Vectoranalyse; 2e dr.

(1)

(2)

HANDLEIDIl\:GEN

_{BIJ HET ONDERWIJS AAN DE TECHNISCHE}

HOGESCHOOL

TE DELFT

_{ONDER REDACTIE VAN DE}

VERENIGING VOOR

_{STUDIE- EN STUDENTENBELANGEN. DELFT}

No.

a-t2

VECTORANAL YSE

DOOR

DR. R. TIMMAN

EN

DR.

J. W. REYN

2e

DRUK

I~/~-DELFTSCHE _{UITGEVERS MAATSCHAPPIJ N.V}_.

(3)

VOORWOORD.

Deze handleiding geeft de inhoud van het college Vectoranalyse. Aange~ zien hierin begrippen worden behandeld, die - voor een belangrijk deel voortgekomen uit de fysica - gebruikt worden om fysische wetten te fO'rmuleren, is de nadruk gelegd op visueel aanschouwelijke formuleringen, waarbij de mathematische strengheid hier en daar te lijden heeft gehad. Daar de studenten van verschillende afdelingen de colleges in dit vak, dat voor een goed begrip van de fundamentele wetten van de fysica even nodig is als differentiaal~ en integraalrekening, slechts ten dele behoeven te volgen, is niet voor iedere student kennis van de gehele inhoud vereist. De handleiding is ontstaan uit college~aantekeningen, die door veel tijd en zorg van Ir. H.

S

..

Rutten, in samenwerking met ,het Bestuur van de Studievereniging Christiaan Huygens, gezuiverd zijn van vele o'nnauw~ keurig heden en tot een goede uitvoeringsvorm zijn gebracht.

R.

TI'MMAN.

VOORWOORD BIJ DE TWEEDE DRUK.

De tweede druk van dit boek is in belangrijke mak verbet'erd en ui(gebreid door de zorgen van de tweede schrijver. Bovendien zijn vde vraagstukken

toegevoegd.

R.

TIMMAN

J

. W. REYN.

(4)

. \

HOOFDSTUK

I.

Vectoralgebra. 1. Inleiding.

De vectoranalyse is een onderdeel van de wiskunde. dat speciaal ontwik~ keld is om een uniforme wiskundige beschrijving te geven van klassieke theoretisch~fysische processen. Het blijkt. dat verschillende verschijnselen. zoals stroming van onsamendrukbare vloeistoffen. zwaartekrachtsvelden. electromagnetische velden. beschreven kunnen worden door een gemeen~ schappelijk wiskundig systeem. Weliswaar is dit systeem ontoereikend om gecompliceerde fysische verschijnselen. zoals elastische en plastische spannings~ en vervormingsto'estanden. stroming van visceuze vloeistoffen. quantumvelden en de algemene relativiteitstheorie te beschrijven. zonder een grondige kennis echter van de elementaire theorie der ,eenvoudige ver~ schijnselen wordt de studie van de meer gecompliceerde onmogelijk.

In

de vectoranalyse. die als wiskundig substraat optreedt van de genoem-de theorieën. zal men voortdurend in enigszins abstracte vorm genoem-de fysische begrippen terugvinden. Deze abstracte vorm maakt het juist mogelijk om het gemeenschappelijke van deze verschijnselen te vatten.

2. Vectoren in de driedimensionale ruimte.

Wij beschouwen uitsluitend rechthoekige co'Ördinaten x, y en,z in de drie~ dimensionale ruimte. De coördinaten vormen een rechtsdraaiend assen~ stelsel. d.w.z. een draaiing van de x~as naar de y~as zal. volgens de. be~ weging van een rechtsdraaiende schroef (kurketrekker) een verschuiving in de richting van de positieve z~as geven.

Z x Fig. 1. P I 1 Y I / zl / 1 / x

10/

y

(5)

6

Een punt P heeft de coördinaten (x, y, z). Wij definiëren de gerichte voerstraal OP van de oorsprong

0' naar P

als de vector r met kentallen

(componenten) x, y en z.

r = (x, y, z).

Dikwijls spreken wij kortweg van het punt r. In het algemeen verstaan wij onder een vector a = (al. a2, a3) een gericht lijnstuk, waarvan de projecties op de coördinaatassen de lengten al, a2 en a3 hebben.

Onder de som van twee vectofer.. a en b verstaan wij de diagonaal van het parallelogram op a en b als zijden beschreven. Men ziet gemakkelijk, dat:

I. _{a+ b=b +a.}

(commutatieve wet van de optelling).

Fig. 2.

Onderhetproductvan een vector a met een positief getal a verstaan wij de vector a a, die dezelfde richting heeft als a en waarvan de lengte met a: is vermenigvuldigd. Is a negatief. dan wordt de richting van a a tegengesteld, de lengte is met

I

,a

I

vermenigvuldigd. Onder de nulvector 0 verstaan wij een vector met lengte O.

Blijkbaar is: Ia. 11. Ha. a+O=a a(a

+

b) = a a

+

ab (a + fJ) a

=

a a +

fJ

a. Voorts geldt de associatieve wet van de optelling:

lIl. _(a+b)_{+ c = a +}_(b+c). - - - -~~+Q) I I / / I / / / / o:.---?..:.-~~/ Fig. 3.

(6)

,I

7

Onder de vector b - a verstaan wij de vector b

+

(-1) a. Hij is dus ge~ lijk aan .de vector, die het beginpunt in a en het eindpunt in b heeft.

/ / / I. .l2+{-1)!i! / / / Fig. 4. Q

\

\ \ \

De drie vecto'ren met lengte één langs x~, y~ en z~as .duiden wij aan met

i, j en k. Zij zullen de drie eenheidsvectoren genoemd wor.den. Zijn de componenten van -een vector a de getallen al, a2 en a3, dan is:

a

=

a1i

+

a2j

+

a3

k.

Voor een punt (x, y, z) geldt dus:

r = x i + y j + z k . 3. Vectorvoorstelling van lijn en vlak.

Is a een gegeven vector, dan stelt r

=

À. a, waarbij À. alle positieve en nega~ tieve getallen doorloopt, een punt voor, dat een rechte door de oorsprong doorloopt, waarvan de richting door de richtingsvector a wordt'gegeven.

y

Fig. 5.

De variabele vector r = p

+

À. a, waarbij p vast is, behoort bij de punten van een lijn, die door het punt p gaat en die evenwijdig is met de vector a.

(7)

8

De lijn door 2 punten a en h kan worden opgevat als een lijn door a met richtingsvector h - a:

r = a

+

J.(h-a)

=

(l-Ä)a

+

Äh.

z

x y

Fig. 6.

Beschouw nu twee vectoren a en h, die niet dezelfde richting hebben. De variabele vector r = À a

+

ft h, waarbij i. en ft veranderlijke reële getallen zijn, zal alle punten in het vlak, dat door a en h opgespannen is, doo'rIopen. Immers, is

P

een willekeurig punt in het vlak. trek dan lijnen door

P

even~ wijdig met de vectoren a en b. Deze snijden de voerstralen van a en b in

de punten PI en P2• De vector Op! is dan een veelvoud van a, de vector OP2 is een veelvoud van h, de vector OP

=

r is de som van Op! en OP2 en heeft dus de gewenste vorm. Verder zal de constructie voor geen enkele waarde van À en ft punten buiten het vlak kunnen opleveren. r =),a

+

,uh

stelt dus een vlak door de oorsprong voor. Wij kunnen dit vlak verschui~ ven naar een punt p, dan stelt r = , p

+

Ä a

+

.

ft h een vlak voor, dat door het punt P (met plaatsvector p) gaat en evenwijdig is met het eerstge~ noemde vlak. Deze voorstelling heet de parametervoorstelling van het vlak.

z

x

(8)

9

Voorbeelden.

1) De parametervoorstelling van een vlak door drie punten a, b en c kan verkr~gen worden door het vlak op te vatten als een vlak door a met rich~ tingsvectoren b - a en c - a.

r

=

a

+

A (b - a)

+

ft (c - a) - (1 - A - fl) a

+

A b

+

,u

c.

l

x y

Fig. 8.

