Elektrodynamika
Część 5
Pola magnetyczne w materii
Ryszard Tanaś
Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Spis treści
6 Pola magnetyczne w materii 3
6.1 Magnetyzacja . . . 3
6.2 Pole namagnesowanego ciała . . . 14
6.3 Natężenie pola magnetycznego H . . . 22
6 Pola magnetyczne w materii
6.1 Magnetyzacja
6.1.1 Diamagnetyki, paramagnetyki, ferromagnetyki
• Paramagnetyki — materiały, dla których namagnesowanie M
ma ten sam kierunek i zwrot co wektor indukcji B
• Diamagnetyki — materiały, dla których namagnesowanie M
ma ten sam kierunek, ale zwrot przeciwny do wektora B
• Ferromagnetyki — materiały, które zachowują
6 Pola magnetyczne w materii
6.1 Magnetyzacja
6.1.1 Diamagnetyki, paramagnetyki, ferromagnetyki
• Paramagnetyki — materiały, dla których namagnesowanie M
ma ten sam kierunek i zwrot co wektor indukcji B
• Diamagnetyki — materiały, dla których namagnesowanie M
ma ten sam kierunek, ale zwrot przeciwny do wektora B
• Ferromagnetyki — materiały, które zachowują
6 Pola magnetyczne w materii
6.1 Magnetyzacja
6.1.1 Diamagnetyki, paramagnetyki, ferromagnetyki
• Paramagnetyki — materiały, dla których namagnesowanie M
ma ten sam kierunek i zwrot co wektor indukcji B
• Diamagnetyki — materiały, dla których namagnesowanie M
ma ten sam kierunek, ale zwrot przeciwny do wektora B
• Ferromagnetyki — materiały, które zachowują
6 Pola magnetyczne w materii
6.1 Magnetyzacja
6.1.1 Diamagnetyki, paramagnetyki, ferromagnetyki
• Paramagnetyki — materiały, dla których namagnesowanie M
ma ten sam kierunek i zwrot co wektor indukcji B
• Diamagnetyki — materiały, dla których namagnesowanie M
ma ten sam kierunek, ale zwrot przeciwny do wektora B
• Ferromagnetyki — materiały, które zachowują
6.1.2 Siły i momenty sił działających na dipole magnetyczne
I
Każdą pętlę z prądem można złożyć z infinitezymalnych prostokątów. Prądy od „wewnętrznych” boków znoszą się wzajemnie.
x y z B m θ θ b a I y z B m θ θ a F F
x y z B m θ θ b a I y z B m θ θ a F F
N = aF sin θ ˆx, moment sił
x y z B m θ θ b a I y z B m θ θ a F F
N = aF sin θ ˆx, moment sił
F = IbB, wartość siły
x y z B m θ θ b a I y z B m θ θ a F F
N = aF sin θ ˆx, moment sił
F = IbB, wartość siły
N = Iab sin θ ˆx = mB sin θ ˆx
F = I I ( dl × B) = I I dl × B = 0
W polu jednorodnym siła wypadkowa działająca na pętlę z prądem znika
B
I I
B I I pole niejednorodne x y z R I I θ B B F F
pole ma składową radialną siła ma składową pionową
F = ∇(m · B)
Siła dla infinitezymalnej pętli o momencie dipolowym m
Modele momentu dipolowego
N
S
+
−
m
p
m
I
dipol magnetyczny6.1.3 Wpływ pola magnetycznego na orbity atomowe x y z m −e v R T = 2πR v ⇒ I = e T = ev 2πR
ruch elektronu można
6.1.3 Wpływ pola magnetycznego na orbity atomowe x y z m −e v R T = 2πR v ⇒ I = e T = ev 2πR
ruch elektronu można
potraktować jako prąd stały
m = −IπR2 z = −ˆ 1
6.1.3 Wpływ pola magnetycznego na orbity atomowe x y z m −e v R T = 2πR v ⇒ I = e T = ev 2πR
ruch elektronu można
potraktować jako prąd stały
m = −IπR2 z = −ˆ 1
2evR ˆz orbitalny moment dipolowy
1 4π0 e2 R2 = me v2 R
