Sterowalność układów dynamicznych typu 2-D

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚL ISKIEJ Seria: A U TO MA TY KA z. 63

19R2 Nr kol. 735

Derzy KL AM KA

Instytut Automa ty ki Politechnika óląeka

S T ER OW AL NO ŚĆ UK Ł A D Ó W D Y N A MI CZ NY CH TY PU 2-D /

S t r a a z c z o n l e . W artykule oodano d e fi ni cj e następ uj ąc yc h rodzajów s t erowalnośei uk ła dó w dyna mi cz ny ch typu 2-D: lokalnej sterowalnoś- ci, modelnej st or owalnoścl oraz storow al no śc l pary macierzy w i e l o ­ mianowych. Sfor mu ło wa no wa runki konieczne i w y s t a r cz aj ąc e różnych ro dzajów at erowalności oraz ro zp at rz on o związki pomiędzy nimi. Po­

nadto wykazano, że ot er ow al no ść nodalna Jest powszechnę własnością układu d y n a m i c z n e g o typu 2-D. P r ze ds ta wi on o również przykłady ilus­

trujące teorię.

\

1. WPRO WA DZ EN IE

V/ cięgu ostatnich kilku lat w literaturze poświęconej teorii uk ła dó w dy na mi cz ny ch ukazało się wiele prac do ty cz ąc yc h, tzw. uk ła dó w d y n a m i c z ­ nych typu 2-D. Sę to ogólnie rzecz biorąc uk ła dy d y sk re tn e o dwu z m i e n ­ nych ni ezależnych, czyli układy, które są o k re śl on e w dy sk r e t n y c h p u n k ­ tach płaszczyzny.

W ni ni ej sz ym ar tykule zostaną rozpatrzone Je dynie zagadnienie s t e r o - walności uk ładów d y n a mi cz ny ch typu 2-D, a w sz cz eg ól no śc i za ga dnienia lo­

kalnej, globalnej i modalnej storowalnoścl. Ar ty ku ł stanowi przegląd d o ­ tychczasowych r e zu lt at ów z tej dziedziny, które zostały zami es zc zo ne w pracach [ l - 1 3 ] . W s zy st ki e twierdzenie podane są bez do wo dó w a jo dynie z odpowiednimi od no śnikami do literatury.

Rozwój teorii układów dy na mi cz ny ch typu 2-D wiąż e się ściśle z coraz szerszym ich z a s t o s ow an ie m w praktyce, a w s z cz eg ól no śc i przy p r o j e k t o w a ­ niu filtrów d w u w y m i a r o w y c h [9], £13]. Inne przykłady zastos ow ań teorii u- kładów d y n a m i c z n y c h typu 2-D podane są w pracsch [ll] oraz [ i 2 ] , gdzie przedstawione również metody ich projek to wa ni a i konstrukcji.

Ogólnie, w pode jś ci u do uk ł a d ó w d y na mi cz ny ch typu 2-D można wy różnić dwa z a sa dn ic ze kierunki: p i e r ws zy o p ar ty na rachunku ma ci er zo wy m £11] [12]

[13] oraz drugi po le ga ję cy na w y k o r z ys ta ni u wotod algebraicznych, a w szczególności teorii w i e l o m i a n ó w wielu zmiennych [ l - i o ] . W ni ni ej sz ym a r ­ tykule re pr ez en to wa ne są obydwa te kierunki, z p o dk re śl en ie m związków m i ę ­ dzy nimi.

2. OPIS M A TE MA TY CZ NY UK ŁA DU DY NA MI C Z N E G O

W literaturze poświęconej uk ładom d y n a mi cz ny m typu 2-D spotyka się w i e ­ le różnych op is ów matema ty cz ny ch tych uk ł a d ó w [3j, £6] , [7], [lÓJJll]

£12], [l3]. Na jo pó ln ie js zy m z nich Jest opis z a m i es zc zo ny w pracach [12]

oraz [13] , będący jednocześnie punktem wy jścia do dalszych rozważań za­

wartych w niniej sz ym opracowaniu.

