M E C H A N I K A TEORETYCZN A 1 STOSOWAN A I , 19 (1981)
PEŁZAN IE CIEN KICH OBROTOWO- SYMETRYCZN YCH POWŁOK NA POD STAWIE T E O R I I U STALON EG O PŁYN IĘ CIA
G R Z E G O R Z G A S I A K ( O P O L E )
1. Wstę p
E. C. BERNETT [1], a w ś lad za nim i inni badacze (por. [2,3]) zauważ yli , że w warun-kach wysokich temperatur i naprę ż eń krzywe peł zania nie posiadają począ tkowej czę ś ci wzmocnienia. Doś wiadczenia przeprowadzone przez N . N . M ALIN IN A i jego współ pra-cowników [2 - 4] wykazał y, że w przypadku peł zania w zakresie duż ych odkształ ceń stopu aluminiowego P A7NJ ) w temperaturach 673, 723 i 748°K, każ da z otrzymanych krzywych peł zania posiada począ tkową czę ść liniową (por. rys. 1). Powyż szy fakt pozwala na zastosowanie teorii ustalonego pł ynię cia w badaniach statecznoś ci przy peł zaniu. W pracy [4] wykazano również, że w przypadku liniowoś ci począ tkowych odcinków krzywych peł zania teorie pł ynię cia i wzmocnienia dają rezultaty identyczne, a wyniki obliczeń według tych teorii są bardziej zbliż one do danych doś wiadczalnych, aniż eli wyniki obliczeń, otrzymane w ś wietle teorii starzenia.
Zastosowanie teorii pł ynię cia przy peł zaniu w zakresie duż ych odkształ ceń cienkich powłok napotyka znaczne trudnoś ci natury matematycznej. Dlatego w literaturze mamy do czynienia z pracami, w których daje się rozwią zania dla najprostszych przypadków powł ok, takich jak powł oka sferyczna i nieskoń czenie dł uga powł oka walcowa, obcią -ż onych stał ym ciś nieniem wewnę trznym [5 - 11].
Próbę ś cisłego rozwią zania powyż szego problemu wedł ug teorii pł ynię cia dla dowolnej osiowo- symetrycznej powł oki zawierają prace [11 - 14]. W pracach [12, 13] L. M . K A-CZANÓW, stosują c fizyczne zwią zki teorii ustalonego pł ynię cia przy peł zaniu, otrzymał układ sześ ciu nieliniowych równań róż niczkowych czą stkowych, opisują cych formę powł oki, stan naprę ż eń i odkształ ceń oraz zaproponował numeryczną metodę rozwią -zania. Sposób ten w ś wietle pracy J. ORKISZA [11] nie jest poprawny ze wzglę du na to, że rozkł ad charakterystyk ukł adu równań prac [12, 13] nie pokrywa się z liniami, wzdł uż których poszukuje się rozwią zania. Ten sam temat podejmuje J. ORKISZ [11], który opie-rają c się na szerszych zał oż eniach (dowolne obcią ż enie, zmienna grubość powł oki, strefa fałdów), otrzymał ukł ad równań róż niczkowych stanu równowagi powł oki prostszy niż odpowiedni ukł ad podany w pracach [12, 13]. Ponadto w pracy [11] zaproponowano numeryczny sposób rozwią zania wyż e j wymienionych równań, lecz nie otrzymano kon-kretnych rozwią zań. Próbę numerycznego rozwią zania równań wyprowadzonych przez J. ORKISZA [11] podję to w pracy [14], która zawiera niektóre wyniki liczbowe dotyczą ce
1 1
58 G . G ASIAK
jednej powł oki walcowej. W pracy tej jednak nie podano parametrów peł zania materiału. Brak jest również informacji o wartoś ci współ czynnika wzmocnienia materiał u, przy którym uzyskano warunki począ tkowe. F akt ten uniemoż liwia przeprowadzenie analizy porównawczej z rezultatami uzyskanymi w niniejszej pracy.