w nieobecności pola magnetycznego siła
dośrodkowa pochodzi wyłącznie od ładunków elektrycznych
1 4π0 e2 R2 = me v2 R
w nieobecności pola magnetycznego siła
dośrodkowa pochodzi wyłącznie od ładunków elektrycznych
−e(v × B) dodatkowa siła w polu magnetycznym;
1 4π0 e2 R2 = me v2 R
w nieobecności pola magnetycznego siła
dośrodkowa pochodzi wyłącznie od ładunków elektrycznych
−e(v × B) dodatkowa siła w polu magnetycznym;
elektron przyspiesza i zwalnia
x y z +e −e v R B B B B
zakładamy, że pole B jest
1 4π0 e2 R2 = me v2 R
w nieobecności pola magnetycznego siła
dośrodkowa pochodzi wyłącznie od ładunków elektrycznych
−e(v × B) dodatkowa siła w polu magnetycznym;
elektron przyspiesza i zwalnia
x y z +e −e v R B B B B
zakładamy, że pole B jest
prostopadłe do płaszczyzny orbity
1 4π0 e2 R2 + e¯vB = me ¯ v2
e¯vB = me R (¯v
2 − v2
) = me
e¯vB = me R (¯v 2 − v2 ) = me R (¯v + v)(¯v − v) δv = eRB 2me elektron przyspiesza
e¯vB = me R (¯v 2 − v2 ) = me R (¯v + v)(¯v − v) δv = eRB 2me elektron przyspiesza δm = −1 2e(δv)R ˆz = − e2R2
e¯vB = me R (¯v 2 − v2 ) = me R (¯v + v)(¯v − v) δv = eRB 2me elektron przyspiesza δm = −1 2e(δv)R ˆz = − e2R2
4me B zmiana momentu dipolowego
Zmiana momentu magnetycznego m ma przeciwny zwrot niż sama indukcja B — diamagnetyzm
6.1.4 Magnetyzacja
6.1.4 Magnetyzacja
M ≡ magnetyczny moment dipolowy na jednostkę objętości
6.2 Pole namagnesowanego ciała 6.2.1 Prądy związane P R dτ′ m A(r) = µ0 4π m × ˆR
6.2 Pole namagnesowanego ciała 6.2.1 Prądy związane P R dτ′ m A(r) = µ0 4π m × ˆR
R2 potencjał wektorowy dipola m
A(r) = µ0 4π
Z M (r0) × ˆR
R2 dτ
∇0 1
R =
ˆ
R
∇0 1 R = ˆ R R2 A(r) = µ0 4π Z " M (r0) × ∇0 1 R # dτ0
∇0 1 R = ˆ R R2 A(r) = µ0 4π Z " M (r0) × ∇0 1 R # dτ0 ∇ × (f A) = f (∇ × A) − A × (∇f ) pochodne iloczynów
∇0 1 R = ˆ R R2 A(r) = µ0 4π Z " M (r0) × ∇0 1 R # dτ0 ∇ × (f A) = f (∇ × A) − A × (∇f ) pochodne iloczynów A(r) = µ0 4π Z 1 R[∇ 0 × M (r0 )] dτ0 − Z ∇0 × " M (r0) R # dτ0
∇0 1 R = ˆ R R2 A(r) = µ0 4π Z " M (r0) × ∇0 1 R # dτ0 ∇ × (f A) = f (∇ × A) − A × (∇f ) pochodne iloczynów A(r) = µ0 4π Z 1 R[∇ 0 × M (r0 )] dτ0 − Z ∇0 × " M (r0) R # dτ0 Z V (∇ × A) dτ = − I S A × da twierdzenie
A(r) = µ0 4π Z 1 R[∇ 0 × M (r0 )] dτ0 + µ0 4π I 1 R[M (r 0 ) × da0]
A(r) = µ0 4π Z 1 R[∇ 0 × M (r0 )] dτ0 + µ0 4π I 1 R[M (r 0 ) × da0] Jzw = ∇ × M Kzw = M × ˆn
A(r) = µ0 4π Z 1 R[∇ 0 × M (r0 )] dτ0 + µ0 4π I 1 R[M (r 0 ) × da0] Jzw = ∇ × M Kzw = M × ˆn A(r) = µ0 4π Z V Jzw(r0) R dτ 0 + µ0 4π I S Kzw(r0) R da 0
Przykład:
Znaleźć pole magnetyczne jednorodnie namagnesowanej kuli.
x y z M θ φ r Jzw = ∇ × M = 0, Kzw = M × ˆn = M sin θ ˆφ
K = σv = σωR sin θ ˆφ dla obracającej się sfery,
K = σv = σωR sin θ ˆφ dla obracającej się sfery,
patrz wcześniejszy przykład
Pole jednorodnie namagnesowanej kuli jest takie samo, jak pole obracającej się jednorodnie naładowanej sfery, po podstawieniu
K = σv = σωR sin θ ˆφ dla obracającej się sfery,
patrz wcześniejszy przykład
Pole jednorodnie namagnesowanej kuli jest takie samo, jak pole obracającej się jednorodnie naładowanej sfery, po podstawieniu
σRω → M.