Liniowy, st ac jonarny układ dynami cz ny typu 2-D op isany Jest następuję- cymi równaniami różnicowymi [12J , £l3j :

x(i+l,J) » A^x(i , J ) + A 2 y(i,j) + B 1u(i,j) (2.1)

y ( i , J*_i) - A j x (i ,J ) + A4 y(l,j) + B2 u(i,j) (2.2)

z waru nk am i brzegowymi x(o,j) « xB , y(i,0) * y B oraz algebr ai cz ny m rów- naniem wy jścia postaci

v(i,j) - C ^ U . j ) + C2y(i,j), (2.3)

gdzie i s Z ł , J « Z* , Z* jest zbiorem nieujemnych liczb całkowitych.

x(i ,J ) a R n , y ( l , j ) £ Rn , v ( i ,J ) e Rq , u ( i , j ) c R p , natomiast ma cierze Aj^, A 2 , Aj, A4 , Bj^, B2 , Cj , C2 , są ma ci er za mi o od po wi ed ni ch wymiarach, a ich elementy są liczbami rzeczywistymi. Dla skrócenia zapisu wpro wa dz a się na st ęp uj ąc e oznaczenia

\ a 2 ‘ 'B l' x(i.j)

B » C - [Cj C2], S (i , J ) -

_A 3 A 4. ,S2. . y(i .J)

W e k t o r x(i,j) nazywa się h o r y z o nt al ny m w e k t o r e m stsnu, natomiast we kt or y(i,j) nazywa się we rt y k a l n y m w e k t o r e m stanu [8], [ 12J. Ogólna definicja stanu układu dyna mi cz ne go typu 2-D Jest bardziej sk omplikowana i będzie omawiana w dalszej części Brtykułu.

W celu określenia ma cierzy tranzycji A 1 ’-' oraz wyzn ac ze ni a o d p o w i e ­ dzi układu v(i,j) na ciąg sterowań u(l,j), 1 € Z * , j e Z + , wp ro wa dz a się następujące ‘definicje.

Definicja 2 . 1 . Dla par liczb ca łk owitych (i,j) oraz (h,k),i,J , h , k i Z, wpro wa dz a się częściowy porządek określony następująco

(h,k) (i,j) wted y 1 tylko wtedy, gdy h ^ i oraz k^,J, (h,k) - (i.j) wt ed y 1 tylko wtedy, gdy h » i oraz k = j,

(h,k) < (i.j) wtedy i tylko wtedy, gdy (h,k) < ( i , j ) oraz (h,k)=^(i,j).

I

St er owalność układów d y na mi cz ny ch typu 2-D 53

Doflnlcja 2 . 2 . Dla ma cierzy A »

A 3 A4j

m a ci er z tranzycjl A 1 '^ Jest

zdefiniowana w sposób na st ęp uj ąc y [13] : A 1 ’^ = A 1 '°Ai"’1 '“ + A 0 ’1 A * ' ^ -1

dla (i.j) > (0,0) A 0 , 0 - I Xn 0

O I. In ’ "selerze Jednostkowe o wymiarach od po wi ed ni o (n x n) oraz (a x m ) .

A - 1 ’3 - A 1 ’- ^ dla J St 1, i 2t 1.

Z defi ni cj i 2.2 w y n i ka ją podstawowa wł as n o ś c i ma cierzy tranzycjl A 1 '^, a mianowicie [1 3 J :

1) A

A 1 A 2 LA 3 A4 J

A 1 A 2 0 O

O o

A 3 A4 J

A 1 '0 ♦ A 0 '1

2) A 1 '0 . A 1 '0 A 1" 1 '0 ♦ A0 '1 A 1 '"1 . A 1 '0 A 1" 1 ’0

3) A i.O (a1 , 0 ) oraz A°'J . (a0 -1 )3

r i — ° i ' 0 0 "

1

0T"łM n

or az I ® ' 1 »

O

O_____1

? In.

5) X 1 ’°A Xn O O

‘A 1 A 2 A 3 A4

A 1 *2 O O .

.

Zatem I 1,0A » I 1,0A 1,0 - A 1 , 0 . Podobnie Iu , i A « XO.la - t°.1 aO.1 . *0.1

6) I0 '1 A 1 '0

O O o I_

A 1 A 2 O o

Zatem I0 '1 A 1 '0 . 0. Podobnie I 1,0A 0,1 - 0.

Podobnie określa się następujące potępi:

j

B 1 -0 , ■Q l‘

.0 .

. i t Z * , B0 -1 - ' 0

A .

J C Z

Za pomocę ma cierzy tranzycji A* ' ^ . wyjście ukłsdu dy na mi cz ne go v(i,j) wyraża się następujęcę zależnościę

v(i,j) = C s(i.j) - [ C j C 2j

\ k=0

x ( O ,k ) O

h=i

♦ j y - M h»0

O y ( h ,0)

(Ai- h- 1 ^ - kB 1 '°+A i- h -J-'‘- 1B0 -1 )u(j.k)) (0,0)iś{h.k)<(l,j)

