• Nie Znaleziono Wyników

Wpływ skończonej prędkości rozchodzenia się ciepła na zjawiska przewodzenia ciepła w ciele kulistym dwuwarstwowym

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Wpływ skończonej prędkości rozchodzenia się ciepła na zjawiska przewodzenia ciepła w ciele kulistym dwuwarstwowym"

Copied!
13
0
0

Pełen tekst

(1)

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ¿ŁASKIEJ S e r i a : ENERGETYKA z . 31

1962 Nr k o l . 253

JÓZEF SZPILECKI K a te d ra F i z y k i B

WPŁYW SKOSZONEJ PRĘDKOŚCI ROZCHODZENIA SIĘ CIEPŁA NA ZJAWISKA PRZEWODZENIA CIEPŁA W CIELE KULISTYM DWUWARSTWOWYM

S t r e s z c z e n i e . W p r a c y a u t o r p rz e d y s k u to w a ł r ó ż n i c e w y stę p u ją c e w r o z w ią z a n iu metodą s z e ­ regów F o u r i e r a z a g a d n ie n ia brzegowego z p r z e ­ wodzenia c i e p ł a d l a u k ła d u zło żonego z n a c z y ­ n ia k u l i s t e g o o p ro m ie n ia c h : zewnętrznym b i wewnętrznym a , w ypełnionego c i e c z ą , pod wpływem zmian te m p e r a t u r y o t o c z e n i a według rów nania (5) w dwu p r z y k ła d a c h : ró w n ania (1 ) gdy p rę d k o ś ć r o z c h o d z e n ia s i ę c i e p ł a j e s t n i e ­ skończona i rów nania ( 2 ) , gdy t a p rę d k o ś ć j e s t sk o ń czo n a. Wprowadzenie b a r d z i e j skomplikowa­

nego rów nania n i e wprowadza w iększych zmian w tok u o b l i c z e ń . Wadą r o z w ią z a n ia j e s t t o , że n i e pozwala ono e k s p l i c i t e pokazać f i z y k a l n e j r ó ż n i c y r o z w ią z a ń , w y n ik a ją c e j ze sk o ń czo nej p r ę d k o ś c i r o z c h o d z e n ia s i ę c i e p ł a .

1. Wątep

P raca n a w ią z u je do p o p r z e d n i e j p r a c y a u t o r a [1] . B ad ał on w n i e j zmiany o b j ę t o ś c i w c i e l e k u li s t y m dwuwarstwowym przewo­

dzącym c i e p ł o , wywołane zmianami te m p e r a t u r y o t o c z e n i a . P ro ­ blem [1] u p ro s z c z o n o t u , z a k ł a d a j ą c nieruchom e g r a n i c e s k ł a d ­ ników u k ła d u (z a n ie d b a n o r o z s z e r z a l n o ś ć c i e p l n ą n a c z y n i a ) .

W p r a c y [2] ro z p a try w a n o problem wpływu sk o ń czo n ej p ręd k o ­ ś c i r o z c h o d z e n ia s i ę c i e p ł a na r o z w ią z a n ie z a g a d n ie n i a b r z e g o ­ wego, w którym z ało żo n o jed n o sk ład n ik o w y k u l i s t y przew odnik,

(2)

46 J ó z e f S z p i l e c k i

w y m ie n iają cy c i e p ł o z otoczeniem według prawa (5)* Podobny problem sformułowano o b ecn ie d l a u k ład u dwuskładnikowego.

R ozw iązanie porównano z ro zw iązan iem problemu p rzy z a ł o ż e ­ n i u n ie s k o ń c z e n ie d u ż e j p r ę d k o ś c i ro z c h o d z e n ia s i ę c i e p ł a .

2 . Sformułowanie z a g a d n ie n ia w przypadku n ie sk o ń c z o n e j pręd ko ­ ś c i r o z c h o d z e n ia s i ę c i e p ł a

R o z p a tr u je s i ę problem ogrzew ania u k ła d u złożonego z zew­

n ę t r z n e g o k u l i s t e g o z m a t e r i a ł u je dnorodnego (1 ) o zewnętrznym p ro m ien iu r * b i wewnętrznym r » a i k o n c e n tr y c z n e j k u l i

c i e c z y (2 ) o zewnętrznym prom ieniu r = a ( r y s . 1 ) . M a te r ia ły ( 1 ) i ( 2 ) s ą ch ara k tery zo w an e p r z e z s t a ł e 5 ^ , lub

a 2 , g d z i e :

5 ^ , i - 1 ,2 - w spółczynnik przew odzenia c i e p ł a , a.^, i a 1 ,2 - w sp ó łczyn n ik p rzew odzenia te m p e r a t u r y .