2) De rechte door de o'orsprong r = J. a zal liggen in het vlak door de oorsprong r

=

fl b

+

')J c, indien de vector a een lineaire combinatie is van

b en c. Dus als er getallen ftl en Vl bestaan, zodat: a

=

,u1b

+

V1C.

Evenzo zal de rechte r

=

p

+

A a evenwijdig zijn met het vlak: r

=

q

+

fl b

+

v c,

als er getallen fll en Vl bestaan, zodat:

3) Het vlak door de oorsprong r

=

A a

+

fl b zal samenvallen met het

vlak r = v c

+

"cl, als c en cl in het eerste vlak liggen, d·.w.z. als er ge~ tallen Al -en fll, zowel als A2 en fl2 bestaan, zodéllt:

c

=

Al a

+

fll b en cl = A2 a

+

Wl. b. 4-. Het scalaire prodllct,

Onder het scabaire product a . b van twee vectoren a en b v'erstaan wij een getal (scalar), dat 'ge-geven wordt door de l'engte van de ene vecto'r a tie vermenigvuldig,en met de lengte van de projectie van de tweede vector bop a.

(9)

10

Is de hoek tussen de twee vectoren fP en duiden wij de lengte aan door a resp. b, dan is:

a . b = a b cos fP. Blijkbaar geldt:

I. a.b=b.a

11. (Àa).b=).(a.b)=a.(J.b)

111. (a

+

b) . c = a . c

+

b . c.

Verder is het scalarproduct van een vector met zichzelf gelijk aan het kwadraat van zijn lengte: a . a

=

a2•

Als twee vectoren a en b loodrecht op elkaar staan, is cos fP

=

0 en is dus a. b = O. Omgekeerd, als a en b geen nulvectoren zijn en hun scalaire product is nul. dan staan zij loodrecht op elkaar.

Blijkbaar geldt voor de drie eenheiclsvectoren:

en:

i . j = j . k

=

k . i = O. Het scalaire product van de vectoren:

en:

is nu:

a. b= (ati

+

a2j

+

a3k) . (b1i

+

b.2j

+

b3k)

=

albdi. i)

+

a1b2(i . j)

+

a1b3(i. k)

+

a2b

_{dj .}

i)

+

a2b2(j . j)

+

a2b3(j . k)

+

a3bdk. i)

+

agb2(k. j)

+

agb3(k. k) = = albl

+

a2b2

+

aabg•

De lengte van een vector a is nu gegeven door: ai!

=

a . a

=

al2

+

_a22

+

_aa2

•

(10)

11 5. Het ve.ctoriël;e product.

Onder het vectoriële product a X b (vectorproduct) van twee vectoren a en b verstaan wij het parallelogram op de twee vectoren beschreven.

Z

y

Fig. 9.

De oppervlakte van dat parallelogram is a b sin cp, als (p de klein~

ste draaiingshoek van de vector a naar de vecto'r b is. Wij kunnen het voorstellen door één enkele vector, gericht langs de lijn loodrecht op het vlak van het parallelogram en wel in de richting, die volgens een rechtsdraaiende schroef behoort bij een draaiing van a naar b. De grootte is gelijk aan de oppervlakte van het parallelogram. Veranderen wij de' draairichting, dan verandert de productvector van teken:

I. b X a = - ( a X b).

Blijkbaar geldt voor vermenigvuldiging met een getal:

11.

(Àa) X b=À(a X b) = a X 2b.

(11)

12

Breng nu een vlak aan loodrecht op a en laat b~ de projectie van b op dat

loodvlak zijn. Dan is bi de hoogte van het paraIIelogram en:

a X b = a X bi.

Deze eigenschap gebruiken wij voor het bewijs van de steIIing (distribu

-tieve wet):

lIl. a X (b

+

c) = a X b

+

'a X c.

b+so

Fig. 11.

Immers. is b' de projectie van b op het loodvlak op a en

é

de projectie van c op het loodvlak. dan: is :

a X b

+

a X c = a X b'

+

a X

c'.

In het loodvlak staat a X b' loodrecht op bi en a X c' staat loodrecht op

c'. het paraIIelogram op de twee vectoriële productvectoren is gelij k-vormig met het paraIIeIogram op b' en c'. zodat ook geldt:

a X b'

+

a X c' = a X (b'

+

c') .

•

êxb \"'" '''''''' , ,

. .

~~---~'.~xe+~x~

/

-

"

---,..

'.

!2+~ Fig. 12.

.

,-.

.

(12)

13

Maar b'

+

c' is de projectie van b

+

c op het loodvlak. zodat: a X (b

+

c) = a X (b'

+

c').

waarmee de eigenschap bewezen is.

Voor de drie eenheidsvectoren i. j en k geldt: i X j = - j X i = k j X k = - kX j = i k X i = - i Xk=j i X i = j X j = k X k

=

O. Is:

z

x

Fig. 13.

a=aIi

+

aû

+

aak en

b

=

bli

+

b.;)j

+

bak,

y

dan geeft herhaalde toepassing van de distributieve wet: a X b= (ali

+

a2j

+

aak) X (bli

+

~j

+

bak) =

+

aibdi X i)

+

a Ib2(i X j)

-I-

a1ba(i X k)

+

a2bdj X i)

+

a2b2(j X j)

+

a..2ba(j

X k)

+

aabdk X i)

'-I-

agb2(k X j)

+

aaba(k·X k).

wat volgens de relaties voor de eenheidsvectoren overgaat in:

De kentallen van het vectorproduct kunnen· ook geschreven worden als de determinanten uit de matrix:

aa ) ba

Blijkbaar zijn zij gelijk aan de oppervlakten van de projecties van het pa~ rallelogram op de coördinaatvlakken.

(13)

De gevonden uitdrukking is dan juist de ontwikkeling van de determinant: k

6. Het scalar- en vectortripelproduct.

Met drie vectoren a, b en c kunnen op verschillende wijzen producten ge-vormd worden. (a. b) c is een vector met de richting van c, welks lengte met het getal a. b is vermenigvuldigd. Het scalartripelproduct wordt verkregen als scal:aire product van de vector a X b met de vector c:

(a X b) . c. ~xb

.,

Fig. 14.

Meetkundig stelt a .X.b een vector voor loodrecht op het parallelogram van a en b, het -scal:aire product met c geeft tot resultaat een vermenig-vuldiging met de projectie van c op die loodlijn, d.w.z. met de hoogte van het paraUelepipedum op a, b en c b~chreven. Het scalartripelproduct is dus juist de inhoud van het parallelepipedum op a, b en c beschreven en wel met een positief teken, als c met a X b een scherpe hoek maakt. Blijkbaar is:

(a X b). c = - (b X a). c.

Door uit te gaan van een ander zijvlak als grondvlak vinden wij ook, dat: (a X b).c= (b X c).a= (c X a).b=

= - (b X a ) . c = - (c X b ) . a = - (a X c).b. Wij kunnen het scalartripelproduct ook uitdrukken in de kent allen van a, b en c:

k

(a X b).c= a2 a;) . (eli

+

c:?;

+

c:lk)

=

(14)

15

Cl C2 Ca al a2 aa

al a2 81J b1 b2 b3 = [a, b, cl.

bi b2 ba Cl C2 Cs

Het is dus gelijk aan de determinant, gevormd door de 9 kentallen van de drie vectoren. Ook hieruit blijken de bovengenoemde relaties, in het bij~ zonder . de tekenwisseling bij verandering van de volgorde van de drie vectoren.

Door het 'Vectoriël~ product te vormen vim de vectoren a X b en c ont~ staat het vectortripelproduct (a X b) X c.

Deze vector heeft de volgende eigenschappen:

1) Hij staat loodrecht op a X b, dus loodrecht op de loodlijn op het vlak van a ·en b, hij moet dus in het vlak van a ·en b liggen.

2) Hij staat loodrecht op c.

Uit (1) volgt, dat hij een lineaire combinatie is van a en b:

(-a X b) X c = À a

+

p b.

