Zagadnienie porządkowania podmiotów gospodarczych z punktu widzenia ich sytuacji finansowej

Pełen tekst

(1)Zeszyty Naukowe nr. 740. 2007. Akademii Ekonomicznej w Krakowie. Katarzyna Frodyma Katedra Statystyki. Zagadnienie porzàdkowania podmiotów gospodarczych z punktu widzenia ich sytuacji finansowej 1. Wprowadzenie Niniejszy artykuł jest pierwszym etapem szerszych badań związanych z klasyfikacją podmiotów gospodarczych z punktu widzenia ich zdolności kredytowej. Podany przykład empiryczny dotyczy nieco węższego zagadnienia, gdyż przedsiębiorstwa oceniane są jedynie za pomocą wskaźników analizy finansowej. Jest to więc część oceny zdolności kredytowej oparta na miernikach ilościowych. Autorka ma jednak nadzieję, że otrzymane wyniki będą mogły zostać wykorzystane w przyszłości. Analiza osiąganych wyników gospodarowania w firmie składa się z reguły z dwóch części1: analizy opisowej oraz analizy sprawozdań finansowych. Druga część składa się z kilku podstawowych sprawozdań finansowych, takich jak: bilans firmy, rachunek zysku i strat, rachunek przepływów finansowych. Szczegółowej analizy sytuacji finansowej firmy dokonuje się biorąc pod uwagę wskaźniki finansowe, które wyznaczane są na podstawie wcześniej wymienionych sprawozdań finansowych. Najogólniej wskaźniki analizy finansowej podzielić można na cztery grupy2: 1) wskaźniki płynności finansowej – charakteryzują zdolność firmy do terminowego regulowania należności; do najczęściej stosowanych wskaźników wchodzących w skład tej grupy należą wskaźnik płynności bieżącej oraz wskaźnik płynności szybkiej; 1 2. Por. [Czekaj, Dresler 1998]. Szerzej zob. [Ziemba 2001], [Czekaj, Dresler 1998]..

(2) 112. Katarzyna Frodyma. 2) wskaźniki zadłużenia – obrazują strukturę finansowania majątku przedsiębiorstwa; najczęściej w praktyce wylicza się wskaźnik ogólnego zadłużenia (wskaźnik zadłużenia aktywów), wskaźnik zadłużenia kapitału własnego oraz wskaźnik zadłużenia długookresowego; 3) wskaźniki rentowności – najogólniej ujmując, świadczą one o zdolności firmy do generowania zysku; najczęściej wyznacza się: wskaźnik rentowności netto, wskaźnik rentowności brutto, wskaźnik rentowności kapitałów własnych oraz wskaźnik rentowności aktywów; 4) wskaźniki efektywności (aktywności) – świadczą o wykorzystaniu aktywów firmy i charakteryzują jej pozycję finansową; należą do nich: wskaźnik rotacji należności, wskaźnik rotacji zobowiązań oraz wskaźnik rotacji aktywów. Często w literaturze przedmiotu3 wskazuje się również piątą grupę: wskaźniki wartości rynkowej firmy. Celem prowadzonych badań jest próba stworzenia jednolitego systemu klasyfikacji przedsiębiorstw, który będzie pomocny przy podejmowaniu decyzji, czy kredyt ma zostać przyznany, czy też należy odrzucić wniosek kredytowy. Zadaniem stworzonego systemu będzie również pomoc, już w trakcie trwania umowy kredytowej, przy przyporządkowywaniu kredytu do poszczególnych grup ryzyka. Działalność kredytowa jest jednym z głównych obszarów działalności banku, ponadto jest to działalność obarczona największym ryzykiem. Ryzyko kredytowe4 jest obok ryzyka płynności, ryzyka stopy procentowej oraz ryzyka dewizowego (kursowego) głównym elementem ryzyka bankowego. W związku z jego wpływem na ogólną kondycję banku należy je mierzyć i oceniać. W ostatnich latach coraz większe znaczenie zyskują metody matematyczne oraz statystyczne oceny ryzyka kredytowego, których głównym aspektem jest ocena zdolności kredytowej przedsiębiorstwa ubiegającego się o kredyt. Przy czym przez zdolność kredytową rozumie się zdolność do spłaty zaciągniętego kredytu wraz z odsetkami, w terminach określonych w umowie. Teoria statystyki dysponuje metodami taksonomicznymi, które mogą zostać wykorzystane do stworzenia całościowego systemu oceny przedsiębiorstw. Wybór metody oceny zdolności kredytowej, a następnie metody zakwalifikowania konkretnego przedsiębiorstwa do określonej grupy ryzyka kredytowego jest niezbędny do podjęcia właściwej decyzji odnośnie do udzielenia kredytu, a także określenia konkretnych warunków umowy kredytowej. Obowiązek dokonywania przez bank oceny zdolności kredytowej klienta wynika bezpośrednio z prawa bankowego5. Rozporządzenie Ministra Finansów 3. Por. [Czekaj, Dresler 1998], [Statystyczne metody…, 1998]. Szerzej zob. [Petterson 1995], [Stolarz 1996], [Wiatr 2004]. 5 Szerzej zob. [Jagiełło, Tomczyk 2003]. 4.

(3) Zagadnienie porządkowania podmiotów…. 113. z dnia 10 grudnia 2003 r. w sprawie zasad tworzenia rezerw na ryzyko związane z działalnością banków (Dz.U. nr 218, poz. 2147), nie tylko określa grupy ryzyka i związane z nimi rezerwy, ale również ramowe kryteria klasyfikacji przedsiębiorstw do poszczególnych grup ryzyka. Prawo bankowe przywiduje pięć grup ryzyka kredytowego: – kategoria „normalne”, – kategoria „pod obserwacją”, – grupy „zagrożone” (w tym: kategoria „poniżej standardu”, kategoria „wątpliwe”, kategoria „stracone”). Podmioty klasyfikowane są do grup z uwzględnieniem dwóch kryteriów: kryterium terminowości spłaty kapitału lub odsetek oraz kryterium oceny sytuacji ekonomiczno-finansowej dłużnika. 2. Metody oceny zdolnoÊci kredytowej Przez lata istnienia systemu bankowego na świecie powstało wiele metod oceny zdolności kredytowej, nie powstał jednak żaden jednolity wzorzec. Dziś niemal każdy bank komercyjny stosuje inne kryteria przyznawania kredytów. Mimo wypracowania przez wiele lat praktyki pewnych ramowych schematów dotyczących badania oceny zdolności kredytowej, brak jest jednoznacznej odpowiedzi na pytanie, jak klasyfikować klientów, aby zminimalizować ryzyko kredytowe. Jedną z pierwszych metod oceny sytuacji ekonomiczno-finansowej przedsiębiorstw była metoda wskaźnikowa6. Metoda ta polega na zastosowaniu głównych wskaźników ekonomicznych, takich jak wskaźniki płynności finansowej, wskaźniki rentowności, wskaźniki wspomagania finansowego, a obecnie często wzbogacona jest także o ocenę konkretnej inwestycji. Do najbardziej rozpowszechnionych metod badania zdolności kredytowej należą modele scoringowe7, które polegają na stworzeniu agregatowego wskaźnika, nazywanego indeksem8. W metodzie tej wybranym wskaźnikom ekonomicznym przyporządkowuje się odpowiednie wagi na podstawie obserwacji o charakterze statystycznym. Scoring można określić jako system automatycznej i obiektywnej oceny obiektu, wprowadzony w rezultacie doświadczeń, uzasadniony przykładami i statystykami9. Pierwszym etapem credit-scoringu jest wybór wskaźników, które posłużą do oceny przedsiębiorstw. Jest to etap niezwykle trudny. Ogólne wskazówki zawarte są w obowiązującym rozporządzeniu. Przez pewien okres liczba 6. Por. [Różański 2001], [Strahl 2000]. Szerzej zob. [Janc, Kraska 2001]. 8 Zob. [Kuryłek 2000]. 9 [Boguszewski, Gelińska 2004]. 7.

(4) 114. Katarzyna Frodyma. wskaźników brana pod uwagę podczas analizy gwałtownie rosła. Spowodowane było to głównie rozwojem informatyki; bardziej skomplikowane obliczenia nie stanowiły już problemu. Jak się jednak okazało w tym przypadku, ilość nie przechodziła w jakość. Dziś każdy bank stara się samodzielnie określić optymalną liczbę wskaźników. Następnie należy określić odpowiednią bazę odniesienia, aby móc właściwie ocenić poziom i kierunki zmian zachodzących w przedsiębiorstwie. W niniejszej pracy wykorzystano optymalne wartości wskaźników zaczerpnięte z literatury przedmiotu. Kolejnym etapem badania jest stworzenie agregatowego wskaźnika, na podstawie którego bank będzie podejmował decyzje, czy udzielić kredytu, a następnie zakwalifikować kredytobiorcę do określonej grupy ryzyka kredytowego. Najpoważniejszym problemem na tym etapie jest przyznanie wag poszczególnym wskaźnikom wchodzącym w skład indeksu. W końcu należy wybrać odpowiedni sposób klasyfikacji przedsiębiorstw. W tym celu stosuje się różne metody10, które najogólniej można podzielić na: – metody statystyczno-matematyczne (analiza dyskryminacyjna, regresja liniowa, regresja logistyczna, drzewo klasyfikacyjne, metoda najbliższego sąsiada), – metody niestatystyczne (programowanie matematyczne, sieci neuronowe, algorytm genetyczny, systemy eksperckie). Ponadto wśród metod oceny zdolności kredytowej znane są także metody wielokryterialne, zwane również metodami punktowymi. Mają one tę zaletę, że uwzględniają nie tylko kryteria o charakterze mierzalnym, ale również niemierzalne. Ich mocną stroną jest także to, że stosuje się w nich daleko idącą standaryzację, która pozwala na relatywnie szybkie uzyskiwanie wyników. Wadą zaś tych metod jest subiektywizm oceny (odnoszący się głównie do oceny kryteriów niemierzalnych). W XXI w. codziennością stały się komputery. Również w bankowości korzysta się z nowoczesnych osiągnięć informatyki. Jedną z metod oceny zdolności kredytowej, w której wykorzystywane są osiągnięcia informatyki, są algorytmy genetyczne11. Pozwalają one na stosunkowo szybką ocenę, dzięki czemu zdecydowanie skraca się czas rozpatrywania wniosków kredytowych. Istnieje możliwość wprowadzania nie tylko obiektywnych ocen liczbowych, ale również subiektywnej oceny pewnych kryteriów. Metoda ta wymaga jednak stworzenia dużej bazy danych historycznych. Zaawansowaną technologicznie metodą są systemy hybrydowe, czyli połączenie sieci neuronowych z systemami eksperckimi. Sieci neuronowe dobrze rozpoznają zależności miedzy różnymi zjawiskami12, jednak trudno jest uzyskać 10. Zob. [Batóg 1997], [Dziechciarz, Walesiak 2000], [Gantar 1999], [Matuszyk 2003], [Gasik 1998], [Grabiński 1992], [Grabiński, Wydymus, Zeliaś 1989]. 11 Szerzej zob. [Gwiazda 1998]. 12 Por. [Witkowska 2002]..

