Dyskretne diadyczne układy liniowe

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLASKIEO - ---19H5

Seria: ELEKTRYKA z. 95 ' Nr kol. 620

I '

,

Andrzej DRYGA3Ł0 Instytut Elektroniki Politechnika ¿leska

DYSKRETNE OIAOYCZNE UKŁADY LINIOWE

Streszczenie. W pracy przedstawiono opis dyskretnych układów li­

niowych niezmiennych względem przesunięcia diadycznego wykorzystu- jęc metodę odpowiedzi impulsowej. Wykazano, że diadyczne układy li­

niowe mogę być realizowane przez cyfrowe skalarne filtry sekwencyj- nościowe za pomocę algorytmów szybkich transformacji.

1. Wprowadzenie

Rozwój techniki cyfrowej, oparty na postępach technologii układów sca­

lonych, stworzył potrzebę adekwatnej analizy i syntezy liniowych układów dyskretnych za pomocę algorytmów o minimalnej złożoności obliczeniowej.

Znaczny postęp w tym zakresie można uzyskać na bazie teorii sekwencyjnoś- ciowej sygnałów |Y) , w której pod pojęciem sekwencyjność rozumiana jest uogólniona częstotliwość oznaczajęca jednę drugę liczby przejść przez ze­

ro funkcji Walsha w przedziale określoności.

Punktem wyjścia do rozważań przeprowadzonych w niniejszej pracy sę na- stępujęce znane stwierdzenia f2J :

- matematycznę definicję u k ł a d u d y s k r e t n e g o jest jednoznaczne przekształcenie lub operator, który odwzorowuje cięg wej­

ściowy jxj w cięg wyjściowy j y j :

{y} - t[{x}] (i:

- k l a s y u k ł a d ó w d y s k r e t n y c h określa się na pod­

stawie właściwości T [-].

- klasę u k ł a d ó w l i n i o w y c h określa zasada superpozy­

cji: Jeśli jyjj i 1 ^2] odpowiedziami układu odpowiednio na pobu­

dzenia {x lj 1 {x2^ * t0 Jsst liniowy wtedy i tylko wtedy, gdy

T[a { Xl} ł b{ X2}] "

3

8

82 A. Drygajło

2. Splot dladyczny

Dowolny skończony cięg jx(m)| dany w i, = 2P (p » 0,1,2,...) punk­

tach można wyrazić Jako sumę diadycznie przesuniętych i pomnożonych cię­

gów impulsowych

N-l

x(m) = tJ(m © n) x(n) (3)

n*0

gdzie © oznacza różnicę modulo 2, która jest równoważna sumie modulo 2 oznaczanej przez © .

Zatem opis równoważny ma postać

N-l

x(m) = ^ ^ < 5 ( m © n) x(n) ^4)

n=0

netc i.

|x(n)j

Przykładowo, wynik zastosowania operacji przesunięcia diadycznego dys­

kretnych sygnałów skończonych danych w N = 8 punktach przedstawia rysu­

nek 1. Można zauważyć, że przesunięcie diadyczne skończonych cięgów dla N = 2 P zachowuje ich podstawowe symetrie.

Diadyczny sposób przedstawiania sygnałów (4) w połęczeniu z zależnoś- cię (2) sugeruje, że układ liniowy można w pełni scharakteryzować za po- mocę Jego odpowiedzi impulsowej.

W szczególności niech |g(m,n)j- będzie odpowiednię układu na cięg impulsowy (m © n ) , występujęcy dla m = n. Wówczas z zależności (l) i (4):

N-l

y(m) = T X I '5 ^m ® x ^n \| •

N-l N-l

y(m) = ^ 7 £ j ( m © n)J x(n) = jjj g(m,n) x(n) (5) -N-l

£

Na podstawie równania (2) można napisać

N-l N-l

© n)l x(n) = jjj £

n=0 n=0

Zgodnie z zależnościę (5) odpowiedź układu na pobudzenie |x(n)| moż­

na wyrazić w zależności od odpowiedzi układu na |cj(m © n)| . Deśli na­

rzucić tylko warunek liniowości, g(m,n) będzie zależeć zarówno od m jak i od n, a to bardzo ograniczy możliwości obliczenia wyrażenia (5).