(3)

Wpływ sk o ń czo n ej p r ę d k o ś c i r o z o h o d z e n ia s i ę c i e p ł a . . . ________ 47

Sformułowanie problemu j e s t n a s t ę p u j ą c e :

d[r t±(x9r)]/drm ^ d 2 [r t±(r,v)]/dr2 (1)

a ± ^ r <

a 1 « a , b^ « b , =» 0 , bg * a

z warunkami brzegowymi

t . ( r , 0 ) » t . = c o n s t , i ■ 1, 2 ( 3 )

1 l f o

d t Ą( b, r ) / dv

- - (<*/*, ) [ t .,( b f r) - t ( r ) ] (4 )

t ( r ) * y ! \ ®i:': " + e (5) k«1

t ^ ( a f T) » tg ia p T )

^ a t ^ a,T)/9r * \ d t 2( a , T ) / 3 r (6) d t z ( 0 , T ) / d r * 0

p r z y czym: *

t - t e m p e r a t u r a o t o c z e n i a ,

Bfc» oCk < 0 - s t a ł e o p i s u j ą c e zmienność t e m p e r a t u r y z czasem, eC - w sp ó łc z y n n ik w n ik an ia c i e p ł a .

(4)

48 J ó z e f S z p i l e c k i

3* Rozwiązanie problemu

Szczegóły o b lic z e n ia podano w pracy [ i ] . Obecnie podano jedynie wyniki z uproszczeniem o którym b y ła mowa na wstępie*

Przebieg temperatury pierwszego c ia ła w fu n k cji czasu i pro­

mienia r przedstawiony j e s t następującą zależn o ścią n

v t « r 0 + ~ y l| Aa e ° C s r sh P1 t 8 ( a - r ) + \ e ^ ^ 25.

s »1 y-1

i <*a r s

eh

P1fV(a -p ) + e v sh P1>T(t»-r) + ^ C

v»1 s »1

WT2-!

. ch P1 f 8 ( a - r ) ♦ 2 j Cv 8 ch p 1 , v ( a “r )

▼»1

oo

+ V«1

oo

X -1 *Tr

2 _ j \ e Ch P1 fv ( b ’ r ) W

dla drugiego zaś

V , V 2! C0v r s

t 2 ( r , r ) - r 0 + ^ ] E 8 e 8 eh P2 , a r + ^ Ev e * * * * *

Ś«1 V«1

* 3h P2 , v r

(5)

Wpływ sk o ń czo n ej p r ę d k o ś c i r o z c h o d z e n ia s i ę c i e p ł a . » 49

Wprowadzono przy tym następujące oznaczenia

pk * y p/ a k " * “k* k ■ 1» 2 i

As - - ( 2 b2 Bs /M(oCg ) ) [ a p2łS ch p2>s a - O - y j ^ J s h p ^ a ] , C8 , (2 b2 Bs /M(0C8 ) ) ( ^ / ^ ) a p1#a eh p ^ a

\ - - [ ( * .,(ffv ))/dM(rtv )/d p ] [a p2 ^ ch P2>y a - (1 -

%y/ \ )

. . sh p2tv a ]

By - [2(b - %1/ct)/dM(«:v )/d p ]p 2(£<v )

° c " [ 2 P1(oCv^/dM^OCv^/d p ] ^ 1 / ^2^a p1 ,t Sh P2 , v ®

* [ 2(^ /^ )/< iM («:v )/d p]b p1tV P2(ocv )

* • - [ 2 *2 V B(V ] < V V a p i , 8

Ey * J^ /d M ^ J /d p . sh P2 y a ] [ V * r ) ( V \ > . » , , v •

• sh p2 , v a + P2(«v ) { ( ;S / ‘r ) ,J p1>T (b - a ) + (b - % ^ /c c ) .

. sh p 1>T (b - s ) j ] .

(6)

50 Józef S z p i le c k i

h(p) * (*«,/*)* p ^ a p2 ch p2 a - (1 - ¡ ^ /J ^ J s fa pg a j .

