Modelowanie temperatury w pomieszczeniu przy zmiennej temperaturze zewnętrznej

Seria: B U D O W N ICTW O z. 93 N r kol. 1514

Dorota LECIEJ - P IR C Z E W S K A ’ Politechnika Szczecińska

MODELOWANIE TEMPERATURY W POMIESZCZENIU PRZY ZMIENNEJ TEMPERATURZE ZEWNĘTRZNEJ

Streszczenie. W literaturze znane s ą m atem atyczne m odele przeznaczone do badania dynam iki cieplnej ogrzewanych obiektów . W iększość z nich je s t je d n a k tak skom plikow ana, że w łaściw ie nie spełnia oczekiw ań w zakresie m ożliw ości ich zastosow ania w praktyce inżynierskiej dla w ym iarow ania i analiz sym ulacyjnych proce­

sów ogrzewania. W zw iązku z tym w niniejszej pracy podjęto próbę opracow ania takiego m odelu, który byłby uproszczony w stopniu um ożliw iającym je g o łatw e w ykorzystanie w praktyce. N a podstaw ie tego m odelu okre­

ślono. jak zm ien iają się tem peratury w budynku m ieszkalnym ogrzew anym ze sta łą m o cą c iep ln ą przy zm iennej temperaturze zew nętrznej.

THE ROOM TEMPERATURE MODELLING BY THE CHANGING EXTERNAL TEMPERATURE

S um m ary. M athem atical dynam ic m odels for sim ulation o f the therm al behaviour o f a centrally heated building are show n in th e literature. M ost o f them are so com plicated, that it m akes them im possible to use in practice for describing th e state o f the heated objects. R eferring to this, the pap er presents such a sim plified model that could be easy exploit in practice. Changes o f the tem peratures in the apartm ent building heated con­

tinuously by the changing external tem perature are determ inated on th e basis o f this model.

1. Wstęp

Działania dążące do zm niejszenia zużycia energii i ekonom icznego gospodarow ania n ią w układach ogrzew ania stale zw iększają swój zasięg. Z agadnienia zw iązane z dokładnością i jednocześnie łatw ością prow adzenia obliczeń zapotrzebow ania energii cieplnej należą do je d ­ nych z najintensyw niej rozw ijanych w obszarze inżynierii sanitarnej. Prace prow adzone w tym zakresie zw iązane są w dużej m ierze z optym alizacją procesu ogrzew ania i w prow adza­

niem now ych m etod je g o realizow ania. Jedną z takich m etod oszczędzania energii przy ogrzewaniu budynków je s t w ykorzystanie system u ogrzew ania niestacjonarnego. R ozw iąza­

nie takie zakłada, że rozpatryw any obiekt użytkow any (i jednocześnie ogrzew any) je s t okre-

*Opiekun naukowy: Dr hab. inż. W acław Szaflik, prof. PSz.

sow o albo że realizuje się proces ogrzew ania ze zm ienną intensywnością. Dzięki odpowied­

nio dobranym okresom w yłączenia lub osłabienia ogrzew ania w cyklu dobow ym można uzy­

skać pew ne oszczędności energii, nie pow odując tym sam ym pogorszenia warunków kom­

fortu cieplnego użytkow ników pom ieszczeń. Stosow anie takiego system u ogrzewania wyma­

ga opracow ania m atem atycznego m odelu odpow iedniego do badania dynam iki cieplnej takich obiektów . W iększość z istniejących modeli m atem atycznych nie spełnia oczekiwań w zakre­

sie m ożliw ości ich zastosow ania w praktyce inżynierskiej dla w ym iarow ania i analiz symula­

cyjnych procesów ogrzew ania niestacjonarnego. S ą one najczęściej opracowane przy założe­

niu stałości tem peratury zew nętrznej, która w rzeczyw istości je s t zm ienna. W związku z tym w niniejszej pracy podjęto próbę opracow ania prostego m odelu m atem atycznego odpowied­

niego do badań dynam iki cieplnej obiektów ogrzewanych zarówno niestacjonarnie, jak i ze sta łą m o cą cieplną przy zm iennej tem peraturze zew nętrznej.