(5) Zagadnienie porządkowania podmiotów…. 115. informacje dotyczące sposobu dojścia do określonych informacji. Dlatego też etap zastosowania sieci neuronowych często poprzedza się oceną wniosków kredytowych z wykorzystaniem systemów eksperckich, których zadaniem jest wstępne odrzucenie tych wniosków, które odrzuciłby inspektor kredytowy. 3. Porzàdkowanie spó∏ek publicznych województwa ma∏opolskiego Przedstawiony przykład empiryczny to pierwsze podejście autorki do tego typu badań. Badaniem objęte zostały jedynie spółki mające siedzibę główną na terenie województwa małopolskiego. W kolejnych pracach autorka zamierza rozszerzyć analizę na wszystkie spółki w Polsce, biorąc pod uwagę również cechy jakościowe. 3.1. Dobór badanych spółek. Dane liczbowe dotyczą spółek publicznych działających w województwie małopolskim. Pod pojęciem spółki publicznej rozumie się spółkę, której akcje chociaż jednej emisji dopuszczone zostały do obrotu publicznego przez Komisję Papierów Wartościowych i Giełdy (KPWiG). Przedsiębiorstwo, będąc spółką publiczną, od dnia udostępnienia prospektu do publicznej wiadomości zaczyna podlegać tzw. obowiązkom informacyjnym ciągłym, a więc obowiązkowi przekazywania do publicznej wiadomości określonych ustawowo informacji w formie raportów bieżących i raportów okresowych. Obowiązek ten ma charakter ciągły i ustaje dopiero z chwilą wycofania lub wykluczenia papierów wartościowych emitenta z publicznego obrotu. W województwie małopolskim siedzibę główną miało 21 spółek publicznych13: – Alma Market SA (dawniej: Firma Handlowa KrakChemia SA, Kraków), – Ampli SA (Tarnów), – Artman SA (dawniej: Artman Sp. z o.o., Kraków), – Bank BPH SA (dawniej: Bank Przemysłowo-Handlowy SA, Kraków), – Browary Polskie Brok-Strzelec (dawniej: Małopolski Browar Strzelec SA, Kraków), – Comarch SA (Kraków), – Deutsche Bank PBC SA (dawniej: Bank Współpracy Regionalnej SA, Kraków), – Fabryka Elementów Hydrauliki Ponar-Wadowice SA (Wadowice), – Firma Chemiczna Dwory SA (dawniej: Zakłady Chemiczne Oświęcim SA, Oświęcim), – Grupa Kęty SA (dawniej: Zakłady Metali Lekkich Kęty SA, Kęty), 13. Dane na dzień 2.12.2004 r..

(6) Katarzyna Frodyma. 116. – Grupa Onet.pl SA (dawniej: Optimus SA, Nowy Sącz), – Instal Kraków SA (dawniej: Instal Kraków Sp. z o.o.; Kraków), – Interia.pl SA (dawniej: Interia.pl Sp. z o.o., Kraków), – Korporacja Gospodarcza Efekt SA (Kraków), – Naftobudowa SA (Kraków), – Nowosądecka Fabryka Urządzeń Górniczych Nowomag SA (Nowy Sącz), – Optimus SA (dawniej: Optimus Technologie SA, Nowy Sącz), – Unimil SA (dawniej: Przedsiębiorstwo Przemysłowo-Handlowe Unimil Sp. z o.o., Dobczyce), – Vistula SA (dawniej: Zakłady Przemysłu Odzieżowego Vistula SA, Kraków), – Zakład Przemysłu Hutniczego Stalprodukt SA w Bochni (Bochnia), – Zakłady Przemysłu Cukierniczego Wawel SA (Kraków). Dwie z wymienionych spółek nie zostały uwzględnione w analizie z uwagi na specyfikę ich działalności. Są to Bank BPH SA oraz Deutsche Bank PBC SA. Informacje dotyczące pozostałych spółek pochodzą ze strony internetowej: ISI Emerging Markets14, wskaźniki finansowe pochodzą z bazy Corporate Database i dotyczą 2002 r., oparte są na danych oficjalnych audytowanych. Wskaźniki dwóch przedsiębiorstw (Optimus SA oraz Nowomag SA) wyznaczone zostały na podstawie danych surowych pochodzących z bilansu oraz rachunku zysków i strat. Dane finansowe tych spółek (bilans, rachunek wyników, rachunek przepływów finansowych) pochodzą z „Monitora Polskiego B”15. 3.2. Opis wybranych wskaêników analizy finansowej. Wyboru zestawu wskaźników do oceny sytuacji finansowej badanych spółek dokonano opierając się na Rozporządzeniu Ministra Finansów (obowiązującym wszystkie banki) oraz biorąc pod uwagę wskaźniki stosowane zazwyczaj przez polskie banki komercyjne, dostępność danych, a także teorię finansów dotyczącą poszczególnych mierników. Wskaźniki płynności finansowej. majątek obrotowy. . zobowiązania krótkoterminowe Jest to wskaźnik, który informuje o zdolności firmy do regulowania swoich zobowiązań bieżących. Jak wynika z praktyki16, jego wartość powinna mieścić się w przedziale 〈 1,2; 2,0 〉. Wartość poniżej 1 może świadczyć o kłopotach z płyna) wskaźnik płynności bieżącej (x1) =. 14. http://site.securities.com. „Monitor Polski B” w wersji elektronicznej znajduje się na stronach ISI Emerging Markets. 16 Szerzej zob. [Czekaj, Dresler 1998]. 15.

(7) Zagadnienie porządkowania podmiotów…. 117. nością, a tendencja spadkowa wskaźnika jest sygnałem informującym o możliwości wystąpienia trudności płatniczych. Także zbyt wysoka wartość tego wskaźnika nie jest wskazana, gdyż świadczy o nadpłynności, czyli niepełnym wykorzystaniu zobowiązań krótkoterminowych jako źródła finansowania majątku obrotowego. Ważne jest, aby zwrócić uwagę na fakt, iż w dużej mierze optymalny poziom tego wskaźnika zależy od rodzaju działalności gospodarczej i jest on branżowo zróżnicowany. majątek obrotowy – zapasy . b) wskaźnik płynności szybkiej (x2) = zobowiązania krótkoterminowe Wskaźnik ten, zwany także wskaźnikiem podwyższonej płynności, mierzy zdolność firmy do natychmiastowej spłaty długu. Wartość tego wskaźnika17 oscylować powinna wokół 1; w praktyce możemy mówić o dobrej płynności, jeśli jego wartość mieści się w przedziale 〈 1,0; 1,2 〉. Również tutaj wartość poniżej jedności może być sygnałem kłopotów z terminowym regulowaniem zobowiązań. Wskaźniki zadłużenia a) wskaźnik ogólnego zadłużenia (x3) =. zobowiązania ogółem. aktywa ogółem Im wyższy jest poziom tego wskaźnika, tym ryzyko finansowe jest wyższe, ponieważ wyższy jest poziom zadłużenia, choć należy pamiętać, że w znacznym stopniu jego wysokość zależy od branży (banki i firmy leasingowe charakteryzują się wysoką wartością tego wskaźnika). zobowiązania ogółem . b) wskaźnik zadłużenia kapitału własnego (x4) = kapitały własne Wskaźnik ten określa zaangażowanie kapitału obcego w stosunku do kapitału własnego. Według standardów międzynarodowych18 (UNIDO, Bank Światowy) optymalna relacja pomiędzy tymi kapitałami powinna wynosić od 67% (kapitał własny) do 33% (kapitał obcy), choć dopuszcza się relację 50% : 50%. Wskaźniki rentowności a) wskaźnik rentowności netto (x5) =. wynik netto. . przychody ze sprzedaży Informuje on, ile wyniku finansowego netto uzyskuje się z jednej złotówki pochodzącej ze sprzedaży. Pożądany jest wysoki poziom tego wskaźnika, ponieważ im wyższa jego wartość, tym wyższa jest efektywność osiąganych dochodów. 17 18. Por. [Czekaj, Dresler 1998]. Por. ibidem..

(8) Katarzyna Frodyma. 118. b) wskaźnik rentowności kapitałów własnych (x6) =. wynik netto. . kapitały własne Wskaźnik ten zwany jest także wskaźnikiem zyskowności kapitału własnego lub stopą zwrotu z kapitału własnego (ROE). Wysoki poziom tego wskaźnika świadczy o korzystnej sytuacji finansowej przedsiębiorstwa, możliwości powstania nadwyżki finansowej, a co za tym idzie, perspektywie dalszego rozwoju firmy. wynik netto . c) wskaźnik rentowności aktywów (x7) = kapitały własne Wskaźnik rentowności (zyskowności) aktywów (ROA) pokazuje, jak efektywnie firma zarządza swoim majątkiem. W praktyce banki, udzielając kredytu, oczekują, aby wskaźnik ten znajdował się na poziomie 2–6%, ale im wyższy jest jego poziom, tym lepiej. Wskaźnik efektywności a) wskaźnik rotacji mależności (x8) =. przychody ze sprzedaży. . przeciętny stan należności Trudno jest określić optymalny poziom tego wskaźnika, zwykle porównuje się go do wartości z ubiegłych okresów lub z sytuacją występującą w innych firmach danej branży. Zadowalający jest jego poziom z przedziału 〈 7; 10 〉. Wartość poniżej 7 oznacza, że przedsiębiorstwo kredytuje swoich klientów, co wiąże się z zamrożeniem środków. Im dłuższy jest ten okres, tym firma szybciej przekształca należności w środki pieniężne i tym mniej potrzebuje kapitału własnego i obcego do finansowania tych należności. przychody ze sprzedaży . b) wskaźnik rotacji aktywów (x9) = przeciętny poziom aktywów Jedna z interpretacji tego wskaźnika mówi, że jego wartość informuje, jaką wartość sprzedaży osiągnięto z zaangażowania 1 zł aktywów. W związku z tym im wyższa jest wartość tego wskaźnika, tym lepiej. Tabela 1. Wskaźniki finansowe dla spółek publicznych województwa małopolskiego Nazwa spółki. Wskaźnik x1. x2. x3. x4. Alma Market SA 0,5436 0,1990 0,5459 1,2934. x5. x6. 2,0268. 8,3226. x7. x8. x9. 3,5125 51,6237 1,7019. Ampli SA. 1,0625 0,8000 0,7182 2,6005 –2,8487 –18,9291 –5,2280 2,2304 1,4093. Artman SA. 1,1929 0,3256 0,4910 1,6784. 4,7039. 35,0751. 10,2622 18,1641 2,8812. Brok-Strzelec SA 0,5913 0,5259 0,6338 1,9939. 0,7988. 1,1931. 0,3793. 3,5764 0,5427.