Podkreś la się , że bezpoś rednie wyznaczenie naprę ż enia równoleż nikowego według równania wchodzą cego w zależ noś ci fizyczne ukł adu równań stosowanych w pracy [14]
0 20 40 60 80 100 t I s]
R ys. 1. Krzywe krótkoczasowego peł zania stopu aluminiowego PA7N , gdzie aQ oznacza naprę ż enie po-czą tkowe (w chwili t = O).
jest ucią ż liwe ze wzglę du n a przestę pny charakter tego równania. W zwią zku z tym w ni-niejszej pracy zastosowano odmienną aniż eli w [14] formę zapisu równań fizycznych.
Celem pracy jest przeprowadzenie, na podstawie teorii ustalonego pł ynię cia przy peł -zaniu, analizy stanu naprę ż enia i odkształ cenia oraz liczbowe wyznaczenie tak zwanego „czasu krytycznego" T* dla szeregu powł ok o począ tkowym kształ cie walca kołowego przy róż nych dł ugoś ciach. Pod poję ciem „czas krytyczny" T* W myśl definicji podanej przez A. S. G RIG ORIEWA [15] rozumie się czas, po upł ywie którego powł oka w procesie peł zania traci stateczność kształ tu.
PEŁ ZANIE CIENKICH POWŁ OK 59 2. Zał oż enia wstę pne i równania powł oki
Przyję to, że materiał powł oki jest plastyczny nieś ciś liwy, izotropowy, obcią ż eni e do-wolne osiowo- symetryczne, a sama powł oka jest wiotka, to jest może znajdować się je-dynie w stanie bł onowym i przenosić tylko naprę ż enia rozcią gają ce.
Rozpatrzmy cienką, obrotowo- symetryczną powł okę (rys. 2), która obcią ż on a sta-tycznie w chwili t = 0 ulega natychmiastowym odkształ ceniom plastycznym, a nastę pnie
qJX,Y)
Rys. 2. Powł oka przed odkształ ceniem i po odkształ ceniu
zaczyna peł zać wedł ug teorii ustalonego pł ynię cia. Wprowadź my w tym celu dwa ukł ady współ rzę dnych: pierwszy ustalony X, Y (typu Eulera), który zwią zany jest z nieruchomymi punktami w przestrzeni i opisuje formę powł oki odkształ conej oraz drugi ukł ad r, f (typu Lagrange'a), gdzie współ rzę dne są sztywno zwią zane z okreś lonymi czą stkami powł oki i charakteryzują ich stan wyjś ciowy. Posł ugiwać się bę dziemy wielkos'ciami bezwymiarowymi, które definiujemy nastę pują co:
x = H
(2.D * - - £ -
< *2K P i = K • y) = T ir^ft y) ,
, n
gdzie poszczególne wielkoś ci oznaczają: Hi i H grubość powł oki odpowiednio przed odkształ ceniem i po odkształ ceniu, qn(X, Y) i qs{X, Y) obcią ż enie na jednostkę powierzchni
odkształ conej powł oki odpowiednio w kierunku normalnym i poł udnikowym, Rt
dowol-ny charakterystyczny wymiar powł oki, at i a2 rzeczywiste naprę ż enia gł ówne, K stał a
materiał owa o wymiarze naprę ż enia.
Oznaczając kierunek poł udnikowy, równoleż nikowy i normalny przez 1,2 i 3, to z uwagi na zał oż ony pł aski stan naprę ż enia mamy a3 = 0.