B = 2
K = σv = σωR sin θ ˆφ dla obracającej się sfery,
patrz wcześniejszy przykład
Pole jednorodnie namagnesowanej kuli jest takie samo, jak pole obracającej się jednorodnie naładowanej sfery, po podstawieniu
σRω → M.
B = 2
3µ0M wewnątrz sfery, pole jednorodne
m = 4
3πR
3
K = σv = σωR sin θ ˆφ dla obracającej się sfery,
patrz wcześniejszy przykład
Pole jednorodnie namagnesowanej kuli jest takie samo, jak pole obracającej się jednorodnie naładowanej sfery, po podstawieniu
σRω → M.
B = 2
3µ0M wewnątrz sfery, pole jednorodne
m = 4
3πR
3
M na zewnątrz sfery, pole dipola m
Podobieństwo do pola elektrycznego spolaryzowanej kuli, ale tu mamy 23 zamiast −13.
6.2.2 Fizyczna interpretacja prądów związanych
I I I
M
6.2.2 Fizyczna interpretacja prądów związanych I I I M t I I M ˆn
6.2.2 Fizyczna interpretacja prądów związanych I I I M t I I M ˆn I a M t
6.2.2 Fizyczna interpretacja prądów związanych I I I M t I I M ˆn I a M t m = M at = Ia ⇒ I = M t ⇒ Kzw = I/t = M
6.2.2 Fizyczna interpretacja prądów związanych I I I M t I I M ˆn I a M t m = M at = Ia ⇒ I = M t ⇒ Kzw = I/t = M Kzw = M × ˆn
z y x I dy Mz(y) Mz(y + dy) dz magnetyzacja niejednorodna
z y x I dy Mz(y) Mz(y + dy) dz z y x dz My(z) My(z + dz) dy magnetyzacja niejednorodna Ix = [Mz(y + dy) − Mz(y)] dz = ∂Mz ∂y dy dz
z y x I dy Mz(y) Mz(y + dy) dz z y x dz My(z) My(z + dz) dy magnetyzacja niejednorodna Ix = [Mz(y + dy) − Mz(y)] dz = ∂Mz ∂y dy dz (Jzw)x = ∂Mz ∂y podobnie (Jzw)x = − ∂My ∂z
(Jzw)x = ∂Mz
∂y −
∂My ∂z
(Jzw)x = ∂Mz
∂y −
∂My ∂z
(Jzw)x = ∂Mz ∂y − ∂My ∂z Jzw = ∇ × M ogólnie ∇ · Jzw = ∇ · (∇ × M ) = 0 równanie ciągłości
(Jzw)x = ∂Mz ∂y − ∂My ∂z Jzw = ∇ × M ogólnie ∇ · Jzw = ∇ · (∇ × M ) = 0 równanie ciągłości
6.2.3 Pole magnetyczne w materii
Mówiąc o polu magnetycznym w materii mamy na myśli pole makroskopowe (uśrednione po obszarze wytarczająco dużym by zawierał bardzo wiele atomów)
6.3 Natężenie pola magnetycznego H
6.3.1 Prawo Ampère’a w materiałach magnetycznych
6.3 Natężenie pola magnetycznego H
6.3.1 Prawo Ampère’a w materiałach magnetycznych
J = Jzw + Jsw
1
6.3 Natężenie pola magnetycznego H
6.3.1 Prawo Ampère’a w materiałach magnetycznych
J = Jzw + Jsw 1 µ0 (∇ × B = J = Jsw + Jzw = Jsw + (∇ × M ) ∇ × 1 µ0 B − M ! = Jsw
6.3 Natężenie pola magnetycznego H
6.3.1 Prawo Ampère’a w materiałach magnetycznych
J = Jzw + Jsw 1 µ0 (∇ × B = J = Jsw + Jzw = Jsw + (∇ × M ) ∇ × 1 µ0 B − M ! = Jsw H ≡ 1 µ0 B − M
6.3 Natężenie pola magnetycznego H
6.3.1 Prawo Ampère’a w materiałach magnetycznych
J = Jzw + Jsw 1 µ0 (∇ × B = J = Jsw + Jzw = Jsw + (∇ × M ) ∇ × 1 µ0 B − M ! = Jsw H ≡ 1 µ0 B − M ∇ × H = Jsw prawo Ampère’a
I
I
H · dl = Iswc prawo Ampère’a w postaci całkowej
Iswc — całkowite natężenie prądu swobodnego płynącego przez kontur Ampère’a
6.3.2 Myląca analogia
6.3.2 Myląca analogia
∇ × H = Jsw
6.3.2 Myląca analogia
