M A N F R E D K R T S C H A , PETER V O L K M A N N *
ÜBER D I E S T E T I G K E I T E I N E R F U N K T I O N V O N Z W E I V E R Ä N D E R L I C H E N
U N T E R M O N O T O N I E - B E D I N G U N G E N
Abstract Let T, E, F be topological Spaces, and let E, F also be preordered with some compatibility between topology and order stucture. Theorem: If f(t, x):TxE->F is separately
continuous with respect to its variables and monotone non-decreasing with respect to x, then f is continuous. The case of ordered normed Spaces E, F is discussed in detail.
1. Einleitung. Nachstehenden Satz v o n J u n g findet m a n bei D e m i d o v i c [1]
als Aufgabe 3207:
Die Funktion f(t, x): R x R->R sei in jeder Veränderlichen t, x (separat) stetig und bezüglich x (schwach monoton) wachsend. Dann ist f stetig.
Diese Tatsache w i r d i n der folgenden N r . 2 verallgemeinert: D i e V e r ä n d e r l i c h e n t, x und die Werte v o n / variieren i n topologischen R ä u m e n T, E bzw. F, wobei E, F n o c h p r ä g e o r d n e t mit geeigneten V e r t r ä g l i c h k e i t s b e d i n - gungen zwischen Topologie und P r ä o r d n u n g vorausgesetzt werden. In N r . 3 w i r d d a n n auf p r ä g e o r d n e t e E, F eingegangen, i n denen sich je zwei Elemente vergleichen lassen. I n N r . 4, 5, 6 werden ausführlich normierte R ä u m e behandelt, welche d u r c h einen K e g e l geordnet (allgemeiner: d u r c h einen K e i l p r ä g e o r d n e t ) sind. D a r a n a n s c h l i e ß e n d ergeben sich i n N r . 7 Bemerkungen ü b e r q u a s i m o n o t o n wachsende F u n k t i o n e n (im Sinne v o n Walter) u n d i n N r . 8 ü b e r heterotone F u n k t i o n e n . Schließlich bringt N r . 9 Z u s a m m e n h ä n g e mit einem Satze v o n D i n i .
H e r r n D r . W i t o l d Jarczyk i n K a t o w i c e sind w i r für seinen Hinweis auf die oben e r w ä h n t e Aufgabe bei D e m i d o v i c sehr dankbar.
2. Der allgemeine Fall prägeordneter Räume. Es sei M eine d u r c h <
prägeordnete Menge, d.h. < soll reflexiv und transitiv sein. F ü r a, beM sei [a, b'] = { x | x e M , a^x^b}
das v o n ihnen erzeugte Ordnungsintervall. Eine Menge K c M werde ordnungskonvex genannt, wenn die I m p l i k a t i o n
Manuscript received April 20, 1989.
AMS (1991) subject Classification: 54C05, 54F05, 46B40.
»Fakultät für Mathematik, Universität Karlsruhe, Postfach 6980, W-7500 Karlsruhe 1, Deutschland.
a, beV=>[a, b~]aV
gilt. Es sei bemerkt, d a ß Ordnungsintervalle ordnungskonvexe M e n g e n sind.
S i n d E, F p r ä g e o r d n e t e M e n g e n , so h e i ß e f:E->F wachsend, falls die Bedingung
xśy=>f{x)śf{y) {x, yeE)
erfüllt ist. A n a l o g werden fallende F u n k t i o n e n e r k l ä r t . I m ü b r i g e n w i r d neben
< auch das S y m b o l ^ i n seiner offensichtlichen Bedeutung benutzt werden.
S A T Z 1. Es seien T, E, F topologische Räume, E, F prägeordnet, und es gelte:
I) Für E: Zu jedem xeE und jeder Umgebung U von x gibt es xtxeU mit x e l n t [ x( 3c].1'
II) Für F: Jedes y in F besitzt eine Umgebungsbasis aus ordnungskonvexen Mengen.