60 G . GASIAK
Zależ noś ci teorii ustalonego pł ynię cia przy peł zaniu przyję to w postaci [16]:
et - ~ = Cpf, ix +£2+e3 - 0, (2.2)
, , „_:
P1- P2 P2- P3 gdzie C = TBK"\ hj = - ~ - = - y - yŁ U = ], 2, 3) oznaczają prę dkoś ci odkształ ceń ustalonej czą stki w powł oce, T jest stał ą o wymiarze czasu, B i m są parametrami peł zania zależ nymi od materiał u i temperatury, pt i e; oznaczają intensywnoś ci naprę ż eń i prę d -koś ci odkształ ceń, gdzie w rozpatrywanym tu pł askim stanie naprę ż enia okreś lone są odpowiednio zależ noś ciami
2
Pi ~ V P\ + .?2
W pracy [11] wyprowadzony został ukł ad równań róż niczkowych
dx £ coscp dy i sin y
9 | hx cos?/) ' 3£ fix co sy '
dpx pL dh | co sy / xQs \ pt df ~W = h di + hx3 cosy ^ " - P1 + Jhl^~y f d$' (2.3)
— (- %- i sin X
osip \ fh x ] dc? 3f pLhx cosy) dx 1 „ „_«,« v 3h 1 ~ - - i- Cprl (Pi+Pi)h, dr 2 r ' v ^ a r i / ' 5 T 2opisują cych formę, naprę ż enia i odkształ cenia wiotkich powł ok obrotowo- symetrycz-nych w ś wietle teorii ustalonego pł ynię cia przy peł zaniu, gdzie f ~ f(Jt) oznacza funkcję opisują cą zmianę gruboś ci ś cianki powł oki w stanie nieodkształ conym, ip oznacza kąt zawarty mię dzy styczną do poł udnika a pł aszczyzną prostopadł ą do osi obrotu, natomiast co jest znaczeniem ip p o odkształ ceniu. U kł ad równań (2.3) w powyż sze j formie zastoso-wano w pracy [14].
W niniejszej pracy w miejsce zależ noś ci (2.3)5,6 wprowadzono równania
. 8x .. N dh W pt + pi) ~ - r +x (2 P2- Pi)^- = 0, (2.4) _ . • M I
które wynikają bezpoś rednio z zależ noś ci fizycznych (2.2). P on adto przyję to stał ą grubość ś cianki powł oki nieodkształ conej ( / = 1). N iewiadomymi są tu funkcje: x(f, z), y(ł j, r), c;(f, T ), h(J;, T), Pi(i, t) i Pz($, r).
Rozwią zanie problemów n a podstawie teorii ustalonego pł ynię cia przy peł zaniu wymaga okreś lenia stanu wyjś ciowego powł oki, opisanego przez warunki począ tkowe dla r = 0:
PEŁ ZANIE CIENKICH POWŁ OK 61
*(£», 0) = *o(M , y(ft, 0) - ?„(&). *tfi, 0) - &o(fi),
( 2- 5 )
fl»(&.0)«c>0tf,). P i( ft , O ) - l»t o ( fi) . P i ( *i , 0 ) - pM( £ ») .
gdzie i = 0, 1, 2, ..., «.
Równania róż niczkowe stanu równowagi powł oki ( 2. 3)t_4, (2.4) uzupeł niają warunki brzegowe (por. rys. 2) :
x(0, T,) = y(0, tj) - <p(0, T/ ) = 0, ft(0, r,) = ft0i/ ) P l(0, Tj) - P ł (0, T,), j = 0, 1, 2, ..., 7)1, oraz
x ( I , ' T , ) «l , V(1, T, ) = /, KUrj) = hUJ,
P iO . t , ) = y px(l, T A c»(l, ^ = arcsin ^
gdzie Ao j i / u,; są gruboś ciami powł oki odpowiednio w wierzchoł ku kopuł y i przy denku,
lt oznacza odniesioną do 2/ ?, dł ugość począ tkową powł oki, / jest znaczeniem /t
po od-p
kształ ceniu, F= —rv- ~ 5~ oznacza bezwymiarową wartość sił y P.
ttH KJł
3. Metoda numerycznego rozwią zania równań róż niczkowych powł oki
Metoda numerycznego rozwią zania ukł adu równań (2.3)j_4 , (2.4) polega na spro-wadzeniu równań róż niczkowych, o pochodnych czą stkowych, do dwóch równań róż nicz -kowych zwyczajnych, które rozwią zuje się numerycznie. Sposób tego sprowadzenia oparto o metodę opisaną w pracy [11].
Przy Xj = const, numerycznie rozwią zuje się równania (2.3)1_4 . metodą Rungego-Kutty. Przy !,- = const numerycznie rozwią zuje się, w oparciu o ulepszoną metodę Eulera, równania (2.4), w których pochodne mają postać:
r= 0 r= 0
gdzie fikr jest współ czynnikiem, którego wartość zależy od przyję tej liczby k [11].
