Maciej Piechowiak, dr inż. Piotr Zwierzykowski WPŁYW PARAMETRÓW TOPOLOGII SIECI NA EFEKTYWNOŚĆ ALGORYTMÓW POŁĄCZEŃ ROZGAŁĘŹNYCHSesja: Nowe obszary badań systemów i sieci telekomuniacyjnych.Uniwersytet Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy

Pełen tekst

(1)www.pwt.et.put.poznan.pl Maciej Piechowiak*, Piotr Zwierzykowski Politechnika Poznańska Instytut Elektroniki i Telekomunikacji ul. Piotrowo 3A, 60-965 Poznań {mpiech,pzwierz}@et.put.poznan.pl. 2005. Poznańskie Warsztaty Telekomunikacyjne Poznań 8 - 9 grudnia 2005. WPŁYW PARAMETRÓW TOPOLOGII SIECI NA EFEKTYWNOŚĆ ALGORYTMÓW POŁĄCZEŃ ROZGAŁĘŹNYCH Streszczenie: Analiza efektywności algorytmów dla połączeń rozgałęźnych wymaga zastosowania struktur odzwierciedlających topologię sieci. W artykule przedstawiono zależności efektywności reprezentatywnych algorytmów heurystycznych od zmienności parametrów określających topologię sieci.. 1. WPROWADZENIE Rozwój współczesnych sieci transportu informacji umożliwił transmisję danych multimedialnych w czasie rzeczywistym (np. transmisja radiowa i telewizyjna, wideo na żądanie czy telekonferencje) [1]. Dla zapewnienia poprawnej transmisji tego typu danych wymagane jest określone pasmo, a przede wszystkim opóźnienie między węzłem nadawczym i odbiorczym utrzymane na stałym, nieprzekraczalnym poziomie. Zjawisko fluktuancji opóźnienia (ang. jitter) jest w tym wypadku niepożądane. Sposób transmisji tego typu danych przypomina technikę rozsiewczą (ang. broadcasting), jednak w praktyce istnieje określona grupa węzłów odbierająca równolegle te same dane w tym samym czasie. Transmisja grupowa (ang. multicasting) wymaga wydajnych algorytmów routingu wyznaczających drzewo o minimalnym koszcie między węzłem nadawczym, a poszczególnymi węzłami reprezentującymi odbiorców. Takie rozwiązanie zapobiega powielaniu tych samych danych (pakietów) w łączach sieci. Rozgałęzianie przesyłanych danych następuje tylko w tych węzłach sieci, które prowadzą bezpośrednio do węzłów odbiorczych [2]. Jeżeli sieć komunikacyjną przedstawimy jako graf, wynikiem działania takiego algorytmu routingu będzie drzewo rozpinające zakorzenione w węźle nadawczym i obejmujące wszystkie węzły odbiorcze wchodzące w skład grupy multicast. W procesie optymalizacji wyróżnić można dwa rodzaje drzew: minimalne drzewo Steinera (MST - ang. Minimum Steiner Tree) oraz drzewo najkrótszych ścieżek między węzłem źródłowym, a każdym z węzłów odbiorczych (SPT - ang. Shortest Path Tree). Znalezienie minimalnego drzewa Steinera, będące problemem N P* autor jest pracownikiem Instytutu Mechaniki Środowiska i Informatyki Stosowanej Uniwersytetu Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy. PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005. zupełnym, prowadzi do struktury o minimalnym koszcie całkowitym. Literatura prezentuje szereg heurystyk rozwiązujących powyższy problem w czasie wielomianowym [4–6]. Z punktu widzenia zastosowania w transmisji danych w sieciach pakietowych najpopularniejszą techniką jest algorytm KMB [4]. Druga metoda (SPT) minimalizuje koszt każdej ścieżki między nadawcą, a każdym z członków grupy multicast tworząc drzewo ze ścieżek o najmniejszym koszcie. W ogólności stosuje się algorytm Dijkstry [7] lub Bellmana-Forda [8], a następnie odcina gałęzie drzewa, które nie zawierają węzłów odbiorczych. W celu zapewnienia niezawodnej transmisji aplikacje multimedialne stawiają wysokie wymagania parametrom jakościowym (ang. QoS - Quality-ofService). Wymagania jakościowe dotyczące m.in. stałej gwarantowanej wartości opóźnień związanych z przejściem pakietu pomiędzy węzłem nadawczym i odbiorczym po określonej ścieżce w sieci są wciąż wyzwaniem dla projektantów aplikacji czasu rzeczywistego. Dlatego proces optymalizacyjny przeprowadza się przy użyciu drugiej metryki sieci - opóźnienia (d). Maksymalne opóźnienie między dwoma końcowymi punktami w sieci (∆) jest kryterium wykorzystywanym przy konstruowaniu drzew multicast. W pracach [4,9] udowodniono, że znalezienie takiego drzewa jest problemem N P-zupełnym dla jednego i większej liczby parametrów QoS. Z uwagi na złożoność problemu prezentowane algorytmy stosują techniki przybliżające rozwiązanie - heurystyki. Analiza efektywności istniejących algorytmów i projektowanie nowych rozwiązań, opiera się na numerycznych symulacjach bazujących na abstrakcyjnym modelu rzeczywistej sieci. Te z kolei wymagają struktur (modeli sieciowych) możliwie najwierniej odwzorowujących sieć Internet. W celu modelowania topologii sieci Internet nie jest jednak konieczne i celowe opisywanie całej sieci. Dynamika zmian topologii związana z losowym dołączaniem i odłączaniem hostów nie pozwala na zbudowanie modelu odzwierciedlającego aktualną strukturę. Z punktu widzenia efektywności badanych algorytmów, użycie takiego modelu w procesie symulacji jest nieekonomiczne i cechuje się dużą złożonością obliczeniową. Okazuje się, że wystarczające jest badanie ruchu w pojedynczych domenach (lub systemach autonomicznych), a także ruchu międzydomenowego, po-. 1/6.

(2) www.pwt.et.put.poznan.pl nieważ takie badania odzwierciedlają większość zdarzeń zachodzących w całej sieci. W artykule przedstawiono działanie oraz porównano efektywność popularnych algorytmów heurystycznych w zależności od parametrów topologii sieci oraz od modeli zastosowanych do generowania topologii. W rozdziale trzecim zaprezentowano algorytmy heurystyczne jednokryterialne bez uwzględnienia opóźnienia w sieci (na przykładzie algorytmu KMB [4]) oraz algorytmy dwukryterialne (z ograniczeniami): KPP (Kompella, Pasqualle, Polyzos) [10] oraz CSPT (ang. Constrained Shortest Path Tree) [5]. Rozdział czwarty przedstawia metodologię generowania struktur reprezentujących badaną topologię sieci (model Waxmana i Barabasi-Alberta). Rozdział piąty definiuje i omawia podstawowe parametry struktur sieci. Rrozdział szośty zawiera wyniki symulacji zaimplementowanych algorytmów i ich interpretację. 2. MODEL SIECI Załóżmy, że sieć komunikacyjna reprezentowana jest jako skierowany, spójny graf N = (V, E), gdzie V jest zbiorem węzłów, a E - zbiorem łączy między węzłami sieci. Istnienie łącza e = (u, v) między węzłem u i v pociąga za sobą istnienie łącza e0 = (v, u) dla dowolnych u, v ∈ V (odpowiednik łączy dwukierunkowych w sieciach komunikacyjnych). Z każdym łączem e ∈ E skojarzone są dwa parametry: koszt C(e) oraz opóźnienie D(e). Koszt połączenia reprezentuje wykorzystanie zasobów łącza. C(e) jest zatem funkcją wielkości ruchu w danym łączu i pojemności bufora wymaganej dla tego ruchu. Opóźnienie w łączu z kolei jest sumą opóźnień wprowadzanych przez propagację w łączu, kolejkowanie i przełączanie w węzłach sieci. Grupa multicast jest zbiorem węzłów będących odbiorcami ruchu grupowego (identyfikacja odbywa się na podstawie unikalnego adresu i), G = {g1 , ..., gn } ⊆ V , gdzie n = |G| ≤ |V |. Węzeł s ∈ V jest źródłem dla grupy multicast G. Drzewo