Ferner sei G eine offene Teilmenge von TxE und f(t, x ) : G - » F eine Funktion, welche bezüglich t, x in T bzw. E (separat) stetig sowie in der
Veränderlichen x wachsend ist. Dann ist f stetig.
B e w e i s . Es g e n ü g t , den F a l l G = TxE, also f(t, x):TxE-*F
z u betrachten. N u n sei (t0, x0)eTxE. U m die Stetigkeit v o n / i n (t0, xQ) nachzuweisen, sei eine U m g e b u n g V v o n f(t0, x0) vorgelegt. Es gilt also
f(tQ,x0)elntVczV,
und wegen II) k a n n Vordnungskonvex vorausgesetzt werden. D a x^>f(t0, x) stetig i n x = x0 ist, existiert i n E eine U m g e b u n g U v o n x0 mit
f(t0, [ 7 ) c I n t F .
Wegen I) gibt es x, x eU mit x ^ I n t C ^ 5c]. Speziell gilt f(t0. *)./(*<>. x ) e i n t 7 .
D i e F u n k t i o n e n t-*f(t,x), t^>f(t, 5c) sind stetig i n t = t0, also findet m a n i n T eine U m g e b u n g ß v o n t0 mit
(1) f(Q, x),f(Q, x ) « = I n t K
ß x [ x x ] ist eine U m g e b u n g v o n (t0, x0) , u n d für (t, x) e ß x [ x( 5c] gilt wegen der vorausgesetzten M o n o t o n i e v o n /
(2) f{t, x) < fit, x) ^ fit, x).
Wegen (1) gilt f(t, x),f(t, x)eV, und hieraus folgt mit (2), d a V ordnungs
konvex ist,
Int A bezeichne das (topologische) Innere einer Menge A.
f(t, x)eV ((t, x ) e Q x [ x x ] ) . Somit ergibt sich / ( ß x [ x , x])<=F.
B E M E R K U N G . Satz 1 gilt i m allgemeinen nicht mehr, wenn G nicht offen vorausgesetzt w i r d ; Beispiel: T = E = F = R, G = {(t, x)\t,xeR,t + x = 0}.
D a n n ist jede F u n k t i o n f(t, x ) : G - > R separat stetig u n d i n x wachsend.
3. Total prägeordnete Räume. Ist i n einer p r ä g e o r d n e t e n M e n g e M die Bedingung
x^y, y ^ x => x = y (x, yeM)
erfüllt, so soll < eine Ordnung h e i ß e n . Sind i n einer p r ä g e o r d n e t e n (bzw.
geordneten) M e n g e M je zwei Elemente x, y vergleichbar, gilt also stets x < y oder y^x, so w i r d die P r ä o r d n u n g (bzw. Ordnung) total genannt.
N u n sei M total p r ä g e o r d n e t . D a n n w i r d definiert xKyox^y, y^x (x, yeM)
(wobei y^x das Nichtbestehen v o n y<x bedeutet). Weiter werden für a,beM (unter Verwendung zweier Objekte — oo, +00, welche nicht zu M gehören) die offenen Intervalle
(a, fc) = { x | x e M , a<x<b}, (a, +cc) = {x\xeM, a<x}, (— 00, b) = { x | xeM, x<b}, ( — 00, + 00) = M
eingeführt. Es ist d a n n
{{a, b)\a, beMu{ — 00, +00}}
eine Basis für eine T o p o l o g i e , die wir die Intervalltopologie v o n M nennen. D e r folgende Satz l ä ß t sich leicht beweisen:
S A T Z 2. Es sei M eine total prägeordnete Menge, 9~ bezeichne ihre Intervalltopologie. Nimmt man in NaM die von 3~ erzeugte Spurtopologie, so besitzt jedes xeN eine aus Ordnungsintervallen (der Form [a, 6] = {y\yeN, a^y^b] mit a, beN) bestehende Umgebungsbasis.