Pochodną ^ , wystę pują cą w równaniu (2.3)3 okreś la się z równania róż nicowego
k
s = 0 , 1 , 2 , . . . , 2 n .
di
r=o
Z powodu braku bezpoś redniej zależ noś ci mię dzy parametrem obcią ż enia, czasem i parametrami odkształ cenia na granicach cał kowania, należy w procesie cał kowania ukł adu (2.3)^4, (2.4)i przy Q = Qo = const, i bież ą cym rh dobierać parametr począ tko-wy hoj aż do speł nienia (z ż ą daną dokł adnoś cią) danych warunków na drugim brzegu. Wobec tego problem brzegowy sprowadza się do problemu począ tkoweg o i zadanie roz-wią zuje się metodą pół odwrotną.
62 G . G ASI AK
4. Przykł ady liczbowe
W ch arakterze przykł adu dan o rozwią zanie powł oki w kształ cie walca koł owego (przed odkształ ceniem ) zakoń czoną sztywnymi, swobodnie przesuwnymi denkam i, obcią -ż oną równ om iern ie rozł o-ż on ym parciem wewnę trznym. Przy rozwią zywaniu danego przykł adu wygodniej jest przyją ć ja ko zmienne niezależ ne rj, r i wówczas zamiast pochod-n ych m am y- ^—, a w miejsce cosy> ne rj, r i wówczas zamiast pochod-należy podstawić sine rj, r i wówczas zamiast pochod-n y. W ne rj, r i wówczas zamiast pochod-naszym przypadku | = 1 i sin y = 1. P on adto zakł ada się Qs = 0 i Q„ = Qo.
W tym przypadku podstawowe ukł ady równ ań stanu równowagi powł oki {23)^^.^ i (2.4) sprowadzić m oż na do postaci:
dx cosro dpL Pi dh cos<p + (P- P) drj " hx ' di] ' h dr] .. „ dy sin?> , v dx >, . dh (4.1) - ^ - - S T " . / ^ + ) + ^ 2 ^ 2hp1' P2 = TC '" ~™ET' ' m
gdzie <2o ozn acza obcią ż enie począ tkowe (wartość obcią ż enia Q przy T = 0), a 7] jest osiową współ rzę dn ą powł oki.
U kł ad równ ań (4.1) powinien speł nić nastę pują ce warunki brzegowe:
x(0, rj) = \ , y(0, rj) m 0, h(0, tj) = h0J,
Z począ tku problem powyż szy rozwią zywano na podstawie teorii pł ynię cia plastycz-n ego D AVI SA- N AD AI [17] przy r = 0. P rzy obcią ż ecia plastycz-niu g7- = 2o rezultaty tego rozwią zania stan owił y warun ki począ tkowe (2.5) do równań (4.1) w przypadku k = 1. P o każ dym kro ku cał kowan ia równym Ar wyniki zapisywano w pamię ci maszyny. Kiedy otrzymano
k rozwią zań, ich wyniki wprowadzono d o program u i rozwią zanie zadania statecznoś ci
przy peł zaniu w ś wietle teorii pł ynię cia przy zadanych Q, k i Ar prowadzon o do chwli osią gnię cia przez powł okę „ czasu krytyczn ego" T*, który otrzym an o z warunku
gdzie e ozn acza p aram et r charakteryzują cy wielkość odkształ ceń w powł oce.
5. Analiza wyników obliczeń
Wyż ej opisan ą m etodą przeprowadzon o obliczenia powł ok o począ tkowym kształ cie walca koł owego przy róż n ych dł ugoś ciach i obcią ż eniach począ tkowych oraz przy róż nych param et rach peł zania m ateriał u.