Uit (2) volgt, dat het scalaire product met c nul moet zijn: (.À.a+pb) .c=À(a.c) +p(b.c)=O. Hieruit volgt dat wij kunnen schrijven:

zodat:

). = 'V (b . c) P = - ' V (a.c),

(a X b) X c

=

'V~ (b . c) a - (a . c)b

r.

Daar de waarde van het linkerlid evenredig is met de lengten van a, b en c en ditzelfde geldt voor elk van de termen van het rechterlid, kan 'V niet meer van a, b en c afhangen; 'V moet dus een getallenfactor zijn, die wij kunnen bepalen door voor a, b en c een speciale keuze te' maken.

Kies a

=

i, b = j en c

=

i. Dan ontstaat enerzijds:

en anderzijds:

'V~ (j . i)i - (i. i)n

= -

'V j, zodat 'V

= -

1 en wij vinden:

(a X b). X c = (a . c) b - (b . c) a.

Meetkundig is deze eigenschap op de volgende wijze in te zien. a X b is een vector, die loodrecht staat op het vlak door a en b en tot grootte heeft a b sin (P, als wij de lengten van a. en b door a en b en hun hoek met rp aanduiden.

(15)

16

Laat nu

é

(lengte c') de projectie van c op het vlak door a en b zijn, dan moet (a X b) X c een vector zijn, die in dat vlak loodrecht op

c'

staat en

~xQ

; ,

".

Fig. 15.

de lengte a b c' sin q; heeft. Wij noemen de hoeken, waarin

c'

de hoek tussen a en b verdeelt, (jJl en q;2 en ontbinden de vector abc! sin ç:.>' in

componenten langs a en b, die wij aanduiden met - À a en ft b.

"

)

"

/ ~-+---:----~ <;.' Fig. 16.

Dan geeft toepassing van de sinusregel:

a b c' sin ç:.> À a ft b

ofwel:

sin qJ - sin (90 - q72) - sin (90 -

q;

d .

À

=

b c' cos f{J2

en:

ft

=

a c' cos 'qJl •

Maar c' cos fP2 is de projectie van

c'

op b, dus ook de projectie van c op b, zodat:

en evenzo:

fl

=

a. c.

(16)

17

Het resultaat is dus:

(a X b) X c = - (b.c) a+ (a.c) b.

Tenslotte is het resultaat ook door directe b~rekening te verifiëren:

k (a X b) X c

=

al a2 as X c

=

bl 1>.2 bs

=

i

(a2bS - asb2)i

+

(aSbl - albs)j

+ (a lb2 -

a2 bdk ~ X X . (()i

+

C2j

+

csk)

=

i j k

a2ba - aSb2 asbl - atb3 al1>.2 - a2bl

Cg

=

(csaSbl - cgalbg - c2é1tb2

+

C2a2b

di

+

(ctalb2 - cla2bl - caa2b3

+

csas~)j

+

+.

(C2a2bS - C2aSb2 - clasbl

+

clalba)k =

=

(alcl + a2C2 + ascs)bI i - (blCI + b2C2 + bSc3)al i + + (alcl +a2c2 + B3CSl)b2 j - (b~Cl + b2c2 + bscs)ajl. j + + (alcl + a2C2 + a3cs) bsk - (biCI + b2C2'+ bScS)a3k=

=

(a. c) b - (b . c) a.

Door toepassing van de formules voor vectoren scalartripelproduct

vin-den wij vo'or het product van vier vectoren a, b, c en d:

(a X b) . (c X d)

=

~b X (c X d)

r

.

a

=

i

(d. b)c - (c. b)d

_r.

a= (a. c) (b. d) - (a. d) (b. c). In het bijzonder is: (a X b) . (a X b)

=

(a . a) (b. b) - (a . b)2

=

a2_{b'J -} _{(a. b)}_2. Verder geldt: (a X b) X (c X d) = ~ (a X b) . d

_r

c -

i

(a X b) .

Cr

d = = [a, b, d] c - [a, b, c] d = (c X d) X (b X a)

=

= [c, d, a] b - [c, d, b] a.

7. Toepassingen op de meetkunde in de ruimte.

De normaal n op het vlak, opg.espannen door de vectoren a en b heeft de

richting van het vectorproduc( a X b. Daar een willekeurige vector r in

dat vlak loodrecht op n moet zijn, moet gelden (a X b) . r

=

O. Dit stelt

dus, met lopende vector r, de vergelijking voor van het vlak door de

oor-sprong met richtingsvectoren a en b. Is r

=

(XI, x~, x~), dan is de

(17)

18

Xl X2 Xg

al a2 as =0.

bi b2 b3

De vergelijking van het vlak door het punt p met richtingsvectoren a en h

is evenzo (a X h) . (r-p)

=

O.

Meestal geven wij de normaalvecto'r n op het vlak de lengte 1. Zijn zijn

richtingsgetallen

l.

m en n, dan geldt dus:

n . n = t2

+

_m2

+

_n2 ₌ _l.

Voor het vlak, opgespannen door a en h, geldt dus:

a X h

n=TiXhT

.

Wij kunnen de vergelijking van het vlak door p bij gegeven n dus ook

schrijven als n. (r - p) = O. De afstand van een punt q tot dit vlak is

gelijk aan de proJectie van de vector r - q op de normaal. Zij is dus

gegeven door:

d = (r - q) . n

=

r . n - q . n

=

p . n - q . n = (p - q) . n,

daar n de lengte 1 heeft. De afstand van een punt q tot een lijn

r = p

+

J. a, waarbij p, q en a gegeven vectoren zijn, wordt gevonden

uit het vectorproduct (q - p) X a.

~

9'1

/1

/ I

/ 1

~

/ / IL

--

) -2. Fig. 17.

De oppervlakte van dit vecto'rproduct is n.l. gelijk aan a d. zodat wij

vinden:

d= /(q-p). X a I •

a

Is de richtingsvector a een eenheidsvector, dan is:

d=/(q-p) X a/.

Tenslotte bepalen wij de afstand van twee kruisende lijnen:

r=p+Àa r==q +,uh.

Deze afstand is de lijn. die de beide lijnen onder rechte hoeken snijdt.

Haar richting is dus de richting van het vectorproduct a X b van de

(18)

19

De parameterwaarden .28 en ,U8 van de snijpunten worden bepaald uit de voorwaarde, dat de verbindingsvector:

p - q

+

.28 a - ps b \

--_\

_..,\~

\

...

--..

\

-

.--S;.J~--

\

- E. \ Fig. 18.

dezelfde richting heeft als dit vectoriële product. Er is dus een coëfficient v, zodat:

p - q

+

i,,,a-,il.b=v{a X bi.

Om v te bepalen, vormen wij het scalaire product met a X b. Daàr a en b loodrecht op a X b staan, is:

zodat: Dus: a . (a X b)

=

b . (a X b) = 0, ( p - q ) . (a X b) =lf(a X b) . (a X bi. v

=

~(-=-P--,--,---7-q;.-) _. (;.-a---,-X---,-:;-b--;-)_ (a X b) . (a X b)

Om À. te bepalen, vormen wij het scalaire product met de vector (a X b) X b. die loodrecht staat op b en op a X b:

(p - q) . ~ (a X b) X b~

+

i,. a. ~ (a X b) X

br

= O.

Nu

is:

a.~(a X b) X b~=-(a X b). (a X b)

volgens de regel van het scalartripelproduct, zodat:

}, _ _ ~(p-q) X b~.{a X b)

''< - (a X b) . (a X b)

Vermenigvuldigen met de vector (a X b) X a. die loodrecht staat op a en op a X b. geeft:

~(p-q) X ar- (a X b)

(19)

20

De afstand is gelijk aan de projectie van de verbindingsvector p - q op a X b:

8. Vraagstukken.

d= (p-q).(a X b)

I

a X

bi

1. Als (c-a).a = (c-b).b bewijs dan, dat a - b loodI'e:cht staat op c - a - b .

2. Als a

+

b

+

c

=

0, bewijs dan, dat a X h

=

b X c

=

c X a en int1erpreteer het resultaaî: meetkundig. (sepve:mbu 1960, januari 1961) .