Znacznie bardziej użyteczne wyniki uzyskuje się, jeśli przyjęć dodatkowo warunek niezmienności względem przesunięcia diadycznego.

Rys. 1

84 A. Drygajło

K l a s ę u k ł a d ó w l i n i o w y c h n i e z n i e n n y c h w z g l ę d e m p r z e s u n i ę c i a d i a d y c z n e g o cha­

rakteryzuje się przez właściwość. Ze Jeśli jy(m)j jest odpowledzię na pobudzenie jx(n)j, to jy(m © k)j Jest odpowledzię na jx(n © k)j . gdzie k Jest dodatnlę liczbę całkowltę [3] , [4].

Właściwość niezmienności względem przesunięcia diadycznego nasuwa wniosek. Ze Jeśli jg(n)j Jest odpowledzię na j 6 (n)j , to odpowledzię na jd’ (m © n)j Jest wprost |g(m © n)j. Tak więc zaleZność (5) przyjmuje postać

N-l

y(m) « £ X ] 9(m ® n) x(n) n*0

(6)

Równanie (6) nazywa się zwykle s p l o t e m . Jeśli j y j Jest cięgiem, którego wartości sę określone przez wartości dwóch cięgów jgj i {x} poprzez wzór (6) to mówimy. Ze jyj Jest s p l o t e m d i a - d y c z n y m jgj z jxj i oznaczamy to symbolem

y ■ 9 ® x

Zamieniejęc zmienne we wzorze (6) uzyskuje się inne wyrażanie

N-l

E

n»0

y(") - ^ x(m © n) g(n) (7)

oznaczane symbolem

y « x © g.

Rys. 2

Tak więc, kolejność w jakiej splata się dwa cięgi nie Jest ważna i odpowiedź układu y Jest taka sama. Jeśli role pobudzenia i od­

powiedzi impulsowej zostanę zamienione, y Dwa układy liniowe niezmienne względem

przesunięcia diadycznego połęczone kaskadowo tworzę układ liniowy, niezmienny względem przesunięcia diadycznego, o odpowiedzi im­

pulsowej , która Jest splotem diadycznym dwóch odpowiedzi impulsowych. Właściwość ta Z równania (6) lub (7) wynika takZe, Ze dwa Jest pokazana na rys. 2

układy liniowe niezmienna względem przesunięcia diadycznego połęczone równolegle sę równoważne Jednemu układowi, którego odpowiedź impulsowa Jest sumę poszczególnych odpowiedzi Impulsowych. Pokazano na na rys. 3.

3. R e a l i z a c j a d l a d y c z n y c h u k ł a d ó w l i niowych

x

Dek w y n i k a z z a p i s u (6) równa n i e splotu d i a d y c z n e g o m o żna w y r a z i ć a a c l e r z o w o :

1

g d z i e :

Rys. 3

- m a c i e r z k o l um n o w a o d p o w i e d z i układu o w y m i a r a c h N x 1 1 e l e m e n t a c h

y(«>).

£ - m a c i e r z ko lu m n o w a w y m u s z e n i a u k ł a d u o w y m i a r a c h N @ 1 1 e l e m e n ­ tach x(n) ,

£ - m a c i e r z d l a d y c z n a o d p o w i e d z i I m p u l s o w y c h u kł a d u o w y m i a r a c h N x N 1 e l e m e n t a c h jj g(m © n).

D l a d y c z n y układ l i n i o w y Jest swego r o d z aj u p r z e t w o r n i k i e m sygnału.

p r z e t w a r z a j ą c y m s ygn ał w e j ś c i o w y |xj na s y g n a ł w y j ś c i o w y |yj. 0 r o d za ­ ju t e go p r z e t w a r z a n i a . Jak w y k a z a l i ś m y , d e c y d u j e d y s k r e t n a funkcja o d p o ­ w i e d z i Impulsow ej u kładu c h a r a k t e r y z u j ą c a c a ł k o w i c i e układ z p u n k t u w i d z e n i a J ego z a c h o w a n i a z e wn ę t r z n e g o , tzn. z a w i e r e j ę c a d o s t a t e c z ­ na i n f o r m e c j ę , ab y na p o d s t a w i e sy g n a ł u w e j ś c i o w e g o w y z n a c z y ć s y gnał w y j ­ ściowy.