2 2

. 2 ch p1 (b - a ) + b p ^ ^ / c C ^ J a sh p2 a . 2 eh p ^ b - a) +

+ (b - ^ /< x ) £ a p2 ch p2a - (1 - ^ / Ź ^ J s h P2a j • 2 sh p ^ f b - a ) +

+ (b - %^/<x){%y/%z )a p 1 ah p2a . 2 ch p ^ b - a)

P ^ p ) - b2 T(p) - (%1/oc) [b d f ^ b j / d r - f 1( b ) ] - b f ^ b )

F2 (p ) "

f2^&)a

?2 ch p2a " * 1 ^ [ a P2 Ch P2a " 0 -(^*1 /^-2 ^^ *

. sh P2a] “ sh P2 a [ d f 2 ( a ) / d r - ( i ^ / ^ j d f ^ a j / d r j n

T(p) ■ Z V < P “ OCg) + 0 / P

¿1=1

p , r t - P . r

f ±( r ) - - e 1

J

t t i f 0 e dr/2 ? i aŁ +

“ P1r C PHr

+ a 1 I r t iłQ e 1 d r / 2 p± a ±, i - 1 , 2 (9 )

P a ra m e tr p p r z y b i e r a w a r t o ś c i d y s k r e tn e w yliczone z rów­

n a n i a c h a r a k t e r y s t y c z n e g o problem u. Mamy t r z y grupy w a r t o ś c i c h a r a k t e r y s t y c z n y c h : p = oC_, p = cC_* p =<*_» Pierw sze s ą

8 V W

biegunam i f u n k c j i T ( p ) , t r a n s f o r m a t y rów nania ( 5 ) , d r u g ie s p e ł n i a j ą rów nanie M(p) = 0 , t r z e c i e rów nanie sh p^a = 0.

Te o s t a t n i e można o p u ś c i ć , gdyż w sp ó łc z y n n ik i odpowiednich wyrazów są równe z e r u . P i e r w i a s t k i rów nania M(p) p r z y j ę t o

(7)

Wpływ sk o ń c z o n e j p r ę d k o ś c i r o z c h o d z e n ia s i ę c ie p ła « » « ________ 51

ujemne r z e c z y w i s t e p o je d y n c z e . Dla p r o s t o t y wykluczono m o iliu y przy p ad ek ró w n o śc i cCg « oCv d l a pewnych w a r t o ś c i cCB* oCy <>

4. Sform ułow anie problemu w przypadku sk o ń czo n ej p r ę d k o ś c i r o z c h o d z e n ia s i ę c i e p ł a

W m i e js c e ró w n an ia (1 ) przy jm u je s i ę ró w nan ie (2 ) n a s t ę p u ­ j ą c e j p o s t a c i

( l / c ^ j r t j r . n j / d r 2 + ( 1 / J i ) a [ r t i ( r t r ) ] / M ' «

» 5 2 | r t jL(r,r)]/ć>r2ł i » 1 , 2 (2)

Problem brzegowy może być podobnie sformułowany j a k w [2] . Dla o s z c z ę d n o ś c i m i e js c a podatny j e d y n ie m o d y f ik a c je , j a k i e n a le ż y wprowadzić w p o p r z e d n i a p ro b lem ie brzegowym. Sformułowanie problemu (3) - (6) p o z o s t a j e b ez zmian. Dochodzi do t e g o do­

datkowy warunek początkowy

> d t ^ r f O j / d t » o = c o n s t , i * 1 , 2 (10)

5. R ozw iązanie z a g a d n ie n i a brzegowego

Rok r o z w ią z a n ia j e s t podobny do podanego w p r a c y [1] , przy o d p o w ied n iej zm ian ie se n s u n i e k t ó r y c h w i e l k o ś c i .

5 . 1 . Zmiany wywołane p r z e z u ż y c ie rów nania (2 ) W ie lk o ś c i p, s ą zd e fin io w a n e n a s tę p u j ą c o s

pk » y p / a k + p2/ c 2 , k . 1 , 2 (1 1)

(8)

52 Józef S z p l l e c k i

Jak w przypadku jednowarstwowego układu przyjęto

Pk - i mk, k « 1,2, i (12)

g d z ie Bję rzeczyw iste lic z b y wyznaczone z równania M(p) - 0.

Z (11) wynika:

p « ( l /2) ( - 1/ a k - 4 n£) ) , k . 1,2 (1 3) Elim inacja p z (13) daje

“ i = (C2/C 1 )m2 + °2 <1 / *1 " C2/C? ^ / [ ( I ^ i l - 1/2 C2> 1

i ( 1 / 2 C ^ 1 / I 2 - 4 a 2/ c 2 ] (14)

To równanie wchodzi w m iejsce ważnego d la c 1-*-oo i c ^_

m2/m2 - (15)

Równanie (14) j e s t używane dla e lim in a c ji jednej z w ie lk o śc i n^, k * 1,2 przy rozwiązaniu równania M(p) = 0.