3. Bewijs, dat

id

X (a X h) ~ . (a X c) = [a, b, c] (a.

dl.

(september 1960).

4. Bewijs, d.at (.a X h) X (c X d)

+

(h X c) X (a X d)

+

(c X a) X (h X d) = - 2 [a, b, c] d. (s'~ptember 1961). 5. Bewijs, dat [a X b, h X c, c X a] = [a, h, C]2. (januari 1961). '6. Los de onbekende vector x Op uit de vergdijking f3x

+

a X x = c;

hierin is f3 een scalaire constante (f3

=F

0), a en c zijn constante V1ectoren. (december 1964).

7. Laat ûen, dat het vlak door de punten rt, r2 en rjj de: vergelijking heeft [r, r2, r~]

+

[r, rs, rd

+

[r, rl, rz] = [rl. r2, rs].

(20)

• f

_{HOOFDSTUK 11}

_.

Differentiëren naar een parameter; toepassingen op de differentia-alme.etkunde.

1. Vectoren, die van een parameter afhangen

Een vector a = (al, afl, a3) hangt af van een parameter À, indien zijn ken~ tanen functies zijn van À. Zijn zij differentieerbaar, dan kunnen wij de afgeleide vormen:

Zijn a en b vectoren, die van de parameter À afhangen, dan is:

d da db

d)' (a. b)

=

d)' . b +a . d À '

d da db

d). (a X b)

=dJ

X b

+

a X

dJ. .

Men bewijst deze eigenschappen het eenvoudigst door uitschrijven: d ( ) d ( b b b ) dal b d a2 _b _d_a3_b

d). a. b = d)' al 1

+

a2 2

+

a3 ;3 = d). I

+

d). 2

+

d). 3

+

d bi d b2 d bs d a db

+

al d)'

+

a2 d)'

+

a3 d)'

=

d)' . b

+

a .

dJ.

'

:). (a X b) =

:).~

(a2ba - é'iab2)i

+

(a3bl - alba)j

+

(alb2 - a2bdkr =

=

(:a;b3- :a

;b

2 )

i+

(:a).3bl-:alb3) j +

(:alb2-~alb,)

k+

( db3 db2 ) . ( d b l db3). ( d b2 dbl)k

+

a2 d). - a3

-

df

1

+

a3 d). - al d). J

+

al d À - a2 d À

=

da db

=

CD ·

Xb

+a

X d À •

2. Ruimtekrommen.

Indien de plaatsvector r

=

(x, Ij, z) van een punt in de ruimte afhangt van een parameter J, dan zal bij variabele). dat punt een kro'mme in de ruimte beschrijven.

(21)

22

De afgeleide van deze vector:

.

dr (dx dg dz) .

dJ.

=

d)" dl ' dl = r, is een vector, gericht langs de raaklijn aan de kromme.

Wij duiden differentiatie naar À aan door een punt (fluctie). De lengte van een elementje (dx, dg, dz) van de kromme is:

ds

=

y dx2

+

_dg2

+

_dz2_•

z

Fig. 19. Als de parameter varieert van i. tot À

+

d.Ä. is:

d r

=

~;.

d À, ofwel: dus: dx= dx dÀ dl . . dg dg

=

dJ,. dl d _z₌ dz d_dJ,. A, ' ds=yf.i:-dÀ. y

De lengte van een boog van de kromme, tussen de parameterwaarden ).1

en ),2 is: i'2

-S =

I

'vi:- .

r

di,. i'l

Bij eenzelfde ruimtekromme kunnen oneindig veel parametervoorstellin-gen behoren, immers iedere eenwaardige functie van J,.:

,u

= ,u(Ä.) , die dif

-f~rentieerbaar is, kan als nieuwe parameter optreden.

In plaats van de parameter i, kunnen wij de booglengte s langs de kromme als parameter invoeren. Dan is het verband tussen de twee parameters gegeven door:

(22)

23

Verder is dan de afgeleide:

dr

dI

~=:.=====;c= =

t.

i

/

d r d r r~ dÁ'd)' d r d r dl

71 -;

-

dJ. ds

Blijkbaar is de lengte van t de eenheid. iezen wij dus de bo'Oglengte als parameter langs de kromme, dan is de afgeleide van de plaatsvector r (s)'

juist de eenheidsvector t langs de raaklijn. Wij duiden differentiatie naar de booglengte s aan door een accent, zodat r'

=

t.

Als het punt de kro'mme doorl'Oopt, verandert t voortdurend van richting. Daar teen eenheidsvector is, is t . t = 1. Differentiatie geeft t' . t = O.

De afgeleide van t naar s staat dus loodrecht op t. Zij is een normaal. In het punt r lig,gen alle normalen op de raaklijn t in één vlak. De speciale n'Ormaal t' heet hoofdnormaal. De eenheidsvector langs deze ho'ofdn'Or~ maal duiden wij aan door n. Blijkbaar is er een grootheid Q, zodat:

t'=

~

n,

e

heet de kromtestraal van de ruimtekromme. Verder is:

"

,P'r

t'=r

=

ds2 '

zodat de gr'Ootte van

e

wordt gegeven door:

1

-- =

\I':" . r".

e

Ontwikkel de functie r (s) in de omgeving van het punt s in een reeks van Ta)"lor:

r(s

+

,1 s)= r(s)

+

r"(s) ,1 s

+!

r"(s)(,1 s)2

+

+,r"'(s) (,1 S)3

+

.

...

.

Beschouw nu het vlak, 'Opgespannen door de raaklijnvector r' (s) en de hoofdnormaal r" (s). Het punt:

r(s)

+

r'(s) ,1 s

+

~ r"(s) (,1 s)2

is blijkbaar een punt van dat vlak en de afstandsvector van het punt

, r(s

+

,1 s) tot dat punt is:

-Ir

r"'(s) (,1 s)3

+ ..

..

Hij is blijkbaar van de derde orde. Het vlak door raaklijn en hoofdn'Ormaal heet het osculatievlak va'n de kromme. Onder alle vlakken door de raak~ lijn is het gekarakteriseerd door de eigenschap, dat het zich het nauwste aansluit bij de kromme. Immers voor een ander vlak wordt de afstands~ vector bepaald door termen van de orde: r" (s) (,1 ,s )2.

De raaklijn kunnen wij beschouwen als limietstand van de verbindings~

(23)

24

Immers deze verbindingsvector is:

r(s

+

Ll s) - r(s) = r'(s) Ll s

+

~ r"(s) (Ll s)2

+

..

.

r(s

+

Ll s) -r(s)

en de vector

Lls heeft dezelfde richting.

Laten wij Ll s - 0 gaan, dan ontstaat r'(s}, dus de richtingsvector van de raaklijn. Neem nu drie naburige punten:

r(s), r(s

+

Ll s}, r(s

+c5

s),

dan spannen deze een vlak op met richtingsvectoren:

r

(s

+

Ll s) -

r

(s)

=

r' (s) Ll s

+

~

r"

(s) (Ll

s)

2

+

t

r'"

(s)( Ll

s)

3

+ .

..

r(s+ c5s)-r(s)=.r'(s) ·c5s+~r"(s) (c5s)2+t r"'(s) (c5s)3+ ... Het bevat dus ook de vectoren:

r(s

+

iJ s) - r(s) Lls

=

r' (s)

+

~ ril (s) Ll s

+

t

r'" (s) (Ll s) 2

+

.

r(s

+

c5

s) - r(s)

=

r'(s)

+

~ r"(s)

c5

s

+

t

r"'(s) (

c5

s)2

+ ...

c5s

en hun verschilvector:

1

~ r"(s)

+

t

r"'(s) (Ll s

+c5

s)

HA

s -

c5

s)

+

...

Tevens ligt in dat vlak de vector:

r"(s)

+

~ r"'(s) ( iJ s

+c5

s)

+

....