Patrzeć na d z i a ł a n i e u k ł a d u d i a d y c z n e g o z w i d m o w e g o p u n k t u w idzenia, m o ż n a go trak t o w a ć J ak o p r z e t w o r n i k w i d m a , p r z e k s z t a ł c a j ą c y w i d m o eekwen- c y j n o ń c l o w e s y gna łu w e j ś c i o w e g o w w i d m o s y g n a ł u w y j ś c i o w e g o z g o dnie z c h a ­ r a k t e r y s t y k a s e k w e n c y j n o ś c l o w a dana m e c l e r z a G [5]. M o ż n a to z a p i s a ć na ­ s t ę p u j ą c o t

Z n a j o m o ś ć c h a r a k t e r y s t y k i s e k w e n c y j n o ś c i o w e j G w y s t a r c z a , a b y znajęc w i d m o s y g n a ł u na w e j ś c i u u k ł a d u w y z n a c z y ć w i d m o s y g n a ł u na Jago wyjściu.

Z a tem

£ - £ £ £

g d z l a :

W - o r t o g o n a l n e m a c i e r z W a l s h a o w y m i a r a c h N x N, W -1 - m a c i e r z od w r o t n a d o m a c i e r z y W.

N— 1

n) x(n) fl G x (10)

n»0 g d z l a :

X - t r a n s f o r m a t a W a l s h a sy g n a ł u x.

86 A. Drygajło

oraz

a - w

-1

W zależności od kształtu charakterystyki G układu pewne składowe sekwencyjnościowe widma sygnału wejściowego mogę być stłumiona, inne na­

tomiast pozostawione bez zmian lub wzmocnione. Dyskretny układ liniowy niezmienny względem przesunięcia diadycznego można zatem traktować jako cyfrowy filtr sekwencyjnościowy. Z właściwości dyskretnych funkcji Walsha oraz macierzy diadycznych wynika, że macierz G odpowiadajęca dowolnej macierzy diadycznej jest macierzę diagonalnę [ć] :

G - w a w ” 1 - diag [^g( 0 ) , G ( 1 )... G(N-l)] (12)

x (0) x C1) x (2 )-

X (3)

x ( 4 )

x(5) X‘C6 ) x (7)

5 = d L a g [ GCO) , G(0 G(7)j

g (o) g CD gC2) gC3) g (4) g (5) g (6) 9(7) g ( D g co) g(3) g (2) g (5) g(4) 9(7) g (6) g(2) g (3) g(o) gci) g(6) 9(7) g (4) 9(5) 9(3) g(2) 9 C D g CO) 9(7) g (6) g (5) g (4) g (4) 9 C5J g(6) g (7) g(O) gC1) 9(2; 9(3) g (5) qW g(7) gC6) g Cl) g (o) g (3) 9(2) g(6) gC7) 9(4) 9(5) gC2) 9(3) 9 (0) g (D gC 7) g (6 ) g(5) 9 (4) 9 C D 9(2) g C1) 9 (0).

Rys . 4

Zatem dyskretny układ liniowy niezmienny względem przesunięcia dla- dycznego Jest skalarnym filtrem sekwencyjnościowym i charakteryzuje się tym, że Jeśli na Jego wejście podany zostanie sygnał będęcy dyskretnę funkcję Walsha, to odpowiedź układu też będzie dyskretnę funkcję Walsha o tej samej sekwancyjności. Dyskretny diadyczny układ liniowy opisany za- leżnościę (9) może być realizowany za pomocę algorytmów szybkiej trans­

formacji Walsha w sposób podany na rys. 4 [ 5].

Ogólnie, złożoność obliczeniowa takiej realizacji wynosi 2Nlog2N ope­

racji dodawania i odejmowania liczb rzeczywistych oraz N operacji mno­

żenia liczb rzeczywistych i Jest znacznie mniejsza od złożoności oblicze­

niowej układów dyskretnych niezmiennych względem przesunięcia i realizo­

wanych za pomocę algorytmów szybkiej transformacji Fouriera [ 7 ].