multicast T (s, G) ⊆ E jest drzewem zakorzenionym w węźle źródłowym s i obejmującym wszystkich członków grupy G. Całkowity koszt P drzewa T (s, G) można określić jako t∈T (s,G) C(t). Ścieżka P (s, G) ⊆ T (s, G) jest zbiorem łączy między s a gP ∈ G. Koszt ścieżki P (s, G) można przedstawić jako p∈P (s,G) C(p), natomiast opóźnienie mierzone P między początkiem i końcem ścieżki: p∈P (s,G) D(p). Stąd też maksymalne opóźnienie w drzewie można P wyznaczyć jako maxg∈G [ p∈P (s,G) D(p)]. Drzewo Steinera jest dobrą reprezentacją rozwiązania problemu routingu multicast. Takie podejście nabiera szczególnego znaczenia, gdy mamy do czynienia tylko z jedną aktywną grupą multicast, a koszt całego drzewa ma być minimalny. Ze względu jednak na złożoność obliczeniową tego algorytmu (problem N Pzupełny) [9] stosuje się algorytmy heurystyczne. Jeżeli zbiór węzłów minimalnego drzewa Steinera zawiera wszystkie węzły danej sieci, wtedy problem sprowadza się do znalezienia minimalnego drzewa rozpinającego. PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005. (rozwiązanie to można uzyskać w czasie wielomianowym). 3. ALGORYTMY HEURYSTYCZNE A. Algorytm KMB Kou, Markovsky i Bermann zaproponowali następujący algorytm heurystyczny (KMB) wyznaczający minimalne drzewo multicast [4]: • dla danego spójnego, nieskierowanego grafu N = (V, E) zawierającego zbiór węzłów odbiorczych G skonstruuj spójny, nieskierowany graf N1 = (V1 , E1 ), składający się tylko z węzła nadawczego s oraz zbioru węzłów odbiorczych G (ścieżki między węzłami grafu N1 stanowią ścieżki o najmniejszym koszcie w grafie pierwotnym N ), • wyznacz minimalne drzewo rozpinające T1 grafu G1 (jeśli rozwiązań jest więcej - wybierz jedno), • skonstruuj podgraf GS grafu G poprzez zastąpienie każdej krawędzi drzewa T1 odpowiadającej jej ścieżce z grafu G, • wyznacz minimalne drzewo rozpinające TS grafu GS (jeśli minimalnych drzew jest więcej - wybierz jedno), • skonstruuj drzewo Steinera TKM B z drzewa TS poprzez usunięcie liści, które nie zawierają węzłów odbiorczych. B. Algorytm KPP Przy konstruowaniu minimalnego drzewa heurystyka KPP wykorzystuje dodatkowy parametr (opóźnienie) dla każdej ścieżki w sieci definiując najkrótszą ścieżkę z wymuszeniem (constrained shortest path) jako ścieżkę o minimalnym koszcie przy założeniu, że wartość opóźnienia wzdłuż ścieżki nie przekracza ustalonej wartości ∆. Metoda ta zakłada, że opóźnienia w łączach oraz graniczna wartość opóźnienia ∆ są wartościami całkowitymi. Podobnie jak KMB, proponowany algorytm uwzględnia maksymalną wartość opóźnienia ∆ przy wyznaczaniu drzewa. Algorytm składa się z następujących kroków: • dla danego spójnego, nieskierowanego grafu N = (V, E) zawierającego zbiór węzłów odbiorczych G skonstruuj spójny, nieskierowany graf N1 = (V1 , E1 ), składający się tylko z węzła nadawczego s oraz zbioru węzłów odbiorczych G (ścieżki między węzłami grafu N1 stanowią ścieżki o najmniejszym koszcie w grafie pierwotnym N ) - innymi słowy N1 to graf połączeń każdy z każdym, • wyznacz drzewo rozpinające T1 grafu G1 biorąc pod uwagę każdą parę węzłów (u, v) i związane z daną ścieżką metryki: koszt C(u, v) oraz opóźnienie D(u, v) zgodnie z funkcją kosztów fc : ½ C(u, v) jeżeli Ds (u) + D(u, v) < ∆ fc = , (1) ∞ p.p. zastąp krawędzie powstałego drzewa oryginalnymi ścieżkami z grafu G (jeśli tak powstała struktura zawiera cykle - usuń je korzystając z algorytmu Dijkstry, wykorzystując opóźnienie jako kryterium). •. 2/6.