2. Sformułowanie modelu matematycznego

Do opisu m atem atycznego nieustalonej w ym iany ciepła przyjęto model fizyczny obiektu przedstaw iony na rysunku 1. O grzew ane pom ieszczenie od pow ietrza zew nętrznego o tempe­

raturze T e oddzielone je s t przegrodą zew nętrzną o pow ierzchni Fz- W przegrodzie tej znajduje się okno o pow ierzchni F0 i w spółczynniku przenikania ko-

W now oczesnym budow nictw ie stosuje się przegrody w ielow arstw ow e składające się z zew nętrznej w arstw y fakturow ej, izolacji term icznej o znacznym oporze cieplnym i we­

w nętrznej w arstw y konstrukcyjnej. Dla ścian betonowych w artość w spółczynnika przewo­

dzenia ciepła betonu je s t duża i przy dobrej izolacji tem peratura w przekroju poprzecznym w arstw y konstrukcyjnej m a praktycznie tę sam ą wartość. Przykładow e rozkłady temperatur w stosow anym rozw iązaniu zew nętrznej ściany wielowarstw ow ej przy różnych wartościach tem peratury zew nętrznej i tem peraturze wew nętrznej równej T w = 2 0 °C przedstawiono na rysunku 2. Tem peratury te zostały określone dla ściany o następującej budowie:

- w arstw a zew nętrzna - beton o grubości 6 cm, - izolacja term iczna - styropian o grubości 6 cm,

- w arstw a w ew nętrzna - beton zbrojony o grubości 15 cm.

W rozważaniach przyjęto, że przew odzenie ciepła w betonie je s t na tyle duże, że w prze­

kroju warstwy konstrukcyjnej przegrody m ożna przyjąć stałą tem peraturę T2 odpow iadającą temperaturze w osi tej w arstwy, zaś pojem ności cieplne pozostałych w arstw m ożna pominąć.

Dla przegrody zew nętrznej we w spółczynnikach przejm ow ania ciepła uw zględniono opory poszczególnych w arstw przyjm ując, że pojem ność przegrody skupiona je s t w osi w arstwy konstrukcyjnej.

Rys. 1. Schemat pom ieszczenia ogrzew anego przyjętego w m odelu Fig. 1. The schem e o f the heated room

Rys. 2. Rozkład tem peratur w przegrodzie zew nętrznej w ielow arstw ow ej Fig. 2. T em perature profiles in the external m ultilayer wall

Od pom ieszczeń sąsiednich pom ieszczenie rozpatryw ane je s t oddzielone przegrodam i we­

wnętrznymi. Przyjęto, że nie w ystępuje oddziaływ anie cieplne przegród m iędzy so b ą (prze­

gród wew nętrznych nie potraktow ano ja k o żeber przegrody zew nętrznej, tylko jako elem enty odosobnione), a przepływ ciepła przez przegrody je s t jednow ym iarow y - prostopadły do ich powierzchni. Przy opracow yw aniu tego m odelu założono również, że pow ietrze w ypełniające pomieszczenie je s t idealnie m ieszane i w zw iązku z tym je g o stan m oże być opisany je d n ą temperaturą Tw- K olejnym uproszczeniem było założenie, że jedynym źródłem ciepła w po­

mieszczeniu je s t grzejnik przekazujący strum ień ciepła o m ocy Q g. Pom inięto w szelkie zyski

ciepła pochodzące od źródeł w ew nętrznych i nasłonecznienia. Przyjęto, że temperatura w szystkich przegród w ew nętrznych je s t taka sama, stała w całym ich przekroju i równa Tj, Łączna pojem ność cieplna przegród w ew nętrznych W) wynosi:

J K

W; = ^ FwjSwjPwjc \Vj + ^Sk^SkP skc Sk (1)

i=l k=l

P ojem ność cieplną " L ” przegród zew nętrznych W2 określa się jako sum ę ich pojemności:

L

W? = Fzl S z lp zlc zl (2)

1 = 1

D la tak zdefiniow anych założeń m ożna dla rozpatryw anego m odelu napisać następujące rów­

nania bilansu energii:

-W ,d T ,= (T l - T w)F wa ldx ( ³ )

— ^{W 2 dT 2} = ^{(T 2} — Tw )F z a 2Wdx + (T 2 — Te )F z oc2Zdx ( ⁴ )

gdzie: ot] - w spółczynnik przejm ow ania ciepła dla wew nętrznej pow ierzchni przegród we­

w nętrznych [W /m 2K],

0C2w - zastępcza w artość w spółczynnika przejm ow ania ciepła na wewnętrznej po­

w ierzchni przegród zew nętrznych [W /m 2K] uw zględniająca opór połowy grubo­

ści w arstw y konstrukcyjnej, liczona ze wzoru:

