Praca i energia mechaniczna

http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Katedra Optyki i Fotoniki

Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska

 [BYŁO] Siła to wielkość wektorowa, która jest miarą oddziaływania mechanicznego innych ciał (otoczenia) na dane ciało. Jest to oddziaływanie, które może nadać ciału przyspieszenie.

 Energia jest miarą różnych rodzajów ruchu i miarą zdolności ciał do ruchu (nieodłączna cecha materii, zarówno na poziomie molekularnym jak i makroskopowym) – ale miarą SKALARNĄ!

 Każde ciało jest obdarzone energią (ma zapas energii), będącej miarą jego ruchu. Dla scharakteryzowania różnych rodzajów ruchu i różnych rodzajów oddziaływań między ciałami, wprowadzamy różne rodzaje energii: mechaniczną, wewnętrzną, elektromagnetyczną.

 Wzajemne oddziaływanie między ciałami (i elementami jednego ciała) powoduje zmianę energii ciała, możemy więc opisywać to oddziaływanie jako przekazywanie energii, czyli...

oddziaływanie między ciałami poprzez siły. Proces zmiany energii (mechanicznej) ciała pod wpływem działającej na nie siły nazywamy procesem wykonania pracy a przyrost energii (mechanicznej) ciała w tym procesie to po prostu praca.

(Analogia: energia wewnętrzna a ciepło)

F



s

F



 Praca wykonana przez siłę jest wielkością skalarną, liczbowo równą iloczynowi składowej siły w kierunku wykonywanego ruchu przez drogę, przebytą w tym ruchu:

s

F

W





 W przypadku zmiennej siły o dowolnym kierunku względem przesunięcia i dowolnej trajektorii ruchu między punktami A i B, możemy uogólnić powyższy wzór:

 

r

d

r

F

W











s

F

W











Jeżeli energia E jest przekazywana z jednego ciała do

drugiego,

to

możemy

zdefiniować

również

tempo

przekazywania tej energii. Wielkość tę nazywamy mocą:

(dokładniej: jest to moc chwilowa).

dt

dE

P



 PRZYPADEK SZCZEGÓLNY: Jeśli ciało porusza się ze stałą prędkością v pod działaniem stałej siły F, to możemy obliczyć moc jako:

v

F

P











Jednostki:

Siła:

Energia, praca:

elektronowolt

Moc:

1

/

1

1

1

N



kg



m

s

m

N

J

1

1

1





J

eV

1

,

6

10

1





s

J

W

1

/

1

1



W

KM

746

1



kinetyczną i potencjalną.

 Energia kinetyczna to energia każdego poruszającego się ciała mierzona pracą, jaką trzeba wykonać przy jego hamowaniu do całkowitego zatrzymania.

Można ją też obliczyć (ale nie zawsze!) ze wzoru:

2

2

mv

E



 Korzystając z definicji pracy można pokazać, że:









B A wyp kA kB

E

F

d

r

E





Jest to twierdzenie o pracy i energii:

Praca wykonana przez zewnętrzną siłę (wypadkową) na drodze od punktu A do punktu B równa się przyrostowi energii kinetycznej ciała.

 Energia kinetyczna jest więc tzw. funkcją stanu jego ruchu (zależy tylko od wartości początkowych i końcowych).

 Energia potencjalna to energia zmagazynowana przez ciało do użycia w przyszłości. Podaje się ją raczej w postaci względnej zmiany (poziom „zera” wyznaczamy dowolnie) a konkretna jej postać zależy od typu siły, z którą jest związana.

 Jeżeli ciało znajduje się pod działaniem pewnej siły F, to zmianę jego energii potencjalnej U obliczamy jako pracę, którą trzeba wykonać, aby

przesunąć to ciało w obecności tej siły:











s

d

F

U







Grawitacyjną

gdzie U_Z oznacza energią potencjalną na powierzchni Ziemi (poziom odniesienia), R_Z jest zaś promieniem Ziemi.