E r g ä n z e n d sei z u n ä c h s t bemerkt, d a ß die d u r c h 2T erzeugte Spurtopologie nicht die Intervalltopologie i n N z u sein braucht; Beispiel: M = R, N =
1 1 { *' 1 2' 3'
I n Satz 1 k ö n n e n n u n s o w o h l für E als auch für F solche N genommen werden, wie sie i n Satz 2 v o r k o m m e n . D e n Spezialfall total geordneter M e n g e n E, F findet m a n bei Pfanzagl [5, S. 69]. Andererseits w i r d i n [5, S. 58] die R o l l e total p r ä g e o r d n e t e r M e n g e n i n gewissen Anwendungen betont, u n d das ist einer der G r ü n d e , w a r u m wir uns mit ihnen hier so ausführlich befassen.
4. Normierte Räume. E s bezeichne N einen reellen normierten R a u m mit Nullelement 0 . F ü r A, ßczJV, aeN u n d A e R w i r d allgemein gesetzt
A±B = {a±b\aeA, beB}, a±B = {a}±B, XA = {Xa\aeA}, -A = (-\)A.
F ü r aeN u n d Q^O bezeichnet S(a;g) = { x | | | x - a | | < ß } die abgeschlossene K u g e l u m a mit Radius g.
U n t e r einem Keil K werde eine nichtleere, abgeschlossene, konvexe Teilmenge v o n N verstanden, welche für / l ^ O die Eigenschaft XKczK besitzt.
D u r c h die Festsetzung
x^yoy — xeK (x, yeN)
w i r d d a n n i n JV eine P r ä o r d n u n g < erzeugt. Diese ist genau dann eine O r d n u n g , wenn K ein Kegel ist, d.h. ein K e i l mit der Eigenschaft
Kn(-K) = {©}.
W i r nennen einen K e i l K körperhaft, wenn Int K # 0 ist, und wir nennen ihn normal, wenn ein <5>0 existiert, so d a ß die Bedingung
(3) IW| = = 1, 0^x, e^y=>\\x + y\\^S (x, yeN)
erfüllt ist. W i e K r a s n o s e l ' s k i l et al. [2, S. 38] schreiben, ist (3) die v o n M . G . K r e i n für K e g e l gegebene Definition der N o r m a l i t ä t . M a n sieht n u n leicht ein:
Jeder (3) g e n ü g e n d e K e i l ist t a t s ä c h l i c h ein K e g e l . A n dieser Stelle m ö c h t e n wir n o c h bemerken, d a ß die Beschäftigung mit p r ä g e o r d n e t e n normierten R ä u m e n nicht ohne Wert ist, denn sie spielen z . B . eine Rolle i n der Theorie der Differentialungleichungen; m a n vergleiche etwa Redheffer [6].
E i n hier wichtiges Beispiel ist der mit einer beliebigen M e n g e A gebildete Banachraum
r(A) = { x | x = (xa)aEA,xaeR(cceA), ||x|| = s u p | x j<oo}
der auf A definierten, reellwertigen, b e s c h r ä n k t e n F u n k t i o n e n . I n i h m ist n(A) = {x| x = ( x . )8 S i le / % 4 ) , xa ^ 0 ( a e ^ ) }
ein sowohl k ö r p e r h a f t e r als auch normaler Kegel.
N a c h diesen Vorbereitungen geben wir zwei S ä t z e ; die Beweise dazu werden i n N r . 5 geführt werden.
S A T Z 3. Ist N ein durch einen Keil K prägeordneter reeller normierter Raum, so gilt Int K # 0 genau dann, wenn zu jedem x e N und jeder Umgebung U von x Elemente x, xeU existieren mit x e l n t [ x , x ] .
S A T Z 4. Ist N ein durch einen Keil K prägeordneter reeller normierter Raum, so ist K genau dann normal (also ein normaler Kegel), wenn jedes xeN eine
Umgebungsbasis aus ordnungskonvexen Mengen besitzt.
B E M E R K U N G E N . 1. Satz 4 besagt, d a ß i n Satz 1 für F ein p r ä g e o r d n e t e r normierter R a u m genau d a n n genommen werden k a n n , wenn der die P r ä o r d n u n g erzeugende K e i l ein normaler K e g e l ist.
