• Nie Znaleziono Wyników

Macierze

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Macierze"

Copied!
19
0
0

Pełen tekst

(1)

Algebra

Macierze

Alexander Denisjuk

denisjuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy o´srodek dydaktyczny w Gda ´nsku

ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk

(2)

Macierze

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

(3)

Definicja

Definicja 1. Macierz ˛a n × m nazywamy prostok ˛atn ˛a tablic ˛e liczb:

A =      a11 a12 . . . a1m a21 a22 . . . a2m . . . . an1 an2 . . . anm      .

Mówimy równie˙z, ˙ze macierz A ma n wierszy i m kolumn. Zapis aik oznacza, ˙ze element ten znajduje si ˛e w i-tym wierszu i k-tej kolumnie. Je˙zeli m = n, macierz nazywa si ˛e kwadratow ˛a stopnia n.

(4)

Wektor

Definicja 2. Macirez n × 1 nazywamy wektorem. Elementy wektora nazywamy współrz ˛ednymi i oznaczamy

x =       x1 x2 .. . xn       .

(5)

Równo´s´c macierzy

Definicja 3. Dwie macierze A i B tego samego wymiaru n × m s ˛a równe, je´sli wszystkie odpowiednie elementy macierzy poło˙zone na tych samych miejscach s ˛a równe, i. e.

aik = bik i = 1, . . . , n, k = 1, . . . , m.

(6)

Macierz transponowana

Definicja 4. Macierz ˛a transponowan ˛a (lub przestawion ˛a) nazywamy macierz,

która powstaje z danej macierzy przez zmian ˛e wierszy przez kolumny:

At =      a11 a21 . . . an1 a12 a22 . . . an2 . . . . a1m a2m . . . anm      . Przykład 5. A = 1 2 3 4 5 6 ! , At =    1 4 2 5 3 6    . • Att = A.

(7)

Macierz zerowa

Definicja 6. Macierz ˛a zerow ˛a nazywamy dowolnego wymiaru macierz, której

wszystkie elementy s ˛a równe zeru.

Przykład 7. Macierze zerowe: O2×3 =

0 0 0 0 0 0 ! , O3 =    0 0 0 0 0 0 0 0 0   . Algebra – p. 7

(8)

Macierz trójk ˛

atna

Definicja 8. Macierz jest trójk ˛atn ˛a, je´sli aij = 0 przy i > j.

Przykład 9. Macierze trójk ˛atne:    1 2 3 0 −1 2 0 0 −3   ,    1 2 3 7 0 −1 2 8 0 0 −3 9   .

(9)

Macierz symetryczna

Definicja 10. Macierz kwadratowa jest symetryczn ˛a, je˙zeli ∀i, j = 1, . . . , n

aij = aji.

Macierz jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy At = A.

Przykład 11. Macierz symetryczna:

   0 1 −4 1 0 2 −4 2 −3   . Algebra – p. 9

(10)

Macierz diagonalna

Definicja 12. Macierz kwadratowa nazywa si ˛e diagonaln ˛a (przek ˛atn ˛a), je´sli

aij = 0 przy i 6= j.

Przykład 13. Macierz diagonalna:

   1 0 0 0 −1 0 0 0 −3   .

(11)

macierz jednostkowa

Definicja 14. Macierz kwadratowa jest jednostkow ˛a, je´sli

aij = (

0 przy i 6= j, 1 przy i = j.

Przykład 15. Macierz jednostkowa: I3 =

   1 0 0 0 1 0 0 0 1    . Algebra – p. 11

(12)

Dodawanie macierzy

Definicja 16. Sum ˛a dwóch macierzy A i B tego samego wymiary jest macierz C = A + B tego˙z wymiary, taka ˙ze cij = aij + bij.

Przykład 17.    1 2 3    +    −1 2 4    =    0 4 7   .

(13)

Własno´sci dodawania macierzy

A + B = B + A — przemienno´s´c,

(A + B) + C = A + (B + C) — ł ˛aczno´s´c

A + O = O + A = A — macierz zerowa jest elementem

neutralnym,

dla ka˙zdej macierzy A istnieje macierz przeciwna −A, taka

˙ze A + (−A) = (−A) + A = O.

A − B = A + (−B).

(14)

Mno˙zenie macierzy przez liczb ˛e

Definicja 18. Iloczynem liczby rzeczywistej λ i macierzy A jest macierz C = λA tego samego wymiary, taka ˙ze cij = λaij.

Przykład 19. 5 ·    1 −15 2 0 −1 3    =    5 −1 10 0 −5 15    .

(15)

Wła´sciwo´sci mno˙zenia macierzy przez liczb ˛e

Mno˙zenie macierzy przez liczb ˛e posiada własno´sci

liniowo´sci:

1 · A = A,

(αβ)A = α(βA),

α(A + B) = αA + αB,(α + β)A = αA + βA.

(16)

Przestrze ´n liniowa

R

n

Definicja 20. Zbiór n-wymiarowych wektorów, razem z okre´slonymi w definicjach 16 i 18 działaniami dodawania i mno˙zenia przez liczb ˛e rzeczywist ˛a nazywa si ˛e przestrzeni ˛a liniow ˛a (wektorow ˛a) Rn.

(17)

Mno˙zenie macierzy

Definicja 21. Iloczynem macierzy A wymiaru n × r przez macierz B

wymiaru r × m jest macierz C wymiaru n × m, której element cij jest równy

cij = ai1b1j + ai2b2j + · · · + airbrj = r X k=1 aikbkr. Przykład 22.    2 3 −1 4 5 1    3 −1 2 0 −2 −3 1 4 ! =    0 −11 7 12 −11 −11 2 16 13 −8 11 4   . Uwaga 23. AB 6= BA Algebra – p. 17

(18)

Wła´sciwo´sci mno˙zenia macierzy

Zało˙zymy, ˙ze we wszystkich przypadkach mno˙zenie

macierzy jest okre´slone poprawnie.

A(BC) = (AB)C, • OA = O, AO = O,a • IA = AI = A,bA(B + C) = AB + AC,(A + B)C = AC + BC,∀λ ∈ R A(λB) = λ(AB). a

w tym przykładzie O w ka˙zdym przypadku oznacza zerow ˛a macierz ró˙z-nych wymiarów.

(19)

Macierz odwrotna

Definicja 24. Niech A b ˛edzie n × n macierz ˛a. Macierz ˛a odwrotn ˛a nazywa

si ˛e macierz A−1, taka ˙ze AA−1 = A−1A = I.

Uwaga 25. Macierz odwrotna istnieje nie dla wszystkich macierzy

kwadratowych A.

Cytaty

Powiązane dokumenty

attribute – globalne zmienne które mogą się zmieniać per vertex (np. kolor czy texcoord), wysyłane z aplikacji do vertex shaderów. Dostępny tylko w VS, tylko

elementy powinny by´c poprawnie zagnie˙zd˙zone powinien by´c jeden element korzeniowy.. wszystkie atrybuty powinny by´c w

RDF Schema Wprowadzenie RDF Semantic Web Składnia Kontenery Kolekcje RDFS DCMI RDFa Microdata JSON-LD ✔ Rozszerzenie RDF. ✔ Zawiera język do opisania zestawów predykatów

JQuery Wprowadzenie Dostęp Modyfikacjia Łańcuch 2 / 23 Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod

je˙zeli serwer nie rozpoznał metody ˙z ˛ adania, on zwraca kod odpowiedzi 501 (Not implemented). je˙zeli serwer rozpoznał metod ˛e, ale one nie mo˙ze zosta´c zastosowana do

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda