ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ¿ŁASKIEJ S e r i a : ENERGETYKA z . 31
1962 Nr k o l . 253
JÓZEF SZPILECKI K a te d ra F i z y k i B
WPŁYW SKOSZONEJ PRĘDKOŚCI ROZCHODZENIA SIĘ CIEPŁA NA ZJAWISKA PRZEWODZENIA CIEPŁA W CIELE KULISTYM DWUWARSTWOWYM
S t r e s z c z e n i e . W p r a c y a u t o r p rz e d y s k u to w a ł r ó ż n i c e w y stę p u ją c e w r o z w ią z a n iu metodą s z e regów F o u r i e r a z a g a d n ie n ia brzegowego z p r z e wodzenia c i e p ł a d l a u k ła d u zło żonego z n a c z y n ia k u l i s t e g o o p ro m ie n ia c h : zewnętrznym b i wewnętrznym a , w ypełnionego c i e c z ą , pod wpływem zmian te m p e r a t u r y o t o c z e n i a według rów nania (5) w dwu p r z y k ła d a c h : ró w n ania (1 ) gdy p rę d k o ś ć r o z c h o d z e n ia s i ę c i e p ł a j e s t n i e skończona i rów nania ( 2 ) , gdy t a p rę d k o ś ć j e s t sk o ń czo n a. Wprowadzenie b a r d z i e j skomplikowa
nego rów nania n i e wprowadza w iększych zmian w tok u o b l i c z e ń . Wadą r o z w ią z a n ia j e s t t o , że n i e pozwala ono e k s p l i c i t e pokazać f i z y k a l n e j r ó ż n i c y r o z w ią z a ń , w y n ik a ją c e j ze sk o ń czo nej p r ę d k o ś c i r o z c h o d z e n ia s i ę c i e p ł a .
1. Wątep
P raca n a w ią z u je do p o p r z e d n i e j p r a c y a u t o r a [1] . B ad ał on w n i e j zmiany o b j ę t o ś c i w c i e l e k u li s t y m dwuwarstwowym przewo
dzącym c i e p ł o , wywołane zmianami te m p e r a t u r y o t o c z e n i a . P ro blem [1] u p ro s z c z o n o t u , z a k ł a d a j ą c nieruchom e g r a n i c e s k ł a d ników u k ła d u (z a n ie d b a n o r o z s z e r z a l n o ś ć c i e p l n ą n a c z y n i a ) .
W p r a c y [2] ro z p a try w a n o problem wpływu sk o ń czo n ej p ręd k o ś c i r o z c h o d z e n ia s i ę c i e p ł a na r o z w ią z a n ie z a g a d n ie n i a b r z e g o wego, w którym z ało żo n o jed n o sk ład n ik o w y k u l i s t y przew odnik,
46 J ó z e f S z p i l e c k i
w y m ie n iają cy c i e p ł o z otoczeniem według prawa (5)* Podobny problem sformułowano o b ecn ie d l a u k ład u dwuskładnikowego.
R ozw iązanie porównano z ro zw iązan iem problemu p rzy z a ł o ż e n i u n ie s k o ń c z e n ie d u ż e j p r ę d k o ś c i ro z c h o d z e n ia s i ę c i e p ł a .
2 . Sformułowanie z a g a d n ie n ia w przypadku n ie sk o ń c z o n e j pręd ko ś c i r o z c h o d z e n ia s i ę c i e p ł a
R o z p a tr u je s i ę problem ogrzew ania u k ła d u złożonego z zew
n ę t r z n e g o k u l i s t e g o z m a t e r i a ł u je dnorodnego (1 ) o zewnętrznym p ro m ien iu r * b i wewnętrznym r » a i k o n c e n tr y c z n e j k u l i
c i e c z y (2 ) o zewnętrznym prom ieniu r = a ( r y s . 1 ) . M a te r ia ły ( 1 ) i ( 2 ) s ą ch ara k tery zo w an e p r z e z s t a ł e 5 ^ , lub
a 2 , g d z i e :
5 ^ , i - 1 ,2 - w spółczynnik przew odzenia c i e p ł a , a.^, i a 1 ,2 - w sp ó łczyn n ik p rzew odzenia te m p e r a t u r y .
