z. 73 Transport 2010
Mirosław Dusza, Krzysztof Zboiński
Politechnika Warszawska, Wydział TransportuWPŁYW ISTNIENIA ROZWIĄZAŃ
WIELOKROTNYCH NA DOKŁADNOŚĆ
WYZNACZANIA WARTOŚCI PRĘDKOŚCI
KRYTYCZNEJ MODELU POJAZDU SZYNOWEGO
Rękopis dostarczono, grudzień 2010
Streszczenie: Stateczność (modelu) pojazdu szynowego w ruchu po torze zakrzywionym stanowi zagadnienie badawcze, które jest przedmiotem wieloletnich badań autorów [1, 8÷16]. Fragment tego typu badań zawiera również niniejszy artykuł. Podstawowym parametrem używanym w analizie stateczności ruchu pojazdów szynowych jest prędkość krytyczna. W dotychczas wykonanych badaniach autorzy wyznaczali prędkość krytyczną w sposób przybliżony. Pozwalało to na znaczne ograniczenie badań symulacyjnych i skrócenie czasu ich realizacji. Istotą badań, których wyniki zamieszczono w artykule, jest zidentyfikowanie ewentualnego występowania rozwiązań wielokrotnych i precyzyjne wyznaczenie wartości prędkości krytycznej, bez względu na występowanie bądź nie takich rozwiązań. Porównanie nowych wartości prędkości z wcześniej wyznaczonymi w sposób przybliżony może stanowić miarę dokładności stosowanych metod wyznaczania wartości prędkości krytycznej. Parametrem poddanym obserwacji i analizie w badaniach są przemieszczenia poprzeczne atakującego zestawu kołowego. Stanowią one źródło informacji niezbędnych do utworzenia wykresów bifurkacyjnych obejmujących pełny zakres promieni łuku, nazywanych ,,mapami stateczności ruchu”.
Słowa kluczowe: dynamika pojazdów szynowych, stateczność ruchu, prędkość krytyczna
1. WSTĘP
Zjawiska występujące podczas ruchu pojazdu szynowego są przedmiotem badań teoretycznych i doświadczalnych od początku istnienia tego rodzaju środka transportu. Dziesięciolecia badań i rozwoju doprowadziły do wyodrębnienia się pewnych dziedzin jak np.: bezpieczeństwo ruchu, komfort, stateczność, zagadnienia związane z trwałością i niezawodnością oraz inne. Autorzy niniejszej publikacji prowadzą badania teoretyczne zaliczane do analizy stateczności ruchu. W sposób pośredni odnoszą się one również do bezpieczeństwa ruchu. Obiektem badań jest model numeryczny układu mechanicznego pojazd szynowy – tor. Pozwala on na obliczenie wybranych parametrów kinematycznych i dynamicznych dla dowolnych zadanych warunków ruchu. Przedmiotem
dotychczasowych analiz było określenie wpływu na stateczność ruchu czynników takich jak: parametry układu zawieszenia pojazdu, rodzaj zarysów kół i szyn, zużycie zarysów, przechyłka toru, pochylenie szyn i inne [10-16]. W większości badanych przypadków obserwacji i analizie poddane zostały przemieszczenia poprzeczne atakującego zestawu kołowego y. W zależności od przyjętych układów współrzędnych i rodzaju trasy parametr ten (rozwiązania układu), może przyjmować wartości ujemne lub dodatnie. Ponieważ z punktu widzenia stateczności istotna jest wartość (znak informuje o kierunku przemieszczeń), przyjmowano więc do analizy wartość bezwzględną przemieszczeń poprzecznych zestawu kołowego. Przykładowe przebiegi zmian przemieszczeń poprzecznych w funkcji drogi pokonywanej przez model przedstawia Rys. 4 c i d. Jak można zauważyć parametr ten może dążyć do przyjęcia wartości stałej (c) lub zmiennej (d). W pierwszym przypadku charakter rozwiązań nazywany jest stacjonarnym (quasi-statycznym). Początkowe zmiany wynikają z nałożenia na oba zestawy kołowe wymuszeń początkowych. W drugim przypadku zmiany mają charakter okresowy o stałej częstotliwości i amplitudzie. Nazywane są rozwiązaniami okresowymi i mają charakter cyklu granicznego. Oba typy rozwiązań należą do rozwiązań statecznych. Oznacza to niezmienność ruchu (i rozwiązania) na dowolnie długim odcinku toru. Widoczna asymetria przemieszczeń względem linii zerowej wynika z ruchu po łuku z prędkością, dla której występuje niezrównoważenie sił poprzecznych w płaszczyźnie toru na skutek niedoboru przechyłki. Prędkość ruchu modelu jest jednym z parametrów decydujących o charakterze rozwiązań (stacjonarne lub okresowe) przy założeniu, że wszystkie inne parametry układu pozostają stałe. Rozwiązania stacjonarne występują przy mniejszych prędkościach. Z uwagi na fakt, że badany model umożliwia zadanie jednej stałej wartości prędkości w danej symulacji ruchu, chcąc wykonać obliczenia dla innej należy przeprowadzić nową symulację zmieniając wartość prędkości z określonym krokiem. Najmniejsza zadana prędkość ruchu, dla której pojawią się rozwiązania okresowe o charakterze cyklu granicznego nazywana jest prędkością krytyczną układu nieliniowego vn . W przypadku
układu o cechach podkrytycznych jej wartość definiuje punkt bifurkacji siodłowo-węzłowej (S-W; patrz Rys. 4 a i b). W przypadku układu o cechach nadkrytycznych wartość vn równa jest prędkości krytycznej układu liniowego vc . Wystąpienie w układzie
prędkości krytycznej vn nie musi oznaczać wykolejenia, ponieważ zakres okresowych
przemieszczeń poprzecznych zestawu kołowego mieści się w przedziale stosowanego luzu poprzecznego zestaw kołowy – tor. Z punktu widzenia stateczności ruchu najistotniejsze jest wyznaczenie wartości prędkości krytycznej oraz maksymalnej prędkości, dla której rozwiązania mają jeszcze charakter cyklu granicznego lub stacjonarny (największej możliwej prędkości ruchu).