 



















r

R

mgR

U

r

U

1

1

 W przypadku, gdy (blisko powierzchni Ziemi)

możemy skorzystać z wzoru przybliżonego

gdzie: - wysokość nad powierzchnią Ziemi

Z

R

r



 

r

U

mgh

U





R

r

h





 Energię potencjalną

sprężystości

gdzie x oznacza wychylenie z położenia równowagi a k jest współczynnikiem proporcjonalności, zależnym od materiału sprężyny.

 

x

kx

F





 Ustalając „zerowy” poziom energii potencjalnej dla x=0 (sprężyna w położeniu równowagi, nierozciągnięta), możemy otrzymać wyrażenie na energię potencjalną sprężyny:

Zauważmy, że wartość energii potencjalnej nie zależy do tego, czy sprężyna jest ściśnięta, czy rozciągnięta.

2

2

kx

Myj zęby rano i wieczorem

CZEMU i PO CO?



Siły zachowawcze to takie siły, dla których praca nie zależy

od drogi, po której jest wykonywana. Matematycznie wyraża

to warunek:

czyli: praca po drodze zamkniętej równa się zeru.

0







F



d

s





Przez wieki ludzie usiłowali

wynaleźć perpetuum mobile

– maszynę, która trwale

dostarczałaby na zewnątrz

energię mechaniczną.

Możliwości tej przeczy jedna z fundamentalnych zasad fizyki – zasada zachowania energii, która narzuca ograniczenia na możliwość pozyskania i na przechodzenie energii z jednej formy w inną.

Energia mechaniczna zamkniętego układu zachowawczego nie zmienia się podczas ruchu układu:

(całkowita energia mechaniczna układu jako suma energii kinetycznej i potencjalnej jest stała!)

const

E

E

E







 M. W. Łomonosow (1748) – zasady zachowania masy substancji w przemianach chemicznych.

 R. Mayer i H. Helmholtz (XIX w.) – ilościowe sformułowanie zasady zachowania i przemiany energii: w układzie zamkniętym energia może przechodzić z jednego rodzaju w inne, jedno ciało może je przekazać drugiemu, lecz całkowita jej ilość pozostaje stała.

 Zamknięty układ zachowawczy to układ ciał, które działają na siebie wzajemnie siłami zachowawczymi. W takim układzie prawdziwa jest zasada zachowania energii w mechanice:

 Zasada zachowania energii może służyć do rozwiązywania zagadnień mechaniki, gdy szukamy informacji o końcowym stanie układu bez obliczania stanów pośrednich.

Przykład:

Ciało zsuwa się po równi pochyłej bez tarcia (siła niezachowawcza!) z wysokości h. Jaką prędkość v osiąga u podnóża równi?

h v

A

B

Energia całkowita w punkcie A:

Energia całkowita w punkcie B:

mgh

E

E

E







0



0

2









E

E

mv

E

Stosując zasadę zachowania energii (mechanicznej):

otrzymujemy: B A

E

E



gh

v



2

ENERGII

 Przemiany energii w ruchu sprężystym (bez tłumienia)

 Energia jako wielkość skalarna pozwala na łatwe rozwiązanie prostych zagadnień związanych z ruchem.

 Tym niemniej, spora część informacji o ruchu jest „tracona” – skalar zawsze zawiera mniej informacji, niż wektor…

 Wypadałoby więc mieć możliwość powrotu do opisu „dynamicznego”, czyli w języku SIŁ i zasad dynamiki Newtona!

 

r

grad



E

 

r



F











 

r

grad



E

 

r



F











stanu wymaga działania sił zewnętrznych.

 Równowagę nazywamy trwałą, gdy niewielkie działanie zewnętrzne na układ ciał wywołuje małą zmianę jego stanu = w układzie pojawiają się siły wewnętrzne, które starają się przywrócić go do stanu pierwotnego = energia potencjalna układu w tym stanie osiąga minimum.

 Równowagę nazywamy nietrwałą, gdy dowolnie małe działanie zewnętrzne na układ ciał wywołuje wyprowadza go z tego stanu = układ nie powróci do stanu równowagi bez działania sił zewnętrznych = energia potencjalna układu w tym stanie osiąga maksimum.

 Najbardziej „trwały” jest stan układu, w którym energia potencjalna przyjmuje możliwie najmniejszą wartość (bezwzględne minimum).