Wpływ sk o ń czo n ej p r ę d k o ś c i r o z o h o d z e n ia s i ę c i e p ł a . . . ________ 47
Sformułowanie problemu j e s t n a s t ę p u j ą c e :
d[r t±(x9r)]/drm ^ d 2 [r t±(r,v)]/dr2 (1)
a ± ^ r < b±
a 1 « a , b^ « b , =» 0 , bg * a
z warunkami brzegowymi
t . ( r , 0 ) » t . = c o n s t , i ■ 1, 2 ( 3 )
1 l f o
d t Ą( b, r ) / dv
- - (<*/*, ) [ t .,( b f r) - t ( r ) ] (4 )t ( r ) * y ! \ ®i:': " + e (5) k«1
t ^ ( a f T) » tg ia p T )
^ a t ^ a,T)/9r * \ d t 2( a , T ) / 3 r (6) d t z ( 0 , T ) / d r * 0
p r z y czym: *
t - t e m p e r a t u r a o t o c z e n i a ,
Bfc» oCk < 0 - s t a ł e o p i s u j ą c e zmienność t e m p e r a t u r y z czasem, eC - w sp ó łc z y n n ik w n ik an ia c i e p ł a .
48 J ó z e f S z p i l e c k i
3* Rozwiązanie problemu
Szczegóły o b lic z e n ia podano w pracy [ i ] . Obecnie podano jedynie wyniki z uproszczeniem o którym b y ła mowa na wstępie*
Przebieg temperatury pierwszego c ia ła w fu n k cji czasu i pro
mienia r przedstawiony j e s t następującą zależn o ścią n
v t « r 0 + ~ y l| Aa e ° C s r sh P1 t 8 ( a - r ) + \ e ^ ^ 25.
s »1 y-1
i <*a r s
eh
P1fV(a -p ) + e v sh P1>T(t»-r) + ^ Cv»1 s »1
WT2-!
. ch P1 f 8 ( a - r ) ♦ 2 j Cv 8 ch p 1 , v ( a “r )
▼»1
oo
+ V«1
oo
X -1 *Tr
2 _ j \ e Ch P1 fv ( b ’ r ) W
dla drugiego zaś
V , V 2! C0v r s
t 2 ( r , r ) - r 0 + ^ ] E 8 e 8 eh P2 , a r + ^ Ev e * * * * *
Ś«1 V«1
* 3h P2 , v r
Wpływ sk o ń czo n ej p r ę d k o ś c i r o z c h o d z e n ia s i ę c i e p ł a . » 49
Wprowadzono przy tym następujące oznaczenia
pk * y p/ a k " * “k* k ■ 1» 2 i
As - - ( 2 b2 Bs /M(oCg ) ) [ a p2łS ch p2>s a - O - y j ^ J s h p ^ a ] , C8 , (2 b2 Bs /M(0C8 ) ) ( ^ / ^ ) a p1#a eh p ^ a
\ - - [ ( * .,(ffv ))/dM(rtv )/d p ] [a p2 ^ ch P2>y a - (1 -
%y/ \ )
. . sh p2tv a ]By - [2(b - %1/ct)/dM(«:v )/d p ]p 2(£<v )
° c " [ 2 P1(oCv^/dM^OCv^/d p ] ^ 1 / ^2^a p1 ,t Sh P2 , v ®
* [ 2(^ /^ )/< iM («:v )/d p]b p1tV P2(ocv )
* • - [ 2 *2 V B(V ] < V V a p i , 8
Ey * J^ /d M ^ J /d p . sh P2 y a ] [ V * r ) ( V \ > . » , , v •
• sh p2 , v a + P2(«v ) { ( ;S / ‘r ) ,J p1>T (b - a ) + (b - % ^ /c c ) .
. sh p 1>T (b - s ) j ] .
50 Józef S z p i le c k i
h(p) * (*«,/*)* p ^ a p2 ch p2 a - (1 - ¡ ^ /J ^ J s fa pg a j .