W dotychczasowych badaniach autorzy wyznaczali prędkość krytyczną w symulacjach ruchu na torze prostym, traktując ją jako punkt wyjścia. Następnie wyznaczali prędkości krytyczne w łukach, przyjmując na podstawie ograniczonej liczby symulacji domniemanie, że prędkości vn w łukach będą takie same i równe prędkości krytycznej wyznaczonej na
torze prostym. W zdecydowanej większości przypadków domniemanie to potwierdziło się. Stąd przyjmowano jedną wartość oddzielającą zakres rozwiązań stacjonarnych od rozwiązań okresowych na wszystkich badanych trasach (łukowych o promieniach R=600m ÷ ∞, Rys. 5 i 6). Ze względu na powyższe domniemanie oraz na znaczny interwał prędkości i wartości warunków początkowych należy uznać, że wyznaczanie prędkości vn
dokładności wartości vn wyznaczonych w poprzednich badaniach. Badany układ
mechaniczny należy do grupy tzw. układów o sztywnym charakterze pobudzenia. Oznacza to, że dla parametrów ruchu spełniających warunki wystąpienia rozwiązań okresowych (drgań samowzbudnych w układzie rzeczywistym), układ wymaga wymuszenia początkowego o określonej wartości aby rozwiązania stacjonarne zmieniły charakter na okresowy. Rysunek 1 przedstawia charakter rozwiązań (przemieszczeń poprzecznych atakującego zestawu kołowego) w funkcji drogi pokonywanej przez model na torze prostym, przy stałej prędkości ruchu 43m/s i różnych wymuszeniach początkowych (przemieszczeniach poprzecznych zestawów względem toru).
0 100 200 300 400 500 droga; [m] -0.006 -0.004 -0.002 0 0.002 0.004 0.006 y; [m] v=43 m/s y(0)=0.00021m y(0)=0.00022m y(0)=0.001m y(0)=0.003m
Rys. 1. Wpływ wartości wymuszeń początkowych y(0) na charakter rozwiązań badanego układu
Jak można zauważyć dla wymuszeń mniejszych od 0,00021m amplitudy przemieszczeń mają charakter malejący, rozwiązania przyjmują charakter stacjonarny (quasistatyczny). Wartością graniczną (minimalną) wymuszeń początkowych, dla której następuje zmiana charakteru rozwiązań na okresowy jest 0,00022m. Można więc zauważyć, że bardzo małe zmiany wartości wymuszeń początkowych (0,01mm) mają istotny wpływ na charakter rozwiązań a zatem i na stwierdzenie wystąpienia krytycznej wartości prędkości ruchu. Większe od 0,00022m wymuszenia początkowe nie mają wpływu na charakter rozwiązań a jedynie na skrócenie drogi, na której następuje stabilizacja wartości amplitudy przemieszczeń. Przedstawione na Rys. 1 wyniki uzyskano z modelu wyposażonego w tablice parametrów kontaktowych utworzoną dla kół o zarysach S1002 i szyn UIC60. Dla innych konfiguracji zarysów graniczna wartość wymuszeń początkowych ma inną wartość. Na przykład dla zarysów kół typu BR-P10 i szyn UIC60 jest to 0,0045m, np. [15, 16], a więc dla konkretnych konfiguracji modelu wymuszenia decydujące o charakterze rozwiązań mogą różnić się w sposób znaczący. Wykonując wielokrotne symulacje ruchu dla poszczególnych konfiguracji modelu stwierdzono, że wymuszenia początkowe o wartości 0,0045m są w każdym przypadku dostatecznie dużą wartością do zainicjowania rozwiązań okresowych (drgań samowzbudnych), jeżeli spełnione są warunki sprzyjające transformacji energii ruchu roboczego modelu pojazdu do układu drgającego (przemieszczenia poprzeczne zestawów kołowych). Dlatego w dotychczasowych badaniach zadawano wymuszenia o wartości 0,0045m w każdej symulacji. Decyzji takiej towarzyszyła świadomość przybliżonego wyznaczania wartości prędkości krytycznej i potencjalnej możliwości pomijania rozwiązań wielokrotnych. Podyktowana była przede wszystkim potrzebą skrócenia czasu obliczeń. Zwiększenie dokładności wyznaczania wartości prędkości krytycznej w niniejszym artykule osiągnięto poprzez zmniejszenie
k ty cty m ty t kt ct mt 2b z y kt mt ct mt x rt kt ct
Rys. 3. Struktura modelu toru podatnego: a) poprzecznie, b) pionowo
b) a)
interwału prędkości pomiędzy poszczególnymi symulacjami i wariantowanie (skrupulatne przeszukiwanie) zakresu warunków początkowych przy stałych prędkościach ruchu.
2. BADANY MODEL
Badany układ mechaniczny to model pojazdu szynowego dwuosiowego z jednym stopniem usprężynowania (Rys. 2). Odpowiada on strukturze wagonu towarowego HSFV1 kolei brytyjskich [9]. Model wagonu uzupełniono o poprzecznie i pionowo podatny model toru (Rys. 3). Model wagonu i toru są badane łącznie, stanowiąc dyskretny
układ pojazd szynowy – tor. Model matematyczny układu zbudowano zgodnie z metodyką
uogólnionego modelowania dynamiki pojazdów szynowych przedstawioną w [9]. Dynamika pojazdu jest w tej metodzie dynamiką ruchu względnego. Oznacza to, że jej opis jest wykonany względem ruchomych układów odniesienia związanych z linią środkową toru. Do opisu zastosowano formalizm Lagrange’a II rodzaju adaptowany do opisu w układach ruchomych o postaci:
QZ QB , ,k q w E q w E dt d ... 1 , = + = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ρ ρ ρ ρ ∂ ∂ ρ ∂ ∂ & (1)
gdzie qρ, QZρ, QBρ, k oraz Ew oznaczają odpowiednio: współrzędne uogólnione ruchu
względnego, uogólnione siły zewnętrzne, uogólnione siły pozorne, liczbę stopni swobody układu oraz energię kinetyczną ruchu względnego. Równania (1) i sposób wyznaczania sił
QBρ omówiono w [8, 9]. Na nieliniowość równań składają się nieliniowości kinematyczne,
siły pozorne, nieliniowa geometria kontaktu koło – szyna oraz nieliniowe siły styczne w tym kontakcie, obliczane za pomocą procedury FASTSIM. Przyjęto natomiast liniowość sił sprężystości i tłumienia w elementach podatnych.W modelu zastosowano nominalne
Rys. 2. Struktura modelu pojazdu
profile kół typu S1002 i BR-P10 oraz szyn UIC60 i S49 o pochyleniu 1:40 i rzeczywistym zarysie, co jest jedną z przyczyn nieliniowejgeometrii kontaktu. Informacje o geometrii wprowadzane są do modelu poprzez tablice parametrów kontaktowych. Są one tworzone za pomocą programu RSGEO ArgeCare. Program ten wymaga danych wejściowych w postaci zarysów (teoretycznych lub zmierzonych) kół i szyn i na tej podstawie rozwiązuje dwuwymiarowe zagadnienie geometryczne, polegające na poszukiwaniu punktów kontaktu pomiędzy zarysami w funkcji ich względnego przemieszczenia poprzecznego. Ponadto uwzględniono zmianę wartości parametrów kontaktowych związaną ze zmiennością kąta nabieganiaψ (obrót wokół osi pionowej). Zrealizowano to przez wygenerowanie serii tablic parametrów kontaktowych dla różnych wartości ψ i odpowiednią interpolację tych parametrów w trakcie symulacji.