(3) www.pwt.et.put.poznan.pl C. Algorytm CSPT Heurystyka CSPT (Constrained Shortest Path Tree) wyznacza drzewo ograniczone o najmniejszym koszcie [5]. Jeśli opóźnienie na ścieżce do dowolnego węzła odbiorczego przekroczy ustaloną wartość graniczną, ścieżka ta zostaje zastąpiona ścieżką o najmniejszym koszcie. Tak więc, jeśli drzewo o najmniejszym koszcie przekracza graniczną wartość opóźnienia, wyznaczane jest drzewo o minimalnym opóźnieniu i obydwa drzewa są scalane. Algorytm realizowany jest w następujących krokach: • wyznacz minimalne drzewo rozpinające o najtańszych krawędziach (z użyciem algorytmu Dijkstry [7]), • usuń z drzewa gałęzie, które nie zawierają członków grupy multicast oraz gałęzie zawierające członków grupy multicast, dla których najtańsza ścieżka do węzła źródłowego przekracza maksymalne opóźnienie ∆, • wyznacz minimalne drzewo rozpinające zawierające krawędzie o najmniejszych wartościach opóźnienia (użyj algorytmu Dijkstry [7]) - zatrzymaj algorytm, gdy osiągnięte zostaną wszystkie węzły z grupy multicast pominięte w poprzednim drzewie (o najtańszych krawędziach), • scal drzewa uzyskane w obydwu etapach i usuń powstałe cykle (spośród gałęzi tworzących cykl usuń tę o największym opóźnieniu). Złożoność obliczeniowa algorytmu wynosi O(|V |2 ), ponieważ używa on algorytmu Dijkstry do wyznaczenia obydwu drzew [7].. 4. METODY GENEROWANIA TOPOLOGII SIECI Głównym celem artykułu jest analiza efektywności wymienionych algorytmów w identycznych warunkach sieciowych (rozmiar sieci, przyjęty model topologii, wartości metryk dla każdej z krawędzi itp.). W tym celu algorytmy opisane w poprzednich rozdziałach zaimplementowane zostały w języku C++. W trakcie badań do modelowania sieci wykorzystano metodę generacyjną Waxmana [11] i BarabasiAlberta [12]. Metoda Waxmana definiuje prawdopodobieństwo krawędzi między węzłem u i v jako: −d. P (u, v) = αe βL. (2). gdzie 0 < α, β ≤ 1, d jest √odległością euklidesową między węzłem u i v, a L = 2 jest maksymalną odległością między dwoma dowolnymi węzłami. Zwiększenie parametru α powoduje wzrost liczby krawędzi w grafie, podczas gdy zwiększenie parametru β zwiększa stosunek krawędzi długich do krótkich. Inne podejście do problemu zaproponowali Barabasi i Albert [12]. Proponowany model sugeruje dwie przyczyny występowania zależności potęgowych (power laws) w rozkładzie liczby krawędzi wychodzących z danego węzła: stopniowy wzrost sieci oraz preferencyjne przyłączanie. Wzrost sieci wynika z przyłącza-. PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005. BeginModel Name =1 #Router Waxman = 1, AS Waxman = 3 N = 40 #Number of nodes in graph HS = 1000 #Size of main plane (number of squares) LS = 100 #Size of inner planes (number of squares) NodePlacement = 1#Random = 1, Heavy Tailed = 2 GrowthType = 1 #Incremental = 1, All = 2 m = 2 #Number of neighboring node each new node connects to. alpha = 0.15 #Waxman Parameter beta = 0.2 #Waxman Parameter BWDist = 1 #Constant=1, Uniform=2, HeavyTailed=3, Exponential=4 BWMin = 500.0 BWMax = 1000.0 EndModel. Rys. 1. Konfiguracja topologii sieci aplikacji BRITE nia nowych węzłów do istniejącej struktury co powoduje stopniowe zwiększanie rozmiaru sieci, przy czym przyłączanie to odbywa się w sposób preferencyjny istnieje większe prawdopodobieństwo, że nowy węzeł połączy się z istniejącymi węzłami o dużym stopniu węzła (węzły popularne). Jeżeli węzeł u przyłącza się do sieci, prawdopodobieństwo, że połączy się z węzłem v (należącym już do niej) określa zależność: P (u, v) = P. dv. k∈V. (3). dk. gdzie dv jest stopniem węzła docelowego, PV jest zbiorem węzłów przyłączonych do sieci, a k∈V dk jest sumą wszystkich krawędzi wychodzących węzłów już przyłączonych do sieci. Przy tworzeniu modeli sieci opartych o powyższe metody wykorzystano generator topologii BRITE (Boston university Representative Internet Topology gEnerator) [13]. Aplikacja ta dostarcza szeregu modeli topologii sieciowych i związanych z nimi metod generacyjnych. Proces generacyjny przebiega w następujących etapach [3]: • rozmieszczenie węzłów sieci na płaszczyźnie, • połączenie węzłów sieci w celu stworzenia spójnej struktury (np. z wykorzystaniem metody Waxmana), • nałożenie atrybutów na połączenia między węzłami (koszt i opóźnienie) oraz na węzły, • eksport struktury do pliku w określonym formacie. Przyjęto model sieci, której węzły rozłożono na siatce kwadratowej o rozmiarach 1000 × 1000. Węzły zostały rozmieszczone losowo zgodnie z metodą Waxmana dla której przyjęto domyślne wartości parametrów α i β (α = 0, 15, β = 0, 2). Na istniejącą sieć połączeń nałożona została metryka kosztu c(u, v) (z przedziału od 500 do 1000) oraz wynikające z odległości euklidesowej między węzłami - opóźnienie d(u, v). Powyższe dane zawarte są w pliku konfiguracyjnym (Rys. 1). W trakcie symulacji istotnym elementem jest utrzymanie stałego średniego stopnia grafu (dla każdej generowanej sieci) definiowanego jako: Dav = 2k n (gdzie n oznacza liczbę węzłów sieci, a k - liczbę krawędzi), co w praktyce oznacza utrzymanie stałej liczby krawędzi. Przyjmuje się, że dla Dav ≥ 2 powstaje tzw. sieć dwupołączeniowa, która jest siecią spójną. Toronha i Tobagi [14] wykazali, że wydajność algorytmu routingu multicast zaimplementowanego w rzeczywistej sieci jest identyczna jak wydajność tego samego algorytmu w losowej sieci dwupołączeniowej.. 3/6.

(4) www.pwt.et.put.poznan.pl W implementacjach przyjęto wartości stopnia grafu z przedziału od 2 do 5. 5. PARAMETRY TOPOLOGII SIECI W celu uzależnienia wyników badanych algorytmów połączeń rozgałęźnych od topologii sieci, należy najpierw zdefiniować podstawowe parametry wykorzystywanych struktur: • średni stopień węzła (average node degree): (4). 3300 3200. gdzie n - liczba węzłów, k - liczba krawędzi, • średnica (ang. diameter) - jest długością najdłuższej spośród najkrótszych ścieżek między dwoma dowolnymi węzłami w grafie; mała średnica odpowiada krótszym ścieżkom w grafie, – hop-diameter - jest długością najdłuższej spośród najkrótszych ścieżek między dwoma dowolnymi węzłami w grafie, przy czym najkrótsze ścieżki są wyznaczane i oceniane na podstawie liczby skoków (hops) czyli krawędzi wchodzących w skład tej ścieżki (koszt jednostkowy), – length-diameter - jest długością najdłuższej spośród najkrótszych ścieżek między dwoma dowolnymi węzłami w grafie, przy czym najkrótsze ścieżki wyznaczane są z użyciem długości euklidesowej jako metryki, • współczynnik grupowania (ang. clustering coefficient) γv węzła v jest stosunkiem liczby łączy między węzłem v, a węzłami sąsiednimi do liczby możliwych łączy między węzłami sąsiadującymi [15]. Innymi słowy, jeśli przez Γ(v) oznaczymy sąsiedztwo węzła v (będące podgrafem zawierającym sąsiadujące węzły), słuszna będzie poniższa zależność:. 3100 3000 2900 koszt drzewa. 2k n. 2800 2700 2600 2500 2400. MST. 2300. KMB. 2200. SPT. 2100 2000 1900 5. 6. 7. 8. 9. 10. liczba w złów sieci. Rys. 2. Koszt drzewa multicast w funkcji liczby węzłów sieci (n) dla algorytmów bez ograniczeń (m = 3, Dav =3). 6400 5900 5400 koszt drzewa. Dav =. ści od liczby węzłów w sieci oraz liczby członków grupy (węzłów odbiorczych). Przeprowadzono je dla stosunkowo małej liczebności grupy oraz małej liczby węzłów sieci ze względu na dużą złożoność obliczeniową algorytmu dokładnego (MST). Dla n, m ≤ 10 otrzymane struktury generowane były w akceptowalnym czasie. Pozwala to jednak oszacować koszt drzew generowanych przez pozostałe heurystyki (SPT i KMB), gdyż dla nich procentowy przyrost całkowitego kosztu drzewa utrzymuje się na stałym poziomie w stosunku do metody dokładnej (dla większej liczby węzłów).. 