Latten wij nu Ll s en <5 s naar nul gaan, dan zal in de limiet het vlak de vectoren r' (s) en r" (s) bevatten. Het osculatievlak is dus de limietstand van het vlak door drie naburige punten van de kromme. Naast de vectoren t en n voeren wij in de vector h

=

t X n, die loodrecht op het osculatie-vlak staat. Hij wordt de binormaal genoemd. Het vlak do'or h en t wordt het rectificerend vlak genoemd. Bij ieder punt van de kromme behoort een samenstel van drie eenheidsvectoren

t

n en h, dat bekend staat als het triëder van Serret-Frenet. Als het punt de kromme doorloopt, andert dit triëder. Wij hebben al gezien, dat ddt

=

~

n.

s

e

Verder is: h.t=O, zodat: ofwel:

(24)

ver-25

db

d s staat dus loodrecht op t. Omdat been eenheidsvector is, levert de relatie b . b = 1 na differentiatie:

db

b. d s

=

0,

zodat

~;

loodrecht op t en op b staat.

~;

heeft dus de richting van n en wij kunnen een lengte 'l invoeren, zodat:

db 1

d s

=

-

--;-

n.

De grootheid

~heet

de tweede kromming of torsie van de ruimtekromme. l

Zij geeft weer hoe de binormaal (of het osculatievlak) draait bij het door-dn

lopen van de kromme. Verder berekenen wij nog d s uit n = b X t:

of: dn ds db dt 1 1 - X t

+

b X -d

= -

-

(n X t)

+

-

(b X n), ds s l

e

dn

=

~

b-

~

t.

d s l

e

Wij hebben aldus afgeleid de drie formules van Frenet:

Uit: volgt: 1 t'= - n,

e

, 1 n = -

-e

b ' = -

~

n. l b = t X n=er' X ril

b' = e'

1'"

X ril

+

e ril X ril

+

er' X 1"111.

De middelste term is nul. Verder volgt uit de derde formule van Frenet door vermenigvuldigen met n:

~=

b'. n

=

((2' 1'"

X ril

+

er' X rlll) . n=

l

=

(2'(1'"

X ril) . n

+

e(1'" X 1""') . n

=

(2'

e(1'" X 1"") . ril

+

r.f(r' X 1"111) .1"" = -

e

2 [1"',1"",1""'].

omdat het eerste tripelproduct nul is. Het resultaat is:

1.-

=

f!

[1"', ril, 1"''']. l

(25)

26

Beschouw nogmaals de reeksontwikkeling van Taylor:

r(s

+

.1 s)=r(s)

+

r'(s)L1 s

+

~ r"(s) (.1 s)2

+

t 1""(s) (.1 s)3

+

...

en neem als coördinatensysteem het triëder van Serret~Frenet, in het punt behorende bij de parameter s, met t langs de x~as, n langs de y~as en b langs de z~as. Dan is:

r(s)

=

°

r(s) = t = (1,0,0) r" (s)

= :

=

(0,

~

,0) 1"" (s) =

~ (~)

= -

L

n

+ ~

n' = -

L

n _ _ 1 t

+

ds

e

2

_e

2

_e

2

= (-

;2

,

-

~:

'

;J.

Wij vinden dus voor de vergelijking van de kromme: x=s _ _ 6 1_

e2

s 3

+ ..

.

I 2

e

3

+

S - 6---;Z s . .. .

e

y=

2e

z= -1 :i_~ ~ +

..

.

. ,

6e7:

waarbij wij .1 s door s vervangen hebben.

_1 b

=

e

r

Uit de eerste 2' vergelijkingen volgt bij verwaarlozing van s3 t.o.v. s en S2:

1 9

Y

= 2

eX""

De kromtestraal van deze parabool in de oorsprong (x

=

0, y =,0) is gelijk aan:

immers:

(dy)

- =Oen

(d2y)

- -2

=

- .

1

dx x=o dx x=o

e

.!l

---=:::==--1--=---

i

(26)

27

Uit de eerste en derde vergelijking volgt bij verwaarlozing van S3 t.o.v. S:

Anders geschreven: M.a.w.: z=_l_ x3.

6e·

Fig. 21. 1 x3 T =- - .(!>O.

6e

z

T

>

O. als: x

>

0

z>O

T

<

O. als: x

>

0

z<O

(x

< 0)

en (z

<

0). (x

<

0) en (z

>

0).

Dus als de kromme. in positieve richting doorlopen. in de richting van de positieve bino'rmaal door het osculatievlak prikt is de torsie positief.

anders negatief.

Uit de tweede en derde vergelijking volgt nog: (Sll t.O.V. s2 verwaarlozen)

z 2 = 2

e

2 ga.

9.

Fig. 22.

N.B. Het bovenstaande geldt voor een voldoende klein gebiedje om de oorsprong (s = 0) .

(27)

- - - - ---~---~~----~

28

~(z) '.

-Fig. 23.

3. Snelheid en versnelling bij een kromlijnige beweging.

~!2(Y)

Z2

=

~ y3. 9 T2 • _ 1 3 Z - 6gT X. Y = -'- x2 . 2g ruimtekromme.

Wij beschouwen een punt r (t). waarvan de plaatsvector een functie is van de tijd t (let op het verschil tussen de vector t en de parameter t).

De snelheid van dat punt zal dan zijn de vector:

d r(t) .

v=dt=r(t).

De versnellingsvetor is afgeleide van de snelheid:

. dv "()

a = v = d t = r t .

De snelheidsvector is gericht langs de raaklijn: dr d s

v =

di

([t=tv.

als wij de grootte van de snelheidsvector v met v aanduiden. Voor de versnellingsvector vinden wij:

(28)

29

Wij hebben hier dus een ontbinding van a in een tangentiële component, die gelijk is aan de tweede afgeleide van de afgelegde weg naar de tijd en

02 ..

een normale component, die gelijk is aan - , waarbIj

e

de kromtestraal

e

van de kromme is.

Wij passen het voorafgaande to'e op een schroeflijn:

x=acos w t, y= a sin w t, z= aw t tg a. Allereerst is: dr

r=

Tt

( - a w sinw t, a w cos w t, a w tg a) en dus is: ( ds) 2' a2w2 - = a2 _w2

+

_a2_,_w2 _{tg2 a}₌ _{- -} _, dt cos2 a .

zodat de booglengte door integratie gevonden wordt:

t

s=fddSt dt

=

~

t.

cos a

o

De raaklijnvector t wordt:

t =

~:

= i

~S

= (-

cos ( l sin w t, co'S a cos w t, sin ä).

dt

Inderdaad is t . t = 1. Uitgedrukt in S wordt t:

t =

i -

cos a sin ( S c:s a ) ,cos a cos ( S

c~s

a ), sin

ar.

Dan wordt:

d t

=

~

n

=

~

_ cos2

a

cos

(S

cos

a)

,

ds

e

( a a cos2

a

.

(

S cos

a)

~ - - -sm ,0, a a zodat: en: a

e=

cos2 a n = ( -cos w t, - sin w t, 0). De bi vector vinden wij uit:

k

b = t X n = - co's a sin w t cos a cos w t sin a - cos ·w t - sin w t

°

(29)

30 De torsie volgt dan uit:

~:

=

:fs

~

sin

a

sin (s c:s

a) , _

sin a cos ( s c:s a) , cos a

cos a sin Q 1

(cos w t, sin w t, 0) _ - n.

a t

De torsie is dus:

Wij' verifiëren nog de relatie:

a

1 =- - - - -cos a sin a

~

=

rf

[r', r",

1""].

l

Eerst berekenen wij:

r"'=.!i(t')

=~~_

cos2acos(scosa) , cos2a . (scosa)

o

l

-ds ds ( a a - - a- sm a ' ) -( COS3 a cosa a )

=

- q -sinwt.- - -9-COSWt,O a~ a~ Dan wordt: - cos a sin w t cos2_a

cos a cos w t sin a [r', r", r"'] - - -_a coswt cos,la - -sin wt a2 cos2_a - -sin·wt a cosa a - - -.,- cos w t a~ sin a cos'; a a3

cos4 _a _{sin a cos}_q,

a2 _a

zodat inderdaad aan de relatie is voldaan.