3. METODA BADAŃ
Źródłem informacji są symulacje ruchu modelu przy stałych prędkościach. Obserwacji i analizie poddano przemieszczenia poprzeczne atakującego zestawu kołowego. Z uwagi na podatność toru są to przemieszczenia względne zestaw – tor. Dla każdej symulacji tworzony jest wykres zmian przemieszczeń poprzecznych zestawu kołowego w funkcji drogi, który może mieć postać jak na Rys. 4 c lub d. Następnie z każdego takiego wykresu odczytywana jest wartość maksymalna przemieszczeń, która stanowi jeden punkt na wykresie maksymalnych przemieszczeń poprzecznych zestawu kołowego w funkcji prędkości. Jak wspomniano we wstępie, znak przemieszczeń zależy od kierunku przyjętych układów współrzędnych i kierunku skrętu badanego łuku trasy. Ponieważ nie ma on znaczenia z punktu widzenia stateczności ruchu, przyjęto podawać wartość bezwzględną maksymalnych przemieszczeń poprzecznych zestawu kołowego (|y|max). Jeżeli rozwiązania mają charakter okresowy, istotny jest jeszcze co najmniej jeden parametr przemieszczeń. Przyjęto podawać, wartość międzyszczytową (WMS). Informuje on o zakresie zmian przemieszczeń w jednym cyklu. Odczytana wartość stanowi jeden punkt na wykresie WMS w funkcji prędkości ruchu modelu.
Na podstawie wykonanych kolejno symulacji z prędkościami zmienianymi w określonym kroku na danej trasie, tworzona jest para wykresów o postaci z Rys. 4 a i b. Jest to przykład wyników uzyskanych na trasie kołowo-łukowej o stałej wartości promienia łuku R i przechyłki toru h. Równowaga składowych poprzecznych w płaszczyźnie toru sił ciężkości i odśrodkowej występuje tylko dla jednej wartości prędkości ruchu. Z faktu tego oraz różnych co do zasady poślizgów względnych kół na toku zewnętrznym i wewnętrznym wynika asymetria przemieszczeń poprzecznych zestawu względem linii środkowej toru (wartości zerowej na osi rzędnych). Wartości użytych przechyłek podano w tablicy 1. Wykonując kolejne symulacje na trasach łukowych o różnych stałych wartościach promienia, można uzyskać analogiczne pary wykresów. W pracy wyniki uzyskane z różnych wartości promieni łuków przyjęto prezentować na jednej parze wykresów, co daje pełny obraz wpływu promienia łuku i prędkości ruchu na
badane parametry modelu. Przykłady uzyskanych wcześniej wyników przedstawiono na Rys. 5 i 6.
Tablica. 1 Badane promienie łuków i zastosowane przechyłki toru
Promień łuku R [m] 600 750 900 1200 2000 3000 4000 6000 10000 Przechyłka h [m] 0,16 0,16 0,16 0,16 0,155 0,110 0,077 0,051 0,031 0 100 200 300 400 500 droga; [m] -0.006 -0.005 -0.004 -0.003 -0.002 -0.001 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 y; [m ] d) v=45m/s > vn R=600m 20 40 60 80 predkosc; [m/s] 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 W M S ; [m ] Rozwiazania stateczne okresowe R=600m b) Rozwiazania stateczne stacjonarne vn vc vs Rozwiazania niestateczne okresowe stacjonarne 20 40 60 80 predkosc; [m/s] 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 |y |m ax ; [m ] Rozwiazania stateczne okresowe R=600m a) Rozwiazania stateczne stacjonarne vn vc vs Rozwiazania niestateczne stacjonarne okresowe 0 100 200 300 400 500 droga; [m] -0.005 -0.004 -0.003 -0.002 -0.001 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 y; [m ] v=40m/s < vn R=600m c) Rys. 4. Schemat metody tworzenia wykresów bifurkacyjnych
S-W
R=1200m R=600m R=900m R=450m T. pr. R=600m R=600m R=900m R=2000m R=4000m R=6000m R=10000m R=900m R=2000m Tor prosty R=3000, 4000, 6000, 10000m 5 15 25 35 45 55 65 v; [m/s] -0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 y ma x; [m] R=1200m R=3000m 5 15 25 35 45 55 65 v; [m/s] 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.010 WMS ; [ m ] 1:40 R=600m R=900m R=1200m R=450m R=900m R=450m ... Tor prosty R=600m R=10000m Tor prosty R=6000m R=4000m R=3000m R=2000m
Rys. 6. Wykresy stateczności ruchu modelu z konfiguracją zarysów kół S1002 i szyn S49
R=600m R=900m R=1200m R=2000m R=6000m R=4000m R=3000m R=2000m 5 15 25 35 45 55 65 v; [m/s] -0.0005 0.0005 0.0015 0.0025 0.0035 0.0045 0.0055 0.0065 y m a x; [ m ] R=600m R=900m R=1200m Tor prosty R=10000m 0 5 15 25 35 45 55 65 v; [m/s] 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.010 WMS ; [ m ] R=600m ... Tor prosty 1/40 R=600m R=900m R=1200m R=2000m R=3000m R=4000m R=6000m R=10000m Tor prosty
Rys. 5. Wykresy stateczności ruchu modelu z konfiguracją zarysów kół S1002 i szyn UIC60
4. WYNIKI BADAŃ
W pracy przedstawiono wyniki uzyskane z badań modelu wykorzystującego tablice parametrów kontaktowych utworzone dla par zarysów kół i szyn kolejno: S1002/UIC60, BR-P10/UIC60, S1002/S49. Zamieszczone na Rys. 5 i 6 wyniki wcześniejszych badań stanowią bazę porównawczą dla wyników bieżących.