4900 4400 3900 SPT. 3400. |E(Γ(v))| |E(Γ(v))| = γv = ¡kv ¢ k v (kv − 1) 2. KMB. (5). 2900. MST. 2400 1900. Wartość średnią współczynnika grupowania wyznacza się następująco: γ=. 1 X γv |V |. (6). v∈V. Powyższa zależność jest spełniona, gdy kv ≥ 2. Niech V (1) ⊂ V oznacza zbiór węzłów o stopniu równym 1. Uwzględniając ten warunek [16, 17]: γˆ =. X 1 γv |V | − |V (1) | v∈V. (7). Innym ważnym parametr, od którego uzależniona jest efektywność badanych algorytmów, jest liczba węzłów multicast (członków grupy), oznaczana jako m. 6. WYNIKI BADAŃ Badania przedstawione na Rys. 2 i 3 prezentują porównanie algorytmów MST, SPT i KMB w zależno-. PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. liczba w złów w grupie. Rys. 3. Koszt drzewa multicast w funkcji liczebności grupy (m) dla algorytmów bez ograniczeń (n = 10, Dav =3) Otrzymane wyniki potwierdzają dane literaturowe [18–20] wykazujące, że całkowity koszt drzew generowanych z wykorzystaniem algorytmu KMB jest średnio tylko 5% gorszy od wyników zwracanych przez metodę dokładną (MST). Metoda KMB jest zatem dobrym przybliżeniem algorytmu dokładnego i może być używana przy analizie porównawczej pozostałych heurystyk dla dużej liczby węzłów (nawet dla n = 1000). W kolejnym etapie eksperymentu zbadano algorytmy z ograniczeniami. Dla tej klasy wprowadzono dodatkowy parametr - maksymalne opóźnienie między węzłem nadawczym, a każdym z węzłów odbiorczych (∆). Istnienie tego parametru powoduje wzrost kosztu generowanych drzew wraz ze wzrostem liczby. 4/6.

(5) 60000. 6000. 55000. 5500. 50000. 5000. 45000. 4500. koszt drzewa. koszt drzewa. www.pwt.et.put.poznan.pl. 40000 35000 30000. 3500 KMB (Waxman). 3000. CSPT KPP. 25000. 4000. KMB (Barabasi). 2500. SPT (Waxman) SPT (Barabasi). 20000. 2000 50. 100. 150. 200. 4. 4,5. 5. 5,5. liczba w złów sieci. 160000. 6000. 140000. 5500. 120000. 5000. 100000. 4500. 80000 60000 CSPT KPP. 40000. 3500 3000 KMB 2500. 0. 2000 60. 80. 100. 120. 7. 4000. 20000. 40. 6,5. Rys. 6. Koszt drzewa multicast w funkcji średnicy sieci wyrażonej w kosztach jednostkowych (n = 40, m = 10, Dav =2). koszt drzewa. koszt drzewa. Rys. 4. Koszt drzewa multicast w funkcji liczby węzłów sieci (n) dla algorytmów z ograniczeniami (m = 40, Dav =5, ∆ = 10 ms). 20. 6. rednica sieci. 140. 160. 180. SPT. 0,9. liczba w złów w grupie. 0,95. 1. 1,05. 1,1. 1,15. współczynnik grupowania. Rys. 5. Koszt drzewa multicast w funkcji liczebności grupy (m) dla algorytmów z ograniczeniami (n = 200, Dav =5, ∆ = 10 ms). Rys. 7. Koszt drzewa multicast w funkcji współczynnika grupowania dla modelu Waxmana (n = 40, m = 10, Dav =2). węzłów sieci (Rys. 4 i 5). Przeprowadzone badania wykazały również, że dla 20% przypadków algorytm CSPT nie był w stanie skonstruować drzewa multicast, podczas gdy KPP zawsze zwracał wynik. Jest to bezpośrednio związane z liczbą ścieżek między węzłem nadawczym, a węzłami odbiorczymi. Istnienie połączeń każdy z każdym w ) zwiększa prawdopodobieńalgorytmie KPP ( m(m+1) 2 stwo utworzenia drzewa rozpinającego (w trzecim kroku algorytmu - patrz Rozdział 3.B), w skład którego wchodzić będą wszystkie węzły z grupy. Wyniki prezentowanych algorytmów (całkowity koszt drzewa multicast) uzależnione zostały także od pozostałych parametrów sieci: średnicy (hopdiameter) i współczynnika grupowania. Badania te przeprowadzono dla stałej liczby węzłów i stopnia grafu (n = 40, m = 10, Dav = 2). Parametry te nie są przekazywane w pliku konfiguracyjnym aplikacji BRITE w sposób bezpośredni, lecz wyznaczane dla każdej wygenerowanej struktury. Wyniki przedstawione na Rys. 6 - 8 jednoznacznie wskazują, że koszt generowanych przez algorytmy rozwiązań nie zależy od średnicy sieci i współczynnika grupowania (przy tym samym rozmiarze sieci). Badanie to pozwala jednak stwierdzić, że ten sam algorytm generuje rozwiązania o mniejszym koszcie przy zastosowaniu struktur generowanych z użyciem metody Waxmana. Z kolei metoda Barabasi-Alberta generuje struktury o stałej wartości średnicy.. Tabela 1 pokazuje, że 91% topologii sieci posiada średnicę równą 5. Metoda Waxmana generuje sieci o szerszym zakresie wartości średnicy. Przy tych samych parametrach generuje struktury o średnicy 4 (41,2%) i 5 (58,4%). Badania przeprowadzono dla 5000 sieci o tej samej liczbie węzłów (n = 40, Dav = 2). Wartości współczynnika grupowania γˆ (Rys. 7 i 8) również są mniejsze dla metody Waxmana. Wierniejsze odzwierciedlenie topologii Internetu przez metodę Barabasi-Alberta (wyraźnie zarysowane lokalne skupiska węzłów reprezentujące domeny internetowe) [3] powoduje wzrost kosztu ścieżek i liczby łączy w ścieżce (ang. hops) między dowolnymi węzłami sieci. Powyższe wyniki przekładają się na koszty drzew uzyskane przez badane algorytmy - zarówno algorytm KMB, jak i SPT, generują drzewa o mniejszych kosztach przy wykorzystaniu metody Waxmana do modelowania sieci. Oznacza to, że prowadząc badania moż-. PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005. średnica 4 5 6 7. metoda Waxmana 41,2% 58,4% 0,4% 0%. metoda Barabasi 1,6% 91,1% 7,2% 0,1%. Tabela. 1. Procentowy rozkład średnicy generowanych grafów dla różnych metod generacyjnych (n = 40, Dav = 2). 5/6.

(6) www.pwt.et.put.poznan.pl 6000. większej wartości tego współczynnika (ˆ γ ). Z uwagi na charakter wykorzystanych w badaniach struktur (losowe grafy płaskie) pominięto problem skalowalności uzyskiwanych rozwiązań skupiając się na reprezentatywnych algorytmach szeroko prezentowanych w literaturze. Hierarchiczne modele sieci zaimplemetowane w aplikacji BRITE pozwolą na badania skalowalnych algorytmów routingu rozgałęźnego w dalszych pracach badawczych.. 5500. koszt drzewa. 5000 4500 4000 3500 3000 KMB 2500. SPT. 2000 0,9. 0,95. 1. 1,05. 1,1. 1,15. SPIS LITERATURY. współczynnik grupowania. Rys. 8. Koszt drzewa multicast w funkcji współczynnika grupowania dla modelu Barabasi-Alberta (n = 40, m = 10, Dav =2) na uzyskać drzewa o niższym koszcie także jako wynik zastosowania metody generacyjnej, która dopuszcza większą różnorodność struktur sieci, a nie tylko jako wynik zastosowania bardziej wydajnego algorytmu routingu . W czasie eksperymentów symulacyjnych uwzględniano 95% przedziały ufności wyznaczone zgodnie z rozkładem t–Studenta dla pięciu serii (1000 struktur w każdej serii).. [1]. [2] [3] [4] [5] [6]. 7. PODSUMOWANIE. [7]. Pasmo zajmowane przez strumienie danych multimedialnych jest na tyle szerokie, że użycie w transmisji połączeń rozgałęźnych staje się konieczne. Wydajne protokoły routingu dla połączeń typu multicast mogą być efektywnym narzędziem wspomagającym utrzymanie zasobów sieciowych. W artykule przedstawiono i porównano reprezentatywne algorytmy routingu dla połączeń typu multicast kładąc nacisk na jakość modelu sieci (dokładność odzwieciedlenia rzeczywistej topologii Internetu). Dlatego też skorzystano z narzędzia jakim jest generator topologii BRITE [13]. W celu analizy efektywności reprezentatywnych algorytmów heurystycznych zbadano ich zależność od parametrów określających topologię sieci. Na podstawie przeprowadzonych badań można wysnuć następujące wnioski: zastosowanie algorytmów wyznaczających drzewa typu multicast bliskie metodzie