De snelheid langs de baankromme is gegeven door:

v =

r

= ( -a w sin w t. a w cos ·w t. a w tg a) en de versnelling:

a =

r

= ( -a w?, cos w t, - a ·w~ sin w t. 0). De grootte van de snelheid is gegeven door:

a2 _w2 _a_w

V . V

=

.'--;

,

. -

.

dus: p

=

cos~ a co's a

o

Het punt doodo'opt de schroeflijn eenparig. de versnelling is gericht langs de normaal:

a2 w'2 cosja v2

a

=

._-:;--

n

=

n.

(30)

31

4. Voorstelling van rotaties dool' vectoren.

Wij beschouwen een punt P met plaatsvector r van een vast lichaam. dat met een hoeksnelheidw draait om een as door de oorsprong. Bij die draai~

ing zal P een cirkel beschrijven met straal r sin cp, als q; de hoek is, die de

voerstraall' van P met de draaiingsas maakt. De snelheid van het punt P

zal loodrecht staan o'p het vlak door de as en de voerstraal r en een grootte hebben gelijk aan v

=

w r sin (p .

'.

..

'

.

'

Fig. 24.

Indien wij dus langs de draaiingsas een vector CA> aanbrengen ter grootte w, dan geldt de formule v = CA> X r voor de snelheid van het punt P. Wij kunnen dus een roterende beweging voorstellen door een vector langs de draaiingsas ter grootte van de hoeksnelheid. Vermenigvuldigen wij de snelheid met een factor a, dan geldt:

av=a( CA> X r) =a CA> X r,

zodat inderdaad de hoeksnelheidsvector CA> na vermenigvuldigen met een factor ·a een nieuwe hoeksnelheid a CA> oplevert. De hoeksnelheid CA> kan dus als een vector met een getal vermenigvuldigd worden.

Beschouw nu twee roterende bewegingen met hoeksnelheden Wl en W2

langs assen, die elkaar snijden in de oorsprong. Wij stellende rotaties' voor door vectoren CA>1 en CA>2 langs hun assen. Tengevolge van de eerste be~

weging is de lineaire snelheid van

P:

Vt

=

CA>t X r en tengevolge van de tweede: V2 = CA>2 X r.

De totale snelheid van Pis:

(31)

32

Deze is dus gelijk aan de hoeksnelheid van een rotatie. die voorgesteld wordt door de vectorsom co 1

+

co 2.

De rotaties co kunnen dus als vectoren opgeteld worden. Het is belangrijk op te merken. dat voor verplaatsingen deze eigensch_ap niet geldt. Stel, dat wij de draaiing van de ruimte over een hoek a dm een as door 0 voorstel~ den door een vector ter grootte ,a langs de as. De verplaatsingsvector van

a

het punt

P

heeft dan de lengte 2 r sin qJ sin

2 '

zodat al dadelijk duidelijk is. dat hij niet evenredig is met a. Bij een draaiing over de dubbele hoek is de verplaatsingsvector niet meer het dubbele van de eerste. Bovendien

,

p

c

Fig. 25.

staat hij niet meer loodrecht op het vlak door r en de as. Alleen voor on~ eindig kleine draaiingshoeken gaat de eigenschap weer op:

PIV = 2 r sin q; sin

~ ~

· a

r sin lP.

waarmee wij weer teruggekomen zijn op het geval van de snelheden. Om n.l. eindige vectorgrootheden te krijgen moeten wij door een oneindig kleine. grootheid (in casu een klein tijdsinterval) delen. Ook blijkt. dat voo'r eindige draaiingshoeken de optelling van de bijbehorende "vectoren"

mislukt.

5. Kinematische betekenis van de formules van Frenet.

Darboux heeft een kinematische interpretatie gegeven van de kromming en torsie van een ruimtekromme. Denk daarbij aan een punt. datde ruimte~

kromme met constante snelheid 1 doorloopt. De tijd wordt dus gemeten door de booglengte s. Van een punt. dat t.O.V. het triëder (t, n. b) de vaste coördinaten x, y en z heeft. is de plaatsvector (i. j en k zijn hier t, n en b):

(32)

33

En dus de snelheid:

d r r' t' I b'

v=ds= =x +yn+z.

Volgens de formules van Frenet wordt dit:

v

=

r'

= -

~

t

+ (;

-

:)

n

+

;

b.

Schrijven wij deze snelheid nu in de vorm:

dan moet: t x W2Z - W 3 Y = -

JL,

r! WaX-Wl z

=

+

-

x

-

z

,

(! t

+JL.

t Wt y - W 2 X = n b y z

Daar deze betrekkingen gelden voor alle x, y en z volgt hieruit, dat:

W3= - ,

(!

dus:

ö>=(+.O.+).

Indien een punt een ruimtekromme met eenparige eenheidssnelheid door~

loopt, kan de beweging van het bijbehorende triëder beschreven worden

als het samenstel van een rotatie met hoeksnelheid gelijk aan de torsie

om de raaklijn en' een rotatie met hoeksnelheid gelijk aan de kromming

om de binormaal.

6. Osculatiebollen.

Wij zoeken voor de kromtestraal (! een meetkundige interpretatie door een

bol te bescho'uwen, die in het punt r (s) aan de kromme raakt.

De vergelijking van een bol met middelpunt a en straal Ris:

(r - a) . (r - a)

=

R'1

.

De snijpunten van deze bol met de ruimtekromme r

=

r (s) vinden wij

door substitutie:

(33)

34

Dit is een vergelijking voor de parameterwaarden Sl. S2 •• • van de

snijpun-ten. Wij schrijven haar als:

f(sd

= O. (i = 1.2.3 •... ).

Als de bol raakt aan de kromme. moet deze vergelijking twee gelijke wor-tels Su hebben. d.w.z. met

f

(so)

=

0 moet gelden

f'

(so)

=

,

O.

Uit de regels voor het differentiëren volgt. da't: r'(so) . ~r(s,,) -

ar

.

O.

d.w.z. de verbindingslijn van r(so) met het middelpunt a moet loodrecht op de raaklijn staan. a moet in het normaalvlak lig,gen.

Heeft de boI drie samenvallende punten met de kromme gemeen (oscula-tiebol} . dan moet ook

f"

(so) = 0 zijn. dus:

r"(so) . ~r(so) -

ar

+

r'(s,,) . r'(so)

=

O. of. daar: 1 r"(s) = t'(s)

=

-

n(s)

e

en: r'(s) . r'(s)

=

t(s) . t(s)

=

1 krijgen wij:

Dit betekent. dat voor een osculatiebol de projectie van de straal naar het raakpunt op de hoofdnormaal de lengte

e

moet hebben. Alle

osculatie-I

p!l

I I Fig. 26,

/11

t

" " " " ~

bollen hebben dus hun middelpunt op de lijn door het punt op de hoofd-normaal met afstand

e

tot het raakpunt evenwijdig aan de binormaal, dus op de lijn met parametervoorstelling:

(34)

35

7. Oppewlakken.

De vergelijking van een plat vlak door een punt p met richtingsvectoren a en b wordt gegeven door:

r = p

+

u a

+

vb.

Hier zijn de parameters u en v coördinaten in het vlak. bij ieder punt be~ hoort een waardenpaar (u. v) en omgekeerd. Houden wij u constant (bijvoorbeeld: u = Ut). dan ontstaat een rechte lijn in het vlak. evenzo voor

Fig. 27.

v

=

constant. De lijnen u = constant en v = constant vormen een net van lijnen. dat het vlak geheel overdekt. De richtingsvectoren a en b geven in ieder punt de richtingen van deze lijnen aan. Uit de fomule volgt direct. dat:

ar

a

u =rl/=a.

ar

av=r,.=b.

In het geval van het platte vlak is r een lineaire functie van u en v. 'Wij kunnen dit generaliseren en beschouwen het geval. dat de vector reen

willekeurige functie is van twee parameters II en ti:

r

=

r(u, IJ).

Wij zullen wel veronderstellen. dat r twee keer differentieerbaar is. Uit~ geschreven:

x=x(u.u) .