4.1. MODEL Z ZARYSAMI KÓŁ I SZYN S1002/UIC60
Trasa o promieniu łuku R = 600m, posiada najmniejszą wartość promienia, dla którego możliwe jest zidentyfikowanie prędkości krytycznej vn oraz rozwiązań statecznych
okresowych w obszarze prędkości większych od krytycznej, dla tej konfiguracji zarysów kół i szyn. Na trasach o mniejszych promieniach łuków występowały rozwiązania stateczne stacjonarne przy mniejszych prędkościach, po czym następowało przejście do rozwiązań niestatecznych objawiających się nieograniczonym wzrostem (tzw. wykolejeniem numerycznym) przy większych prędkościach. Jak można zauważyć na Rys. 7, pierwotnie określona wartość prędkości krytycznej (na torze prostym) 43m/s, nieznacznie różni się od precyzyjnie wyznaczonej wartości vn=42,7m/s. Przy tej prędkości
graniczna wartość wymuszeń początkowych yp(0) wynosi 0,0039m. Dla wartości yp(0)
mniejszych od 0,0039m występowały rozwiązania stateczne stacjonarne, dla yp(0)
większych od 0,0039m rozwiązania stateczne okresowe o charakterze cyklu granicznego. Należy również zauważyć, że w całym zakresie badanych prędkości nie udało się na tej trasie zidentyfikować istnienia statecznych rozwiązań wielokrotnych. Na Rys. 7 oraz rysunkach kolejnych dla odróżnienia wartości prędkości vn wyznaczonych metodą
przybliżoną i precyzyjnie te pierwsze przekreślono.
R=600m 5 15 25 35 45 v; (m/s) 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 |y |m a x; ( m ) Wymuszenia początkowe yp(0)<0.0039m (v n = 43 m /s ) Wymuszenia początkowe yp(0)>0.0039m (przy 42.7 m/s) Rozwiązania stateczne okresowe (cykl graniczny) Rozwiązania stateczne stacjonarne dla dowolnych wymuszeń początkowych vn =4 2. 7m/s 5 15 25 35 45 v; (m/s) 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 WM S; (m) R=600m
Stateczne rozwiązania stacjonarne Stateczne rozwiązania okresowe dla dowolnych wymuszeń początkowych vn =4 2. 7 m /s vn = 43 m /s UIC60/S1002 yp(0)>0.0039m yp(0)<0.0039m
Rys. 7. Wykresy stateczności ruchu dla zarysów S1002/UIC60 na trasie o promieniu R = 600m
Na trasie o większym promieniu łuku R=900m, różnica pomiędzy wartością prędkości
vn określonej pierwotnie i dokładnie wzrosła (Rys. 8). W tym przypadku vn=39,8m/s, co
jest wartością mniejszą od wartości określonej pierwotnie o 3,2m/s. Graniczna wartość wymuszeń początkowych wynosi yp(0)=0,0013m. Również w tym przypadku nie udało się
R=900m 5 15 25 35 45 55 v; (m/s) 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 |y|m ax; ( m ) Wymuszenia początkowe yp(0)<0.0013m vn = 43 m /s Wymuszenia początkowe yp(0)>0.0013m (przy 39.8 m/s) Rozwiązania stateczne okresowe (cykl graniczny) Rozwiązania stateczne stacjonarne dla dowolnych wymuszeń początkowych vn=39.8 m/s 5 15 25 35 45 55 v; (m/s) 0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 WM S ; ( m ) R=900m Rozwiązania stateczne stacjonarne
Rozwiązania stateczne okresowe
UIC60/S1002 vn =3 9. 8m /s vn = 43 m /s
Rys. 8. Wykresy stateczności ruchu dla zarysów S1002/UIC60 na trasie o promieniu R=900m
Zwiększenie promienia łuku do 1200m powoduje zmniejszenie wartości prędkości krytycznej do 39,4m/s (Rys. 9). Jest to najmniejsza prędkość, przy której pojawiają się rozwiązania okresowe a graniczna wartość wymuszeń początkowych wynosi 0,0014m. Występuje tutaj również w zakresie prędkości ruchu 39,4÷40,1m/s, obszar rozwiązań wielokrotnych zależnych od wymuszeń początkowych. Oznacza to, że przy prędkości 39,4m/s zadając wymuszenia początkowe mniejsze od 0,0014m wystąpią rozwiązania stateczne stacjonarne. Natomiast dla wymuszeń większych od 0,0014m przy tej samej prędkości pojawią się rozwiązania okresowe. Następnie wraz ze wzrostem prędkości zmniejsza się wartość wymuszeń początkowych decydująca o charakterze rozwiązań. Przy prędkości 40,1m/s wynosi ona 0,0002m. Dla większych prędkości ruchu występują już wyłącznie rozwiązania stateczne okresowe.
R=1200m 5 15 25 35 45 55 v; (m/s) 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 |y |m ax ; (m ) Wymuszenia początkowe yp(0)<0.0002m vn=43 m/s Wymuszenia początkowe yp(0)>0.0002m (przy 40.1m/s) Rozwiązania stateczne okresowe
dla dowolnych wymuszeń początkowych (cykl graniczny)
Rozwiązania stateczne stacjonarne dla dowolnych wymuszeń początkowych (do v=39.4m/s) 39.4m/s Wymuszenia początkowe yp(0)<0.0014m Wymuszenia początkowe yp(0)>0.0014m UIC60/S1002 5 15 25 35 45 55 v; (m/s) 0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 WMS; ( m ) R=1200m Rozwiązania stateczne stacjonarne (do 39.4m/s)
Rozwiązania stateczne okresowe dla dowolnych wymuszeń początkowych (od 40.1m/s) vn=43 m/s 39.4m/ s 40.1m/s Rozwiązania stateczne okresowe i stacjonarne (zależne od wymuszeń początkowych) UIC60/S1002
Rys. 9. Wykresy stateczności ruchu dla zarysów S1002/UIC60 na trasie o promieniu R=1200m
Na trasie o dużym promieniu łuku R=10000m prędkość krytyczna ma jeszcze mniejszą wartość 37,7m/s (Rys. 10). Graniczna wartość wymuszeń początkowych decydująca o charakterze rozwiązań wynosi yp(0)=0,00037m. Następnie w miarę zwiększania prędkości
(linia przerywana gruba) i przy prędkości 43m/s wynosi 0,00002m. Dla większych prędkości ruchu istnieją już wyłącznie jednokrotne rozwiązania stateczne okresowe. Tak więc na tej trasie w zakresie prędkości 37,7 ÷ 43m/s występują rozwiązania wielokrotne: stateczne stacjonarne, stateczne okresowe i niestateczne okresowe. Linię przerywaną rozwiązań niestatecznych okresowych definiują wartości wymuszeń początkowych decydujące o statecznym okresowym lub statecznym stacjonarnym charakterze rozwiązań (tu zawarte pomiędzy 0,00037 a 0,00002m).