(9) Zagadnienie porządkowania podmiotów…. 119. cd. tabeli 1 Nazwa spółki. Wskaźnik x1. x2. x3. x4. x5. x6. x7. 7,0409. 4,3347. 3,2349 0,8175. Comarch SA. 3,4570 3,2782 0,3406 0,5533. 6,2546. x8. x9. Dwory SA. 0,7241 0,4775 0,5041 1,1868. 1,0988. 2,7657. 1,1748. 7,0066 1,1113. Efekt SA. 1,1062 0,9663 0,2287 0,3310. 4,1997. 3,2992. 2,2798. 7,4038 0,5597. Instal Kraków SA. 2,0050 1,9246 0,3440 0,5789. 1,3878. 2,8812. 1,7120. 2,7289 1,1994. Interia.pl SA. 8,8620 8,8008 0,0563 0,0622 –54,7590 –56,5373 –51,1377 3,3490 0,7381. Kęty SA. 1,3241 0,8979 0,4044 0,7454. Naftobudowa SA 0,8292 0,7797 0,7795. 4,6212. 7,5588. 4,1008. 4,0557 0,8460. 5,7311 –5,9227 –68,8210 –9,3611 2,9283 1,4485. Nowomag SAa. 0,9074 0,5725 0,7995 6,3860. 3,3842. 46,8141. 5,8611. 4,6079 1,6357. Onet.pl SA. 5,6089 5,6089 0,0186 0,0193. 3,8443. 1,2817. 1,2329. 0,6677 0,1598. Optimus SAa. 0,9551. 0,7529 0,5760 2,6288 –29,3654 –343,9571 –75,3625 12,6736 3,8075. Ponar-Wadowice 6,1026 3,3534 SA. 0,1014. 0,1340 –18,2058 –21,4465 –16,2401 5,0867 0,8800. Stalprodukt SA. 0,9918 0,5971 0,4965 1,3785. 1,4311. 6,2098. 2,2365 5,3254 1,5769. Unimil SA. 5,6033 4,7301 0,0879 0,1064. 6,6243. 8,6111. 7,1155. Vistula SA. 1,0652 0,6036 0,4920 1,3696 –59,4506 –171,7467 –61,6972 2,2069 0,8094. Wawel SA. 1,7043. 1,1976 0,4380 0,8082. 2,1287. 6,9378. 3,7600. 4,6422 1,0608 4,3228 1,7849. a. wskaźniki obliczone na podstawie danych rzeczywistych Źródło: ISI Emerging Markets.. Wartość wskaźników x1–x9 dla 14 badanych spółek publicznych województwa małopolskiego zawiera tabela 1. 3.3. Charakterystyki opisowe. Dla wybranych wskaźników wyznaczono charakterystyki opisowe, które zawiera tabela 2. Warto zwrócić szczególną uwagę na dwa pierwsze wskaźniki. Średnia wartość wskaźnika płynności bieżącej wynosi 2,35, czyli znajduje się ponad obszarem optymalnym dla tej miary, mediana zaś wynosi jedynie 1,11, co świadczy o tym, że 50% spółek charakteryzowało się za niską płynnością finansową. Podobnie sytuacja wygląda, jeżeli chodzi o współczynnik płynności szybkiej; w tym przypadku również średnia wartość wskazywałaby na nadpłynność spółek, ale mediana informuje nas, że 50 % spółek miała za niską (bo mniejszą od 1) płynność natychmiastową. W przypadku wskaźnika zadłużenia aktywów średnia (0,42) niewiele różni się od mediany (0,49) i obie wartości wskazują na niski poziom zadłużenia. Dla wskaźnika zadłużenia kapitału własnego różnice.

(10) Katarzyna Frodyma. 120. Tabela 2. Charakterystyki opisowe dla wszystkich spółek Wskaźnik. Średnia. Mediana. Minimum. Maksimum. Odchylenie standardowe. x1. 2,3493. 1,1062. 0,5436. 8,8620. 2,4024. 1,9153. 0,8000. 0,1990. 8,8008. 2,2848. x3. 0,4240. 0,4910. 0,0186. 0,7995. 0,2387. 1,5571. 1,1868. 0,0193. 6,3860. 1,7775. x2. x4. –6,7394. 1,4311. –59,4506. 6,6243. 19,8491. x6. –28,6025. 2,8812. –343,9571. 46,8141. 89,6906. x8. x5. x7. –9,0034. 1,7120. –75,3625. 10,2622. 24,9535. 7,6755. 4,3228. 0,6677. 51,6237. 11,3848. x9. 1,3142. 1,1113. 0,1598. 3,8075. 0,8531. Źródło: obliczenia własne.. między średnią i medianą są znaczące, ale w efekcie obie wartości świadczą o zbyt dużym zadłużeniu pasywów. W przypadku grupy wskaźników rentowności średnia zawsze jest mniejsza od zera i świadczy o tym, że przeciętnie firmy ponosiły straty. Mediany jednak są dodatnie, co oznacza, że przynajmniej 50% spółek osiągnęło zyski. Średnia wskaźnika rotacji należności (7,65) świadczyłaby o dobrej polityce należnościami, jednak mediana na poziomie 4,32 wskazuje na to, że przynajmniej połowa spółek kredytuje swoich odbiorców. Natomiast zarówno średnia (1,31), jak i mediana (1,11) świadczą o dobrym wykorzystaniu aktywów (wskaźnik rotacji aktywów). 3.4. Korelacje pomi´dzy poszczególnymi wskaênikami. Zbadano korelację liniową pomiędzy poszczególnymi wskaźnikami, wyniki zawiera tabela 3. Wśród badanych spółek występuje silna, statystycznie istotna korelacja w trzech grupach wskaźników (wskaźniki płynności, zadłużenia i rentowności), brak jest zależności jedynie w grupie wskaźników efektywności. Najsilniejsza statystycznie istotna korelacja dodatnia występuje pomiędzy wskaźnikiem płynności bieżącej oraz wskaźnikiem płynności szybkiej (0,97). Wysoka jest również korelacja pomiędzy rentownością netto a rentownością aktywów (0,91), rentownością aktywów i rentownością kapitałów własnych (0,90), a także pomiędzy zadłużeniem aktywów a zadłużeniem kapitału własnego (0,83). Nieco niższa zależność występuje pomiędzy rentownością kapitałów własnych oraz rentownością netto (0,66). Co ciekawe, pomiędzy wskaźnikami z różnych grup występuje jedynie statystycznie istotna korelacja ujemna – najsilniejsza pomiędzy zadłużeniem aktywów i płynnością bieżącą (–0,82) oraz zadłużeniem aktywów i płynnością.

(11) Zagadnienie porządkowania podmiotów…. 121. szybką (–0,78). Zdecydowanie słabsza korelacja ujemna występuje pomiędzy zadłużeniem kapitału własnego a płynnością bieżącą (–0,50), rentownością kapitałów własnych i rotacją aktywów (–0,49) oraz zadłużeniem kapitału własnego i płynnością szybką (–0,46). Tabela 3. Macierz korelacji pomiędzy wskaźnikami x1. x2. x3. x4. x5. x6. x7. x8. x9. x1. 1,00. 0,97. –0,82. –0,50. –0,33. 0,07. –0,18. –0,26. –0,38. x2. 0,97. 1,00. –0,78. –0,46. –0,33. 0,05. –0,20. –0,28. –0,41. x3. –0,82. –0,78. 1,00. 0,83. 0,13. –0,13. 0,03. 0,16. 0,45. x4. –0,50. –0,46. 0,83. 1,00. 0,07. –0,12. –0,02. –0,01. 0,36. x5. –0,33. –0,33. 0,13. 0,07. 1,00. 0,66. 0,91. 0,13. –0,03. x6. 0,07. 0,05. –0,13. –0,12. 0,66. 1,00. 0,90. 0,02. –0,49. x7. –0,18. –0,20. 0,03. –0,02. 0,91. 0,90. 1,00. 0,09. –0,29. x8. –0,26. –0,28. 0,16. –0,01. 0,13. 0,02. 0,09. 1,00. 0,37. x9. –0,38. –0,41. 0,45. 0,36. –0,03. –0,49. –0,29. 0,37. 1,00. Kursywą oznaczone zostały wartości statystycznie istotne, wartości p-value < 0,05 Źródło: obliczenia własne.. Na podstawie wyników badania korelacji można stwierdzić, że łatwiej jest podnieść ocenę sytuacji finansowej poprawiając tylko jeden ze wskaźników płynności, gdyż wtedy niemal automatycznie poprawie ulegnie również drugi wskaźnik. Również duża korelacja wskaźników zadłużenia świadczy o tym, że poprawa jednego z tych wskaźników spowoduje lepszą ocenę sytuacji firmy ze względu na drugi wskaźnik. Zdecydowanie najbardziej poprawia swoją sytuację (w ramach tak dobranych wskaźników) firma, która osiąga dobre wyniki odnoszące się do rentowności. W związku z korelacją dodatnią poprawa jednego ze wskaźników powoduje poprawę pozostałych dwóch miar. Gorsza sytuacja jest w grupie wskaźników efektywności (brak korelacji). Poprawa wskaźnika rotacji należności nie musi przynosić automatycznie poprawy wskaźnika rotacji aktywów. 3.5. Uporzàdkowanie spółek. Dla każdej spółki obliczono, ile wskaźników analizy finansowej przyjęło wartości optymalne lub najlepsze z możliwych, a ile wskaźników miało wartości świadczące o słabszej kondycji finansowej..

(12) Katarzyna Frodyma. 122. Tabela 4. Podział wskaźników Dobra kondycja finansowa. Słaba kondycja finansowa. Liczba zmiennych. Alma Market SA. 5. 5. 10. Ampli SA. 1. 9. 10. Artman SA. 5. 5. 10. Brok-Strzelec SA. 4. 6. 10. Comarch SA. 4. 6. 10. Dwory SA. 6. 4. 10. Efekt SA. 4. 6. 10. Instal Kraków SA. 6. 4. 10. Interia.pl SA. 0. 10. 10. Kęty SA. 5. 5. 10. Naftobudowa SA. 1. 9. 10. Nowomag SA. 4. 6. 10. Onet.pl SA. 3. 7. 10. Optimus SA. 3. 6. 10. Ponar-Wadowice SA. 0. 10. 10. Stalprodukt SA. 4. 6. 10. Unimil SA. 4. 6. 10. Vistula SA. 0. 10. 10. Wawel SA. 8. 2. 10. Nazwa spółki. Źródło: obliczenia własne.. Przyznając poszczególnym spółkom wartość 1, jeżeli wartość danego wskaźnika jest zadowalająca, oraz 0 w przeciwnym wypadku, otrzymamy pierwsze uporządkowanie badanych spółek. Wartość zmiennej syntetycznej (która jest sumą zmiennych zero-jedynkowych, zmienne te w większości są skorelowane ze sobą) informuje o liczbie wskaźników, pod względem których spółka miała dobre wyniki. Uporządkowanie spółek pod względem tej zmiennej przedstawia tabela 5 oraz rys. 1. Można zauważyć, że zdecydowanie najlepszą spółką w tym zestawieniu są Zakłady Przemysłu Cukierniczego Wawel SA, które osiągnęły zadowalający poziom pod względem 7 z 9 wskaźników. Następnie utworzyła się grupa 13 spółek, które miały 5, 4 lub 3 wskaźniki na zadowalającym poziomie. Ostatnią grupę stanowią te spółki, dla których tylko jeden lub żaden ze wskaźników nie osiągnął optymalnego poziomu. Warto zwrócić uwagę, że są w tej grupie tylko.