(2.4) W przypadku uk ładów d y na mi cz ny ch typu 1-D, tzn. zw ykłych układów d y s k r e t ­ nych znanych szeroko w literaturze, powyższe wz or y 1 zależności sę oczy-

viźcle również prawdziwo przy oodstawieniu A 2 = O, A^

B2 = 0 ,

C2

Nieco inny, mniej ogólny, model ma te ma ty cz ny układów dyna mi cz ny ch typu 2-D rozpatrywany jest w pracy £9] , gdzie odpowiednio równanie maję nastę- oujęcę postać :

y(i+l,J+l) + A 0y(i,j) + Aj^yCi.jłl) + A 2 y(i+l,j) + B ^ i i . j ) (2.5)

/(i.j) - C y(i,j) (2.6)

i e z + . j e z + , y (i , j ) e R n , u ( l , j ) e R 0 , v ( i . j ) c R q , aq . A 1 , a2 , C2 sa macierzami o odpowiednich wy mi ar ac h i elementach będęcych liczbami r z e­

czywistymi. Po nieważ y(i+l,J+l) za le ży od y(i.j), więc równanie różn i­

cowe (2.5) Jest równaniem drug ie go rzędu 1 dB się przez podstawionie [?J :

*(l.j) - y(i,j+l) - A y(i,j) (2.7)

sprowadzić do układu równań różnicowych pierwszego rzędu postaci

x(i+l,j) = A ^ i i . j ) + (a q + A łA 2 )y(i.j) + Bjuii.j) (2.7»)

y ( i , J * l ) » x ( i , j ) * A j y U . j ) ( 2 . B )

Zatem w tym sz cz eg ól ny m przypadku macierze A, B, C maję postać n a s t ę p u ­ jące [o] :

St er owalność układów d y n a mi cz ny ch typu 2-D 55

W celu określenia ma ci er zy transraitancji op eratorowych dla układu d y ­ namicznego typu 2-D definiuje aię dwuw ym ia ro wą transformację Z, zwaną także 2-D-Z transformacją £9], . Tr an sformacje typu 2-D-Z dla ciągu x(i,j), i e Z * , j £ Z* jest zdefiniowana w sposób następujący [ 9 j , [12J :

-{x{ i , J )

j

(0,0)=s(i,j) ^{(2.1 0)}

Zatem

:|x(i+l,j)j (o,o)s(i,j)

Z

gdzie :

x( i+ l, j) z” iw~^ s z(x(z,w)

j»°c

Xq(w) = x(0,j)w-J 1=0

X*(«)).

Podobnie

z|x(i,J + l)|

gdzie :

(0.0)sg(i,J

x(i.j + l) z"iw ‘ ;l w ( x ( z ,w) - Xq(z1 ) ,

(2.11)

(2.12)

(2.13)

1=00

Xq(z) = x(i ,o)z~1 1=0

(2.14)

Zdefiniowana D o w y ź e j 2-D-Z transformacja jest uo gó ln ie ni em na nrzypadek dwóch zmiennych niezależnych, znanej w literaturze zwykłej Z transfor­

macji .

Dokonując obustronnej 2-D-Z transformacji równań (2.1), (2.2). (2.3) oraz wykorz ys tu ją c wprowadzone wcześniej oznaczenia, uzyskuje się nast ę­

pujące zależności

c1-4N« 0 '

V

- A j S ( z ,w) = B u(z,w) +

O w

U

Y(z,w) = C S(z,w) (2.15)

ZakładBjąc zerowe warunki brzegowe x(o.j) = O, dlą je Z*, oraz y(i,0)=0 dla i e Z , (zatem Yq(w' = O oraz Y^(z) » O) oraz dokonując odoowied- nich przekształceń równań (2.15) i (2.16), otrzymuje się macierz transmi- tancji dla uk ładów dy na mi cz ny ch tyou 2-D w oostaci\

k(z,w)

żl 0 ' '

n

- A 0 wl

_L m_ _{_}

-1

(2.17)

Elementami ma ci er zy transmitancji k(z,w) sę funkcje wymierne k r8 (z,w) ■>

b (z.w)

■ — r i r = 1 , 2 q, s - l,2,...,p, dwu zmiennych zespolonych z a r s u , w ;

oraz w. W i e l o m i a n y b r g (z,w)^ orez a r a (z,w) ag oczywiście wielomianami zmiennych zespolonych z orez w.

Wprowadza 3ię następujące oznaczenia:

R [w] zbiór w i e l o m i a n ó w zmiennej w o ws pó ł c z y n n i k a c h rzeczywistych.

R(z,w] zbiór wi el o m i a n ó w zmiennych z oraz w o wspó łc zy nn ik ac h r z ec zy­

wistych.

R(w) zbiór funkcji wymier ny ch zmiennej w.

R(w)[z] zbiór w i e l o m i a n ó w zmiennej z o w s pó łc zy nn ik ac h ze zbioru R(w).

r cIxP(w) zbiór q x p wymi ar ow yc h macierzy o elementach ze zbioru R(w).