2. Genauso besagt Satz 3, d a ß i n Satz 1 für E ein p r ä g e o r d n e t e r normierter R a u m N genau d a n n genommen werden k a n n , wenn der < erzeugende K e i l K k ö r p e r h a f t ist. N a t ü r l i c h k a n n d a n n für E auch jede offene Teilmenge eines
solchen Raumes N genommen werden. Jede beliebige Teilmenge k a n n nicht genommen werden, wie folgendes Beispiel zeigt: T =F = R , N = R2 geordnet durch K = R ^ = {(x1,x2)\ x1,x2'^0},E = { ( x1 ( x2) | ( x1 ( x2) e R2, x1 + x2 =0}.
D a n n ist jede F u n k t i o n f(t, x ) : R x £ - > R b e z ü g l i c h xeE wachsend, aber d a E z u R h o m ö o m o r p h ist, folgt aus der separaten Stetigkeit v o n / i n t, x nicht notwendig die Stetigkeit v o n /
N a t ü r l i c h ist die Frage interessant, ob i n Satz 1 für E ein O r d n u n g s i n t e r v a l l eines p r ä g e o r d n e t e n normierten Raumes N genommen werden k a n n . D a s ist i n der T a t der F a l l , wenn N d u r c h einen k ö r p e r h a f t e n K e g e l K geordnet w i r d u n d b e z ü g l i c h < n o c h Verbandsstruktur besitzt, wenn z u x, yeN also sup{x, y}
u n d i n f {x, y} existieren (Beispiel: N = lx(A), K = l+(A)). A u f den einfachen Beweis des entsprechenden (folgenden) Satzes werden w i r nicht weiter ein- gehen.
S A T Z 5. In einem reellen normierten Räume N sei durch einen körperhaften Kegel eine Ordnung erklärt, bezüglich deren N ein Verband ist. Sind dann a, beN, so besitzt das Ordnungsintervall E = [a, b] die in Satz 1 angegebene Eigenschaft I).
5. Beweis der Sätze 3, 4. I n dieser N r . ist JV durchweg ein reeller normierter R a u m , u n d < bezeichnet die i n i h m d u r c h einen K e i l K induzierte P r ä o r d n u n g .
L E M M A 1. Für a, beN gilt [a, fc] = (a + K)n(b — K).
Bev/eis.(a + K)n(b-K) = {x\x-aeK,b-xeK} = {x|a«$ x ^ b] = [a,b].
B e w e i s d e s S a t z e s 3 . Z u n ä c h s t sei IntK ^ 0. Es sei U eine Umgebung des Punktes x aus N; ohne E i n s c h r ä n k u n g sei U = S(x;s) m i t einem e > 0 . M a n k a n n pelntK mit | | p | | ^ e w ä h l e n . D a n n gilt ® e l n t ( p — K) u n d 0 e l n t ( — p + K), also auch ( L e m m a 1!) 0 e l n t [ — p , p ] . E s folgt x e l n t [ x — p , x + p ] , u n d wegen ||p||<e liegen x—p, x + p i n U = S(x;e).
N u n sei umgekehrt die soeben bewiesene Bedingung aus Satz 3 erfüllt.
D a n n gibt es speziell z u x = 0 ein Ordnungsintervall [ x , 3c] mit 0 als innerem P u n k t . W e g e n L e m m a 1 ist des Innere v o n (x + K)n(x — K) nicht leer, also ist auch I n t X ^ 0.
L E M M A 2. Für A, B aN ist D = (A + K)n(B — K) eine ordnungskonvexe Menge.
B e w e i s . E s seien a,beD u n d a^x^b. D a n n gilt aeA + K, x — aeK, u n d es folgt
(4) x = a + (x-a)eA + K + KcA + K.
A n a l o g gilt beB — K, x — be( — K), u n d es folgt
x - b + (x-b)eB-K-K<=B-K.