(13) Zagadnienie porządkowania podmiotów…. 123. te spółki, które w 2002 r. poniosły stratę. Jedyną spółką, która poniosła stratę, a mimo to trzy jej wskaźniki osiągnęły wystarczający poziom, jest Optimus SA. Tabela 5. Uporządkowanie spółek pod względem liczby wskaźników, które przyjęły pożądaną wartość Nazwa spółki. Wartość zmiennej. Wawel SA. 7. Dwory SA. 5. Instal Kraków SA. 5. Alma Market SA. 5. Artman SA. 5. Kęty SA. 5. Brok-Strzelec SA. 4. Comarch SA. 4. Efekt SA. 4. Nowomag SA. 4. Stalprodukt SA. 4. Unimil SA. 4. Onet.pl SA. 3. Optimus SA. 3. Ampli SA. 1. Naftobudowa SA. 1. Interia.pl SA. 0. Ponar-Wadowice SA. 0. Vistula SA. 0. Źródło: obliczenia własne.. Na takie uporządkowanie spółek może mieć wpływ nadreprezentacja rentowności. W trzech grupach wskaźników znajdują się po dwie miary. Jedynie rentowność reprezentowana jest przez trzy wskaźniki. Zauważona wcześniej korelacja pomiędzy wskaźnikami tej grupy (por. punkt 3.3) może powodować, że przedsiębiorstwo zajmie wyższą pozycje, głównie dlatego, iż rentowność jest jego mocną stroną. Do dalszej analizy wzięto pod uwagę tylko 13 spółek, tj. te które w 2002 r. wypracowały zysk. W kolejnym uszeregowaniu uwzględniono, jaką pozycję zajmowała spółka ze względu na każdy ze wskaźników. Porangowano spółki, nadając rangę 1 spółce najgorszej, a rangę 13 najlepszej. Następnie zsumowano rangi za każdy wskaźnik.

(14) Katarzyna Frodyma. 124. i na tej podstawie uszeregowano spółki, od tej, która ze względu na wyróżnione wskaźniki charakteryzowała się najlepszą sytuacją finansową, do najsłabszej. Jak wynika z tabeli 6, najlepszą sytuacją finansową odznaczał się Artman SA, najsłabszą zaś Onet.pl SA. Tabela 6. Uporządkowanie spółek pod względem sumy rang Nazwa spółki Artman SA Wawel SA. Wskaźnik x1. x2. 12,5. 6. Alma Market SA. x5. x6. x7. x8. x9. Suma. 6. x3. 6,5. x4 5. 11. 12. 13. 12. 13. 84,5. 12,5. 6,5. 11,5. 6. 7. 8. 6. 12. 82,0. 6. 12,5. 6,5. 5. 5. 10. 7. 13. 11. 76,0. 12,5. 6. 6,5. 11,5. 10. 9. 9. 5. 5. 74,5. Unimil SA. 6. 6. 6,5. 5. 13. 11. 12. 8. 6. 73,5. Nowomag SA. 6. 6. 6,5. 5. 7. 13. 11. 7. 10. 71,5. Kęty SA. Comarch SA. 6. 6. 6,5. 11,5. 12. 8. 10. 3. 4. 67,0. Efekt SA. 6. 6. 6,5. 5. 9. 5. 6. 11. 3. 57,5 56,5. Stalprodukt SA. 6. 6. 6,5. 5. 4. 6. 5. 9. 9. Instal Kraków SA. 6. 6. 6,5. 11,5. 3. 4. 4. 2. 8. 51,0. Dwory SA. 6. 6. 6,5. 5. 2. 3. 3. 10. 7. 48,5. Brok-Strzelec SA. 6. 6. 13. 5. 1. 1. 1. 4. 2. 39,0. Onet.pl SA. 6. 6. 6,5. 5. 8. 2. 2. 1. 1. 37,5. Źródło: obliczenia własne.. Na różnice pomiędzy tymi dwoma uporządkowaniami może mieć wpływ fakt, że w pierwszej metodzie każdy wskaźnik miał taką samą wagę, firma mogła otrzymać jeden punkt lub zero w zależności od tego, czy wskaźnik miał wartość optymalną czy też nie. W drugiej metodzie wskaźniki rentowności i efektywności punktowane są od 1 aż do 13 punktów. Pozostałe wskaźniki zaś w związku z tym, że ich optymalny poziom mieści się w pewnym przedziale, punktowane były tylko dwoma wartościami (6 i 12,5; 6,5 i 13 lub 5 i 11,5). W efekcie liczba punktów przyznanych danej spółce nie zależała tylko od jej sytuacji, ale również od tego, jakie wartości wskaźnika osiągnęły pozostałe spółki. Następnie spółki uszeregowano za pomocą miernika syntetycznego19, zaproponowanego przez D. Strahl [1990], który jest średnią z odpowiednio unormowanych wartości opisujących dany obiekt. Wyznaczany jest on według wzoru:. 19. Za: [Statystyczne metody…, 1998]..

(15) Zagadnienie porządkowania podmiotów…. qi =. 1 m ' ∑ xij , m j =1. 125. i = 1, …, n, j = 1, …, m ,. (1). gdzie: xi'j – znormalizowana wartość j-tej cechy dla i-tego obiektu, n – liczba analizowanych obiektów, m – liczba przyjętych cech. Normalizacji poddano wszystkie 9 wskaźników (por. punkt 3.2), przy czym cztery pierwsze w związku z tym, że ich wartość optymalna mieści się w pewnym przedziale, poddane zostały unitaryzacji zerowanej20 według wzorów:  xij − min   c1 j − min  xij' =  1  x − max  ij  c2 j − max. dla xij < c1 j dla c1 j ≤ xij ≤ c2 j , dla xij > c2 j. xij' ∈ [ 0; 1] ,. (2). gdzie: c1j – dolna granica zalecanego przedziału, c2j – górna granica zalecanego przedziału. Wskaźniki rentowności oraz efektywności zaklasyfikowano jako stymulanty i skorzystano ze wzoru: x − min xij' = ij xij' ∈ [ 0; 1] . (3) , max− min Tabela 7 zawiera znormalizowane wskaźniki finansowe dla 13 spółek, które osiągnęły zysk, oraz miernik syntetyczny wyznaczony zgodnie ze wzorem (1). Tabela 7. Znormalizowane wartości wskaźników Nazwa spółki. Wskaźnik x1. x2. x3. x4. 0,86 0,87. x5. x6. x7. x8. 0,67 0,74 0,20 0,34. x9. Miernik syntetyczny. Artman SA. 0,99 0,16. 1,00. 0,65. Wawel SA. 1,00 1,00 0,76 1,00 0,23 0,13 0,06 0,07 0,60. 0,54. Kęty SA. 1,00 0,87 0,70 1,00 0,66 0,14 0,06 0,07 0,25. 0,53. Comarch SA. 0,60 0,53 0,58 1,00 0,94 0,13 0,07 0,05 0,24. 0,46. Instal Kraków SA. 1,00 0,84 0,59 1,00 0,10 0,04 0,01 0,04 0,38. 0,44. Alma Market SA. 0,00 0,00 0,96 0,95 0,21. 0,43. 20. Szerzej zob. [Kukuła 2000].. 0,16 0,05 1,00 0,57.

(16) Katarzyna Frodyma. 126. cd. tabeli 7 Wskaźnik. Nazwa spółki. x2. x1. x3. x4. x5. x6. x7. x8. x9. Miernik syntetyczny. Stalprodukt SA. 0,68 0,50 0,87 0,93 0,11. 0,11 0,02 0,09 0,52. 0,43. Efekt SA. 0,86 0,96 0,38 0,65 0,58 0,05 0,02 0,13. Nowomag SA. 0,55 0,47. Dwory SA. 0,27 0,35 0,88 0,97 0,05 0,03 0,00 0,12 0,35. 0,34. Brok-Strzelec SA. 0,07 0,41 1,00 0,82 0,00 0,00 0,02 0,06 0,14. 0,28. Unimil SA. 0,00 0,20 0,13. 0,13 0,08 0,33. 0,25. Onet.pl SA. 0,00 0,00 0,00 0,00 0,52 0,00 0,00 0,00 0,00. 0,06. 0,15. 0,42. 0,00 0,00 0,44 1,00 0,10 0,08 0,54. 0,35. 0,18 1,00 0,16. Źródło: obliczenia własne.. 0,7. 0,6481. 0,6. 0,5378 0,5278. 0,5. 0,4594 0,4440 0,4318 0,4255 0,4197. 0,4. 0,3540 0,3365. 0,3. 0,2751. 0,2455. 0,2 0,1. 0,0584. or y ok SA -S trz el ec SA U ni m il SA O ne t.p lS A. w. Br. D. ag. SA. A om. kt S N ow. Ef e. kt SA. od u. St al pr. A lm. aM. ar. ke t. SA. SA. SA lK ra. kó w. ch. SA. In sta. Co. m ar. SA. K ęt y. el W aw. A. rtm. an. SA. 0,0. Rys. 1. Uporządkowanie spółek pod względem miernika syntetycznego Źródło: opracowanie własne na podstawie tabeli 7.. Jak wynika z tabeli 7, najlepszą sytuacją finansową opisaną miernikiem syntetycznym charakteryzował się Artman SA. Jest to sytuacja analogiczna do poprzedniego uszeregowania, także w obu przypadkach Wawel SA zajmował drugą pozycję. Zdecydowanie lepiej niż poprzednio wypadł Onet.pl SA, zaś Brok-Strzelec SA w przypadku dwóch ostatnich uporządkowań znajdował się na ostatnich miejscach (por. rys. 1)..

(17) Zagadnienie porządkowania podmiotów…. 127. Na koniec zbadano zgodność uszeregowań otrzymanych wszystkimi trzema metodami. W tym celu skorzystano ze współczynnika korelacji rang Spearmana, wyrażonego wzorem: n. ρ = 1−. 6∑ di2 i =1 2. n(n − 1). ,. (4). gdzie: di – różnica pomiędzy rangami, n – liczba analizowanych przedsiębiorstw. Tabela 8 zawiera wartości rang dla każdej spółki ze względu na poszczególne porządkowania (przy czym spółce, która w danym uporządkowaniu zajmowała pierwsze miejsce, nadano wartość 1). Tabela 8. Rangi spółek ze względu na poszczególne metody uszeregowań Metoda porządkowania Nazwa spółki Alma Market SA Artman SA. zmienna zero-jedynkowa. suma rang poszczególnych wskaźników. miernik syntetyczny. 4. 3. 6. 4. 1. 1. Brok-Strzelec SA. 9,5. 12. 11. Comarch SA. 9,5. 7. 4. Dwory SA. 4. 11. 10. 9,5. 8. 8. Instal Kraków SA. 4. 10. 5. Kęty SA. 4. 4. 3. Efekt SA. Nowomag SA. 9,5. 6. 9. Onet.pl SA. 13. 13. 13. Stalprodukt SA. 9,5. 9. 7. Unimil SA. 9,5. 5. 12. Wawel SA. 1. 2. 2. Źródło: obliczenia własne.. Na podstawie tych rang obliczono wartości współczynnika korelacji rang Spearmana dla wszystkich par uszeregowań. Najsłabsza zgodność występuje pomiędzy uporządkowaniem pod względem zmiennej zero-jedynkowej a uporządkowaniem pod względem rang (ρ = 0,61), silniejsza pomiędzy uszeregowaniem.

