Geometria analityczna

Algebra

Geometria Analityczna

Aleksandr Denisiuk

denisjuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy o´srodek dydaktyczny w Gda ´nsku

ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk

Geometria Analityczna

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/

Współrz ˛edne na płaszczy´znie

• _{Osie Ox, Oy}

• _{Współrz ˛edne punktu A: odci ˛eta (abscissa), rz ˛edna}

(ordinata)

• _{Znaki współrz ˛ednych}

• _{Dla ka˙zdej pary (x, y) istnieje punkt A o takich}

współrz ˛ednych

Niektóre zbiory

Trójk ˛

at

• _{Pole trójk ˛ata}

Odległo´s´c mi ˛edzy punktami

• _{dist(A1(x1, y1), A2(x2, y2)) =} p

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

Przykład 1. Współrz ˛edne ´srodka okr ˛egu, opisanego na trójk ˛acie.

Podział odcinka w stosunku

λ

_{: λ}

Przykład 2. Twierdzenie Cevy

Równanie krzywej

• _{f(x, y) = 0}

• _{Równanie okr ˛egu o promienu R i ´srodku (x0, y0)} ◦ _{(x − x0)}2

+ (y − y0)2 = R

• _{Krzywa x}2

+ y2 + 2ax + 2by + c = 0 (a2 + b2 − c > 0

Przykład 3. • MIejscde geometryczne punktów, stosunek odlegó´sci których od danych punktów A i B jest stały i równy k 6= 1.

• _{Równanie okr ˛egu, który przechodzi przez wspólne punkty okr ˛egów}

x2 + y2 + a1 + b1y + c1 = 0, x2 + y2 + a2x + b2y + c2 = 0 oraz

dany punkt A.

Równanie parametryczne krzywej

• _{x = ϕ(t), y = ψ(t)}

• _{Parametryczne równanie okr ˛egu} ◦ _{x = R cos t, y = R sin t}

Punkty przeci ˛ecia krzywych

• _{f1(x, y) = 0, f2(x, y) = 0}

• _{f(x, y) = 0, x = ϕ(t), y = ψ(t)}

• _{x = ϕ1(t), y = ψ1(t) x = ϕ2(t), y = ψ2(t)}

Przykład 4. x2 + y2 = 2ax, x2 + y2 = 2by

Równanie prostej

• _{Ka˙zda prosta ma równanie postaci ax + by + c = 0}

• _{Je˙zeli a i b jednocze´snie nie s ˛a równe 0, to ax + by + c = 0}

jest równaniem prostej

• _{Równanie parametryczne prostej}

◦ _{x = at + b, y = ct + d, t ∈ (−∞, +∞)}

Poło˙zenie prostej wzgl ˛edem osi

Równanie prostej, rozwi ˛

azane wzgl ˛edem

y

Proste równoległe i prostopadłe

• _{Niech dane b ˛ed ˛a dwie proste a1x + b1y + c1 = 0 oraz}

a2x + b2y + c2 = 0

• _{Proste s ˛a równoległe (lub si ˛e pokrywaj ˛a)}

⇐⇒ a1b2 − b1a2 = 0

• _{Proste s ˛a prostopadłe ⇐⇒ a1a2 + b1b2 = 0}

Prosta a punkt

• _{Niech dane b ˛ed ˛a prosta a1x + b1y + c1 = 0 oraz}

punkt A(x0, y0)

• _{Punkt A le˙zy na prostej ⇐⇒ ax0 + by0 + c = 0.}

• _{Je˙zeli punkt A nie le˙zy na prostej, to znak ax0 + by0 + c}

okre´sle jedn ˛a z dwóch półpłaszczyzn

• _{|ax0 + by0 + c| jest proporcjonalna do odległo´sci od}

punktu A do prostej

• _{Je˙zeli a}2

+ b2 = 1, to równanie prostej nazywa si ˛e

normalnym, a |ax0 + by0 + c| zgadza si ˛e z odległo´sci ˛a od

punktu A do prostej

Zagadnienia zwi ˛

azane z prost ˛

a

• _{Równanie prostej, przechosz ˛acej przez punkt A(x1, y1)} ◦ _{a(x − x1) + b(y − y1) = 0}

• _{Równanie prostej, przechosz ˛acej przez dwa}

punkty A1(x1, y1) i A2(x2, y2)

◦ x−x1

x₂−x1 −

y−y1

y₂−y1 = 0

• _{Równanie prostej, równoległej do ax + by + c = 0,}

przechosz ˛acej przez punkt A(x1, y1)

◦ _{a(x − x1) + b(y − y1) = 0}

• _{Równanie prostej, prostopadłej do ax + by + c = 0,}

przechosz ˛acej przez punkt A(x1, y1)

◦ _{b(x − x1) − a(y − y1) = 0}