H i e r a u s ergibt sich mit (4) xeD, also folgt aus a, beD stets [a, &]<=D.
U n s e r Satz 4 ergibt sich n u n aus der Ä q u i v a l e n z A ) o C ) des nachstehenden L e m m a s 3 i n V e r b i n d u n g mit der Tatsache, d a ß für eine ordnungskonvexe M e n g e VczN auch XV u n d x+V (XeYÜ, xeN) ordnungskonvex sind.
L E M M A 3. Folgende Aussagen sind äquivalent:
A ) K ist normal.
B) Mit einem Q>0 gilt die Implikation
(5) a, b e S ( 0 ; l ) = > [ a , b ] c S ( 0 ;e) .
C) 0 besitzt eine (Norm—beschränkte, ordnungskonvexe Umgebung.
D ) Mit einem x>0 gilt
(6) 0 < x ^ j ; ^ | | x | | < x | | j ; | | (x, yeN).
B e w e i s . A)=»-B): E s werde (3) mit einem <5>0 vorausgesetzt. W i r nehmen an, (5) sei für jedes Q>0 falsch. D a n n gibt es für n = 1, 2, 3 , . . . Elemente a„,b„, zneN m i t
a„, b„eS(0;l), an^ zn^ bn, \\z„\\^n + 3.
z —a b —a
Hieraus ergeben sich für x„ = — — — yn = ———die Beziehungen l|z«-aJI l l zn- anl l
(7) 0 ^ xn^ yn m i t ||x„|| = l , yn^0.
A l s o w i r d
**^Xn> Ti M'
\\yn-x„\\
u n d d a hier rechts v o n 0 Elemente m i t N o r m eins stehen, liefert (3)
" \\yn-xn\\\\
d.h.
\\xn\\y„-xn\\+yn-xn\\^ö\\y„-xn\\.
G r e n z ü b e r g a n g n ->• oo liefert wegen (7) ö < 0, i m Widerspruch zur Vorausset- zung.
B) = > C ) : M a n bilde
V= (J [_a, bl
a, beS(8;l)
U n t e r der Voraussetzung B) gilt S ( @ ; l ) c F c S ( 0 ; g ) , also ist F e i n e be- s c h r ä n k t e U m g e b u n g v o n 0. Ferner ist nach L e m m a 1
V= U ((a + K)n(b-K))= (J (a + K)n (J (b-K)
a,fceS(0;l) IMI « 1 11*11 ^1
= (S(0;l) + K)n(S(0;l)-K), u n d somit ist V nach L e m m a 2 ordnungskonvex.
C) =>D):Es sei F e i n e b e s c h r ä n k t e , ordnungskonvexe U m g e b u n g v o n 0.
D a n n existieren a, ß>0 m i t
(8) S(0;a)<=Vc:S(0;ß).
Z u m Nachweis v o n (6) gelte
(9) 0 < x < y.
Ist z u n ä c h s t y 0 , so folgt
„ x v 0 < a — - < a — ,
llyll Ibll
und d a 0 u n d ay/||}>|| i n F l i e g e n , ergibt sich aus der O r d n u n g s k o n v e x i t ä t dieser M e n g e ax/\\y\\eV. Wegen (8) ist also | | a x | | / | | y | | < ß , d.h.
(10) IMI <(/»/«) llyll.
Ist i n (9) y = 0 , so folgt 0 < x < 0 , also 0 < lx s$ 0 (A ^ 0), u n d wegen (8) gilt somit II/Ix U <j? für alle X ^ 0. Daher ist x = 0 , und (10) ist auch in diesem Falle erfüllt. A u s dem Bestehen v o n (10) folgt (6) m i t x = ß/a..
D ) =>A):Unter der Voraussetzung D ) soll (3) mit einem ö>0 bewiesen werden. D a z u sei 0 < x, y mit | | x | | = | | y | | = 1. Es folgt 0 ^ x ^ x + y, also mit (6) 1 = | | x | | ^ x | | x + y||. Somit k a n n ö = l/x genommen werden.