5 . 2 . Dyskusja równania (14)

Na rysunku 2 (krzywe 1, 2, 3 , 4) przedstawiono możliwe po-

2 2

s t a c i związków między m^ i m . I s t n ie j e górna granica dla

(9)

Wpływ sk o ń czo n ej p r ę d k o ś c i r o z c h o d z e n ia s i ę c i e p ł a . . . ________ 53

Rys. 2 . Konstrukcja wykresu fu n kcji (14-). Dwie górne krzywe odpowiadają przypadkowi sp e łn ie n ia nierów ności (1?) dwie d ol­

ne nierów ności przeciw nej. Końcowy punkt j e s t określony przez

2 2 2

mg s Cg/4 ag. W drugim przypadku j e s t ty lk o dodatnia część krzywych użyteczna

ponieważ m^ z za ło żen ia powinny być r z e c z y w iste . Ponieważ na podstawie (14) mamy dwie r e la o je między m, i mg, podano na rysunku 2 c z te r y krzywe, dwie z nich są ważne d la

1 /a , - Og/cjf i g > 0 (17) dwie inne dla przeciwnej nierów ności

(10)

54 J ó z e J S z p i le o k l

5.3» Dyskusja równania (13)

Równanie (13) można sprowadzić do następującej p o sta c i P2/c ^ + p /a fc’ + m£ - 0 (18)

J e s t to równanie elip sy « p rzesu n iętej względem początku układu

° c k/2 ak w kierunku o s i p w układzie współrzędnych (p , %)• 2 W granicznym przypadku c 2 -*- «> krzywa przechodzi w parabolę.

5*4. Rozwiązanie równania charakterystycznego

Rozwiązanie równania charakterystycznego M(p) a 0 j e s t analogiczne jak w [ i ] , po wyeliminowaniu jednej w artości n^.

5.5» Postać wyrażeń w rozwiązaniach problemu

Postać rozwiązań (6 ) i (7 ) pozostaje bez zmian. Tylko l i c z ­ ba charakterystycznych w artości

ocy

j e s t ograniczona i pk zm ieniły sen s.

3 .6 . Wpływ warunków początkowyoh na rozw iązanie

Rozwiązania (6 ) i (7 ) są oparte na pewnych wyrażeniach, za­

leżnych od warunków początkowych. W przypadku równania (1 ) da to następująoe wyrażbnia:

*k(r ) -

r

t kłQ/p k - 1 , 2 (19) W przypadku równania (2 ) wyrażenia są bardziej złożone z powo­

du warunku dodatkowego, dotyoząoego pierw szej pochodnej.

(11)

Wpływ sk o ń czo n ej p r ę d k o ś c i r o z c h o d z e n ia s i ę c i e p ł a . . . 55

Dodatkowy wyraz p o s ia d a n a s t ę p u j ą c ą p o s ta ć

( a )(1 - e ) , k - 1, 2 (2 0)

O s t a t n i e w y rażen ie z n ik a z rosnącym czasem i d l a 00 •

6. Uwagi końcowe

Metoda r o z w ią z a n ia problemu p r z y pomocy szeregów F o u r i e r a d a j e podobne w y ra ż e n ia d l a ro z w ią z a ń w przypadku rów nania (1 ) i ( 2 ) i j e s t z punktu w id z e n ia wkładu o b liczen io w e g o ró w nie ła tw a w obu p rzy p ad k a ch . Ale r o z w ią z a n ie n i e wyraża e k s p l i c i t e f i z y k a l n e g o f a k t u , że c*iepło r o z c h o d z i s i ę z skończoną p ręd ko ­ ś c i ą . Można t o o s ią g n ą ć p r z y pomocy metody f u n k c j i G reena, a l e o b l i c z e n i e ty c h f u n k c j i j e s t w tym przypadku b ard zo zło żo n e i d l a t e g o b ę d z ie podane w i n n e j p r a c y .

LITERATURA

[ 1 ] SZPILECKI J . : Wpływ przew odnictw a c i e p ln e g o na zmianę o b j ę t o ś c i w c i e l e sferycznym dwuwarstwowym, Zesz. Nauk.

P o l . Ś l ą s k i e j , E n e r g e ty k a , n r 6, 1961.

[2] SZPILECKI J . : Wpływ sk o ń czo n ej p r ę d k o ś c i r o z c h o d z e n ia s i ę c i e p ł a na z ja w is k a p rzew odzenia w sferycznym u k ł a d z i e j e d ­ noskładnikowym. Z e s z . Nauk. P o l . Ś l ą s k i e j , E n e rg e ty k a n r 2 9 , 1968, 1 5 1 .

