten (b), dat C C 2 A 2 A het spiegelbeeld van CC2A2A t.o.v.
Zij nu BMo No C een positie der stangenvierzijde, die de stand Po voortbrengt.
Wij bepalen eerst de figuur, die daarmee symmetrisch is t.o.v. de middelloodlijn van BC (in figuur 5 met m aangeduid). Deze figuur is
CMiNj B met punt Pi; nu vermenigvuldigen met — 1 t.o.v. ƒ (midden B C).
Er komt dan BM'N^C met Pi\
Dit had ook verkregen kunnen worden door de oorspronkelijke figuur te spiegelen t.o.v. BC. Zij P^ het spiegelbeeld t.o.v. M W van Pi^ Dan is P^ het punt der koppelkromme, dat bij MW* hoort.
p = midden van PiP^
p^P : p^pi = PJ : p^p^i = 1 : 2
pi = ^Iz P^Pi^ = hoogtelijn uit P in de koppeldriehoek. D.w.z. de
m. pi. van het midden van de lijn, die Pi met P^ verbindt is een cirkel met I als middelpunt en genoemde hoogtelijn als straal.
Stelling 17 leerde, dat de m. pi. van het midden van de lijn, die P i met het geconjugeerde punt P van Po verbond deze zelfde cirkel was. W i l men nu bij Po het geconjugeerde punt construeren, dan construere men eerst P i en vermenigvuldigt voornoemde cirkel Ki met 2 t.o.v. P i . Dat geeft Kji, waarop P moet liggen. M e n kan de redenering herhalen voor de punten Pg en P3 (PQ spiegelen t.o.v. de beide andere middel-loodlijnen).
Er komen drie cirkels, die één punt gemeen hebben ( P ) ; wij weten immers dat er zo'n punt P is. De drie cirkels zullen zeker geen twee punten gemeen hebben, omdat hun middelpunten niet collineair zijn. M e n kan dezelfde redenering herhalen voor het p u n t P ' , dat het punt is behorende bij de t.o.v. BC (maar ook t.o.v. CA en AB) ge-spiegelde koppelstand.
Opmerking: O p het moment in het betoog, dat men overgaat naar de drie cirkels, gebruikt men de hulpstelling.
Ook P^ treedt op als snijpunt der drie cirkels en valt dus — er is hoogstens één snijpunt — met P samen. Daarmee is stelling 18 be-wezen.
Vermenigvuldigt men P i ' uit PQ met ^U dan komt het beeldpunt van P i ' in het voetpunt der loodlijn uit Po op BC neergelaten.
Men construeert met dit voetpunt als middelpunt een cirkel met de hoogtelijn uit P in de koppeldriehoek als straal.
Deze cirkel is bij de vermenigvuldiging de productfiguur van Ku. O p de zelfde wijze ontstaan nog 2 overeenkomstige cirkels, die h u n middelpunten hebben in de voetpunten der loodlijnen uit Po op CA
en AB neergelaten. De cirkels gaan weer door één punt.
Wij geraken zo tot het resultaat van HIPPISLEY, waarop in de inleiding is gezinspeeld.
S t e l l i n g 19. Ldten wij uit een punt PQ der koppelkromme
lood-lijnen neer op de zijden van A ABC, dan hebben de voetpunten daarvan elk een constante afstand tot een zeker bewegend punt. Dit punt is het midden van de lijn, die PQ met zijn geconjugeerde punt verbindt. De con-stante afstanden zijn de hoogtelijnen uit P in de drie koppeldriehoeken getrokken.
(Daarbij neme men bij het voetpunt op elke zijde van A B C de hoogte-lijn uit die koppeldriehoek, die hoort bij de voortbrenging, welke die zijde tot vaste stang bezit).
W i j merken nog op bij figuur 5: bij elk punt p horen twee standen van het mechanisme; pi Z M W . Spiegel p ƒ t.o.v. lijn m, dan is de gespiegelde lijn Z MQNO. De richting van Mo^o is nu bekend. Als Mo
een cirkel om B beschrijft, moet No gezocht worden o p een congruente cirkel, die uit de eerste ontstaat door verschuiving over de afstand MQNO in de richting MQNO. De verschuiving kan worden uitgevoerd in twee tegengestelde richtingen, zodat er twee cirkels ontstaan. Bovendien ligt No op een cirkel met C als middelpunt. Er komen maximaal vier posities der stangenvierhoek; twee behoren bij p en twee bij het t.a.v. p diametraal gelegen punt.
Verwisselt men PQ en P*, dan komt er een nieuw punt p, dat met het eerste t.o.v. lijn m is gespiegeld.
S t e l l i n g 20. Zijn P en Po twee geconjugeerde punten van een
koppelkromme en H het hoogtepunt van de brandpuntsdriehoek ABC, dan geldt als P de koppelkromme doorloopt:
HP + HPo = Q'; daarin stelt Q een constante voor.