PEŁZANIE CIENKICH POWŁOK 63
Rezultaty obliczeń przedstawione na rys. 3- 8 otrzymano korzystają c z warunków począ tkowych (2.5) wyznaczonych przy wykł adniku potę gowego wzmocnienia materiał u
a = ~- [18]. Analizują c rys. 3 stwierdzamy, że dla tej samej powł oki, przy róż nych Qo
3
czas krytyczny r* otrzymuje się praktycznie przy tej samej wartoś ci intensywnoś ci od-kształceń odnoszą cych się do punktów równika powł oki ef , czego należ ało oczekiwać. Z rys. 4 wynika, że w miarę zmniejszania się parametru peł zania m, wartość T * szybko maleje. W charakterze przykł adu na rys. 5- 8 pokazane są wykresy zmian naprę ż eń i od-kształceń wzdł uż poł udnika powł oki dla lt = 0,5, 1,0 1,25 przy m — 10. N a rysunkach tych linie przerywane dotyczą powł ok wyjś ciowych (T = 0), natomiast cią gł e dotyczą powłok w chwili osią gnię cia czasu krytycznego T = T* przy peł zaniu. Z analizy wykresów wynika, że dla powł ok o dł ugoś ciach l1 < 1 naprę ż enie równoleż nikowe p2 z upł ywem
czasu T obniża swą wartość w stosunku do wartoś ci począ tkowej (oznaczonej indeksem0).
24 28 32 36
0 U 8 12 16 20 f
Rys. 3. Krzywe peł zania dla punktów równika powł oki przy róż nych wartoś ciach obcią ż enia począ tko-wego Q„.
64 G . G ASI AK
Obniż enie wartoś ci p2 zaczyna się w pewnej odległ oś ci od dn a powł oki (por. rys. 5 i 6) i dotyczy jej ś rodkowej czę ś ci. M aksym aln a róż nica w wart o ś ciuj m a miejsce na równiku powł oki. Z jawisko obniż enia się naprę ż enia/ >;, jest wynikiem bardzo intensywnego oddzia-ł ywania n a stan naprę ż eń i odkszta>;, jest wynikiem bardzo intensywnego oddzia-ł ceń pow>;, jest wynikiem bardzo intensywnego oddzia-ł oki sztywnych, nieodkszta>;, jest wynikiem bardzo intensywnego oddzia-ł calnych denek. Oddział ywan ie t o jest tym silniejsze, im krótsza jest powł oka.
R
0,6 (W 021
00= 055 L,«as m=1O C=500 •"""""%• — V- ——— ft p; 0,1 0.2 0.4R ys. 5. R o zkł a d rzeczywistych n aprę ż eń gł ówn ych j>i i P2 wzdł u ż p o ł u d n ika powł oki dla Ą = 0,5
przy G o = 0,55.
02 f V- — L
—
0,2 0.4 0,6 0,8 <n R ys. 6. R o zkł ad rzeczywistych n aprę ż eń gł ównych Pi i Pi wzdł uż p o ł u d n ika powł oki dla Ą = 1
przy G o = 0, 51.
R ys. 7. R o z k ł a d lo garyt m iczn ych odkształ ceń R ys. 8. R o zkł ad rzeczywistych n aprę ż eń gł ównych gł ó wn yc h et, e2 i F , wzdł u ż p o ł u d n ika powł oki px i p2 wzdł uż p o ł u d n ika powł oki dla h = 1,25 przy
PEŁ ZANIE CIENKICH POWŁ OK 65
Wykresy na rys. 9 i 10 przedstawiają rezultaty rozwią zania zadania statecznoś ci przy peł zaniu powł oki walcowej (I t = ł ) wykonanej ze stopu aluminiowego PA7N
o para-metrach krótkoczasowego peł zania w temperaturze 748 °K: m = 7, B = 208 10~21 MPa~"' K "1
[2]. Warunki począ tkowe (2.5), niezbę dne przy rozwią zywaniu ukł adu równań (4.1) moż na był o otrzymać po uprzedniej znajomoś ci parametrów / i i K dla materiał u
R
Pa 0,8 0.6 0 A 02 q,=0,38 C=50 0.2 0,4 0.6 0,8Rys. 9. Rozkł ad rzeczywistych naprę ż eń gł ównych / )! i p2 wzdł uż poł udnika powł oki wykonanej
ze stopu aluminiowego PA7N .