.IJ =.IJ (u. IJ). Z

=

z(u, IJ).

Op deze wijze ontstaat een oppervlak. Houden wij u constant. dan ont~ staat een ruimtekromme. die (J als parameter heeft en die geheel op het oppervlak ligt. Voor een andere waarde van u ontstaat een andere ruimte~ kromme. Zo ontstaat een stel parameterlijnen u

=

constant. Op dezelfde

(35)

36

Het net van parameterlijnen overdekt het oppervlak, de parameters u en v dienen als coördinaten voor punten op het oppervlak. Zij staan bekend als coördinaten van Gauss.

Voorbeeld.

Een bol wordt voorgesteld door:

x

=

R

sin u cos v, 0 < v

<

2 Jt,

Y

=

R

sin u sin v, 0 < u

<

Jt,

z=Rcosu.

v is de hoek van de voerstraal met de poolas, u is het azimuth. Eliminatie van u en v levert de vergelijking van het oppervlak:

x2

+

y2

+

z2=R2.

De lijnen u = constant vormen parallelcirkels, de lijnen v

=

constant vor~ men meridiaancirkels.

Fig. 28.

In een punt (u, v) vinden wij de richting van een lijn v = constant aIs raaklijn aan de kromme:

voor vaste v, dus als:

r= r(u.

v)

or

-

<5I1=r".

or

Evenzo geeft

-

0

v r,. in een punt de richting van de kromme u constant.

Voor de bol krijgen wij dus:

\

R

cos u cos v ru

=

.

R

cos u sin IJ

(-R

sin u

\ - R

s~n u sin v rv

=

R

sm u cos v

t

0

(36)

37

De vectoren ru en rv zijn raaklijnen in een punt aan krommen op het opper~ vlak. Zij spannen het raakvlak aan het o'ppervlak op, indien zij niet langs elkaar vallen. Een parametervoorstelling voor het raakvlak is dus:

r=r(u, v)+Àr,,+ftrv,

waarbij .À en ft parameters in het raakvlak zijn. Hier zijn u en v constant.

gehouden.

Beschouw nu het geval. dat u en v, dus de coördinaten op het oppervlak. functies zijn van een parameter t:

u=u(t),v=v(t).

De vector:

r = r ~.u(t), v(t)

r

zal dan ook een functie worden van de parameter t, d.w.z. als t varieert,

doorloopt het bijbeho'rende punt een ruimtekromme, die geheel op het op~

pervlak ligt. De raaklijn aan deze ruimtekromme wordt verkregen door differentiatie:

d r

à

r du

à

r dv . .

d t

=

à u

Tt

+

Tv

Tt

= r" u

+

r,. v.

Blijkbaar is dez·e raaklijnvector voor een bepaalde waarde van teen lineaire combinatie van de vectoren ru en r,· in het bijbehorende punt. Hij ligt dus in het raakvlak. De lengte van een elementje van de kromme, be~ horende bij de parameter aangroeiing dt, is gegeven ·door:

(ds)2=dr.dr=(r"du+r,.dv) .. (r.lldu

+

r"dv)

=

= (ril .. rll)'(du)2 + 2(r'l' r,.)du dv + (r., .. r,,) (dv)2.

Dit is een kwadratische vorm in de differentialen du en dv.

Voor de coëfficienten heeft Gauss de notatie ingevoerd: ru . tu

=

E,

r" .. rv

=

F,

r, .. r,· =

G,

zodat het lijnelement de vorm heeft:

(ds)2 = E(du)2

+

2 F du dv

+

G(dv)'2.

De discriminant van deze kwadratische vorm is:

- p 2 + E G = - (rll .r,.)2+ (r" .rll)(r,. .r,.).

Uit de vroeger afgeleide vector identiteit:

(a X b) . (a X b) = (a.a)(b.b) - (a.b)(a.b)

volgt, dat:

-

p2

+ EG

=

(ril X rr) . (ril X rr)

>

.0,

zodat EG -

F2

steeds positief is. De kwadratische vorm is dus positief

(37)

38

De normaal op het raakvlak heeft de richting van het uitwendig

product

fu X ft·. Wij duiden de eenheidsnormaal aan met

e, dus is: f" X f,. fit X f~

e=

I

f" X ft"

I

yEG-F2

Voor de bol vinden wij:

E=f" .fl/.=R2, F=f" .f~=O,

G

=

ft" • ft"

=

R2

sin2 u,

zodat het lijnelement wordt:

( d ) _{s -}~

= -

R

)

(d ) _{u -}'>

+

R')

- sm- u

.

~ De eenheidsnormaal wordt: i

R

cos u cos v

-R

sin u sin v R cos 'U sin v

R

sin u cos v (dv)2. k

-R

sin u

o

e

=

- ' - - - . - - -= -

_R2

_{sin u}- -. '

-= sin u cos v i

+

sin u sin v j

+

cos u k.

Zij heeft inderdaad de richting van de voerstraal.

De parameterlijnen overdekken het oppervlak met een net.

De lengte van

Fig. 29.

een elementje du langs een lijn v = . constant is E'!. du, de lengte

van een elementje dv is G'l. dv. De hoek r/, tussen twee parameterlijnen

is de hoek tussen de vectoren f" en rr, dus is:

f i l ' f"

F

cos (P

=

-=---= yI(f" . fll) (ril' f l·) ylEG

.

YEc;.=-fi2

, sIn ((!

=

yEG

De oppervlakte van het elementje (du, dv) is:

(38)

39

8. Krommingseigenschappen van oppervlakken.

Beschouw de ontwikkeling volgens de reeks van Taylor voor de twee va~

riabeIen u en v van de plaatsvector r (u, v) in de omgeving van een punt

P:

r(u + L. u, v + L. v)

=

r(u, v) + (L. u r" + L. v rt") +

+

;1~(

L. u)2 r"" + 2 L. u L. v r"v + (L. v)2

rt"v~+;

d(

L. u)B r llll " + + 3 (L. u) 2 L. v r ""V

+

3 L. u (L. v) 2 r IIVV

+

(L. v) 3 r vvv ~

+ ....

Het raakvlak wordt bepaald door:

r = r(u, v) + ,}. r"

+

ft rv.

De eerste benadering van de vector:

r (u

+

L. u, v

+

L. v)

bevat de termen van de eerste orde:

r(u, v) + L. u rll

+

L. v rv. Deze ligt dus in het raakvlak.

Beschouw nu de afwijking van de tweede benadering, die de termen van

de tweede orde omvat, t.o.v. het raakvlak:

Beperken wij ons tot de tweede orde benadering, dan kunnen wij de door~ snijding van het oppervlak met een vlak op kleine àfstand d evenwijdig met het raakvlak bepalen uit de voorwaarde, dat voor een punt van de dOO'rsnijding de projectie van de vector L. r op de normaal e de lengte d heeft.

d =e . L. r = ~i (L. U)2 (e . r'"I)

.+

2 L. u L. v (e . rltt")

+

(L. V )2( e . r"v)

r.

Op deze wijze o'ntstaat een vergelijking van de tweede graad in L. u en

L. v, die een kegelsnede voorstelt. Wij voeren in de grootheden:

e.rll,,=L, e.rllv=M, e.rvv

'

=

N

en krijgen als vergelijking:

L(L. U)2

+

2M

L. u L. v

+

N(L. v)~

=

2d.

De bijbehorende differentiaalvorm:

L(du)2

+

2 M

du dv

+

N(dv)2

(39)

40

Wij kunnen de grootheden

L

,

M en

N

direct uitdrukken in de afgeleiden

van r (u, v) als scalartripelproducten:

L _=e.r"u=(ru

_I

X X r") . r

I

'I!'

r" rv [ru, rv, r"u]

I

ru Xr"

I '

M

_=e

_.r,,"=

(rIO X

_I

_ruX rv) _r_v.

I

ru" [ru, rv, rIO,']

I

r" X rv

I '

N

_=e.rn= (rilI . X rv) .