») ' 2 A,

a 2z - zastępcza w artość w spółczynnika przejm ow ania ciepła na zewnętrznej po­

w ierzchni przegród zew nętrznych [W /m 2K] uw zględniająca opór połowy grubości w arstw y konstrukcyjnej, opór w arstw y izolacji i w arstwy fakturo­

wej, liczona ze wzoru:

a 2 Z = J Z j f j r

2 A, A2 Aj

Ri, R e - opory przejm ow ania ciepła na odpow iednio w ew nętrznej i zewnętrznej po­

w ierzchni przegród zew nętrznych [m2K/W],

8i, §2, 63 - grubość kolejnych w arstw przegrody zewnętrznej [m],

Aj, A2, h - w spółczynnik przew odzenia ciepła dla m ateriału kolejnych w arstw przegro­

dy [W /mK],

W równaniach tych m am y trzy niew iadom e tem peratury. N iezbędne je s t zatem dodatkowe równanie zam ykające ten układ. Rów naniem takim je s t bilans energii dla pow ietrza zaw arte­

go w pom ieszczeniu przy założeniu, że pojem ność cieplną pow ietrza m ożna w porów naniu z pojemnością ciep ln ą przegród pom inąć:

gdzie: k oz -"zastępcza" w artość w spółczynnika przenikania ciepła dla okna uw zględniająca infiltrację strum ienia pow ietrza zew nętrznego Vp

Temperatura pow ietrza zew nętrznego zm ienia się w czasie. W ystępują zm iany długofalo­

we związane z rocznym cyklem pogodow ym , na które nakłada się cykl dobow y tem peratury.

Dobowy przebieg tem peratury m ożna przedstaw ić krzyw ą sinusoidalną:

gdzie: T" - średnia tem peratura zew nętrzna [K]

ATe - połow a dobow ej am plitudy tem peratury a - przesunięcie fazowe.

Powierzchnia ziem i je s t najzim niejsza tuż przed sam ym świtem , gdyż gdy nie m a powłoki chmur, to przy bezchm urnym niebie istnieją sprzyjające w arunki do strat ciepła w ciągu całej nocy. Ze względu na to przyjm uje się zwykle, że najniższa tem peratura pow ietrza zew nętrz­

nego występuje około jednej godziny przed w schodem Słońca. G dy tylko Słońce wzejdzie, to jego prom ieniow anie zaczyna ogrzew ać pow ierzchnię Ziem i. T em peratura Ziem i w zrasta i ciepło z jej pow ierzchni je s t unoszone przez w arstw y pow ietrza leżące tu ż nad nią. W ten sposób następuje stopniow y w zrost tem peratury pow ietrza w m iarę ja k Słońce w znosi się na niebie. Przyrost ten utrzym uje się jeszcze przez pew ien czas po przejściu Słońca przez zenit, ponieważ pew na ilość ciepła przejęta przez Ziem ię od Słońca przed południem i zakum ulo­

wana w górnych w arstw ach je s t tracona w czesnym południem . W zw iązku z tym najw yższa temperatura pow ietrza w ystępuje około dwie, trzy godziny po południu. Pom iędzy godziną 1300 a 1700 nie w ystępują duże zm iany tem peratury zew nętrznej. W rzeczyw istości sinusoida obrazująca dobow y przebieg tem peratury nie je s t całkow icie sym etryczna, poniew aż czas między najniższą a n ajw yższą tem peraturą nie m usi być koniecznie rów ny okresowi m iędzy najniższą a najw yższą w artością funkcji. Silne zachm urzenie działające ja k o osłona przed

Tw )F w a , d T + (T2 Tw )F z a 2Wd z + Q gd r (Tw Te ) F0 k 0Zd r — 0 (7 )

/

^ o z ~ 1 + (

8

Te = T " + ATe sin a r (9)

naprom ieniow aniem i w yprom ieniow aniem ciepła pow oduje spłaszczenie krzywej - obniża m aksim um tem peratury w dzień, a w nocy podw yższa jej minimum.

