Iloczyn skalarny wektorów

Iloczyn skalarny wektorów

Autorzy:

Michał Góra

(1)

DEFINICJA

Definicja 1: Iloczyn skalarny

Definicja 1: Iloczyn skalarny

Iloczynem skalarnym wektorów

Iloczynem skalarnym wektorów oraz oraz nazywamy liczbę (skalar) określoną wzorem

PRZYKŁAD

Przykład 1: Obliczanie iloczynu skalarnego wektorów

Przykład 1: Obliczanie iloczynu skalarnego wektorów

Dla wektorów oraz mamy:

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1: Własności iloczynu skalarnego

Twierdzenie 1: Własności iloczynu skalarnego

Iloczyn skalarny spełnia następujące warunki: dla : oraz dla : dla : dla : dla :

Kąt, kąt skierowany

Kąt, kąt skierowany

= ( , , )

u⃗

u

u

u

v⃗

= ( , , )

v

v

v

u⃗ v⃗

∘

∘ :=

+

+

.

u⃗ v⃗ u

v

u

v

u

v

= (1, 2, −1)

u⃗

v⃗

= (0, 3, 1)

∘ = 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 + (−1) ⋅ (−1) = 6,

u⃗ u⃗

∘ = 0 ⋅ 0 + 3 ⋅ 3 + 1 ⋅ 1 = 10,

v⃗ v⃗

∘ = 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ 3 + (−1) ⋅ 1 = 5.

u⃗ v⃗

∈

v⃗ R

_{v⃗ v⃗}

_{∘ ⩾ 0}

∘ = 0 ⇔ = ;

v⃗ v⃗

v⃗ 0⃗

, ∈

v⃗ w⃗ R

∘ = ∘ ;

v⃗ w⃗ w⃗ v⃗

, ,

∈

v⃗ w

−→ w

−→ R

∘ (

+

) = ( ∘

) + ( ∘

) ;

v⃗ w

−→ w

−→

v⃗ w

−→

v⃗ w

−→

α ∈ R, , ∈

v⃗ w⃗ R

α ⋅ ( ∘ ) = (α ⋅ ) ∘ = ∘ (α ⋅ ) ;

v⃗ w⃗

v⃗ w⃗ v⃗

w⃗

∈

v⃗ R

∘ =

.

v⃗ v⃗ ∥ ∥

v⃗

DEFINICJA

Definicja 2: Kąt, ramiona kąta, wierzchołek kąta

Definicja 2: Kąt, ramiona kąta, wierzchołek kąta

Rozważmy dwie półproste o wspólnym początku zawarte w pewnej płaszczyźnie. Półproste te dzielą płaszczyznę na dwa wzajemnie dopełniające się obszary, obie półproste są ich wspólnym brzegiem (zob. Rys. 1). Każdy z tych obszarów (wraz z półprostymi) nazywamy kątemkątem, półproste nazywamy ramionami kątaramionami kąta, ich wspólny początek nazywamy wierzchołkiemwierzchołkiem kąta

kąta.

Rysunek 1: Kąty utworzone przez dwie półproste.

DEFINICJA

Definicja 3: Kąt skierowany

Definicja 3: Kąt skierowany

Po ustaleniu kolejności półprostych tworzących kąt otrzymamy kąt skierowanykąt skierowany - pierwszą z tych półprostych nazwiemy ramieniem początkowym

ramieniem początkowym, drugą ramieniem końcowym kąta skierowanegoramieniem końcowym kąta skierowanego.

Rysunek 2: Kąt skierowany: a) ujemnie, b) dodatnio.

Miara kąta skierowanego może być zarówno dodatnia jaki i ujemna (pomijamy tu sytuację w której ramię początkowe pokrywa się z ramieniem końcowym tworząc kąt o mierze zero). Jest ona ujemna, gdy kierunek obrotu ramienia początkowego w kierunku ramienia końcowego jest zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara (zob. Rys. 2a), w przeciwnym przypadku przyjmuje ona wartości dodatnie (zob. Rys. 2b).