Dyskretne układy liniowe niezmienne względem przesunięcia diadycznego aproksymujęce charakterystyki sekwencyjnościowe za pomocę elementów będą­

cych całkowitymi potęgami liczby 2 mogę wykorzystywać algorytmy szybkich transformacji bazujących na układach ortogonalnych funkcji trójwartościo­

wych [8], £9 ]. Złożoność obliczeniowa takich realizacji jest mniejsza i wynosi Jedynie od 4(N-1) do 2Nlog2N-N operacji dodawania 1 odejmowa­

nia liczb rzeczywistych. Przykładową realizację przedstawia rys. 5.

x (°) y(°)

x(3) ^ -• < > --- ~ o ^ ^ > 3 y(3)

x(5) ^ ---o----y (5)

G = dia g [ 1,1, 1/2, 1/2, 1/4 1/4 , 1/4 , 1/4 ]

1/2 1/4 1/8 1/8 0 0 0 0

1/4 1/2 1/8 1/8 0 0 0 0

1/8 1/8 1/2 1/4 0 0 0 0

1/8 1/8 1/4 1/2 0 0 0 0

0 0 0 0 1/2 1/4 1/8 1/8

0 0 0 0 1/4 1/2 1/8 1/8

0 0 0 0 1/8 1/8 1/2 1/4

0 0 0 0

Rys.

1/8 5

1/8 1/4 1/2

4. Podsumowanie

Największą zaletą przedstawionych w pracy układów liniowych niezmien­

nych względem przesunięcia diadycznego w porównaniu z układami liniowymi niezmiennymi względem przesunięcia jest ich lepsze przystosowanie do techniki cyfrowej. Dyskretne diadyczne układy liniowe wykorzystując algo­

rytmy szybkiej transformacji Walsha mogą służyć do konstrukcji modeli układów dyskretnych aproksymujących układy liniowe niezmienne względem przesunięcia [loj. Pozwala to na efektywną identyfikację i syntezę syste­

mów liniowych stacjonarnych [llj. Mogą być również zastosowane jako szyb­

88 A. Orygajło

kie f iltry cy f r o w e do p r z e t w a r z a n i a s y g n a ł ó w [ 12] , [l3] , [14J . D i a d y c z n e u k ł a d y li n i o w e b a z u j ą c e na o r t o g o n a l n y c h f u n k c j a c h t r ó j w a r t o ś c i o w y c h o k a ­ z a ł y się, ze w z g l ę d u na m ałę z ł o ż o n o ś ć o b l i c z e n i o w ą , s z c z e g ó l n i e d og o d ne do c y f r o w e g o p r z e t w a r z a n i a s y g n a ł ó w w i e l o w y m i a r o w y c h , w tym o b r a z ó w c y ­ f r o wyc h Qis],

L I T E R A T U R A

[ lj Ha r m u t h H.F. : S e q u e n c y T h e o r y - F o u n d a t i o n s and A p p l i c a t i o n s . A c a ­ de mic Press, N e w Y ork 1977.

[ 2 ] O p p e n h e i m A.V. , S c h a f e r R.W. : C y f r o w e p r z e t w a r z a n i e sygnałów. WKŁ, W a r s z a w a 1979.

£ 3j P i c h l e r F . : On S t a t e - S p a c e D e s c r i p t i o n of L i n e a r D y a d i c - I n v a r i a n t Systems. 1971 P r o c e e d i n g s " A p p l i c a t i o n s of W a l s h F u n c t i o n s " , W a s h i n g ­ ton O.C. A D - 7 2 7 0 0 0 , str. 158-165.

[ 41 C ha ng O.K., Liu 0.0.: T i m e - O o m e i n A n a l y s i s of D y a d i c - I n v a r i a n t S y s ­ tems. Proc. IEEE, vol. 62, no. 7, O u l y 1974, str. 1038-1040.

[ 5 ] B e a u c h a m p K . G . : W a l s h Func t i o n s and T he i r A p p l i c a t i o n s . A c a d e m i c Press, L o n d o n 1975.

[ ć ] G r i f f i t h s O . W . R . , S t o c k l i n P . L . , C. v a n S c h o o n e v a l d : S i g n a l P r o c e s ­ sing. A c a d e m i c Press, N ew Y o r k 1973j P i c h l e r F. : W a l s h F u n c t i o n s - I n - t r o d u c t i o n to the T heory, str. 23-41.

[ 7 ] A h m e d N. , Rao K. R. : O r t h o g o n a l T r a n s f o r m s for D i g i t a l S i g n a l P r o c e s ­ sing. S p r i n g e r - V e r l a g , N ew Y o r k 1975.