(18) 128. Katarzyna Frodyma. pod względem miernika syntetycznego i rang (ρ = 0,70). Najbardziej wyraźna zgodność występuje dla uszeregowań pod względem zmiennej zero-jedynkowej i miernika syntetycznego (ρ = 0,73). 4. Podsumowanie W przeprowadzonych badaniach dokonano trzech różnych uporządkowań spółek publicznych z punktu widzenia ich sytuacji finansowej. Sytuacja ta mierzona była wybranymi wskaźnikami analizy finansowej, brane więc były pod uwagę jedynie cechy ilościowe. Przy wyborze wskaźników oraz przy określaniu granic, które świadczą o dobrej kondycji finansowej, kierowano się literaturą przedmiotu. W przyszłości prowadzone badania rozszerzone zostaną o oparty na metodach statystycznych wybór wskaźników analizy finansowej, a także ocenę optymalnych wartości dla poszczególnych wskaźników. Autorka zamierza również sprawdzić, w jaki sposób na kolejność uporządkowania spółek pod względem miernika syntetycznego wpływają sposoby normalizacji danych. Mimo zastosowania różnych metod porządkowania uzyskano w miarę zgodne wyniki uszeregowań. W grupie 19 spółek publicznych województwa małopolskiego w czołówce firm o najlepszej sytuacji finansowej znajdują się takie przedsiębiorstwa, jak: Alma Market SA, Artman SA, Grupa Kęty SA i Zakłady Przemysłu Cukierniczego Wawel SA. We wszystkich uporządkowaniach najsłabszą spółką (z grupy spółek, które w 2002 r. wypracowały zysk) był Onet.pl SA. Kolejne badania rozszerzone zostaną także o cechy jakościowe w celu pełniejszej oceny zdolności kredytowej przedsiębiorstw. Spółki będą nie tylko porządkowane, ale przede wszystkim zostanie dokonana ich klasyfikacja na co najmniej dwie grupy. Firmy, których sytuacja pozwala sądzić, że zaciągnięty kredyt zostanie spłacony (czyli te, które kredyt otrzymają), oraz takie, które nie posiadają zdolności kredytowej, w związku z czym ich podanie zostanie odrzucone. Literatura Boguszewski L., Gelińska B. [2004], Podstawy statystyczne i uniwersalna funkcjonalność scoring, II edycja Konferencji Naukowej „Interdyscyplinarne wykorzystanie metod ilościowych”, http://knmi.wzr.pl/dok/scoring.pdf, Szczecin. Batóg J. [1997], Propozycja klasyfikacji firm według sytuacji ekonomiczno-finansowej, „Taksonomia”, z. 4. Czekaj J., Dresler Z. [1998], Zarządzanie finansami przedsiębiorstw. Podstawy teorii, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa. Dziechciarz J., Walesiak M. [2000], Klasyfikacji firm rodzinnych w Polsce, „Taksonomia”, z. 7..

(19) Zagadnienie porządkowania podmiotów…. 129. Gantar E. [1999], Drzewo klasyfikacyjne: nieparametryczna metoda dyskryminacji obiektów, „Badania Operacyjne i Decyzje”, nr 1. Gasik A. [1998], Zastosowanie analizy dyskryminacji do oceny zdolności kredytowej przedsiębiorstw [w:] Metody i zastosowania badań operacyjnych, red. T. Trzaskalik, Katowice. Grabiński T. [1992], Metody taksonometrii, AE w Krakowie, Kraków. Grabiński T., Wydymus S., Zeliaś A. [1989], Metody taksonomii numerycznej w modelowaniu zjawisk społeczno-gospodarczych, PWN, Warszawa. Gwiazda T.D. [1998], Algorytmy genetyczne. Zastosowanie w finansach, Wydawnictwo Wyższej Szkoły Przedsiębiorczości i Zarządzania im. L. Koźmińskiego, Warszawa. Jagiełło R., Tomczyk M. [2003], Wybrane zewnętrzne regulacje dotyczące ryzyka kredytowego, Zeszyty Naukowe nr 30, SGH, Warszawa. Janc A., Kraska M. [2001], Credit-scoring. Nowoczesna metoda oceny zdolności kredytowej, Biblioteka Menedżera i Bankowca, Warszawa. Kukuła K. [2000], Metoda unitaryzacji zerowej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa. Kuryłek W. [2000], Credit scoring – podejście statystyczne, „Bank”, nr 11. Matyszyk A. [2003], Przyglądając się kredytobiorcom, „Bank”, nr 2. Petterson R. [1995], Poradnik kredytowy dla bankowców, Twigger, Warszawa. Różański J. [2001], Ewolucja metod oceny sytuacji ekonomiczno-finansowej przedsiębiorstwa w nowoczesnej gospodarce rynkowej, „Przegląd Organizacji”, nr 10. Statystyczne metody oceny ryzyka w działalności gospodarczej [1998], A. Malina, B. Pawełek, S. Wanat, A. Zeliaś, Wydawnictwo AE w Krakowie, Kraków. Stolarz B. [1996], Istota, przejawy i pomiar ryzyka kredytowego, Zeszyty Naukowe, AE w Krakowie, Kraków, nr 477. Strahl D. [1990], Metody programowania rozwoju społeczno-gospodarczego, PWE, Warszawa. Strahl D. [2000], Ocena zdolności kredytowej, przykłady i zadania, Wydawnictwo AE we Wrocławiu, Wrocław. Wiatr S.M. [2004], Kierunki zmian polskiego systemu szacowania ryzyka kredytowego – próba oceny, „Bank i Kredyt”, nr 1. Witkowska D. [2002], Sztuczne sieci neuronowe i metody statystyczne. Wybrane zagadnienia finansowe, Wydawnictwo C.H. Beck, Warszawa. Ziemba E. [2001], Komputerowa implementacja modeli zarządzania ryzykiem kredytowym, „Bank”, nr 5. Classifying Economic Entities According to their Financial Situation In this article, the issue of classifying economic entities according to their financial situation is presented. The financial situation was assessed on the basis of selected financial analysis indicators. The empirical example related to public companies in the Małopolskie voivodship. The researched companies were classified using three methods (binary variable, rank sum of individual indicators, composite measure). Finally, an attempt was made to compare the different classifications. The conducted research is the first stage of broader research on the classification of economic entities from the point of view of their credit rating. Thus, not only the financial situation, but also the economic situation, must be evaluated (both quantitative and qualitative indicators)..

(20)

(21) Zeszyty Naukowe nr. 740. 2007. Akademii Ekonomicznej w Krakowie. Roman Huptas Katedra Statystyki. Zastosowanie algorytmu EM do estymacji parametrów rozk∏adu na podstawie danych pogrupowanych 1. Wprowadzenie W niniejszym artykule podjęty zostanie problem maksymalizacji wiarygodnościowej funkcji oceny, gdy w zbiorze danych występują zmienne, których wartości z jakichś powodów nie zostały zaobserwowane. Algorytmem, który może posłużyć do rozwiązywania problemów brakujących danych w badanych strukturach danych w kontekście wiarygodności, jest tzw. algorytm EM. Algorytm EM jest skuteczną metodą iteracyjnego obliczania estymatorów największej wiarygodności (ENW)1, stosowaną w rozwiązywaniu wielu problemów określanych jako problemy z niekompletnymi danymi, gdzie algorytmy takie jak metoda Newtona-Raphsona mogą okazać się zbyt skomplikowane. W każdej iteracji algorytmu EM są wykonywane dwa kroki, nazywane krokiem E (expectation step) i krokiem M (maximization step). Stąd jego nazwa – algorytm EM. Po raz pierwszy nazwy tej użyli A.P. Dempster, N.M. Laird i D.B. Rubin w pracy [Dempster, Laird, Rubin 1977]. Na problemy z niekompletnymi danymi składają się nie tylko sytuacje, gdy mamy do czynienia z ewidentnie niekompletnymi danymi, takie jak: struktury z brakującymi danymi, modele z obciętymi rozkładami, pogrupowane czy też ocenzurowane obserwacje, ale także problemy, gdzie niekompletność nie jest taka oczywista i naturalna. Do tych drugich zaliczymy model efektów losowych, mieszanki rozkładów, estymację komponentów wariancyjnych, 1. Zob. [Magiera 2002, s. 146]..

(22) 132. Roman Huptas. iteracyjną ważoną metodę najmniejszych kwadratów, analizę czynnikową czy też modele logarytmiczno-liniowe. Ze względu na zastosowanie algorytmu EM w rozwiązywaniu problemów z brakującymi danymi jest on związany z pewną metodą estymacji ad hoc. W metodzie tej parametry są estymowane po nadaniu brakującym danym pewnych wartości początkowych. Następnie te brakujące dane są „uwiarygadniane” za pomocą wyestymowanych parametrów, a potem parametry są estymowane na nowo, itd. aż do uzyskania zbieżności. Główną ideą algorytmu EM jest powiązanie danego problemu z niekompletnymi danymi z odpowiednim problemem z danymi kompletnymi, dla którego estymacja metodą największej wiarygodności jest pod względem obliczeniowym dużo prostsza. Metodologia algorytmu EM opiera się na przeformułowaniu problemu z niekompletnymi danymi w terminach problemu z kompletnymi danymi, który jest prostszy do rozwiązania, ustaleniu związku pomiędzy funkcjami wiarygodności tych dwóch problemów i wykorzystaniu prostszej pod względem obliczeniowym estymacji metodą największej wiarygodności do rozwiązania problemu z danymi kompletnymi w kroku M algorytmu iteracyjnego. Krok E algorytmu EM polega na „stworzeniu” danych dla problemu z danymi kompletnymi przy użyciu zaobserwowanych danych niekompletnych, tak aby możliwe było wykonanie prostszego kroku M dla kompletnych danych. Mówiąc bardziej precyzyjnie, w kroku E tworzona jest funkcja wiarygodności dla problemu z danymi kompletnymi. Opiera się ona częściowo na nieobserwowanych danych, zatem jest ona zastępowana przez jej warunkową wartość oczekiwaną względem obserwowanych danych. Krok E jest wykonywany przy użyciu bieżących wartości dla nieznanych parametrów. W kroku M szukamy maksimum utworzonej w kroku E funkcji wiarygodności. Rozpoczynając od odpowiedniej wartości początkowej parametru, powtarzamy kroki E i M aż do uzyskania zbieżności. Często w praktyce uzyskanie estymatorów największej wiarygodności może nastręczać poważne trudności. Trudności te mogą wynikać np. z wielomodalności funkcji wiarygodności oraz niemożliwości uzyskania jawnych analitycznych rozwiązań równań wiarygodności. W takich przypadkach można zastosować iteracyjne metody znajdowania estymatorów największej wiarygodności. Pomocna może okazać się tutaj metoda Newtona-Raphsona albo jej warianty. Stosowanie metody Newtona-Raphsona może się wiązać z poważnymi trudnościami obliczeniowymi. Przypuśćmy, że liczba nieznanych parametrów w modelu wynosi d. Metoda Newtona-Raphsona wymaga w każdej iteracji obliczenia macierzy informacji o wymiarach d × d oraz rozwiązania układu d równań liniowych. Liczba wszystkich operacji arytmetycznych z tym związanych będzie bardzo duża i będzie gwałtownie wzrastać, jeśli liczba d nieznanych parametrów będzie rosła. Ponadto metoda Newtona-Raphsona, dla pewnych problemów, wymaga niereali-.

(23) Zastosowanie algorytmu EM do estymacji…. 133. stycznie dokładnej wartości początkowej dla parametru, by ciąg rozwiązań iteracyjnych zbiegał do właściwego rozwiązania równań wiarygodności. W rezultacie, gdy niefortunnie zostanie wybrany punkt startowy, algorytm może „ugrzęznąć” w maksimum lokalnym. Dotyczy to zwłaszcza modeli statystycznych z wieloma parametrami. W przypadku innych metod typu Newtona sytuacja wygląda podobnie. Alternatywą dla metod typu Newtona może być algorytm EM. 2. Opis algorytmu EM Pojęcie danych niekompletnych zawiera w sobie typowe znaczenie brakujących danych, tzn. takich, które są możliwe do uzyskania, ale również odnosi się do sytuacji, w których dane kompletne byłyby możliwe do uzyskania tylko w ramach hipotetycznego eksperymentu, którego realizacja nie jest praktycznie możliwa (por. [McLachlan, Krishnan 1997, s. 21]). Niech Y będzie wektorem losowym, modelującym obserwacje niekompletne, o funkcji gęstości względem miary Lebesgueʼa g(y; Ψ), gdzie: Ψ = (Ψ1, …, Ψd)T jest wektorem nieznanych parametrów z przestrzeni parametrów Ω. Funkcja wiarygodności dla Ψ przy zadanym wektorze obserwacji y ma postać: L (Ψ) = g(y; Ψ) .. ~ Estymator największej wiarygodności jest definiowany jako rozwiązanie Ψ równania wiarygodności (por. [Magiera 2002, s. 167]): ∂ L(Ψ) = 0 ∂Ψ albo równoważnie:. ∂ ln L (Ψ) = 0 , ∂Ψ. (1). w którym osiągane jest globalne maksimum L (Ψ). Niech x będzie wektorem danych kompletnych. Wektor danych obserwowanych y jest wówczas traktowany jako wektor danych niekompletnych i jako funkcja danych kompletnych. Zatem y = y(x) (por. [Dempster, Laird, Rubin 1977, s. 1], [McLachlan, Krishnan 1997, s. 22]). Niech X będzie wektorem losowym, modelującym dane kompletne i mającym funkcję gęstości względem miary Lebesgueʼa gc (x; Ψ). Wtedy logarytm funkcji wiarygodności nieobserwowanych danych kompletnych ma postać:.

(24) Roman Huptas. 134. ln Lc(Ψ) = ln gc (x; Ψ) .. Mamy, formalnie, dwie przestrzenie prób X i Y oraz odwzorowanie wielo-jednoznaczne z przestrzeni X w przestrzeń Y. Zamiast obserwować wektor danych kompletnych x w przestrzeni X, obserwujemy wektor danych niekompletnych y = y(x) w przestrzeni Y. Związek między funkcjami gęstości danych kompletnych i danych niekompletnych ma postać: g( y 0 ; Ψ) =. ∫ χ( y ) gc (x; Ψ) dµ (x) , 0. gdzie X(y0) = {x ∈ X : y(x) = y0}, μ(x) jest odpowiednio skonstruowaną miarą na X(y0 ), a y0 jest ustalone. Należy nadmienić, że w pracach [Dempster, Laird, Rubin 1977], [McLachlan, Krishnan 1997] i [Wu 1983] kwestia odpowiednio skonstruowanej miary nie jest poruszana. W pracach tych związek między gęstościami g i gc ma postać: g( y 0 ; Ψ) =. ∫ χ( y ) gc (x; Ψ) dx , 0. co nie zawsze jest formalnie poprawne. Algorytm EM rozwiązuje równanie wiarygodności (1) dla niekompletnych danych pośrednio, wykorzystując logarytm funkcji wiarygodności kompletnych danych ln L c (Ψ). Oczywiście, funkcja ln L c (Ψ) jest nieobserwowalna. Jest ona zatem zastępowana przez jej warunkową wartość oczekiwaną względem wektora Y, przy użyciu bieżącej wartości parametru Ψ. Niech Q (Ψ, Φ) = EΦ{ln Lc (Ψ) | Y = y} , gdzie operator E wartości oczekiwanej ma indeks dolny Φ w celu zaznaczenia, że ta warunkowa wartość oczekiwana jest obliczana z użyciem wartości Φ dla parametru Ψ. Niech Ψ (0) będzie pewną wartością początkową parametru Ψ. Wtedy w pierwszej iteracji krok E wymaga obliczenia wyrażenia: Q (Ψ, Ψ(0)) = EΨ (0){ln Lc (Ψ) | Y = y} . W kroku M maksymalizujemy Q(Ψ, Ψ(0)) względem Ψ po całej przestrzeni parametrów Ω. Wybieramy zatem Ψ(1), takie że: Q (Ψ(1), Ψ(0)) ≥ Q (Ψ, Ψ(0)) dla wszystkich Ψ ∈ Ω. W drugiej iteracji ponownie wykonywane są kroki E i M, ale tym razem wartość parametru Ψ(0) jest zastąpiona przez Ψ(1) (wartość parametru Ψ uzyskana w pierwszej iteracji)..

(25) Zastosowanie algorytmu EM do estymacji…. 135. Kroki E i M w (k + 1)-szej iteracji są zdefiniowane następująco (zob. [McLachlan, Krishnan 1997, s. 22])2: Krok E. Obliczenie Q(Ψ, Ψ(k)), gdzie: Q(Ψ, Ψ(k)) = EΨ (k){ln Lc (Ψ) | Y = y} ,. a Ψ(k) oznacza wartość parametru Ψ uzyskaną w k-tej iteracji algorytmu EM. Krok M. Maksymalizacja Q(Ψ, Ψ (k)) względem Ψ. Wybieramy zatem Ψ(k + 1) ∈ Ω, takie że: Q(Ψ(k + 1), Ψ(k)) ≥ Q(Ψ, Ψ(k)) dla wszystkich Ψ ∈ Ω. Dla zadanego ε > 0 kroki E i M są powtarzane do momentu, gdy po raz pierwszy: ln L(Ψ(k + 1)) – ln L(Ψ(k)) < ε , lub gdy zostanie spełnione inne kryterium zatrzymania, np. liczba iteracji osiągnie zadaną z góry wartość maksymalną. 3. Estymacja parametrów rozkładu na podstawie danych pogrupowanych i obci´tych Do powstania problemu z niekompletnymi danymi, a następnie do zastosowania algorytmu EM, jako metody obliczania estymatorów największej wiarygodności, może prowadzić zagadnienie pogrupowanych i obciętych danych (zob. [McLachlan, Krishnan 1997, s. 74], [Dempster, Laird, Rubin 1977, s. 13]). Poniżej przedstawiony problem to sytuacja ewidentnie niekompletnych danych, choć należy zaznaczyć, że określenie funkcji wiarygodności danych kompletnych nie jest takie proste i oczywiste. Niech W będzie zmienną losową z przestrzeni W o funkcji gęstości f(w; Ψ), gdzie Ψ jest wektorem nieznanych parametrów. Niech przestrzeń W będzie podzielona na v rozłącznych klas Wj (j = 1, …, v). Realizacje zmiennej losowej W są niezależne, ale nie są rejestrowane. Jedynie liczby nj tych obserwacji, które należą do klasy Wj dla j = 1, …, r, gdzie r ≤ v, są rejestrowane. Niech wektor: y = (n1, …, nr)T będzie wektorem danych niekompletnych (zaobserwowanych) i oznaczmy:. 2. Por. [Dempster, Laird, Rubin 1977, s. 6], [Wu 1983, s. 96]..

(26) Roman Huptas. 136. r. n := ∑ n j .. (2). j =1. W tym przypadku n traktujemy jako ustalone, co można zinterpretować w ten sposób, że eksperyment, którego wynikiem jest W, jest przeprowadzony tyle razy, aż liczba zaobserwowanych danych osiągnie n. Gdy nie obserwujemy nowych danych, to nie wiemy, czy eksperyment nie został przeprowadzony, czy też jego wynik trafił do jednej z nieobserwowanych klas. W efekcie liczba powtórzeń eksperymentu jest nieznana i losowa. Równoważnie, można traktować wszystkie występujące poniżej rozkłady jako warunkowe względem n. Przy ustalonym n wektor y pochodzi z rozkładu wielomianowego o wielkości próby n z r kategoriami, a prawdopodobieństwa wystąpienia kategorii wynoszą pj (Ψ) / p(Ψ), j = 1, …, r, gdzie: p j (Ψ ) =. ∫W. f (w; Ψ ) dw ,. j. r. p(Ψ) = ∑ p j (Ψ) .. (3) (4). j =1. Funkcja wiarygodności dla niekompletnych danych ma postać: L(Ψ ) =. r. 1n j.  p (Ψ )  ∏  pj(Ψ )  . j =1 r. n!. ∏nj !. (5). j =1. Wprowadźmy wektor „brakujących” danych dla potrzeb algorytmu EM. Niech z = (nr + 1, …, nv)T oraz wj = (wj1, …, wjn )T, j. j = 1, …, v,. gdzie z jest wektorem nieobserwowanych częstości w przypadku obciętych danych (tzn. gdy r < v), a wj jest wektorem nj nieobserwowanych realizacji zmiennej losowej W, które należą do klasy Wj dla j = 1, …, v. Niech teraz wektor danych kompletnych ma postać: x = (yT, zT, w1T, …, wTv )T .. (6).

(27) Zastosowanie algorytmu EM do estymacji…. 137. Wektor losowy Y danych niekompletnych będzie miał rozkład wielomianowy, a tym samym funkcję wiarygodności określoną wzorem (5), jeśli wektor losowy X danych kompletnych będzie miał rozkład, dla którego funkcja wiarygodności będzie miała postać (z dokładnością do mnożnika niezależnego od Ψ): v. nj. Lc (Ψ) = ∏ ∏ f (w jk ; Ψ) ,. (7). j =1 k =1. gdzie obserwacje wjk ( j = 1, …, v ; k = 1, …, nj ) są realizacjami zmiennej losowej W dla próby o rozmiarze n + m, zaś: m=. v. ∑ nj. (8). j = r +1. i jest losowe. Logarytm funkcji wiarygodności powinien więc mieć postać (z dokładnością do składnika niezależnego od Ψ): v. nj. ln Lc (Ψ) = ∑ ∑ ln f (w jk ; Ψ) .. (9). j =1 k =1. Skonstruujmy rozkład brakujących danych tak, aby otrzymać (7) i (9). Funkcję wiarygodności Lc (Ψ) przedstawmy jako iloczyn: v. nj. Lc (Ψ) = L (Ψ) d (z | y; Ψ) ∏ ∏ h j (w jk ; Ψ) ,. (10). j =1 k =1. gdzie d(z | y; Ψ) jest gęstością warunkową wektora losowego Z przy zadanym Y = y, a hj (w; Ψ), j = 1, …, v, jest gęstością warunkową zmiennej losowej W przy zadanych Y = y i Z = z, taką że: h j (w; Ψ) =. f (w; Ψ) , p j (Ψ). 1, …,, v ,, jj == 1,. (11). tzn. obserwacje wjk (k = 1, …, nj) w celi Wj (j = 1, …, v) są próbą losową rozmiaru nj z gęstości hj (w; Ψ). Pozostaje określić gęstość d(z | y; Ψ), tak aby Lc (Ψ) miała postać równoważną (7). Uwzględniając (5) i (11), logarytm funkcji wiarygodności postaci (10) wynosi: v. nj. ln Lc ( Ψ ) = ln L ( Ψ ) + ln d (z | y; Ψ ) + ∑∑ ln h j (w jk ; Ψ ) = j =1 k =1. r. = ∑ n j ln j =1. p j (Ψ ) p( Ψ ). + ln. r. n!. ∏nj !. v. nj. + ln d (z | y; Ψ ) + ∑∑ ln j =1 k =1. f (w jk ; Ψ ) p j (Ψ ). =. j =1. v. nj. r. v. nj. = ∑∑ ln f (w jk ; Ψ ) +∑ n j ln p j ( Ψ ) − ∑∑ ln p j ( Ψ ) − n ln p( Ψ ) + j =1 k =1. j =1. j =1 k =1.

(28) v. nj. ln Lc ( Ψ ) = ln L ( Ψ ) + ln d (z | y; Ψ ) + ∑∑ ln h j (w jk ; Ψ ) =Roman Huptas. 138. j =1 k =1. r. = ∑ n j ln j =1. p j (Ψ ) p( Ψ ). + ln. r. n!. ∏nj !. v. nj. + ln d (z | y; Ψ ) + ∑∑ ln j =1 k =1. f (w jk ; Ψ ) p j (Ψ ). =. j =1. nj. v. r. nj. v. = ∑∑ ln f (w jk ; Ψ ) +∑ n j ln p j ( Ψ ) − ∑∑ ln p j ( Ψ ) − n ln p( Ψ ) + j =1 k =1. j =1. j =1 k =1. + ln d (z | y; Ψ ) + ln. n!. r. ∏nj !. .. j =1. Przekształcając dalej, otrzymujemy: v. nj. ln Lc ( Ψ ) = ∑ ∑ ln f (w jk ; Ψ ) − ln( p( Ψ ))n − j =1 k =1. v. ∑ ln( p j (Ψ ))n + ln d (z | y; Ψ ) + ln j. j = r +1. r. n!. ∏nj !. =. j =1. v v n   n = ∑ ∑ ln f (w jk ; Ψ ) − ln ( p( Ψ ))n ∏ ( p j ( Ψ ))  + ln d (z | y; Ψ ) + ln   j =1 k =1 j = r +1 j. j. r. n!. ∏nj !. .. (12). j =1. Zatem (12) będzie, z dokładnością do składnika niezależnego od Ψ, równe (9), jeśli d(z | y; Ψ) będzie określona następująco: d (z | y; Ψ) = C ( p(Ψ))n. v. ∏ ( p j (Ψ))n. j. .. (13). j = r +1. Można pokazać (por. [McLachlan, Krishnan 1997, s. 77]), że (13) zadaje funkcję gęstości, gdy C =. ( m + n − 1)! (n − 1)!. v. ∏ nj !. .. j = r +1. Krok E dla (k+1)-szej iteracji – Obliczamy Q(Ψ, Ψ(k) ) = E Ψ(k) {lnL c (Ψ) | Y = y}. Niech Nj będzie zmienną losową oznaczającą liczbę obserwacji w klasie Wj. Ze względu na konstrukcję wektorów wj ( j = 1, …, v), z i y, otrzymujemy (por. [McLachlan, Krishnan 1997, s. 77]):.

(29) Zastosowanie algorytmu EM do estymacji… v. Q( Ψ , Ψ ( k ) ) = ∑ n(jk ) Q j ( Ψ , Ψ ( k ) ) + ln j =1. 139. ( m + n − 1)! n v. ∏ j =1. gdzie: i. n (jk ) !. ,. (14). Qj (Ψ, Ψ(k)) = EΨ(k){ln f (W; Ψ) | W ∈ Wj }  nj dla n(jk ) = EΨ ( k ) { N j | Y = y} =  (k ) (k ) n p j ( Ψ ) p( Ψ ) dlaa. j = 1, …, r j = r + 1, …, v .. człon (14) nie zależy od Ψ i może być opuszczony przy maksymalizacji – Drugi (k) Q(Ψ, Ψ ). Zatem ostatecznie możemy przyjąć: v. Q(Ψ, Ψ( k ) ) = ∑ n(jk ) Q j (Ψ, Ψ( k ) ) .. (15). j =1. Krok M dla (k + 1)-szej iteracji Maksymalizujemy Q(Ψ, Ψ(k) ) względem Ψ. Wartość parametru Ψ(k + 1) będzie pierwiastkiem równania ∂Q(Ψ, Ψ(k) ) /∂ Ψ = 0, gdzie: v. ∂ ∂ Q(Ψ, Ψ( k ) ) = ∑ n(jk ) Q j (Ψ, Ψ( k ) ) ∂Ψ ∂Ψ j =1. i. {. }. ∂ ∂ Q j (Ψ , Ψ ( k ) ) = E ( k ) ln f (W ; Ψ ) | W ∈ Wj . Ψ ∂Ψ ∂Ψ. 4. Eksperyment symulacyjny Zastosowanie algorytmu EM do estymacji parametrów rozkładu dla danych pogrupowanych, opisane szczegółowo w trzecim punkcie artykułu, skłoniło do przeprowadzenia eksperymentu symulacyjnego z wykorzystaniem testu χ2 zgodności rozkładu próby losowej z rozkładem teoretycznym, w którym statystyka testowa, zwana statystyką χ2 Pearsona, ma asymptotyczny rozkład χ2 (zob. [Magiera 2002, s. 244]). W naszym eksperymencie test był przeprowadzany w przypadku, gdy rozkład teoretyczny postulowany w hipotezie zerowej był ciągły i zależny od nieznanych parametrów. Gdy rozkład teoretyczny zależy od nieznanych parametrów, wówczas częstości teoretyczne zależą oczywiście od tych.

(30) Roman Huptas. 140. parametrów. Aby wyliczyć częstości, należy parametry oszacować. W praktyce w celu wyestymowania parametrów dla testu stosuje się dwie metody: 1) jako oszacowania nieznanych parametrów przyjmuje się rozwiązania układu równań wiarygodności, powstałego przy wykorzystaniu funkcji wiarygodności dla obserwacji zgrupowanych (ENW są oparte na częstościach empirycznych); 2) jako estymatory parametrów przyjmuje się rozwiązania układu równań wiarygodności dla niezgrupowanych danych (ENW są oparte na oryginalnych obserwacjach, a obliczenia są zwykle dużo prostsze). Niech pi będą częstościami teoretycznymi v klas w przypadku, gdy rozkład teoretyczny jest w pełni określony. Wówczas statystyka χ2 Pearsona ma postać: v. ( N i − npi )2 , npi i =1. χ2 = ∑. gdzie Ni jest zmienną losową, której wartość ni dla próby prostej (x1, …, xn) równa jest liczbie tych obserwacji spośród x1, …, xn, które należą do i-tej klasy przy określonym podziale zbioru liczb rzeczywistych na v rozłącznych klas. Rozkładem granicznym przy n → ∞ statystyki χ2 jest rozkład χ2 z v – 1 stopniami swobody. Niech teraz p~ i będą ENW częstości teoretycznych pi, opartymi na częstościach empirycznych ni (odpowiada to metodzie 1). Wtedy, przy odpowiednich warunkach regularności, statystyka: v ~ ( N − np )2 ~ χ2 = ∑ i ~ i npi i =1. ma przy n → ∞ rozkład graniczny χ2 z v – 1 – k stopniami swobody, gdzie k jest liczbą estymowanych parametrów. Niech pˆ i będą ENW częstości teoretycznych pi, uzyskanymi dla niezgrupowanych danych, czyli opartymi na oryginalnych obserwacjach (odpowiada to metodzie 2). Wtedy statystyka testowa ma postać: v. ( N i − npˆ i )2 . npˆ i i =1. χˆ 2 = ∑. ˆ 2 leży między rozkłaOkazuje się, że rozkład graniczny przy n → ∞ statystyki χ ~2 2 2 ˆ ma więc pewien rozkład, któdami granicznymi statystyk χ i χ . Statystyka χ rego kwantyle zawierają się między odpowiednimi kwantylami rozkładów χ 2v – k – 1 i χ 2v – 1 . W sposób bardziej precyzyjny mówi o tym następujące twierdzenie. Twierdzenie 1 [Chernoff, Lehmann 1954]. Asymptotyczny rozkład statystyki χˆ 2 jest taki jak rozkład:.

(31) Zastosowanie algorytmu EM do estymacji… v − k −1. ∑ i =1. yi2 +. 141. v −1. ∑ λi yi2 ,. i =v− k. gdzie yi są niezależne i pochodzą z rozkładu normalnego N(0, 1), a λi są z przedziału (0, 1) i mogą zależeć od estymowanych parametrów. Należy nadmienić, że wraz ze wzrostem liczby v klas wartości kwantyli rozkładów χ 2v – k – 1 i χ 2v – 1 (przy tym samym poziomie istotności α) coraz mniej się różnią. Jeżeli więc liczba klas jest duża i estymujemy małą liczbę parametrów metodą największej wiarygodności bez grupowania obserwacji, to przy określaniu obszaru krytycznego można korzystać z wartości kwantyli rozkładu χ2 z v – 1 – k stopniami swobody. W przeciwnym wypadku używanie statystyki χˆ 2 z rozkładem granicznym χ2 z v – 1 – k stopniami swobody (co jest dość powszechną praktyką) powoduje, że rzeczywisty rozmiar testu może być istotnie większy niż zakładany poziom istotności. Celem eksperymentu symulacyjnego było porównanie, przy założonych poziomach istotności, empirycznych rozmiarów testów χ2 Pearsona uzyskanych w przypadkach, gdy nieznane parametry estymowane były na podstawie zgrupowanych danych przy użyciu algorytmu EM oraz na podstawie danych oryginalnych, niezgrupowanych. Rozkład teoretyczny postulowany w hipotezie zerowej był ciągły. Mieliśmy do czynienia z gęstością rozkładu normalnego z nieznanymi wartością oczekiwaną μ i wariancją σ2, tzn. f (w; Ψ) =.  ( w − µ )2  1 exp − , 2σ 2  2 πσ . (16). gdzie wektor Ψ nieznanych parametrów miał postać Ψ = (μ, σ 2)T. Dla n-elementowych prób losowych z rozkładu N(0, 1) wyznaczane były liczności ni obserwacji, które znalazły się w kolejnych v podprzedziałach podziału przedziału (–∞, ∞) postaci (–∞, a1], (a1, a2], …, (av – 2, av – 1], (av – 1, ∞). Estymatory były oparte na tych samych n-elementowych próbach. Po wyznaczeniu esty~2 ˆ2 i χ . Obliczenia były powtarzane matorów obliczane były statystyki testowe χ N = 10 000 razy, za każdym razem dla różnego zestawu danych. Empiryczne rozmiary testów αemp wyznaczane były dla obszaru krytycznego postaci: K = {t: t > χ 2v− 3 (1 − α )} ,. gdzie χ 2v – 3(1 – α) jest kwantylem rzędu 1 – α rozkładu χ2 z v – 3 stopniami swobody, a α jest poziomem istotności. Do wygenerowania próby z rozkładu N(0, 1) użyto generatorów ran1 oraz gamdev, zaczerpniętych z pracy [Press, Teukolsky, Vetterling, Flannery 1995]..