I

rt'V I ru X rv [rIO, rv, rvv]

I

r" X rt'

I

Neem d

=

0, dan hebben wij de doorsnede te bepalen van het oppervlak

met het raakvlak:

L(L. u)2

+

2 M

L. u L. v

+

N(L. v)2=0.

Dit geeft twee reële richtingen, als:

LN-M2

<

0,

twee imaginaire richtingen, als:

LN-M2>0 en twee samenvallende richtingen als:

LN-M2=0.

In het eerste geval snijdt het raakvlak het oppervlak in twee snijdende

rechte lijnen (locaal) , in twee overstaande sectoren heeft de vorm:

L(L. u)2

+

2M

L. u L. v

+

N(L. v)2

hetzelfde teken. De doorsnijding met een vlak op afstand d

>

0 zal dus

een kromme geven, die in twee overstaande sectoren ligt, voor

d

<

0 ligt

de snij kromme in de twee andere sectoren. De doorsnijdingen zijn dus hy~

perbolen. Het punt heet een hyperbolisch punt.

(40)

41

In het tweede geval heeft de vorm voor alle waarden (/':,. u. /':,. v) hetzelfde teken. Is dat positief. dan ontstaat een gesloten doorsnijdingskromme voor positieve d. die dus een ellips moet zijn. Het punt heet een elliptisch punt. Voor negatieve waarden van d heeft de kromme. ingeval:

L( /':,. u)2

+

2 M /':,. u /':,. v

+

N( /':,. v)2

>

0

is. geen enkel reëel punt. Het oppervlak ligt geheel aan één zijde van het raakvlak. Het geval van twee samenvallende richtingen:

LN-M2=O

geeft voor kleine positieve waarden van deen snij kromme. die de gedaante heeft van een parabool. welke is ontaard in twee evenwijdige rechten. Het punt heet een parabolisch punt.

De richtingen bepaald door:

L(du)2

+

2 M du dv

+

N(dv)'2

=

O.

die. als ze reëel zijn. de asymptoten van de hyperbolen voorstellen. heten de asymptotische richtingen in het punt. Wij kunnen krommen defi~

niëren op het oppervlak. zodanig. dat de raaklijn in ieder punt langs een asymptotische richting valt. Op deze wijze ontstaan twee stelsels krom~

men. die ,de asymptotische lijnen op het oppervlak worden genoemd. De tweede differentiaalvorm hangt nauw samen met de kromtestralen van dè krommen. die door het punt P van het oppervlak gaan en die op het oppervlak gelegen zijn. Nemen wij voor deze krommen de booglengte s,

bepaald door:

(dS)2=E(du)2

+

2Fdudv

+

G(dv)2.

als parameter. dan zijn de eenheidsraaklijnvectoren t bepaald door:

Steeds moet t loodrecht op de normaalvector e staan. dus:

Differentiatie naar s geeft:

de dt

d s ' t

+

e. d s

=

O.

ofwel:

dt de dr.de

(41)

42

Nu geldt volgens de formules van Serret:

dus is: Verder is: dt 1 ds

=

e

n, 1 dr.de

e

e. n = - (ds)2 d e=e" du + ev dv, dr= r"du+ r"dv.

zodat de teller wordt:

dr.de= (e".r,,)(du)2+ (eu.r,, +ev.r,,) dudv + (e".rv)(dv)2.

De coëfficienten in deze differentiaalvorm zijn echter niets anders dan

L, M en N. Immers steeds is:

e . rIl

=

e. r,v

=

0,

omdat de normaalvector e loodrecht op de vectoren r" en r", die het raak~

vlak opspannen, staat. Differentiatie geeft:

e" « r"

+

e . ruu =

°

df

e" . rIl

+

e . r"" =

°

of

eu • r"

+

e . ru " = 0 (jf e" . r_"

+

e . r"v = 0 of Wij zien dus, dat:

Cu • r"

=

-

e . rut< = -

L,

c".ru= - e .ru,,=- M,

eu

r r"

= -

e . ru"

=

-

M,

e

".

r,

.

= -

,

e

.

r

n>

=-N.

1

- e.n=

e

L(du)2

+

2 Mdu dv

+

N(dv)2 E(du)2

+

,

2

F du dv

+

G(dv)2

De rechterzijde van deze uitdrukking is alleen afhankelijk van de verhou~ ding

~ ~,

dus van de richting van de raaklijn aan de kromme. Voor alle

krommen op het oppervlak, die door P gaan en dezelfde raaklijn hebben.

is de uitdrukking hetzelfde. Beschouw nu alleen vlakke krommen en wel

de doorsnijdingen van het oppervlak met alle vlakken door een raaklijn. In

dit geval is

e

de kromtestraal van de vlakke krommen.

(42)

-

----~--43

Teken de doorsnede van het oppervlak met het vlak door P loodrecht op de raaklijn. Dan is, omdat n en e eenheidsvectoren zijn,. het inwendig product n . e gelijk aan cos 8, als 8 -de ho'ek is, die het vlak met de normaal e maakt. De formule zegt nu, dat:

cos 8 1

- -(!-

=

constant

=

-

J?

"

,

waarbij

R

de kromtestraal is, die behoort bij 8 = 0 (cos 8 = 1 ), dus van de doorsnede, die door de normaal gaat. De formule

e

=

R cos 8 staat

be~

kend als de formule van Meusnier.

~ Fig. 32.

I

I 2R \ \

I

I :1' _ _

/

Fig. 33. _

/

r

Voor de kromming van de normale doorsnede door de lijn met richting

du

d IJ geldt dus:

I L(du)2

+

2 M du dv

+

N(dv)2

R -

E(du)2

+

2 F du dv

+

G(dv)2

Deze formule is op grond van het voorgaande duidelijk te interpreteren. Immers, voor een punt (du, dv) is:

L(du)2

+

2 M du dv

+

N(dv)"Z

=

2 d,

waarbij d de projectie van het lijnstukje ds op eis. Volgens de planimetrie is:

dus is:

1 2d L(du)2+ 2Mdudv+N(dv)2

(43)

Bij de richting (du, du) behoort een vector in het raakvlak: d r = r" du

+

r~ du.

In plaats van de differentialen beschouwen wij liever twee richtings~

getallen .J. en ,u. Hierbij behoort een eindige vector ~ in het raakvlak: ~ = J. r"

+

ft rt ..

Het kwadraat van de lengte van deze vector is:

~2

=

E

.J.2

+

2

F

À ft

+

G ft~

en de kromtestraal

R,

die bij deze vector behoort, is: 1 _ LJ.2

+

2 M À ft

+

N

Jl2

-

JI -

EJ.2

+

2 F J. ft

+

G ,u2. •

Met de vroeger genoemde doorsnede in een naburig vlak evenwijdig met het raakvlak komt overeen een kegelsnede:

L .J.2

+

2 M J. ft

+

N {l2

=

1.

Wij laten nu zien, dat met de hoofdassen van deze kegelsnede juist de richtingen overeenkomen, waarvoor

1

een extreme waarde heeft. De hoofdassen zijn die assen waarvoor de lengte extreem is. Uit onze meet~

kundi·ge beschouwing voIgt direct, dat bij de extreme waarden van de lengte van de hoofdassen de extreme waarden van de kromtes tra al be~ horen. Immers, hO'uden wij 2 d vast, dan zal

R

=

(~s12

het grootst zijn voor die richtingen, waarbij (dS)2 maximaal is en het kleinst, als (ds)2

het kleinst is.

Wij moeten dus die waarden van .J. en J1 zoeken, waarvoor:

E J.

2

+

2

F ).

ft

+

G ft2

extreem is, met als nevenvoorwaarde:

L J.2

+

2 M À ,u

+

N

.u2 = 1.

Volgens de regels voor het bepalen van extrema met nevenvoorwaarden, zoeken wij dus het extremum van de functie:

E J.2

+

2 FJ. {l

+

G {l2

+

A

1

L À2

+

2 M À,ll

+

N ft2 - 1

r

=

cp

(J., ,u) ,

waarbij A een nog te bepalen constante is.

De noodzakelijke voorwaarden voor een extremum zijn:

oW

--s-

=

0,