dokładnej (KMB, KPP) wydaje się celowe w sieciach o małej liczbie węzłów (np. sieci LAN), natomiast algorytmy wyznaczające najkrótsze ścieżki (SPT, CSPT) cechują się mniejszą złożonością obliczeniową i sprawdzą się w sieciach szerokopasmowych. Analizując rozrzut średnic sieci uzyskiwanych przy zastosowaniu różnych metod generacyjnych, można zauważyć, że uzyskanie drzewa o mniejszym koszcie może być wynikiem zastosowania metody generacyjnej, a nie tylko jako wynik zastosowania bardziej wydajnego algorytmu routingu. Natomiast porównując wartości współczynnika grupowania uzyskane dla różnych metod generowania topologii sieci można zauważyć, że model Barabasi-Alberta, mimo że wierniej odzwierciedla topologię sieci Internet, generuje struktury o. [8]. PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005. [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16]. [17] [18] [19]. [20]. Z. Wang, J. Crowcroft, „Quality-of-service routing for supporting multimedia applications,” IEEE Journal on Selected Area in Communications, vol. 14, nr 7, strony 1228– 1234, 1996. M. Piechowiak, P. Zwierzykowski, „Przegląd protokołów routingu multicast,” VIII Poznańskie Warsztaty Telekomunikacyjne’2003, Poznań, strony 147–152, 2003. M. Piechowiak, P. Zwierzykowski, „Modelowanie topologii Internetu,” IX Poznańskie Warsztaty Telekomunikacyjne’2004, Poznań, strony 213–218, 2004. L. Kou, G. Markowsky, L. Berman, „A fast algorithm for Steiner trees,” Acta Informatica, nr 15, strony 141–145, 1981. J. S. Crawford, A. G. Waters, „Heuristics for ATM Multicast Routing,” Computer Science, University of Kent at Canterbury, 1998. Q. Sun, H. Langendoerfer, „Efficient Multicast Routing for Delay-Sensitive Applications,” in Proceedings of the 2-nd Workshop on Protocols for Multimedia Systems (PROMS’95), 1995, strony 452–458. E. Dijkstra, „A note on two problems in connexion with graphs,” Numerische Mathematik, vol. 1, strony 269–271, 1959. R. Bellman, „On a routing problem,” Quarterly of Applied Mathematics, vol. 16, nr 1, strony 87–90, 1958. R. Karp, „Reducibility among combinatorial problems,” Complexity of Computer Computations, strony 85–104, 1972. V. P. Kompella, J. Pasquale, G. C. Polyzos, „Multicasting for Multimedia Applications,” in INFOCOM, 1992, strony 2078–2085. B. Waxmann, „Routing of multipoint connections,” IEEE Journal on Selected Area in Communications, vol. 6, strony 1617–1622, 1988. A. L. Barabasi, R. Albert, „Emergence of scaling in random networks,” Science, strony 509–512, 1999. A. Medina, A. Lakhina, I. Matta, J.Byers, „BRITE: An Approach to Universal Topology Generation,” IEEE/ACM MASCOTS, strony 346–356, 2001. C. A. Toronha, F. A. Tobagi, „Evaluation of multicast routing for multimedia streams,” in Proceedings of IEEE International Telecommunications Symposium, 1994. D. J. Watts, S. H. Strogatz, „Collective dynamics of ’smallworld’ networks,” Nature, vol. 12, nr 393, strony 440–442, 1998. M. Faloutsos, P. Faloutsos, C. Faloutsos, „On Power-Law Relationships of the Internet Topology,” ACM Computer Communication Review, Cambridge, MA, strony 111–122, 1999. T. Bu, D. Towsley, „On distinguishing between Internet power law topology generators,” in In Proceedings of INFOCOM, 2002. M. Doar, I. Leslie, „How bad is naive multicast routing?” IEEE INFOCOM’ 1993, strony 82–89, 1993. M. Piechowiak, P. Zwierzykowski, „Performance Analysis of Multicast Heuristic Algorithms,” Third International Working Conference on Performance Modelling and Evaluation of Heterogeneous Networks, strony 41/1–41/8, 2005. ——, „Quantitative Comparison of Multicast Heuristic Algorithms,” Polish Teletraffic Symposium (PSRT’2005), strony 101–110, 2005.. 6/6.

(7)