Deze stelling is afkomstig van BENNETT.
Zij P gegeven als P (x, y) dan is Po gegeven door
»\ W' PWJ
zie daarover § 12 (4). en His H ( S , | )
zie § 10. Stelling 10. Dan moet voor elk punt P, dat op de koppelkromme ligt worden bewezen
( x - S ) ( ^ - ^ ) + ( ^ + s ) ( - ^ + ^ ) = , 2 . . . (7) De vraag is of het mogelijk blijkt g zó te kiezen, dat deze vergelijking overgaat in die der koppelkromme, waaraan x en 3; voldoen, omdat P op die kromme ligt.
We herleiden eerst (7):
xyW' - -J xW' - SyW' +
- f ( ^ - e * ) W*-h (V-f S U / ) ( - ^ - f ^ w ) = 0. Wij stellen nu:
" ^ ^ CA.,( d' R2* Ri* \
""XtgA^ tgB^ tgC.r
+ / ^^
Q dus een constante. Er komt:
(V + SW) (-p- + ^ ^ ) - ^ x^' - SyW' +
1 wL-v 7 \ 2 ^xBCxCA (_d!_ , ^RBI , A l ^
+ W\^xy^_J^+2 _ , ""[tgA + tgB^tgC.
{V+SW)[y- + ^w)-^xW'- SyW'+W'-^
= O.+ W'
40 _ AB X BC X CA I d' R2* , Ri* ^ \tgA tgB tg ClDit is inderdaad (IV) van HAARBLEICHER. De constante Q is bepaald en de stelling 20 bewezen.
Nu is
OH' = ( O - S ) ( O - ^ ) = ^ .
7rr?2
OH - ^ BC \tgA ^ tgB ^ tgC AB X CA( d' : R2' Ri'
Daarbij is de straal der gemeenschappelijke omgeschreven driehoek van brandpunts- en dubbelpuntsdriehoek = 1 genomen.
Stellen wij haar = R, dan krijgen wij:
HOOFDSTUK III
KROMMEN, DIE MET KOPPELKROMMEN ZIJN VERBONDEN
§ 13. DE MIDDENKROMME Q.S t e 11 i n g 21. De meetkundige plaats van het midden van de
ver-bindingslijnen van twee geconjugeerde punten P en Po van een koppel-kromme, is een kromme van de derde graad.
Wij noemen dit midden CD — CD {i, rj).
P=P{x,y) en ^ = P, ( - ^ , - ^ ^ ^
Wij substitueren voor U, V, W de bekende veeltermen. Er komt ^0 {xy - r) = - Py' + Tiy + x - Si
3-0 {xy- 1)P= -x' + Six -1- P3' - Tl. Hieruit lossen wij Ti en Si op en vinden.
Tl = xXo-f P ( 3 ' + ^-o) (1) Si = X -f Xo + P3'3'o (2) Voor (O als midden van PPo geldt voorts:
X - f Xo =
= 21 }
= 2rj J
^ . . (3)
y + yo
Wij kunnen (3) in (1) en (2) invullen en xxo en 3'3'o oplossen; het resultaat is:
xxo = Tl- 2Prj \
Pyyo=Si-2i j
xxo en 3'3'o zijn dus wortels resp. van de vergelijkingen X* - 2 lx + Tl - 2 P»? = O I en Pj* - 2 P»?3' + Si - 2 I = O j
Nu geldt volgens stelling 20 voor elk puntenpaar PPo der koppel-kromme, dat onderling geconjugeerd is:
HP' + HPo = Q'
Hco is zwaartelijn in A HPPo, zodat wij kunnen schrijven IÜ>' = V2 (HP' + HPo') - V4 PPo'
waaruit
2^' + 2Hm' = Q' (6)
Vullen wij deze afstanden in, dan volgt:
2{x - i){y - v) + 2{^ ~ S)[v - y)= e' . . (7)
Wij kunnen zowel (6) als (7) beschouwen als een vergelijking van de koppelkromme. Uit (5) volgt: X — y - V
±]/r,'
Ti-\-2r,P S i - 2 1 (8)Wij vullen (8) in in (7); daarna quadrateren wij:
2{x-$){y-ri) = Q'-2{^-S) (.? - -J
4{P-Ti + 2 rjP) x[v' + ^ - ^ ) =
= Q^-2{i-S)[v-^)
{P-Ti + 2>]P)[n' + ^ - ^ )
+
( l - S ) U - 0. (9)Dit is de m. pi. der middens der verbindingslijnen PPo. Zij is een kromme van de graad 3. De term van de graad 4, d.i. Pr]' valt weg. Deze kubische kromme zal verder worden aangeduid als de kromme Q
{middenkromme). Schrijven wij: n = p - Ti + 2riP i . _ S i p p V' + 2 ^ - ^ G = ( | - S ) ( , - | ) - | dan krijgt (9) de vorm (11)
7171^ G' = 0
(10)
(11)
71 = O en Tti = O stellen parabolen voor met (onderling verschillende)
isotrope eisrichtingen.