R=10000m 5 15 25 35 45 55 65 v; (m/s) -0.0005 0.0005 0.0015 0.0025 0.0035 0.0045 |y |m a x; ( m ) Rozwiązania stateczne stacjonarne. Wymuszenia początkowe yp(0)=0.00002m (przy v=43m/s) vn=43 m/s Wymuszenia początkowe yp(0)=0.00037m (przy vn=37.7m/s) Rozwiązania stateczne okresowe dla dowolnych wymuszeń początkowych Rozwiązania stateczne okresowe (cykl graniczny)
Niestateczne rozwiązania okresowe Stateczne rozwiązania stacjonarne 0.0000 5 15 25 35 45 55 65 v; (m/s) 0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 WMS ; (m ) R=10000m Rozwiązania stateczne stacjonarne Rozwiązania stateczne okresowe vn=37.7m/s Rozwiązania stateczne okresowe dla wymuszeń początkowych
yp(0)>0.00037m
(przy v=37.7m/s) Rozwiązaniastateczne
stacjonarne dla wymuszeń początkowych
yp(0)<0.00002m
(przy 43m/s)
Rys. 10. Wykresy stateczności ruchu dla zarysów S1002/UIC60 na trasie o promieniu R=10000m
W porównaniu do poprzednio zbadanych tras kołowo-łukowych, zakres prędkości, w którym występują rozwiązania wielokrotne jest tutaj najszerszy.
Na torze prostym różnica pomiędzy prędkością krytyczną wyznaczoną ,,zgrubnie” w poprzednich badaniach a tą wyznaczoną precyzyjnie osiągnęła największą wartość (Rys. 11). Dla wymuszeń początkowych yp(0)≥0,0004m, rozwiązania okresowe pojawiają
się przy prędkości 37m/s. Dla mniejszych wymuszeń początkowych istnieją rozwiązania
5 15 25 35 45 55 65 v; (m/s) 0.0000 0.0010 0.0020 0.0030 0.0040 0.0050 |y |max; ( m ) Wymuszenia początkowe yp(0)=0m vn = 43 m /s Wymuszenia początkowe yp(0)=0.0004m przy vn=37m/s Rozwiązania stateczne okresowe. Dowolne wymuszenia początkowe. Rozwiązania stateczne
okresowe (cykl graniczny) współistniejące z rozwiąza-niami stacjonarnymi Rozwiązania stateczne stacjonarne Tor prosty vc =5 1m/ s UIC60/S1002 5 15 25 35 45 55 65 v; (m/s) 0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 WM S ; (m) Tor prosty Rozwiązania stateczne stacjonarne Rozwiązania stateczne okresowe UIC60/S1002 vn=37m/s (vn = 43 m /s ) vc =5 1m /s Rozwiązania niestateczne Współistniejące rozwiązania stateczne okresowe i stacjonarne
stateczne stacjonarne. Wraz ze wzrostem prędkości zmniejszają się wartości wymuszeń początkowych decydujące o charakterze rozwiązań (linia przerywana gruba) i przy prędkości 51m/s dla wymuszeń początkowych yp(0)=0,0 występują rozwiązania stateczne
stacjonarne natomiast dla każdych większych od zera, stateczne okresowe. Dla większych prędkości istnieją wyłącznie rozwiązania stateczne okresowe. A więc tutaj występuje najszerszy zakres prędkości (37÷51m/s), w którym występują rozwiązania wielokrotne zależne od wartości wymuszeń początkowych: stateczne stacjonarne, stateczne okresowe i niestateczne okresowe.
4.2. MODEL Z ZARYSAMI KÓŁ I SZYN BR-P10/UIC60
W poprzednio wykonanych badaniach [9, 11] prędkość krytyczną modelu z zarysami kół BR-P10 i szyn UIC60, na torze prostym, zidentyfikowano przy 45,3m/s (patrz Rys. 12). Zwiększając wymuszenia początkowe od 0 do 0,0054m, rozwiązania okresowe pojawiły się przy prędkości 41,6m/s. Wartości wymuszeń początkowych yp(0)>0,0054m,
nie miały już żadnego wpływu na charakter rozwiązań dla prędkości ruchu mniejszych od 41,6m/s. Dla większych prędkości graniczna wartość wymuszeń początkowych decydująca o charakterze rozwiązań, zmniejsza się (linia przerywana gruba) i przy prędkości 45,3m/s wynosi zaledwie 0,00001m. Otrzymano w ten sposób nową wartość prędkości krytycznej na torze prostym vn=41,6m/s. Należy zaznaczyć, że w tym przypadku na trasach łukowych
wymuszenia początkowe nie miały żadnego wpływu na charakter rozwiązań dla prędkości ruchu mniejszych od 45,3m/s. A więc pierwotnie określona wartość prędkości krytycznej na trasach będących łukami pozostała słuszna. Ilustrację wyników tych badań tu pominięto ale można ją odszukać w [11].
Tor prosty 10 20 30 40 50 60 70 v; (m/s) 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 |y |m ax; (m) 0.0054m 0.0049m 0.0046m 0.0033m 0.002m 0.0009m 1E-005m vc=45.3m/s (vn=45.3m/s) Rozwiązania stateczne okresowe (cykl graniczny)
Rozwiązania stateczne stacjonarne dla dowolnych wymuszeń początkowych UIC60/BR-P10 yp(0) mniejsze niż vn=41.6m/s yp(0) większe niż Niestateczne rozwiązania okresowe 10 20 30 40 50 60 70 v; (m/s) 0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012 0.014 WM S ; (m ) Tor prosty Rozwiązania stateczne stacjonarne dla dowolnych wymuszeń początkowych Rozwiązania stateczne okresowe (zależne od wymuszeń początkowych) vc=45.3m/s vn=45.3m/s UIC60/BR-P10 vn=41.6m/s Rozwiązania stateczne okresowe dla niezerowych wymuszeń początkowych (powyżej vc=45m/s) Rozwiązania stacjonarne niestateczne Rozwiązania stateczne stacjonarne (zależne od wymuszeń początkowych)
Rys. 12. Wykresy stateczności ruchu modelu z zarysami kół i szyn BR-P10/UIC60 na torze prostym
4.3. MODEL Z ZARYSAMI KÓŁ I SZYN S1002/S49
Dla modelu z zarysami kół S1002 i szyn S49 w poprzednich badaniach prędkość krytyczna została zidentyfikowana na torze prostym przy 33,2m/s (Rys. 6). Wartość ta nie uległa zmianie mimo uszczegółowienia badań (Rys. 16). Model z rozważanymi zarysami charakteryzował się rozwiązaniami statecznymi stacjonarnymi na trasach o małych promieniach łuków (600 i 900m), w pewnych zakresach prędkości ruchu większych od wartości krytycznej (Rys. 6). Szczegółowe badania na trasie o promieniu łuku 600m, przy zmienianych w szerokim zakresie wymuszeniach początkowych wykazały, że najmniejsza prędkość ruchu, przy której pojawiają się rozwiązania okresowe wynosi 38,5m/s (Rys. 13). Graniczna wartość wymuszeń początkowych yp(0)=0,0016m. Dla mniejszych wymuszeń
istniały rozwiązania stateczne stacjonarne, dla większych okresowe. Następnie w miarę zwiększania prędkości ruchu wartości wymuszeń początkowych decydujące o charakterze rozwiązań zmniejszają się i przy prędkości 42,5m/s wynoszą 0,0009m. Dla większych prędkości ruchu i dowolnych wymuszeń początkowych istnieją już wyłącznie rozwiązania stateczne stacjonarne. A więc na tej trasie prędkość krytyczna vn=38,5m/s. Oraz w zakresie
prędkości 38,5 ÷ 42,5m/s występuje obszar rozwiązań wielokrotnych – statecznych stacjonarnych i statecznych okresowych.
R=600m 10 20 30 40 50 60 70 v; (m/s) 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 |y |m a x; ( m ) Wymuszenia początkowe yp(0)>0.0016m yp(0)<0.0016m vn=33,2m/s Wymuszenia początkowe yp(0)>0.0009m yp(0)<0.0009m Rozwiązania okresowe vn = 3 8. 5m /s 42 .5 m/ s Rozwiązania state-czne stacjonarne dla dowolnych wymu-szeń początkowych yp(0)>(0.0016...0.0009)m yp(0)<(0.0016...0.0009)m S49/S1002 10 20 30 40 50 60 70 v; (m/s) 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.010 WM S ; ( m ) R=600m Rozwiązania stateczne stacjonarne dla dowolnych wymuszeń początkowych Rozwiązania stateczne okresowe Wymuszenia początkowe yp(0)>0.0016...0.0009m Współistniejące rozwiązania stateczne stacjonarne dla wymuszeń początkowych yp<0.0016...0.0009m Rozwiązania stateczne dla dowolnych wymuszeń początkowych vn=33.2ms vn =3 8. 5m /s v= 42. 5 m /s S49/S1002
Rys. 13. Wykresy stateczności ruchu modelu dla zarysów S1002/S49 na trasie o promieniu R=600m
Podobna sytuacja występuje na trasie o promieniu łuku R=900m (Rys. 14). Rozwiązania stateczne stacjonarne występują do prędkości 34,2m/s. Przy tej prędkości dla wymuszeń
początkowych yp(0)≥0,0039m, pojawiają się rozwiązania stateczne okresowe
współistniejące z rozwiązaniami stacjonarnymi do prędkości 35,5m/s. Przy tej prędkości dla wymuszeń yp(0)=0,0 otrzymuje się rozwiązanie stateczne stacjonarne, natomiast dla
każdego większego od zera wymuszenia początkowego, rozwiązanie okresowe. Wyłączne rozwiązania stateczne okresowe występują do prędkości 59,8m/s. Następnie przy tej prędkości dla wymuszeń początkowych yp(0)≥0,0033m pojawiają się rozwiązania
stateczne stacjonarne, natomiast dla yp(0)<0,0033m istnieją w dalszym ciągu rozwiązania
wymuszeń początkowych decydująca o charakterze rozwiązań wynosi yp(0)=0,0006m.
Dla mniejszych wartości występują rozwiązania stateczne okresowe dla większych stacjonarne. Powyżej prędkości 64m/s istnieją wyłącznie rozwiązania stateczne stacjonarne. A więc na tej trasie istnieją dwa zakresy prędkości, w których występują rozwiązania wielokrotne zależne od wartości wymuszeń początkowych: 34,2 ÷ 35,5m/s i 59,8 ÷ 64m/s. R=900m 10 20 30 40 50 60 70 v; (m/s) 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 |y |m ax; (m) Wymuszenia początkowe yp(0)>0.0039m yp(0)<0.0039m vn=33,2 m/s Wymuszenia początkowe yp(0)>0 yp(0)=0 Rozwiązania stateczne okresowe Rozwiązania stateczne stacjo-narne dla dowol-nych wymuszeń początkowych vn =3 4 .2m /s yp(0)<0.0033m yp(0)>0.0033m 35.5m/s yp (0 )< 0. 0 006 m yp (0) > 0 .000 6m D o w ol n e wym . poc zą tk . 64 m/ s 59.8m/s 10 20 30 40 50 60 70 v; (m/s) 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.010 WMS; (m ) Rozwiązania stateczne okresowe dla dowolnych wymuszeń początkowych Rozwiązania stateczne stacjonarne dla dowolnych wymuszeń początkowych Wymuszenia początkowe yp(0)<0.0033 ...0.0006m yp > 0.003 3 ... 0.000 6m D owo lne wy mu sz en ia po cz ątko w e vn =3 4 .2 m /s S49/S1002 R=900m Współistniejące rozwiązania okresowe i stacjonarne
Rys. 14. Wykresy stateczności ruchu modelu dla zarysów S1002/S49 na trasie o promieniu R=900m
Na trasie o dużym promieniu łuku R=10000m, rozwiązania stateczne okresowe pojawiły się przy prędkości 33,2m/s dla wymuszeń początkowych yp(0)≥0,0024m.