2 2
. 2 ch p1 (b - a ) + b p ^ ^ / c C ^ J a sh p2 a . 2 eh p ^ b - a) +
+ (b - ^ /< x ) £ a p2 ch p2a - (1 - ^ / Ź ^ J s h P2a j • 2 sh p ^ f b - a ) +
+ (b - %^/<x){%y/%z )a p 1 ah p2a . 2 ch p ^ b - a)
P ^ p ) - b2 T(p) - (%1/oc) [b d f ^ b j / d r - f 1( b ) ] - b f ^ b )
F2 (p ) "
f2^&)a
?2 ch p2a " * 1 ^ [ a P2 Ch P2a " 0 -(^*1 /^-2 ^^ *. sh P2a] “ sh P2 a [ d f 2 ( a ) / d r - ( i ^ / ^ j d f ^ a j / d r j n
T(p) ■ Z V < P “ OCg) + 0 / P
¿1=1
p , r t - P . r
f ±( r ) - - e 1
J
t t i f 0 e dr/2 ? i aŁ +“ P1r C PHr
+ a 1 I r t iłQ e 1 d r / 2 p± a ±, i - 1 , 2 (9 )
P a ra m e tr p p r z y b i e r a w a r t o ś c i d y s k r e tn e w yliczone z rów
n a n i a c h a r a k t e r y s t y c z n e g o problem u. Mamy t r z y grupy w a r t o ś c i c h a r a k t e r y s t y c z n y c h : p = oC_, p = cC_* p =<*_» Pierw sze s ą
8 V W
biegunam i f u n k c j i T ( p ) , t r a n s f o r m a t y rów nania ( 5 ) , d r u g ie s p e ł n i a j ą rów nanie M(p) = 0 , t r z e c i e rów nanie sh p^a = 0.
Te o s t a t n i e można o p u ś c i ć , gdyż w sp ó łc z y n n ik i odpowiednich wyrazów są równe z e r u . P i e r w i a s t k i rów nania M(p) p r z y j ę t o
Wpływ sk o ń c z o n e j p r ę d k o ś c i r o z c h o d z e n ia s i ę c ie p ła « » « ________ 51
ujemne r z e c z y w i s t e p o je d y n c z e . Dla p r o s t o t y wykluczono m o iliu y przy p ad ek ró w n o śc i cCg « oCv d l a pewnych w a r t o ś c i cCB* oCy <>
4. Sform ułow anie problemu w przypadku sk o ń czo n ej p r ę d k o ś c i r o z c h o d z e n ia s i ę c i e p ł a
W m i e js c e ró w n an ia (1 ) przy jm u je s i ę ró w nan ie (2 ) n a s t ę p u j ą c e j p o s t a c i
( l / c ^ j r t j r . n j / d r 2 + ( 1 / J i ) a [ r t i ( r t r ) ] / M ' «
» 5 2 | r t jL(r,r)]/ć>r2ł i » 1 , 2 (2)
Problem brzegowy może być podobnie sformułowany j a k w [2] . Dla o s z c z ę d n o ś c i m i e js c a podatny j e d y n ie m o d y f ik a c je , j a k i e n a le ż y wprowadzić w p o p r z e d n i a p ro b lem ie brzegowym. Sformułowanie problemu (3) - (6) p o z o s t a j e b ez zmian. Dochodzi do t e g o do
datkowy warunek początkowy
> d t ^ r f O j / d t » o = c o n s t , i * 1 , 2 (10)
5. R ozw iązanie z a g a d n ie n i a brzegowego
Rok r o z w ią z a n ia j e s t podobny do podanego w p r a c y [1] , przy o d p o w ied n iej zm ian ie se n s u n i e k t ó r y c h w i e l k o ś c i .
5 . 1 . Zmiany wywołane p r z e z u ż y c ie rów nania (2 ) W ie lk o ś c i p, s ą zd e fin io w a n e n a s tę p u j ą c o s
pk » y p / a k + p2/ c 2 , k . 1 , 2 (1 1)
52 Józef S z p l l e c k i
Jak w przypadku jednowarstwowego układu przyjęto
Pk - i mk, k « 1,2, i (12)
g d z ie Bję rzeczyw iste lic z b y wyznaczone z równania M(p) - 0.