Rq x p (w) [zj zbiór q x p wymi ar ow yc h ma cierzy o elementach ze zbioru R(w)[z],

Stosujęc pr zekształcenia podane w pracach [ 2] oraz [12J , można d o p r o ­ wa dz ić macierz transmltancji k(z,w) do następującej postaci

K ( z , w ) = c ( w ) ( z ł - a ( w ) ) _ 1 b ( w ) + d ( w ) , (2.18) gdzie :

a ( w ) = + A 2 ( w l m - A 4 ) " 1A 3

>-1 B„

3 (w) = B l ♦ A 2 ( w l m - A 4 ) „ 2

c(w) = c 1 + c 2 (wi|)( - a 4 )- 1b 3

d ( w ) = C 2 ( w l m - A 4 ) “ 1 B 2

Łatwo można zauważyć, że wszy st ki e powyższe ma cierze sę macierzami trans- mltoncji pewnych uk łe dó w dy na mi cz ny ch typu 1-D. Ponadto A(w) e R n x n ( w ) , B(w) s R n X P (w), C ( w ) e R q X n (w), D(w) i Rq x m ( w ) .

3. S T E R OW AL NO ŚĆ LO KALNA I GL OB AL NA

W teorii uk ła dó w d y na mi cz ny ch typu 2-0 rozróżnia się dwa zaesdi rodzaje st anów układu: stan lokalny w punkcie (i,j), s(i,j) =

icze

«RrHm

oraz stan gl obalny w punkcie (i,j), S i j) =||x(i,k), y(h,j)J, J g k , 1 ¿ h j Układy dynamiczne typu 2-D 8« uk ładami n l e s k o ń c z e n i e - w y m i e r o w y m i , gdyz stan globalny S. , Jest elementem przestrzeni n l e s k o ń c z e n i e - w y m i a r o w e j , złożonej z ni es kończonego cięgu par, z których każda składa się z we ktora » J x ( i, k) e Rn oraz waktora y( h, j) e R m .

W zwięzku z powyższym defi ni uj e się dwa rodzaje s t e r o w a l n o ś c i , a m i a ­ nowicie: sterowalność lokalnę oraz st er owalność globalnę [12] , [ 13].

Definicja 3 . 1 . Układ dy na mi cz ny typu 2 - D nazywa się lokalnie s t e r ow al­

nym, Jeżeli dla zerowych w a r u n k ó w początkowych SQ Q =jjx(o,k), y(h,0)J, O ^ k , 0 < : h | =* {°'°| 1 dowolnego we ktora s * R n+m istnieję liczby n a t u ­ ralne N, M oraz sekwencja sterowań u(i,j), ( O , 0 ) i ,J ) (n, M ) , takie, że S (n,m) - a.

W oparciu o definicję 3.1 określa się wa ru nk i konieczne i wy st ar cz aj ę- ce lokalnej sterowalności uk ładów d y na mi cz ny ch typu 2-D, w podobny spoaób Jek to ma miejsca w przypadku zw ykłych uk ładów dyna mi cz ny ch dy sk retnych zwanych układami typu 1-D.

Twie rd ze ni e 3.1 f l 3 ^ . Układ dynamiczny typu 2-D Jest lokalnie s t a r o - lny w t e d y i tylko wtedy

dana następujęcę relację

Q n.m " [m(1.0)m(0 . D ... M(i,j) ... M(n,m)], (3.1)

gdzie :

m(i,J) = A i _ 1 'J B 1,0 + Ą 1 ^ " 1 B0 ’1 (0,0) < ( i , j X (n,m) (3.2)

poelada pełny rzęd, czyli

rzęd Q n m « n + m. (3.3)

D o w ó d : Uw zględniajęc zerowe wa ru nk i brzegowe zależności stanu c h w i l o ­ wego S(i,j) od cięgu sterowań u(h,k), (0,0) ^ ( h , k ) < (l,j) ma na pod­

stawie wzor u (2.4) postać

S(i,j) - s ź .., (A i-H-l.J-k B l,0 + A i-h,J-k-l B° . l ) u (h > k ) = (o,0)«ę(h,k)<(i,j)

St er owalność uk ła dó w d y na nl cz ny ch typu 2-0__________________________________ 57

wa l n y wt ed y i tylko wtedy, gdy tzw. ma cierz lokalnaj aterowalności Q n m

/

M(i-h,J- k) u( h. k) . (3.4) (0,0tóh.k)<(i.j)

gdzie M(r,t) = A r _ 1 't B 1,0 + A r 't' 1B 0 '1 , dla r e Z + , t c Z* (3.5)

Za le żn oś ć (3.4) można przedstawić w nieco innej, bardziej zwartej post a­

ci, a mianowicie

S (i , J ) = Q ± J U i ; J , (3.6)

gdzie :

Q i j “ [ M (1 '0 ^ M(2,0) m(1,1) M(0,2) ... M(i,j)] , (3.7)

u{ - [ u T (i-l,j),uT (i,j-l),uT (i-2.j),uT (i-l,j-l),uT (i,j-2)...uT (0,0)]

' (3.8)

T - oznacza znak transpozycji.