Rys. 10. Rozkł ad logarytmicznych odkształ ceń gł ównych elt e2 i £3 wzdł uż poł udnika powł oki
wykonanej ze stopu atuminiowego P A7N . PA7N w temperaturze 748 °K. W wyniku aproksymacji wykresów odkształ cenia [2] na podstawie metody pracy [19] otrzymano: [i = 0,295, K— 65,5 MPa. Obliczenia wyka-zał y, że powł oka o dł ugoś ci lL = 1 wykonana ze stopu aluminiowego PA7N
pod obcią-ż eniem Qo = 0,38 traci stateczność przy peł zaniu po osią gnię ciu czasu krytycznego T* = = 11,5, co odpowiada czasowi / = 586 sekund.
6. Wnioski
Z otrzymanych tu rezultatów wynikają nastę pują ce spostrzeż enia:
1. Cienkie powł oki o począ tkowym kształ cie walca koł owego i skoń czonych dł ugoś-ciach, pracują ce w warunkach peł zania w zakresie duż ych odkształ ceń, tracą stateczność po osią gnię ciu czasu krytycznego, okreś lanego wartoś cią maksymalną na krzywej zbu-dowanej w osiach: bezwymiarowy parametr czasu- charakterystyczne odkształ cenie;
2. W miarę zwię kszania się parametru peł zania m krytyczny moment utraty statecz-noś ci kształ tu powł oki nastę puje przy coraz to mniejszych wartoś ciach odkształ ceń i coraz to wię kszych wartoś ciach czasu krytycznego T *;
66 G . G ASI AK
3. Wykazano, że w krótkich powł okach (/j < 1) zachodzi zjawisko zmniejszania się naprę ż enia równoleż nikowego p2 wraz z upł ywem czasu r.
4. Wprowadzając nową formę zapisu zależ noś ci fizycznych teorii pł ynię cia przy peł zaniu, uniknię to koniecznoś ci uż ycia dla wyznaczenia naprę ż enia równoleż nikowego równania o przestę pnym charakterze stosowanego w pracy [14].
Lit erat u ra cytowana w tekś cie
1. E . C . BE R N E T T ; Short- time, elevated temperature stress- strain behaviour of tensile, compresshe and
column nembers properties, Wright air Development Center Techn. Report, 1959.
2. B . H . BoftKOB, J O . H . BO H I ;O B, 3 . C . JI ASAP E H KO, H . H . M AJ I H H H H ; KpamKoepeMeuHa no.<i3y>iecmb
ciiAaea & 16 npu 6OJIUUUX detfopMaifuxx, H 3BeciH H B Y 3 O B . MaiuiiH OCTpoeH ne, N s 4, 197.1.
3. K ) . H . E O H H O B ; Hccjiedaeanue yenoeuu noji3ynecmu 6e3 ynpamienun, H3BecTH5i B Y 3 O B . MaiiiHHO-CTpoeH H e. Hs 2, 1973.
4. K ) . H . BO H H O B; BpeMa pa.3pyweHun no mexmmecKiui meopuHM noA3ynecmu, H 3BC C TH JI B Y3 O B . M auiH H OcTpoeH iie. >Ta 7, 1974.
5. J I . M . K A^ AH O B ; Teopun nomyHecmu, H 3 «. *H 3M aTrH 3. M ocKBa, 1960.
6. J I . M . KAM AH OBJ Ocuosbi MexauuKU pa3pyuiettUH. H 3fl. „ H a yK a " M ocKBa, 1974.
7. C . M . K AI J ; FIoMyiecmb u pa3pyiueuue mpyS nod deucmeueM anympeunoBo daejienuM, Hap,. AH CCCPj O T H , 10 1957.
8. F . P. J . R I M R O T T ; Versageneit beim Kriehen, I n g. Arch ., 3, 27, 1958.
9. JO. H . P A6O T H O B; noMyuecnib 3/ ieMemnoe KOHcmpyKvjuu, H 3fl. „ H a yK a ", M ocKBa, 1966. 10. J I . M . K A I A H O B ; O epeMmu. paspyutenua s yenotunx no/ i3yuecmu, H 3B. AH C C C P , O T H 8, 1958. 11. J . O R K I S Z ; Skoń czone odkształ cenia wiotkich osiowo- symetrycznych powł ok z uwzglę
dnieniem reolo-gicznych wł asnoś ci materiał u. Z eszyty N a u ko we P olit. K rako wskiej, n r 11, K r a kó w 1967.