[ 8j D r y g a j ł o A.: Z a s t o s o w a n i a o r t o g o n a l n y c h funk c j i t r ó j w a r t o ś c i o w y c h do a n a l i z y w id m o w e j s y g n a ł ó w d y s k r e t n y c h . M a t e r i a ł y VI SPETO, G l i w i c e - U stroń, 1 3 - 1 6 . 0 4 . 1 9 8 3 , str. 53-62.

[ 9 ] D r y g a j ł o A.: Z a s t o s o w a n i e s z y b k i c h t r s n s f o r m a c j i b a z u j ą c y c h ns funk­

c j a c h s c h o d k o w y c h do p r z e t w a r z a n i a s y g n a ł ó w c y f r o w y c h J e dno- i d w u ­ w y m i a r o w y c h . Praca d o k t o r s k a . P o l i t e c h n i k a ś l ą s k a , G l i w i c e 1983,

[lo l P earl 0. : O p t i m a l D y a d i c M o d e l s of T i m e - I n v a r i a n t Systems. IEEE Trans. Comp., vol. C-24, no. 6, Oune 1975, str. 598-603.

[ll] K u l e s z a W . : W i d m o w a sy n t e z a s y s t e m ó w d y s k r e t n y c h ze s z c z e g ó l n y m u w z g l ę d n i e n i e m s y s t e m ó w li n i o w y c h st a c j o n a r n y c h . D o d a t e k do B i u l e t y ­ nu Nr 11 (351) WAT, W e r s z a w a 1981.

[1 2 J R u m a t o w s k i K. : Z a s t o s o w a n i e d y s k r e t n y c h t r a n s f o r m a c j i W a l s h a i Haara w a l g o r y t m a c h f i l t r a c j i cyfr o we j . W y d a w n i c t w o P o l i t e c h n i k i P o z n a ń ­ skiej, S e r i a R o z p r a w y nr 75, P o z n a ń 1976.

[1 3 ] D r y g a j ł o A., I h n a t o w l c z 0.: S z y b k i e n l e r e k u r s y w n e f i l t r y s e k w e n c y j - ' n o ś c l o w e J e d n o - i dwuwymi a r o w e . VI KK T O i U E , G l i w l c e - K o z u b n i k , 19-22.

10.1983, str. 269-272.

[1 4 ] H a r m u t h H. F. : N o n s i n u s o l d a l W a v e s for R a d ar and R a d i o C o m m u n i c a ti o n.

A c a d e m i c Press, New Y o r k 1981,

[1 5 ] D r y g a j ł o A., I h n a t o w l c z 0.: On the C o n s t r u c t i o n of T w o - D i m e n s i o n a l D i g i t a l F il ter s by Fast H a d s m a r d - H a a r H y b r i d T r a n s f o r m s . VI E u r o p e a n C o n f e r e n c e on C i r c u i t T h e o r y and D e s i g n ( E C C T D ' 8 3 ) , S t u t t g a r t , 6-9 Sept. 1983, str. 450-453.

R e c e n z e n t : doć. dr hab. inż. K a z i m i e r z M i k o ł a j u k

W p ł y n ę ł o do red a k c j i d nie 10 m aj a 1984 r.

AHCKPETHHE flHMHUE JHHEiiHHE CHCTEMhl

P e 3 » m e /

B paO oT e n p e A d a B jie H o oraioaHH e AHCKpeiHttx HHBa'pHaHTHtoc c u e tom o i h o c h - TeibH O AHaAHoro cA BH ra AaneflH iix c u c ie M n p a noMonpi MeTOAa MMnyjiBCHoii <fyHK- Uhh y K a a a a o , >110 AHaAHtie AHHegHhie OHCieMH 6 h ah peaAH3 0BaH u. uh^pobum h OKa- A S p H H M H C e K B e H T H H M H $ H A h T p a M H H a 6a3e a a r O p H T M O B O H O T p H X n p e o C p a 3 0 - BaHHii ,

DISCRETE DYADIC LINEAR SYSTEMS

S u m m a r y

In the paper a description of discrete dyadic-shift-invariant linear systems using unit-sample response method is presented. It is shown, that the dyadic linear systems can be realized by digital scalar sequency fil­

ters based on the fast transform algorithms.