Zatem do wolny stan chwilowy s(i,j) Jaat oslęgalny za pomocę odpowiednio dobranej sekwencji sterowań u(h,k), (0,0) ij (h,k) < (i,j) wtedy i tylko wted y, gd y (n+m) x ((i+l)(j+l) - l)p wymiarowa macierz CL , posiada rzęd równy n + m . Ponieważ na podstawie uo gó lnionego dw uw ymiarowego tw ie rd ze­

nia Ca yl ey a-Hamiltona [l3]

rzęd Q 1 » rzęd Q n ^ dla (n,m) ^ ( i , j ) , (3.9)

więc układ dynamiczny typu 2-D Jest lokalnie sterowalny wtedy i tylko w t e ­ dy, gdy

rzęd Q n B = n + m (3.10)

(n+m) x ((n+l)(m+l) - l)p wy mi ar ow e macierz Q n m nosi nazwę macierzy lokalnej aterowalności dla układu dyna mi cz ne go typu 2-D.

Rozpatrujęc oddzielnie składowę x(i,j) we ktora S(i,j) w sposób bez­

pośredni do chodzi się do pojęcia tzw. lokalnej horyzontalnej sterowalnoś- ci. Podobnie rozpatrujęc oddzielnie składowę y(i,j) wektora S(l,j) o- trzymuje się definicję tzw. lokalnej wertykalnej aterowalności Q8j , fl2j.

Definicja 3.2 [

12

rowych w a ru nk ów poczętkowyeh s q o = {*-*'0 } i dowo ln eg o wektora x e R n (do­

wolnego wektora y e R01) , istnieję liczby naturalne N i M oraz se kw en­

cja sterowań u(i.j), ( 0 ,0) < (i , J ) < (n ,M) , takie, że x (n ,M) =x(y (n ,m) = y).

Z twierdzenia 3.1 wy ni ka be zp oś re dn io następujęcy wa ru ne k konieczny i wy s t a r cz aj ęc y lokalnej horyzontalnej (wertykalnej) sterowalnoścl układu dy na micznego typu 2-D.

Twierdzenia 3.2 [12J . Układ dynami cz ny typu 2-D Jest lokalnie ho ry zo n­

talnie (wertykalnie) sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy

Sterowalność uk ła dó w d y na mi cz ny ch typu 2-D 59

sad o'1 ' -n,m ■ n (rzad Q vv ^n.m u) . (3.11)

gdzie Q n m jest n x ( (n +l )( m+ l) -l )p wymiarowa macierzę lokalnej h o r y ­ zontalnej sterowalności.

^n m Jest m * ( (h+l)(m+l)-l)p wy mi ar ow a macierzą lokalnej wertykalnej sterowalności.

h v

Macierze Q n,m oraz Q n,B» sę po dm ecierzemi maci er zy O ' -n ,m, a mi anowi- cie :

(3.12)

Wn io se k 3 . 1 . Lokalna at er owalność układu dyna mi cz ne go typu 2-0 impli­

kuje jego hory zo nt al na oraz we rt yk al na lokalna sterowalność.

D o w ó d . W n i o s e k 3.1 wy nika bezpośrednie- z faktu, że zależność rzęd Q »

= n+m implikuje nostępujęce równości: rzęd Q h n ,m = n oraz O v n ,b - m.

Implikacja od wrotna do tej jakę reprezentuje wn io se k 3.1 nie Jest p r a w ­ dziwa, gd yż układ dy na mi cz ny typu 2-D może być lokalnie ho ry zo nt al ni e i wertykalnie sterowalny, nie będęc jedn oc ze śn ie lokalnie sterowalny. Jest to konsekwencja faktu, że rzad Q n.m ^ rzad O^1 * ^n .m + rzad C v* -n.m >

O p ró cz pojęcia lokalnej e t e r o w a l n o ś c i , dle uk ła dó w d y n a m i c z n y c h typu 2-D d e fi ni uj e się ró wnież tzw. gl obelnę st er owalność C12] • W tym celu określa się operator st er owalności G w sposób następujący:

U 3 u- 30,0 x ( 0 , j ) , y (i .0)), i e z

U =

j

x(o,j) rl.O

( h , k ) < 0 , j )

3 £ Z

• J 6

M(-h , J-k)u(h,k)

« X (3.13)

« U

(3.14)

y(l ,0) - I0,1

'Zt—J

U - pr ze st rz eń sterowań.