Potwierdza to słuszność wyznaczonej w badaniach poprzednich wartości prędkości krytycznej (Rys. 6). Charakterystycznym zjawiskiem występującym na tej trasie jest pojawienie się rozwiązań wielokrotnych, statecznych okresowych w zakresie prędkości 33,2 ÷ 33,9m/s. Są to rozwiązania okresowe o większych wartościach dla wymuszeń początkowych yp(0)≥0,0024m oraz rozwiązania okresowe o mniejszych wartościach dla
R=10000m 10 20 30 40 50 60 70 v; (m/s) 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 |y|m ax ; ( m ) vn=33.2m/s Rozwiązania stateczne okresowe dla dowolnych wymu-szeń początkowych Rozwiązania stateczne stacjonarne dla dowolnych wymuszeń początkowych Wymuszenia początkowe yp(0)<0.0024m v=33.9m/s Wymuszenia początkowe yp(0)>0.0024m Wymuszenia początkowe yp(0)=0 S49/S1002 Możliwe rozwiązania stacjonarne niestateczne (33.2<v<33.9m/s) 10 20 30 40 50 60 70 v; (m/s) 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.010 WM S ; (m) R=10000m Rozwiązania stateczne stacjonarne dla dowolnych wymuszeń początkowych Rozwiązania stateczne okresowe dla dowolnych wymuszeń początkowych Współistniejące dwa różne rozwiązania stateczne okresowe (33.2<v<33.9m/s) yp(0)>0.0024m yp(0)<0.0024m S49/S1002 vn=33.2m/s Możliwe rozwiązania stacjonarne niestateczne (33.2<v<33.9m/s)
zerowych wymuszeń początkowych (yp(0)=0,0m). Obserwując wyniki uzyskane na trasach
o mniejszych promieniach łuków, można domniemywać, że w tym zakresie prędkości mogą współistnieć również rozwiązania stacjonarne niestateczne, będące przedłużeniem linii rozwiązań stacjonarnych statecznych.
Na torze prostym rozwiązania stateczne okresowe pojawiły się przy prędkości 33,2m/s dla wymuszeń początkowych yp(0)≥0,003m (Rys. 16).
Tor prosty 10 20 30 40 50 60 70 v; (m/s) 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 |y |m a x; ( m ) vn=33.2 m/s Rozwiązania stateczne okresowe (dla v>34.1m/s) Rozwiązania stateczne stacjonarne dla dowolnych wymuszeń początkowych Wymuszenia początkowe yp(0)>0.003m yp(0)<0.003m yp(0)=0 Współistniejące rozwiązania stateczne okresowe i stacjonarne (33.2<v<34.1m/s) S49/S1002 vc =34 .1m /s Niestateczne rozwiązania okresowe 10 20 30 40 50 60 70 v; (m/s) 0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 WM S ; (m) Tor prosty Rozwiązania stateczne stacjonarne dla dowolnych wymuszeń początkowych Rozwiązania stateczne okresowe (dla v>34.1m/s) vc=34.1m/s Współistniejące rozwiązania stateczne okresowe i stacjonarne vn=33.2m/s Niestateczne rozwiązania okresowe Możliwe rozwiązania stacjonarne niestateczne (dla v>vc)
Rys. 16. Wykresy stateczności ruchu modelu z zarysami kół i szyn S1002/S49 na torze prostym
To, podobnie jak dla łuku o promieniu R=10000m, potwierdza prawidłowość wyznaczenia wartości prędkości krytycznej w badaniach poprzednich (Rys. 6). Zwiększanie prędkości ruchu powoduje zmniejszanie wartości wymuszeń początkowych decydujących o charakterze rozwiązań (linia przerywana gruba). Przy prędkości 34,1m/s dla zerowych wymuszeń początkowych występują jeszcze rozwiązania stateczne stacjonarne. Natomiast dla większych od zera wymuszeń początkowych – rozwiązania stateczne okresowe. A więc w zakresie prędkości 33,2 ÷ 34,1m/s współistnieją rozwiązania: stateczne stacjonarne, stateczne okresowe i niestateczne okresowe. Na zakończenie należy jeszcze dodać, że na trasach o promieniach łuków z zakresu 1200 ÷ 6000m, nie zidentyfikowano zakresów prędkości, w których istniałyby rozwiązania wielokrotne. Również wartość prędkości krytycznej wyznaczonej w badaniach poprzednich ,,zgrubnych”, potwierdziła się w badaniach szczegółowych na tych trasach.
5. WNIOSKI
Zastosowana metoda wyznaczania prędkości krytycznej z wariantowaniem wymuszeń początkowych w całym zakresie badanych prędkości ruchu, niewątpliwie zwiększa pracochłonność badań. Pozwala jednak na zwiększenie dokładności wyznaczenia wartości prędkości krytycznej oraz zidentyfikowanie istnienia ewentualnych rozwiązań wielokrotnych. Metoda ta oprócz dokładnego wyznaczenia wartości prędkości krytycznej
układu nieliniowego vn, pozwala na określenie wartości prędkości krytycznej układu
liniowego vc. Prędkość vc rozdziela zakres prędkości, w którym istnieją rozwiązania
stateczne stacjonarne od zakresu, w którym istnieją rozwiązania niestateczne stacjonarne (patrz Rys. 4 a i b). Jej wartości definiuje koniec linii (przerywanej grubej) rozwiązań niestatecznych okresowych. Na trasach o małych promieniach łuków, wymuszenia początkowe nie mają dużego wpływu na dokładność określenia wartości prędkości krytycznej vn. Jest to najprawdopodobniej podyktowane faktem, iż sam ruch po łuku
w warunkach niezrównoważenia sił poprzecznych w płaszczyźnie toru, jest dostatecznie dużym pobudzeniem do zainicjowania rozwiązań okresowych w warunkach sprzyjających ich zaistnieniu. Dla modelu z zarysami S1002/UIC60 największa różnica pomiędzy wartością prędkości krytycznej vn określonej poprzednio ,,zgrubnie” i obecnie dokładnie,
występuje na torze prostym i wynosi 6m/s. W miarę zmniejszania promienia łuku trasy różnica maleje osiągając najmniejszą wartość 0,3m/s na torze o promieniu łuku 600m. Dla modelu z zarysami BR-P10/UIC60 dokładnie wyznaczona prędkość krytyczna
vn=41,6m/s i jest o 3,7m/s mniejsza od wartości określonej ,,zgrubnie”. Różnica występuje
tylko na torze prostym. Na trasach łukowych nie stwierdzono żadnych różnic pomiędzy wartościami wyznaczonymi poprzednio i w bieżących badaniach. Nie zidentyfikowano również zakresu prędkości, w którym istniałyby rozwiązania wielokrotne. W modelu z zarysami S1002/S49 określona ,,zgrubnie” wartość prędkości krytycznej na torze prostym okazała się w badaniach szczegółowych wyznaczona prawidłowo. Również na trasie o promieniu łuku R=10000m szczegółowe badania potwierdziły wcześniej przyjętą wartość vn. Na trasach o najmniejszych promieniach łuków (600 i 900m) można w tym
przypadku przyjmować większe wartości prędkości krytycznej od tej wyznaczonej na torze prostym.