G = O stelt een cirkel voor met middelpunt H en straal ^ j^ Q \2.
§ 14. DE ANTIKROMME f.
Uit (8) van § 13 vinden wij bij elk punt (I, r]) vier punten P, Po, 71 en 7io.
S i - 2 1 TT x = ^ + Vp Ti + 2vP; y=v+ \ v' -X = I - VP - Tl + 2 r,P; y=n + ^ri'- ^ ' ~ ^ ^ Tlo . . .X = f + Vf* - Tl 4- 2 »?P; y=r]-^r,'- ^^-p^ Po I _ V | * - Tl + 2 »?P; y = n - ^ r , ' - ^^-p^
CD ( I , »^) is zowel het midden van PPo als van TTTTJ. Niet beide punten-paren liggen op de koppelkromme; slechts één. De meetkundige plaats van het andere paar noemen wij de antikromme q>.
M e n noemt TT, TTO het paar antipunten van P, Po en omgekeerd. Deze naam is afkomstig van BENNETT.
D e lijnen P^TO en TIPO zijn isotroop, want h u n vergelijkingen luiden: X = constant. Analoog zijn PTI en JTOPO isotroop met vergelijking y = constant.
De richtingscoëfficiënten van PPo en TITTO zijn resp.:
)/,'-^s^ y.'
S i - 2 fen —
VP - Ti-h 2T]P Vp- Ti-\-2rjP'
H u n som = O, zodat de diagonalen der vierhoek loodrecht op elkaar staan. Deze vierhoek is dus een ruit.
Verder is p ^ ' ' = ]/(f» - Tl -f 2 riP) [rj' - ^ ' ~ ^ ^ ) _ ] / ( p _ T l - f 2 ^ P ) (^* - A ^ ) en 2 TtO) zodat 2 2 PCO = — 710) ( 1 )
d.w.z. van de beide paren is één reëel en het andere imaginair. Bij een punt w op Q horen de punten P en Po; d.w.z. wordt de koppelkromme één maal doorlopen, dan doorloopt p u n t w de kromme Q twee maal.
Bij de afleiding van de vergelijking van Q (§ 13, 9) gingen wij uit van (6) van § 13. Wij zouden — er is gequadrateerd — hetzelfde resul-taat gevonden hebben, als wij niet uitgingen van de vergelijking, welke de vorm had:
maar van de vergelijking
2 2 rt^
p«, _ He = - I (3)
(3) stelt de kromme q) voor.
Wij bestuderen eerst de kromme, welke door die vergelijking wordt voorgesteld. (3) wordt herleid:
( x - l ) ( 3 ' - ' ? ) = ( S - | ) ( 1 - r ! ) - ^ .
{i, ri) is het midden van de lijn, die een punt P (x, y) der kromme met
zijn in de isogonale verwantschap t.o.v. A AiBiCi toegevoegde punt Po verbindt.
_ x - f Xo. _ y + 3^0
^ 2 ' ^ 2
Substitueren wij deze vormen dan komt na eenvoudige herleiding
2 ST xT X T
—p ^ p Sy — Syo + Xoy -\- xyo — Q'= O . . (4)
Uit deze vergelijking, welke symmetrisch is in Xo en x, zowel als in 3*0 en y, volgt, dat ook het punt Po op de kromme ligt. Wij kunnen ook als volgt formuleren:
S t e l l i n g 22. De antikromme <p is in de isogonale verwantschap
t.o.v. de punten AiBiCi ddn zich zelf toegevoegd, zij is verder van de graad 3.
(4) kunnen wij verder behandelen als volgt:
p pv w) ^v PW) ^w"" PW ^ -^•
2STW-T{xW-V)-S{PyW-U)-yVP-xU-e'PW=0 . .(5)
(5) stelt (p voor. Deze kromme is dus van de graad 3; zij is algemeen.Wij hebben nu ook:
S t e 11 i n g 23. De kromme Q van de graad 3, welke de meetkundige
plaats is van de middens van de lijnen, die een veranderend punt P {op de koppelkromme C,) met zijn toegevoegde punt Po verbinden is tevens meetkundige plaats van de middens van de lijnen die toegevoegde punten 71 en TIQ der antikromme <P3 met elkaar verbinden.
Opmerking: In aansluiting aan BENNETT noemen wij die koorden PPo verder hoofdkoorden der koppelkrommen (principal chords).
Wij schrijven de vergelijkingen van koppelkromme en antikromme nog eens neer.