(3.15)

Definicje 3.3 [12]. Układ dy na mi cz ny typu 2-D nazywa się glob al ni e s t e­

rowalny wt ed y i tylko wtedy, g d y operator st er ow al no śc i G Jest op e r a t o ­ rom a u r j e k t y w n y m , (jego p r zo cl wd zl ed zi na Jest całę przcetrzenię stanów glo­

balnych ).

Sf or nu ło we ni o sensownych kryteriów badania globalnej sterowalności Jest zagadnieniem bardzo sk om pl ik ow an ym i d o ty ch cz as brak Jsst w literaturze traktujęcaj o ukła da ch d y na mi cz ny ch typu 2-D odnośnych rezultatów. Po na d­

to pojęcie globalnej sterowoIności posiada małe znaczenie praktyczne, gdyż wymaga żnejomości nieskończonej liczby w e k t or ów sterowań oraz wy zn ac ze ni a nieskończonej liczby we kt or ów s t a n ć w .l o k a l n y c h . S t er ow el no ść globalna im- olikuje oczywiście st er ow al no ść lokalnę układu dyna mi cz ne go typu 2-D.

Podane w tym punkcie definicje i kryteria badani8 różnych rodzajów ste- rowalności zwlęzane sę ściśle z różnicowymi równaniami stanu układu, n a ­ tomiast abstrahula one od własności i struktury transmitencji macierzowej

w . w . [i], •

Przykład 3 . 1 . Niech będzie dany układ dynamiczny typu 2-D o na st ę p u j ą ­ cych macierzach:

"a* A ’1 2 " 0 j 0 l' V1 " l ‘

A « ^S o " j o T s ^{- B} 1

.A3 A4. ^. 1 1 o o) B2. .0.

Zatem n «. 3 oraz m « 2. Na mocy zależności (3.2) uzyskuje się na s t ę p u ­ jące równości

M d , O ) - aO - Ob1 '0 ♦ A 1 ' - ^ 0 ’1

M(0,1) - A " 1,18 1,0 + A ° ' ° B 0,1

O I,

Y 0

O I,

.0,ln l,0 .1,0-0,1- M \ 1,1) ** A B + A B

O O

LA 3 \ j

’b,‘ Y 1

ST 0

0 .0 .

‘0 ■0’

S 1

- 8„

- .0.

-

’Al V +

0 D LB2j

'o 0 o' Y ’o 0 1 o" 'c' U 0 0 1 0 + 0 0 0 1 = 0 1 0 0_ 0 0 0 0_ 0 _1_

M(0,2) •1.2b1,0

•

n 1 n 1 ‘o 0 ' 0 0 0 0 o' 'o' AU , Ir,u , 1

+ A B ■ c 0 0 1 1 0

A 3 B- _1 0 0_ 0 0

St er owalność uk ła dó w dy na mi c z n y c h typu 2-D G1

ao,2„i,o Ai,iDo.i Ao.iAo,i0i.o /Ai,oAo,i ,c .1, i ,o, „0, 1 Mi l,2)** A B + A B = A A B + l A A + A A .3

0 0

LA 3 A 4J 0 G

/■3 A 4

‘ I

° - V - ° ♦ (A1

o, o

'o

•f

A 3 V A 3

A 1 A2 0 O

0 0 0 0 0 1 1 0 0

0 0 0 0 0 1 1 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 1 0 0

0 0 0 0 0 1 1 0 0

0 0 1 o c o 0 0 0

"o" / "l 0 0" 0 0 o' \ 'o" ■0■ "o" o'

S 1 * 0 0 0 + 0 0 0 1 m 1 + 0 1

.0 . \ .0 0 0. .0 0 1 / .0. ^{. 0 .} .0. 0_

Stęd na podstawie zależności (3.1) macierz lokalnej sterowalność: 2 ma postać

-1,2 [Mil.Ol! M(0,l)j M(l .1)1 m(0,2)«M(1 ,2)]

i! o' oiojo_{* I} oj i! ojoj i

■ i i i Łoi oi iioic.

Zatem rzęd Q l 2 = 3 * n + m . czyli ro zp atrywany układ dynamiczny typu 2-D Jest lokalnie sterowalny, a co za tym idzie również lokalnie hor>zontal- nle i we rt ykalnie sterowalny. Powyższy przykład jest ilustracje twierdze­

nia 3.1 oraz wn iosku 3.1.