Miara kąta między wektorami

Miara kąta między wektorami

Kąt wyznaczony przez wektory oraz to taki kąt, którego ramionami są półproste o wspólnym początku, o kierunkach i zwrotach zgodnych z kierunkami i zwrotami odpowiednio wektora oraz wektora . Dwa wektory wyznaczają dwa kąty o miarach łukowych równych odpowiednio oraz (zob. Rys. 3). Zazwyczaj przyjmuje się, że przez kąt jaki tworzą dwa wektory rozumie się kąt wypukły, tj. ten o mniejszej mierze lub kąt półpełny w przypadku, gdy kąty te są równe. Miarę kąta

O

O

v⃗

w⃗

v⃗

w⃗

α

2π − α

⃗ ⃗

∡( , )

⃗ ⃗

(2)

(3)

Rysunek 3: Kąty utworzone przez dwa wektory.

TWIERDZENIE

Twierdzenie 2:

Twierdzenie 2:

Niech będą dowolnymi wektorami. Wówczas gdzie to miara kąta między wektorami i .

Łącząc ze sobą wzory ( 1 ) oraz ( 2 ) otrzymujemy przepis na miarę kąta między dwoma niezerowymi wektorami.

TWIERDZENIE

Twierdzenie 3:

Twierdzenie 3: Miara kąta między wektorami

Miara kąta między wektorami

Miara kąta jaki tworzą dwa niezerowe wektory oraz wyraża się wzorem

PRZYKŁAD

Przykład 2: Wyznaczanie miary kąta między wektorami

Przykład 2: Wyznaczanie miary kąta między wektorami

Rozważmy dwa wektory: , . Ponieważ oraz , zatem, na podstawie wzoru ( 2 ),

Oznacza to, że

Ortogonalność

Ortogonalność

, ∈

v⃗ w⃗ R

∘ = ∥ ∥ ⋅ ∥ ∥ ⋅ cos ∡( , ),

v⃗ w⃗

v⃗

w⃗

v⃗ w⃗

∡( , ) ∈ [0, π]

v⃗ w⃗

v⃗ w⃗

∡( , ) ∈ [0, π]

v⃗ w⃗

v⃗

= ( , , )

v

v

v

w⃗

= ( , , )

w

w

w

∡( , ) = arccos

v⃗ w⃗

.

u = (1, 0, 1) v = (1,

√

2

, 1)

∥ ∥ =

u⃗

√

2

∥ ∥ = 2

v⃗

cos ∡( , ) =

u⃗ v⃗

=

=

.

∥∥u⃗ ∥∥∥∥v⃗ ∥∥ 2 2√2 √22

∡( , ) = arccos

u⃗ v⃗

= .

DEFINICJA

Definicja 4: Ortogonalność

Definicja 4: Ortogonalność

Niech . Jeżeli to piszemy i mówimy, że wektory i są ortogonalneortogonalne.

PRZYKŁAD

Przykład 3: Wektory ortogonalne

Przykład 3: Wektory ortogonalne

Ponieważ dla wektorów oraz mamy

zatem wektory te są ortogonalne.

UWAGA

Uwaga 1:

Uwaga 1:

Wektor zerowy jest jedynym wektorem, który jest ortogonalny do wszystkich wektorów, w tym i do siebie samego.

UWAGA

Uwaga 2:

Uwaga 2:

Niezerowe wektory ortogonalne są do siebie prostopadłe (tj. kąt między nimi jest kątem prostym).

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-16 01:16:31

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=f38452fc0636c3f860dfb45aa8199bd6

Autor: Michał Góra

,

v⃗ w⃗

v⃗ w⃗

∘ = 0,

v⃗ w⃗

⊥

v⃗ w⃗

= (1, −1, 2)

v⃗

w⃗

= (2, 0, −1)

∘ = 1 ⋅ 2 + (−1) ⋅ 0 + 2 ⋅ (−1) = 0,

v⃗ w⃗