Z rów nania (7) m ożna w yznaczyć tem peraturę pow ietrza w ew nętrznego Tw i po wstawie­

niu jej do rów nań (3), (4) oraz uw zględniając zależność (9) otrzym uje się następujące równa­

nia dla rozpatryw anego modelu:

dTi _ ( ^{F 0 koz} + F z a 2W )F wa w ^ dz Wj ( ^{F 0 k0z} + ^{F wa w F ZCX2W )}

j ________Fz a 2W F\v a w_________^

^ ¡ ( F

^

+ ^{Fwa w} + ^{Fz a 2W} )

+____ ^{F wa wF 0 k0Z} _____ ^{^} ,tnjr , {Fok ozT " + Qg ) F wa \v Wi(FqIcqZ + F wa w + F z cc2W ) ^{W! (F} 0 k0Z + F wocw + Fz a 2W )

dT 2 _ ^{^} ____ F z a 2W F wa w _____

dz W 2 ( ^{F 0 k0Z} + Fwa w + F z a 2W)

- T , (Fokoz + Fwa 2w )Fz cx

k ( ^{F 0} k0Z + F wa w + ^{Fz a} 2W) ____ Fpkpz F z a 2W _____

^(^o^oz + FW(XW + F z a 2W)

F z a 2Z W, Fz&2Z

(11)

47" sin a z +

F p ^ o z F z a 2W

W 2 ^{Fpkoz + F wciw + F z a 2W)

Po podstaw ieniu:

F z a 2Z

W ,

T.° +

W 2 {F 0 k0Z + F wa w + ^{F z a} 2W)

{Fpkgz + Fzu2W )Fwa w {Fpkoz + Fwocw + Fzoi2W )

fi =

H =

^ i {F oko z F F wccw + Fz cx2W

) ____

____

^¡{Fpkoz + Fwa w + Fz a 2W ) _ {FpkpzFf +Qg)Fwa w

W/ {F0k0Z + Fwocw + Fz a 2W)

E = Fza 2v/F\va w

W2{F0k0Z + Fwa w + Fza 2W)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

F = -

J =

iFokoz Fza 2w__ + fz ^ h , W

2

0

2

Fpkpz Fza 2i Fza 2Z

L =

^ 2 ^ ‘O^'OZ ■*" F\yCCw + FzOC2w ) W2

r.°+-

{ W

2

oz

2

2

0

QgFz a 2\V

(17)

(18)

(19)

otrzymujemy następujący układ równań różniczkowych:

j y

— — = A T . + B T 2 + H sin a T + Y d r

(20)

— — = E T , + FT2 + J sin a r + L , dT j d r

(

21

który można rozw iązać analitycznie i po uzupełnieniu w arunkam i początkow ym i uzyskać rozwiązanie dla przypadku odpow iadającego tym w arunkom .

3. Rozwiązanie zagadnienia

Układ rów nań (20), (21) rozw iązano niezależnie dw om a różnym i m etodam i - E ulera i dAlemberta. W obu przypadkach otrzym ano poszukiw ane rozw iązanie naszego układu rów­

nań w postaci:

T ,=

F - A + J { A - F ) 2 + 4 B E 2 ^ { A - F f + 4 B E

c (a+k,e)t H + K, J

^

a 2 + ( A + K , E ) 2 A

+

F - A - y J ( A - F ) 2 + 4 B E 2yl{A - F ) 2 + 4 BE

C2e^{( A + K2E ) t} H + K 2J , ( . „ _x . x Y + K 2L

(a c o s a r + [A + K 7E ) s i n a t ) ---

V \ 2 ) ) a + k -2 E

a 2 + {A + K 2E ) 2

(22)

E J { A - F f + 4 B E

+ ₍23)

gdzie:

F - A - - J ( A - F ) 2 + 4 B E 2 E

(24)

F - A + i l ( A - F ) 2 + 4 B E 2 E

(25)

Stałe Ci i C2 określa się na podstaw ie w arunków początkowych.

4. Wykorzystanie modelu do analizy stanu cieplnego budynku przy zmiennej temperaturze zewnętrznej

Przedstaw iony m odel w ykorzystano do analizy zachow ania się obiektu ogrzewanego ze stałą m ocą cieplną przy zm iennej tem peraturze zew nętrznej. O bliczenia przeprowadzono na przykładzie budynku m ieszkalnego w ielorodzinnego, w ykonanego w technologii Wk-70, o kubaturze 24689 m 3. Zew nętrzne ściany konstrukcyjne budynku są trzyw arstw ow e o budowie takiej, ja k przedstaw iono w punkcie 2 niniejszej pracy. W spółczynnik przenikania ciepła dla ścian zew nętrznych w ynosi k = 0.62 W /m 2K. O kna w budynku są drew niane zespolone o w spółczynniku przenikania ciepła k o = 2.6 W /m 2K o łącznej pow ierzchni Fo= 1265 m~.