Z (11) wynika:
p « ( l /2) ( - 1/ a k - 4 n£) ) , k . 1,2 (1 3) Elim inacja p z (13) daje
“ i = (C2/C 1 )m2 + °2 <1 / *1 " C2/C? ^ / [ ( I ^ i l - 1/2 C2> 1
i ( 1 / 2 C ^ 1 / I 2 - 4 a 2/ c 2 ] (14)
To równanie wchodzi w m iejsce ważnego d la c 1-*-oo i c ^_
m2/m2 - (15)
Równanie (14) j e s t używane dla e lim in a c ji jednej z w ie lk o śc i n^, k * 1,2 przy rozwiązaniu równania M(p) = 0.
5 . 2 . Dyskusja równania (14)
Na rysunku 2 (krzywe 1, 2, 3 , 4) przedstawiono możliwe po-
2 2
s t a c i związków między m^ i m . I s t n ie j e górna granica dla
Wpływ sk o ń czo n ej p r ę d k o ś c i r o z c h o d z e n ia s i ę c i e p ł a . . . ________ 53
Rys. 2 . Konstrukcja wykresu fu n kcji (14-). Dwie górne krzywe odpowiadają przypadkowi sp e łn ie n ia nierów ności (1?) dwie d ol
ne nierów ności przeciw nej. Końcowy punkt j e s t określony przez
2 2 2
mg s Cg/4 ag. W drugim przypadku j e s t ty lk o dodatnia część krzywych użyteczna
ponieważ m^ z za ło żen ia powinny być r z e c z y w iste . Ponieważ na podstawie (14) mamy dwie r e la o je między m, i mg, podano na rysunku 2 c z te r y krzywe, dwie z nich są ważne d la
1 /a , - Og/cjf i g > 0 (17) dwie inne dla przeciwnej nierów ności
54 J ó z e J S z p i le o k l
5.3» Dyskusja równania (13)
Równanie (13) można sprowadzić do następującej p o sta c i P2/c ^ + p /a fc’ + m£ - 0 (18)
J e s t to równanie elip sy « p rzesu n iętej względem początku układu
° c k/2 ak w kierunku o s i p w układzie współrzędnych (p , %)• 2 W granicznym przypadku c 2 -*- «> krzywa przechodzi w parabolę.
5*4. Rozwiązanie równania charakterystycznego
Rozwiązanie równania charakterystycznego M(p) a 0 j e s t analogiczne jak w [ i ] , po wyeliminowaniu jednej w artości n^.
5.5» Postać wyrażeń w rozwiązaniach problemu
Postać rozwiązań (6 ) i (7 ) pozostaje bez zmian. Tylko l i c z ba charakterystycznych w artości
ocy
j e s t ograniczona i pk zm ieniły sen s.3 .6 . Wpływ warunków początkowyoh na rozw iązanie
Rozwiązania (6 ) i (7 ) są oparte na pewnych wyrażeniach, za
leżnych od warunków początkowych. W przypadku równania (1 ) da to następująoe wyrażbnia:
*k(r ) -
r
t kłQ/p k - 1 , 2 (19) W przypadku równania (2 ) wyrażenia są bardziej złożone z powodu warunku dodatkowego, dotyoząoego pierw szej pochodnej.
Wpływ sk o ń czo n ej p r ę d k o ś c i r o z c h o d z e n ia s i ę c i e p ł a . . . 55
Dodatkowy wyraz p o s ia d a n a s t ę p u j ą c ą p o s ta ć
( a )(1 - e ) , k - 1, 2 (2 0)
O s t a t n i e w y rażen ie z n ik a z rosnącym czasem i d l a 00 •
6. Uwagi końcowe
Metoda r o z w ią z a n ia problemu p r z y pomocy szeregów F o u r i e r a d a j e podobne w y ra ż e n ia d l a ro z w ią z a ń w przypadku rów nania (1 ) i ( 2 ) i j e s t z punktu w id z e n ia wkładu o b liczen io w e g o ró w nie ła tw a w obu p rzy p ad k a ch . Ale r o z w ią z a n ie n i e wyraża e k s p l i c i t e f i z y k a l n e g o f a k t u , że c*iepło r o z c h o d z i s i ę z skończoną p ręd ko ś c i ą . Można t o o s ią g n ą ć p r z y pomocy metody f u n k c j i G reena, a l e o b l i c z e n i e ty c h f u n k c j i j e s t w tym przypadku b ard zo zło żo n e i d l a t e g o b ę d z ie podane w i n n e j p r a c y .