(12)

56 J ó z e f S z p i le c k i

O BM.JiHM KOHEHHOfi CKOPOCTH flJMiiEHMji TEliJIOToI HA HBJIEHkH TEIIJI Oli P030JIH0GTM 3 CłEPl^ECKOkl flBJOCKCMIOHEHTOM TEJIE

P e 3 b u e

3 pafioTe aBTop paceuqtpMBaeT pa3JiHqHa Meacjy pemeHHauH HeTOjou tyypbe rpaHaaHoii 3a^aqn TenaonpoBO,nHOCTH ^aa cucTeMu, c o c t o - amefi »a c^ ep a n eciccro c o c y ^ a c BHyTpehhmm pa^wycoM b m snem hhm a , HanoJiHeHHoro «HaKocTb», n o j BanaHneM H3MeHeHKit TeMiiepaTypa OKpyata»meii cpejbi no ypaBHehmd <.5) b SByx cay-.iaax:

ypaBaeHHa (1 )» K orja cicopocTb flBHaceHua T en a o m óecKOHenHaa ypaBHeHMa ^.2), Koraa 3 i a c k o p o c t ł KOHeaHaa. WcnoabaoBaHjie 6 o a e e caoxH oro ypaBHeHMa ^2) He bbojiht 6oabmHX H3ueHeHaii b n p o u e c c e BbiHHcaeHHił. HeaocTaTKOM pemeHHa HBaaeTca $aicT, h t o oho He aaeT bo3M oxhocth Hen ocpeiC T B ehho yaa3aTb $M3HqecKoe pa3aMHHe pemeHMii M3-3a KonenHoił c k o p o c th aBwaehmh T e n a o tu ,

(13)

Wplyw skoriczonej p r q d k o sc i r o z c h o d z e n ia s i g c i e p l a . . . ________ 57

THE INFLUENCE OF THE FINITE HEAT PROPAGATION VELOCITY ON THE HEAT CONDUCTING PHENOMENA IN A SPHERICAL TWO CORE BODY

S u m m a r y

In t h e p a p e r t h e a u t h o r d i s c u s s e s d i f f e r e n c e s a p p e a r in g i n t h e s o l u t i o n s o f t h e boundary h e a t c o n d u c tio n problem w ith t h e F o u r i e r s e r i e s method, f o r a system composed by a s p h e r i c a l v e s s e l w ith i n t e r n a l r a d i u s b and t h e e x t e r n a l one a , f i l l e d w ith f l u i d , u n d e r i n f l u e n c e of am biant t e m p e r a t u r e v a r i a t i o n s f o l l o w i n g e q u a t i o n (5 ) f o r t h e two c a s e s : f o r e q u a t i o n ( 1 ) , when t h e h e a t p r o p a g a t i o n v e l o c i t y i s i n f i n i t e and f o r t h e e q u a t i o n ( 2 ) , when t h i s v e l o c i t y i s f i n i t e . The i n t r o d u c t i o n o f more complex e q u a t i o n ( 2 ) i n t r o d u c e s no g r e a t e r m o d i f ic a ­ t i o n s i n t h e c o m p u ta ti o n s . The f a u l t o f t h e s o l u t i o n i s , t h a t i t does n o t e x p r e s s e x p l i c i t e p h y s i c a l d i f f e r e n c e cau sed by f i n i t e h e a t p r o p a g a t i o n v e l o c i t y between s o l u t i o n s .

Cytaty

Powiązane dokumenty

Rozkład uzysków energii od słońca przez stolarkę okienną w poszczególnych miesiącach i różnym położeniu budynku względem stron świata na podstawie danych ze

W ramach badań objętych niniejszą pracą analizowano wpływ zastosowania różnej geometrii dysz (cylindryczne, zbieżne oraz rozbieżne) na rozkład wartości liczby Nusselta

Głównym celem przeprowadzonej analizy było zbadanie wpływu długości rur gruntowego wymiennika ciepła na funkcjonowanie rozważanego układu, w tym także na

Celem podjętej pracy jest opis wyników badań za pomocą funkcji korelacyjnej, przed- stawiającej stopień umycia w przepływie płytowego wymiennika ciepła, w funkcji czasu i

Istnieję jaszcza inne metody pomiaru etrat ciepła, ais ze względu na dokładność ich znaczenie jaat mniejeze. Wyznaczenie średniego współczynnika przejmowania

Przebieg tem peratury powierzchni próbek wykonanych z pleksi w funkcji czasu Fig... Pomiary współczynnika

[r]

Celem niniejszej pracy jest zatem, dla przyjętego modelu separacji podczas przepływu dwufazowego, określenie analityczne wpływu strumienis ciepła na strumień masy