Przyjęto następujący model fizyczny badanego procesu:

- założono, że w chw ili początkowej obiekt znajduje się w stanie ustalonego przenikania ciepła przez przegrody, tem peratura zew nętrzna w ynosi Te= -5 °C i tem peratura prze­

gród w ew nętrznych T 1= 20 °C,

- w chw ili rozpoczynającej analizow any proces ( t = 0 ) tem peratura zew nętrzna zaczyna zm ieniać się sinusoidalnie o am plitudzie ATe= 2,8 °C. Zakładam y, że moc cieplna grzejnika Q g je s t stała (taka, ja k w stanie ustalonym).

Rys. 3. W ykres zm ian tem peratur w budyku i tem peratury zew nętrznej w ciągu 72 godzin Fig. 3. Tem perature variation diagram during the 72 hours

Celem obliczeń było w yznaczenie zm ian tem peratur pow ietrza i przegród w budynku w ciągu pewnego okresu. O trzym ane wyniki dla 72 godzin przedstaw iono na w ykresie zam iesz­

czonym na rys. 3.

Analizując otrzym ane w yniki m ożna zauw ażyć, że w ahania tem peratury pow ietrza ze­

wnętrznego o am plitudzie ATe= 2,8°C w yw ołują bardzo m ałe w ahania tem peratur w budynku.

Temperatura w ew nętrzna zm ienia się w ciągu doby zaledw ie o około 0,17 - 0,19°C, a w aha­

nia temperatur ścian są jeszcze m niejsze. Przebieg w ahań tem peratur w budynku i je g o prze­

grodach m ożna uw ażać za sinusoidalnie zm ienny. O trzym ane krzyw e są przesunięte w czasie w stosunku do sinusoidy tem peratury zew nętrznej. N ajszybciej na zm iany tem peratury ze­

wnętrznej reaguje tem peratura w ew nętrzna (opóźnienie wynosi około 2 godziny), a najw ol­

niej tem peratura przegród w ew nętrznych (po około 7 godzinach).

Wahania tem peratury w ew nętrznej rzędu 0,17 - 0,19°C są praktycznie niezauw ażalne przez człowieka. Takie m ałe różnice tem peratur s ą w ynikiem dużej pojem ność cieplnej rozpatryw a­

nego budynku. W ynika z tego, że przy stałej w ydajności cieplnej grzejników stosunkow o duże zm iany tem peratury zew nętrznej w yw ołują niewielkie zm iany tem peratury w ew nętrznej.

5. Podsumowanie

W pracy przedstaw iono uproszczony m odel m atem atyczny obiektu ogrzewanego. Wyróż­

niono w nim dw ie przegrody: w ew nętrzną i zew nętrzną. Założono, że pojem ności cieplne przegród skupione są punktowo. W ykorzystując ten model określono przebieg temperatur) przegród i pow ietrza w ew nętrznego w obiekcie przy sinusoidalnie zm iennej temperaturze zew nętrznej. Przy je g o w ykorzystaniu m ożna badać zm iany tem peratur obiektów przy zmien­

nych i stałych tem peraturach zew nętrznych oraz różnych czasach w yłączenia ogrzewania [1],

LITER A TU R A

1. H opkow icz M.: U proszczone m odele m atem atyczne dynam iki cieplnej obiektów ogrzewa­

nych, Z N PK nr 1, seria Inż. Sanitarna i W odna, z. 42, K raków 1992.

2. Leciej - Pirczew ska D „ Szaflik W .: M odelow anie tem peratury w pomieszczeniu przy zm ianie w ydajności grzejnika, PNPS nr 561, IIL nr 34, Szczecin 2000.

Recenzent: D r hab. inż. Jerzy W yrwał, prof. PO

Abstract

The paper presents sim ply m athem atical model o f the heated room. On the basis of this model the changes o f the tem peratures in the apartm ent building heated continuously are de­

term inated by the changing external tem perature. M aking use o f this model one can test the tem peratures changes in different buildings by constant and changing external temperatures and by different tim es o f heat exclusion.