Przykład 3 . 2 . Niech będzie dany układ d y na mi cz ny typu 2-0 o następują­

cych macierzach

A 1 A 2 'l j 1 0 “

'B l' 'r

A « = r r f o B = tz i

> w > 1

. 1 1 1 1. ^-8 2^. .i.

Zatem n = 1 oraz m » 2. Na mocy z£'leżnośei (3.2). w analogiczny snosćb jak w przykładzie 3.1, uzyskuje się następujące zależności określające M(i ,J) , ( 0 . 0 ) < ( i . j )jS (1,2).

'l' 'l' 'l" V Y

m(i,o) - 1 , M(o.l) - ¹ . m ( 1 ,1 ) = 1 M ( 0 .2 ) « 2 , m (1.2) • 1

. 1. . 1 . - 2 . 3 ^7,

Stąd na podstawie zależności (3.1) macierz lokalnej, st erowalności 0^ 2 ma postać :

Zatem rząd 2 “ 2 < n + m = 3. czyli na podstawie twierdzenia 3.1 rozp a­

trywany układ dy na mi cz ny typu 2-D nie jest lokalnie sterowalny.

Sy tu ac ja ulega zmianie, gdy rozpatruje się lokalną ho ry zo nt al ną (wer­

tykalną) st er owalność po wy żs ze go układu. Wó wczas od po wiednie macierze ho-

talnle st er ow al ny orsz lokalnie we rt y k a l n i e sterowalny, mimo, że nie Jest lokalnie sterowalny.

P o wyższy przykład ilustruje fakt, że wniosek odwrotny do wn io sk u 3.1 nie Jest prawdziwy, t z n . , że lokalna horyzontalna sterowalność oraz lo­

kalna w e rt yk al na st er ow al no ść nie zawsze implikują lokalną st er owalność układu dy na mi c z n e g o typu 2-0. Oest to be zp oś re dn ią ko ns ekwencją na s t ę p u ­ jącej nierówności, dotyczącej rzędów macierzy

Ponieważ r o zp at ry wa ny układ nie Jest lokalnie s t e r o w a l n y , więc nie Jeet on również globalnie eterowalny.

4. M O DA LN A STER OW AL NO ŚĆ

Pojęcie modalnej st erowalności znane w teorii st erowalności uk ł a d ó w dy­

namicznych typu 1-0 może być również rozszerzone na przypadek uk ła dó w d y ­ namicznych typu 2-D. Podstawowe znaczenie przy badaniu modalnej s t e r o w a l ­ ności u k ła dó w dyna mi cz ny ch typu 2-D odgrywają pewne pojęcia z dzie dz in y algebry, które dla w y g o d y czytelnika zostaną przytoczone poniżej.

ryzontalrej (wertykalnej) lokalnej sterowalności m (Q^ m ) mają na s t ę ­ pującą postać (patrz 3.12).

'lI 1 1 i 1 2 {1 "

l I { .l| l'?|3|3

Zate m rząd ? » 1 « n oraz rząd Q^. 2 - 2 « m. Stąd na podstawie twier­

dzenia 3.2 rozp at ry wa ny układ d y na mi cz ny typu 2-D Jest lokalnie horyzon-

rząd Q n ,m

Stsr ow al no ść uk ła d ó w dy n a m l cz ny ch ty pu 2-D 63

Definicja 4. 1 £ll] . Dwie macierze p(z,w) oraz q(z,w) nad p i e r ś c i e ­ niem R^z.wJ, o tej samej liczbie wierszy, nazywa się lewostronnie w z g l ę ­ dni« pierwszymi w stosunku do pierścienia C[z,w], Jeżeli dle każdego le­

w o st ronnego wspólnego czynnika D(z,w), takiego, że p(z ,w) = D(z,w)^(z,w) oraz Q(z,w) - d ( z , w ) q ( z , w ) , gdzie d(z,w), p(z,w) oraz Q(z,w) są m a ­ cierzami nad pierścieniem C[z,w] oraz d(z,w) Jest ma cierzą kwadratową, zachodzi: det d(z,w) = d ł o\ d c C.

Deflnlcja 4.1 [li]. Dwie ma cierze p(w) oraz Q(w) nad pierścieniem k[w] (k Jest dowo ln ym polem) o tej samej liczbie wierszy, nazywa się le­

wostronnie w z gl ęd ni e pierwszymi w st os un ku do pierścienia Kjw] , Jeżeli dla każdego le wostronnego w s pó ln eg o dzie ln ik a D ( w ) , takiego, że p(w) » - d(w)p(w) oraz Q(w) ■« d(w)(J(w) , gdzie d(w) , P^w) oraz ti(w) sę m a ­ cierzami nad pierścieniem K[w] oraz o(w) jest ma cierzą k w a d r a t o w ą , któ­

rej wy zn ac zn ik det d(w) Jest równy Jedności w pierścieniu K [ w ] .