(32) Roman Huptas. 142. Wzory na estymatory parametrów μ i σ2 w przypadku algorytmu EM wyprowadzamy opierając się na opisie kroku M z punktu trzeciego uwzględniając, że mamy do czynienia jedynie z danymi zgrupowanymi (tzn. r = v). Dla (16) funkcja Q(Ψ, Ψ(k)) przyjmuje postać: v. 1 1 Q( Ψ , Ψ ( k ) ) = − n (ln 2 π + ln σ 2 ) − 2 ∑ n j EΨ ( k ) {(W − µ)2 | W ∈ Wj } .. 2 2σ j =1. Ostatecznie mamy Ψ(k + 1) = (μ(k + 1), (σ2)(k + 1))T, gdzie: v. ∑ n j E Ψ { W | W ∈ Wj } (k ). µ. ( k +1). =. j =1. v. ∑nj j =1. i. v. ∑ n j EΨ {(W − µ( k+1) )2 | W ∈ Wj } (k ). 2 ( k +1). (σ ). =. j =1. v. ∑nj. .. j =1. Warunkowe wartości oczekiwane zostały w programie obliczone w sposób numeryczny przy wykorzystaniu funkcji qromo, zaczerpniętej z pracy [Press, Teukolsky, Vetterling, Flannery 1995], w celu obliczenia odpowiednich całek. Z kolei estymatory w przypadku danych oryginalnych obliczamy następująco: ~. µ=. n. 1 ∑ Xi n i =1. ~. σ2 =. n. 1 2 ( Xi − µ~ ) , ∑ n i =1. a więc jako odpowiednie momenty z próby. W tabelach wyników podane zostały założone poziomy istotności i empiryczne rozmiary testów. Rozmiary empiryczne wyliczono jako: α emp =. Nk , N. gdzie Nk to liczba tych wartości statystyk testowych, które wpadły do obszaru krytycznego, a N oznacza liczbę powtórzeń symulacji. Za błąd symulacji przyjęto górne oszacowanie Var ( N k N ) . Dla Nk ~ B(N, α0 ) mamy:.

(33) Zastosowanie algorytmu EM do estymacji…. N  Var  k  = N . 143. 1 α 0 (1 − α 0 ) ≤ Var ( N k ) = 2 N N. 1 3 ⋅ 4 4 , N. gdzie α0 jest rzeczywistym rozmiarem testu. W tabelach 1–4 przedstawiono wyniki uzyskane dla N = 10 000 (błąd symulacji wynosi 0,004), liczności próby n ∈ {100; 500} i liczby klas v ∈ {4; 8}. Granice klas zostały wyznaczone następująco: – w przypadku v = 4 mamy (– ∞; –1], (–1; 0], (0; 1], (1; ∞), – w pozostałych przypadkach mamy dwie skrajne klasy postaci (– ∞; –1,5] i (1,5; ∞), a przedział (–1,5; 1,5] został podzielony na v – 2 równe podprzedziały. Eksperyment pokazał, że przy estymacji nieznanych parametrów z wykorzystaniem funkcji wiarygodności po zgrupowaniu danych empiryczne rozmiary testów są równe, w granicach błędu symulacji, założonym poziomom istotności niezależnie od liczby klas i liczności próbki. W przypadku estymacji parametrów na podstawie oryginalnych obserwacji empiryczne rozmiary testów odbiegają znacznie od założonych poziomów istotności, gdy liczba klas jest mała. Zwiększając liczbę klas obserwujemy, że empiryczne rozmiary testów coraz mniej się różnią między sobą. Liczność próbki z kolei ma niewielki wpływ na rozmiary testów. Widzimy więc, że sposób estymacji parametrów istotnie wpływa na wyniki testów. Tabela 1. Empiryczne rozmiary testów dla v = 4, n = 100 i N = 10 000 Poziom istotności α. Empiryczny rozmiar testu αemp. algorytm EM. momenty z próby. 0,010. 0,010. 0,015. 0,050. 0,052. 0,085. 0,100. 0,104. 0,172. Źródło: obliczenia własne.. Tabela 2. Empiryczne rozmiary testów dla v = 8, n = 100 i N = 10 000 Poziom istotności α. Empiryczny rozmiar testu αemp. algorytm EM. momenty z próby. 0,010. 0,009. 0,011. 0,050. 0,050. 0,055. 0,100. 0,103. 0,113. Źródło: obliczenia własne..

(34) Roman Huptas. 144. Tabela 3. Empiryczne rozmiary testów dla v = 4, n = 500 i N = 10 000 Poziom istotności α. Empiryczny rozmiar testu αemp. algorytm EM. momenty z próby. 0,010. 0,010. 0,015. 0,050. 0,054. 0,084. 0,100. 0,104. 0,173. Źródło: obliczenia własne.. Tabela 4. Empiryczne rozmiary testów dla v = 8, n = 500 i N = 10 000 Poziom istotności α. Empiryczny rozmiar testu αemp. algorytm EM. momenty z próby. 0,010. 0,011. 0,011. 0,050. 0,053. 0,059. 0,100. 0,105. 0,118. Źródło: obliczenia własne.. 5. Podsumowanie W artykule został opisany algorytm EM oraz przykład jego zastosowania. Algorytm EM jest postrzegany jako ogólna iteracyjna metoda optymalizacyjna do maksymalizowania wiarygodnościowej funkcji oceny przy zadanym modelu probabilistycznym z brakującymi danymi. Metoda ta jest wrażliwa na warunki początkowe, stąd wybór różnych warunków początkowych może prowadzić do uzyskania różnych maksimów lokalnych. W związku z powyższym, w praktyce, w celu zmniejszenia prawdopodobieństwa zakończenia procesu optymalizacyjnego na stosunkowo „nieefektywnym” maksimum lokalnym z punktu widzenia funkcji wiarygodności, wskazane jest uruchomienie algorytmu EM z różnymi warunkami początkowymi, a następnie wybranie rozwiązania, dla którego otrzymujemy największą wartość funkcji wiarygodności. Niemniej standardowy algorytm EM jest powszechnie stosowany ze względu na dużą uniwersalność struktury i łatwość, z jaką algorytm ten może być określony dla wielu różnych problemów. Literatura Chernoff H., Lehmann E.L. [1954], The Use of Maximum Likelihood Estimates in χ2 Tests for Goodness of Fit, „Annals of Mathematical Statistics”, vol. 25..

(35) Zastosowanie algorytmu EM do estymacji…. 145. Dempster A.P., Laird N.M, Rubin D.B. [1977], Maximum Likelihood from Incomplete Data via the EM Algorithm (with Discussion), „Journal of the Royal Statistical Society B”, vol. 39. Magiera R. [2002], Modele i metody statystyki matematycznej, wyd. 1, GiS, Wrocław. McLachlan G.J., Krishnan T. [1997], The EM Algorithm and Extensions, John Wiley and Sons, New York. Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P. [1995], Numerical Recipes in C. The Art of Scientific Computing, Cambridge University Press, New York. Wu C.F.J. [1983], On the Convergence Properties of the EM Algorithm, „Annals of Statistics”, vol. 11. The Application of the EM Algorithm to Estimation of Parameters of Distribution in Case Data are Grouped In this article, the Expectation-Maximization (EM) algorithm and its application are presented. The EM algorithm is a powerful iterative technique for finding maximum likelihood estimates, which is useful in a wide variety of situations best described as “incomplete data problems”, where algorithms such as the Newton-Raphson method may turn out to be more complicated. The popularity of the EM algorithm arises from its simplicity in implementation, stability in convergence, and applicability in practice. In the article, the E-step and M-step of the EM algorithm are illustrated with an application. The application is related to estimating parameters of distribution in case data are grouped and possibly truncated. The author presents the results of a simulation experiment in which the sizes of the Pearson chi-square goodness of fit test are obtained in two cases: when the unknown parameters are estimated from grouped data by means of the EM algorithm (correct procedure) and when original, ungrouped data are used (a wrong but frequently used procedure)..

(36)

(37) Zeszyty Naukowe nr. 740. 2007. Akademii Ekonomicznej w Krakowie. Joanna Palczewska Studium Doktoranckie Wydzia∏u Zarzàdzania. Mo˝liwoÊci zastosowania modelu jednokierunkowej sieci neuronowej do prognozowania sygna∏ów kupna i sprzeda˝y akcji w Êwietle uj´ç w literaturze przedmiotu 1. Wprowadzenie W 1943 r. W. McCullock i W. Pitts opublikowali pracę zatytułowaną A Logical Calculus of Ideas Immancnt in Nervous Activity. Praca ta stała się teoretycznym fundamentem późniejszego rozwoju sztucznych sieci neuronowych [Gately 1999, s. 3]. Pod koniec lat czterdziestych wyjaśniono mechanizm pamiętania informacji przez biologiczne sieci neuronowe. Był to istotny element na drodze budowy sztucznych sieci neuronowych, tj. zestawu wzajemnie połączonych sztucznych neuronów [Korbicz, Obuchowicz, Uciński 1994, s. 18]. W 1951 r. student MIT M. Minsky zbudował neuronowy komputer i zaprogramował go tak, by uczył się rozkładu labiryntu. Były to narodziny badań nad sztuczną inteligencją, a Minskyʼego, który nadal pracuje w MIT, często określa się mianem ojca systemów ekspertowych [Gately 1999, s. 3]. Istotnym krokiem w rozwoju sieci neuronowych były prace F. Rosenblatta, w których zostało wprowadzone pojęcie jednokierunkowej sieci wielowarstwowej, gdzie neurony są zorganizowane w kolejno po sobie następujących warstwach. Warstwą pierwszą jest wejście, a ostatnią wyjście. Były to sieci typu perceptron [Rymarczyk 1997, s. 32–33]. Pod koniec lat siedemdziesiątych komputery dysponowały już wystarczającą mocą obliczeniową, by można było rozpocząć praktyczne badania nad sztucznymi.