Podziękowanie
Praca naukowa finansowana ze środków MNiSW na naukę w latach 2009-2011 jako projekt badawczy nr N N509 403136.
Bibliografia
1. Dusza M., Zboiński K.: Badania stateczności ruchu pojazdu szynowego w torze zakrzywionym metodą symulacji komputerowej. Kwartalnik naukowo – techniczny Pojazdy Szynowe nr 2/2004, str. 28-34. 2. Gasch R., Moelle D., Knothe K.: The effect of non-linearities on the limit-cycles of railway vehicles,
Proceedings of the 8th IAVSD-Symposium, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, USA,
Swets & Zeitlinger, Lisse, 1984, pp. 207-224.
3. Hoffmann M., True H.: The dynamics of European two-axle railway freight wagons with UIC standard suspension, Vehicle System Dynamics, Berkeley 2007, Vol. 46, Supplement, Taylor & Francis, UK, 2008, pp. 225-236.
4. Moelle D., Gasch R.: Nonlinear bogie hunting, in ed.: A. Wickens, Proc. 7th IAVSD Symposium, Cambridge, UK. Swets & Zeitlinger, Lisse, 1982, pp. 455-467.
5. Polach O., Berg M., Iwnicki S.: Simulation. In Iwnicki, S. ed. Handbook of railway vehicle dynamics, CRC Press, Taylor and Francis Group, Boca Raton, London, New York, 2006.
6. True H., Jensen Ch.: Parameter study of hunting and chaos in railway vehicle dynamics, Proceedings of 13th IAVSD Symposium, supplement to Vehicle System Dynamics, vol. 23, 1993, pp. 508-521.
7. True H.: Railway vehicle chaos and asymmetric hunting, Proc. of 12th IAVSD Symposium, supplement
to Vehicle System Dynamics, vol. 20, 1991, pp. 625-637.
8. Zboiński K.: Dynamical investigation of railway vehicles on a curved track, European Journal of Mechanics, Part A Solids, vol. 17, no. 6, 1998, pp. 1001-1020.
9. Zboiński K.: Metodyka modelowania dynamiki pojazdów szynowych z uwzględnieniem zadanego ruchu unoszenia i jej zastosowania, Prace Naukowe Transport, z. 43, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2000.
10. Zboiński K., Dusza M.: Komputerowe badania wpływu przechyłki toru na stateczność pojazdu szynowego w łuku, Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Transport, Zeszyt 49, Gliwice 2003, str. 295-304.
11. Zboiński K., Dusza M.: Analysis and method of the analysis of non-linear lateral stability of railway vehicles in curved track, Proceedings of 18th IAVSD Symposium, Kanagawa 2003, supplement to
Vehicle System Dynamics vol. 41, 2004, pp. 222-231.
12. Zboiński K., Dusza M.: Development of the method and analysis for non-linear lateral stability of railway vehicles in a curved track, Proceedings of 19th IAVSD Symposium, Milan 2005, supplement to
Vehicle System Dynamics vol. 44, 2006, pp. 147-157.
13. Zboiński K., Dusza M.: Analysis of lateral stability of a railway vehicle model in the context of different values of rail inclination, Proceedings of 10th VSDIA Conference, Budapest 2006, pp. 153-160.
14. Zboiński K., Dusza M.: Bifurcation approach to the influence of rolling radius modelling and rail inclination on the stability of railway vehicle in a curved track, Proceedings of 20th IAVSD Symposium,
Berkeley 2007, supplement to Vehicle System Dynamics, vol. 46, 2008, pp. 1023-1037.
15. Zboiński K., Dusza M.: Self-exciting vibrations and Hopf’s bifurcation in non-linear stability analysis of rail vehicles in curved track, European Journal of Mechanics, Part A/Solids, vol. 29, no. 2, 2010, pp. 190-203.
16. Zboinski K., Dusza M.: Extended study of railway vehicle lateral stability in a curved track. Vehicle System Dynamics. First published on 14th October 2010 (iFirst), doi: 10.1080/00423111003770447.
INFLUENCE OF MULTIPLE SOLUTIONS' EXISTENCE ON ACCURACY OF DETERMINING VALUE OF CRITICAL VELOCITY OF RAIL VEHICLE MODEL
Summary: Stability analysis of railway vehicle in a curved track is the problem the authors deal with [1, 10-16] for several years. Results presented in the article are continuation of such studies. The key parameter used in the stability analysis of rail vehicles is the critical velocity. In the research done by the authors till now, critical velocity was determined in an approximate way. The advantage of this was reduction of simulations number and time of the research. Variation of initial conditions (wheelset’s lateral displacements) was the major idea used in the current studies. It enables detecting multiple solutions. Improvement of accuracy of non-linear critical velocity determination is also possible. Comparison of newly obtained values of critical velocity to the previously assumed was done. It makes the measure of the accuracy of applied methods for determination of value of the critical velocity. Leading wheelsets’ lateral displacement was the system's parameter of interest in the studies presented. Couples of bifurcation plots that represent results for full range of curve radii, called the stability maps, are the way of results presentation.
Keywords: rail vehicle dynamics, stability of motion, critical velocity