6. Ergänzungen zum Falle der normierten Räume. A l s erstes m ö c h t e n w i r zeigen, d a ß die Bedingungen I), II) des Satzes 1 i m Falle E = F i m allgemeinen voneinander u n a b h ä n g i g sind, u n d zwar sogar i m Falle eines geordneten Banachraumes N = E = F.
I m H i n b l i c k auf die Sätze 3, 4 g e n ü g t es, i n einem Banachraume einen normalen K e g e l K mit Int K = 0 anzugeben (z.B. kann der Hilbertraum l2 der quadratisch konvergenten, reellen Zahlenfolgen x = ( x1 (x2, . . . ) genommen werden mit K = l\ — { x | x e Z2; 0 ^ x1, x2, . . . } ) sowie i n einem anderen B a - nachraume einen k ö r p e r h a f t e n K e g e l K, welcher nicht n o r m a l ist. F ü r ein solches zweites Beispiel nehmen w i r (mit N = {1, 2, 3,..}) den B a n a c h r a u m
= / » ( N ) = { x | x = ( x1 ;x2, . . . ) , x „ e R , | | x | | = s u p | x „ | < GO}.
neN
I n i h m ist
00
(11) K = f] { x l x e /0 0, x1+ x2 + . . . + x „ ^ 0 }
n = 1
ein Kegel, u n d es gilt IntK ^ 0. N u n ist K nicht normal, denn anderenfalls m ü ß t e wegen der i n L e m m a 3 festgestellten Ä q u i v a l e n z A ) « > D ) ein m e N existieren mit
(12) 0 < x < y = > | | x | | < m | | y | | (x, yel*>).
W ä h l t m a n
(13) x = (Q, 0, O ^ m + 1 , 0, 0, . . . ) , y = (±, 1 . . . 1„ 0, 0, ...),
m m+1
SO gilt
y-x = U, 1 . . . l„ -m, 0, 0, . . . ) e K ,
m
also ist <9<x<>>. Hieraus folgt mit (12) ||x||<m||y|| = m<m+l = ||x||, was nicht geht. A m Rande sei e r w ä h n t , d a ß der durch den K e g e l (11) geordnete /°°
ein V e r b a n d ist.
N u n eine Bemerkung z u r Ä q u i v a l e n z A)<s>B) des L e m m a s 3: I n B a - n a c h r ä u m e n k a n n m a n B) durch die viel einfacher z u formulierende B e - dingung ersetzen, d a ß jedes Ordnungsintervall b e s c h r ä n k t sei (vgl.[2])< I n u n v o l l s t ä n d i g e n normierten R ä u m e n ist dieses i m allgemeinen nicht richtig, wie folgendes Beispiel zeigt: Es sei N der aus den finiten F o l g e n x = (x1,x2,...,x„, 0 , 0 , . . . ) (n e N variabel) bestehende T e i l r a u m v o n lm. M i t K g e m ä ß (11) ist dann
KN = NnK
ein K e g e l i n N. D a die x, y i n (13) Elemente v o n N sind, ist auch KN nicht normal. Andererseits prüft m a n leicht nach, d a ß alle Ordnungsintervalle i n N ( N o r m - ) b e s c h r ä n k t e M e n g e n sind.
7. Quasimonoton wachsende Funktionen. D e r R " werde durch den K e g e l R+ = {x| x = ( x1, . . . , x „ ) ; x1,..., x „ ^ 0 } geordnet, u n d es sei [a, b] ein Ordnungsintervall i n R". N a c h W a l t e r (vgl. [8]) h e i ß t / : [a, b~\ -> R " ( a l s o / =
(/i-
••••fn) m rt fv'-[.a, b'] - > R ; v = 1, n) quasimonoton wachsend, wenn jede der F u n k t i o n e nL =fv(x1,..., x„)
i n den V e r ä n d e r l i c h e n x1, . . . , xv_uxv + 1, xn wachsend ist. Sind d i e /v( x1 >. . . , x„) bezüglich der x1 (. . . , x„ auch noch (separat) stetig, so schließt m a n mit Hilfe v o n Satz 1 (oder Satz 5) sukzessive auf die Stetigkeit v o n fv i n den V e r ä n d e r l i c h e n
(x1 ( x2), x3,..., x„; (Xj, x2, x3), x4,..., x „ ; . . . ; ( x1 (. . . , x„),
also schließlich auf die Stetigkeit v o n /v: [ a , b] ->R. Somit gilt nachstehender Satz.