∇ × H = Jsw
∇ · H = −∇ · M 6= 0 dywergencja różna od zera
6.3.3 Warunki brzegowe
W języku natężenia pola magnetycznego H i gęstości prądów swobodnych:
6.3.3 Warunki brzegowe
W języku natężenia pola magnetycznego H i gęstości prądów swobodnych:
Hnad⊥ − Hpod⊥ = −(Mnad⊥ − Mpod⊥ )
6.3.3 Warunki brzegowe
W języku natężenia pola magnetycznego H i gęstości prądów swobodnych:
Hnad⊥ − Hpod⊥ = −(Mnad⊥ − Mpod⊥ )
Hnadk − Hpodk = Ksw × ˆn
6.3.3 Warunki brzegowe
W języku natężenia pola magnetycznego H i gęstości prądów swobodnych:
Hnad⊥ − Hpod⊥ = −(Mnad⊥ − Mpod⊥ )
Hnadk − Hpodk = Ksw × ˆn
Bnad⊥ − Bpod⊥ = 0
6.4 Ośrodki liniowe i nieliniowe
6.4.1 Podatność i przenikalność magnetyczna
M = 1
6.4 Ośrodki liniowe i nieliniowe
6.4.1 Podatność i przenikalność magnetyczna
M = 1
µ0 χmB (niepoprawnie!)
6.4 Ośrodki liniowe i nieliniowe
6.4.1 Podatność i przenikalność magnetyczna
M = 1
µ0 χmB (niepoprawnie!)
M = χmH ośrodki liniowe
χm — podatność magnetyczna, dodatnia dla paramagnetyków, ujemna dla diamagnetyków; typowe wartości są rzędu 10−5
6.4 Ośrodki liniowe i nieliniowe
6.4.1 Podatność i przenikalność magnetyczna
M = 1
µ0 χmB (niepoprawnie!)
M = χmH ośrodki liniowe
χm — podatność magnetyczna, dodatnia dla paramagnetyków, ujemna dla diamagnetyków; typowe wartości są rzędu 10−5
6.4 Ośrodki liniowe i nieliniowe
6.4.1 Podatność i przenikalność magnetyczna
M = 1
µ0 χmB (niepoprawnie!)
M = χmH ośrodki liniowe
χm — podatność magnetyczna, dodatnia dla paramagnetyków, ujemna dla diamagnetyków; typowe wartości są rzędu 10−5
B = µ0(H + M ) = µ0(1 + χm)H
Przykład:
Nieskończenie długi solenoid (o n zwojach na jednostkę długości, przez
który płynie prąd o natężeniu I) wypełniony jest substancją liniową o
Przykład:
Nieskończenie długi solenoid (o n zwojach na jednostkę długości, przez
który płynie prąd o natężeniu I) wypełniony jest substancją liniową o
podatności χm. Znaleźć indukcję pola we wnętrzu solenoidu.
ˆz
Przykład:
Nieskończenie długi solenoid (o n zwojach na jednostkę długości, przez
który płynie prąd o natężeniu I) wypełniony jest substancją liniową o
podatności χm. Znaleźć indukcję pola we wnętrzu solenoidu.
ˆz
φ
Nie możemy wprost obliczyć B, bo nie znamy prądów
związanych, ale ze względu na symetrię możemy
obliczyć H ze znajomości prądów swobodnych
H = nI ˆz
B = µ0(1 + χm)nI ˆz
M M = 0 próżnia paramagnetyk powierzchnia Gaussa I
M M = 0 próżnia paramagnetyk powierzchnia Gaussa I
M · da 6= 0 dla powierzchni Gaussa
M M = 0 próżnia paramagnetyk powierzchnia Gaussa I
M · da 6= 0 dla powierzchni Gaussa
∇ · M nie może znikać wszędzie wewnątrz powierzchni Gaussa
Jzw = ∇ × M = ∇ × (χmH) = χmJsw
Jeśli prąd swobodny nie płynie w objętości próbki, prąd związany płynie jedynie na powierzchni.
6.4.2 Ferromagnetyzm M I a b c d e f g (trwały magnes)
(nasycenie) (trwały magnes)
(nasycenie)