LITERATURA
[ 1 ] SZPILECKI J . : Wpływ przew odnictw a c i e p ln e g o na zmianę o b j ę t o ś c i w c i e l e sferycznym dwuwarstwowym, Zesz. Nauk.
P o l . Ś l ą s k i e j , E n e r g e ty k a , n r 6, 1961.
[2] SZPILECKI J . : Wpływ sk o ń czo n ej p r ę d k o ś c i r o z c h o d z e n ia s i ę c i e p ł a na z ja w is k a p rzew odzenia w sferycznym u k ł a d z i e j e d noskładnikowym. Z e s z . Nauk. P o l . Ś l ą s k i e j , E n e rg e ty k a n r 2 9 , 1968, 1 5 1 .
56 J ó z e f S z p i le c k i
O BM.JiHM KOHEHHOfi CKOPOCTH flJMiiEHMji TEliJIOToI HA HBJIEHkH TEIIJI Oli P030JIH0GTM 3 CłEPl^ECKOkl flBJOCKCMIOHEHTOM TEJIE
P e 3 b u e
3 pafioTe aBTop paceuqtpMBaeT pa3JiHqHa Meacjy pemeHHauH HeTOjou tyypbe rpaHaaHoii 3a^aqn TenaonpoBO,nHOCTH ^aa cucTeMu, c o c t o - amefi »a c^ ep a n eciccro c o c y ^ a c BHyTpehhmm pa^wycoM b m snem hhm a , HanoJiHeHHoro «HaKocTb», n o j BanaHneM H3MeHeHKit TeMiiepaTypa OKpyata»meii cpejbi no ypaBHehmd <.5) b SByx cay-.iaax:
ypaBaeHHa (1 )» K orja cicopocTb flBHaceHua T en a o m óecKOHenHaa ypaBHeHMa ^.2), Koraa 3 i a c k o p o c t ł KOHeaHaa. WcnoabaoBaHjie 6 o a e e caoxH oro ypaBHeHMa ^2) He bbojiht 6oabmHX H3ueHeHaii b n p o u e c c e BbiHHcaeHHił. HeaocTaTKOM pemeHHa HBaaeTca $aicT, h t o oho He aaeT bo3M oxhocth Hen ocpeiC T B ehho yaa3aTb $M3HqecKoe pa3aMHHe pemeHMii M3-3a KonenHoił c k o p o c th aBwaehmh T e n a o tu ,
Wplyw skoriczonej p r q d k o sc i r o z c h o d z e n ia s i g c i e p l a . . . ________ 57
THE INFLUENCE OF THE FINITE HEAT PROPAGATION VELOCITY ON THE HEAT CONDUCTING PHENOMENA IN A SPHERICAL TWO CORE BODY
S u m m a r y
In t h e p a p e r t h e a u t h o r d i s c u s s e s d i f f e r e n c e s a p p e a r in g i n t h e s o l u t i o n s o f t h e boundary h e a t c o n d u c tio n problem w ith t h e F o u r i e r s e r i e s method, f o r a system composed by a s p h e r i c a l v e s s e l w ith i n t e r n a l r a d i u s b and t h e e x t e r n a l one a , f i l l e d w ith f l u i d , u n d e r i n f l u e n c e of am biant t e m p e r a t u r e v a r i a t i o n s f o l l o w i n g e q u a t i o n (5 ) f o r t h e two c a s e s : f o r e q u a t i o n ( 1 ) , when t h e h e a t p r o p a g a t i o n v e l o c i t y i s i n f i n i t e and f o r t h e e q u a t i o n ( 2 ) , when t h i s v e l o c i t y i s f i n i t e . The i n t r o d u c t i o n o f more complex e q u a t i o n ( 2 ) i n t r o d u c e s no g r e a t e r m o d i f ic a t i o n s i n t h e c o m p u ta ti o n s . The f a u l t o f t h e s o l u t i o n i s , t h a t i t does n o t e x p r e s s e x p l i c i t e p h y s i c a l d i f f e r e n c e cau sed by f i n i t e h e a t p r o p a g a t i o n v e l o c i t y between s o l u t i o n s .