S A T Z 6. Eine quasimonoton wachsende Funktion f(x1, x„): [a, b] ->R"
(mit a, beR") ist genau dann stetig, wenn sie in den Variablen x t , x „ (separat) stetig ist.
8. Heterotone Funktionen. Es seien E, F durch K e g e l K bzw. L geordnete B a n a c h r ä u m e , u n d es sei / : E -> F (der Einfachheit halber sei / auf ganz E definiert). I n neuerer Zeit (vgl. etwa Opoicev [4] oder K u r p e l ' u n d Suvar [3]) interessiert m a n sich für die M ö g l i c h k e i t , / i n der F o r m
(14) f(x) = <P(x,x) (xeE) darzustellen, wobei
(15) 0(y, z):ExE-*F
bezüglich j ; w ä c h s t u n d bezüglich z fällt. Besteht eine solche M ö g l i c h k e i t , so wird / i n [4] heteroton genannt. F ü r endlich-dimensionale E, F mit k ö r p e r h a f t e n
K, L w i r d z.B. i n [7] gezeigt, d a ß jedes stetige f:E -* F heteroton ist, w obe i die i n (14), (15) auftretende F u n k t i o n $:Ex E -> F stetig g e w ä h l t werden k a n n .
A u c h i m unendlich-dimensionalen F a l l e ist m a n bei stetigem / an einem stetigen <P interessiert. Satz 1 (in V e r b i n d u n g m i t den S ä t z e n 3, 4) zeigt, d a ß bei k ö r p e r h a f t e m K u n d n o r m a l e m L z u m Nachweise der Stetigkeit v o n <P(y, z) der Nachweis der Stetigkeit i n jeder V e r ä n d e r l i c h e n g e n ü g t .
9. Zusammenhänge mit einem Satze von Dini. D e r folgende Satz ist eine V e r s i o n eines D i n i s c h e n Satzes.
S A T Z 7. Es sei Tein topologischer Raum, F ein durch einen normalen Kegel geordneter normierter Raum, und es seien
<Po><Pi> Vi* •••••T-*F stetige Funktionen mit
(16) <Pi(t)><P2{t)>...-Kp0{t) (teT)
(der Pfeil bedeutet Konvergenz im Sinne der Norm von F). Erklärt man
c>:rx jo,
1, j , . . . j - F durch(ę0(t) (x = 0)
<p{t> x)=<
[ę„(t) (x = 1/n),
so ist ę stetig. Ist noch T kompakt, so ist die Konvergenz (16) gleichmäßig auf T.
B e w e i s . M i t E = jo, 1, ^, ^, ... j e r f ü l l t / = -<p,f:TxE-+F nach Satz 2 u n d Satz 4 alle Voraussetzungen des Satzes 1. A l s o ist / (und damit auch ę) stetig. F ü r einen k o m p a k t e n topologischen R a u m T ergibt sich d a n n unmittel
bar die G l e i c h m ä ß i g k e i t der K o n v e r g e n z (16).
A b s c h l i e ß e n d sei bemerkt, d a ß umgekehrt manche Fassung des Satzes 1 (insbesondere der i n der E i n l e i t u n g zitierte Satz v o n Jung) aus geeigneten V e r s i o n e n des D i n i s c h e n Satzes herleitbar ist. E s w ä r e interessant z u wissen, wie weit diese Z u s a m m e n h ä n g e w i r k l i c h gehen.
LITERATURVERZEICHNIS
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