12. J I . M . K AM AH O B; noMytecnib 6e3MOMewnnbix o6ojiouen spamenun npu. 6oAbiuux decfiopMayuRx. C 6. „ H c c jieA. n o yn pyrocT H H njiaenraH OC Tu"- Ifefl. J I F Y, 4, 1965.
13. J I . M . K A, I AH O B; O epejuenu pa3pytueHun o6oAoueK e ycAoeunx no/ i3yiecmu, M a T ep . jieTH eii UIKOJIU n o n p o S n . sl<£>nameciai a reoMeTpH^ecKH HejiHHefiHbie 3aflaHH TeopHH njiaciH H H o6onoMeK", H 3fl. J I T y , T a p T y 1966.
14. J . W I L K ; Peł zanie wiotkich obrotowo- symetrycznych powł ok niesprę ż ystych w zakresie skoń czonych odkształ ceń . R o zp r a wy I n ż yn ierskie, 2, 18, 1970.
15. A. C . TPH ropbEB; O epejtenu SH3KOZO pa3pyuienuH u KpumuuecKOM spejnenu « ycAoeu/ ix noA3yttecmu, M T T , JN2 4, 1968.
16. I ". F AC H K ; Eosibiuue deipopMaą uu IHOHKUX O6OAOHSK nanaubnou t^uAUHÓpuuecKoU 0opMu, JJ(HCcepTanHH
Ha coH CKamie yqeH oii CTeneHH K . T . H . M ocKBa 1977.
17. F . F AC JI KJ HecyufaJt cnocoSuocnn 6e3M0Menmuou OÓOAOHKU nauaAbHou ą uAUHÓpwiecKoU <p~opMU npu 6oAbutux detfopMaatinx, H3BecTHH B Y 3 O B . M aniH H OcrpoeH H e, Ma 7, M ocKBa 1977.
18. H . H . M AJ I H H H H ; TlpuKnaduan meopun nAacmuiHOcmu u noA3ynecmu, H 3fl. M auttmocTpoeH H e, M ocKBa 1975.
19. G . G AS I AK ; Analityczna schematyzacja wykresów naprę ż enie- odkształ cenie przy duż ych odkształ ce-niach plastycznych, Z eszyty N a u k o we WSI w O polu n r 34, Seria: M ec h an ika z. 8, O p o le 1978.
P e 3 K) M e
IIOJI3y*IECTB T0H KH X OBOJIO^IEK BPAIIJEHHfl n o TEOPHH yCTAHOBHBIUErOOI
B pa6oT e flaerefl c r p o r o e penieH H e 3aflal
iH ycroH ^H BOcm n pH noirayiiecTH B o6nacTH 6OJB>UIHX fle<J>opMai(H H n o TeopHH ycraH OBH BiuerocH TeueHHH TOHKHX o6ojioieK BpameH H H . H a ocHOBaHHH
COOT-PEŁZANIE CIENKICH POWŁOK 67
HomeHHH (2.3)i_4 H (2.4) flaeTcsi aHajiH3 pacnpeflejieH H H nanpH »ceH H ii H fledpopMaipiH n o Mepii^H aH y O6OJTOMKHJ a TaK>Ke n on yieH O Tai< Ha3biBaeiwoe „KpuTi- mecKoe BpeM ii" npH n on 3yiecTH
fljm paccMaTpw-S u m m a r y
CREEP OF TH IN AXIALLY- SYMMETRIC SH ELLS BASED ON TH E TH EORY O F PLASTIC FLOW
The paper presents an exact solution of the stability problem of the creep in the range of large defor-mations of thin axially- symmetric shells based on the theory of steady- state plastic flow.
On the basis of eqs. (2.3),_4 and (2.4), the analysis of stress distribution and deformations along
the meridian of the shell are given and also the so- called „critical times" of the creep for the shells con-sidered are obtained.
WYŻ SZA SZKOŁA INŻ YNIERSKA OPOLE
ZAKŁAD MECHANIKI