■W oparciu o definicje 4.1 oraz 4.2 określa się modalnę ster ow al no ść u- kładów dyna mi cz ny ch typu 2-D oraz formułuje warunki Jej badania.

Definic ja 4.2 [2] [j2]. Układ dynamiczny typu 2-D nazywa się modalnie sterowalny. Jeżeli

-

2 l n - A 1 - A 2

oraz B i

. - A 3 w I n 1 > 1

_

są macierzami lewostronnie wz gl ęd ni e pierwszymi w stosunku do pierścienia C [z ,w] .

*l Twierdzenie 4 . 1 {V|([l2] . Macierze

'Z I n " A 1

rCM<1

oraz

'B i‘

- A 3 W l n

' ' 1 •<* <I

.B 2.

są lewostronnie względnie pierwszymi w stosunku do pierścienia Cjz.wJ w t e ­ dy i tylko wtedy, gdy są one lewostronnie wz gl ęd ni e pierwszymi w stosunku do pierścienie C(w)[z] oraz w stosunku do pierścienia c(z) [w],

W przypadku gdy macierze Aj, A,,, Aj, A Ą , B j , B£ , są macierzami o el e­

mentach będących liczbami rzeczywistymi, w twierdzeniu 4.1 można zastąpić pierścienie C(w)[z] oraz c(z)[w] od po wi ed ni o pierścieniami R(w)[z] oraz R(z)[w].

Twierdzenie 4.1 Jest oczywiście w a ru nk ie m k o ni ec zn ym i w y s t ar cz aj ąc ym modalnej eterowalności układu d y na mi cz ne go typu 2-D. Wy ni ka to b e z p o ś r e d ­ nio z defi ni cj i 4.3.

Modalna sterowalność układu dynamicznego typu 2-D Jest ściśle zwięzano z pojęciem sterowolności pary macierzy (a(w' , b(w)). odzie a(w\ R (w), B ( w) ćRn X p ( w l.

Definicja 4.4 [2] [lOj . Para macierzy ( a ( w ) , b(w)) nazywa się narę sterowalna względem R(w) , Jeżeli

rzęd |^3 (wij A(w) 3

(

)

gd2 ie pojęcie rzędu macierzy Jest rozpatrywane nad polem R(w).

Twierdzenie 4.2 [2] [10] . Paro macierzy (a(w) , B(w)) Jest sterowalna względem R(w) , Jeżeli para macierz'/ (a(wq) , b(wq)) Jest sterowalna dla pewnej liczby zespolonej w Q .

Bezpośredni zwięzek pomiędzy modalnę st erowelnościę układu d y n a m i c z n e ­ go typu 2-D, a sterowałnościę pary ma cierzy (a(w) , B(w)) podoje nestęnu- jęce twierdzenia.

Twierdzenie 4.3 £2]. Następujące trzy wa runki sę sobie równoważne:

1) para macierzy (a(w) , b(w)) jest sterowalna wz ględem R(w).

2) (zln - a(w) ) oraz b(w) sę macierzami ]ewostronnie względnie oier- wszymi w stosunku do pi er ścienia R(w) [z] .

3) istnieję macierze x(w,z)t R n x n (w) [z] oraz y(w

,

kie , że

(zł -n a(w) )X (w ,z) *■ B(w)Y(w,z) = I_. n (4.2)

Twierdzenie 4.4 [2J . Układ dynamiczny typu 2-D Jest modalnie s t er ow al­

ny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnicne 3ę Jednocześnie następujące dwa w a ­ runki :

1) paro ma cierzy (A1 + A 2^w I m “ A 4 ^ ~ 1a3' 9 l + A 2^w l m ~ A 4 ^ l02^ Jest sterowalna wz gl ęd em R(w),

2) para macierzy (a4 ł A 3 (zln - A 1)-1A 2> 32 + A j ( z l n - A 1 )~1D 1 ) Jest sterowalna w z gl ęd em R(z).

W dowodzie twierdzenia 4.4 wy ko rzystuje się w Istotny soosób szczegól- nę postać macierzy transmitancji op er atorowych k(z.w), określonę zeleż- nościę (2.18).

Przykład 4 . 1 . Niech będzie dany układ dynamiczny typu 2-C o następuję- cych macierzach

S t er ow al no ść układów d y na mi cz ny ch typu 2-D 65

Zatem n » 1 oraz', m » 2. Oo badanie modalnej sterowalności układu z o ­ stanie wy ko rzystane twierdzenie 4.4, będęce w a ru nk ie m koniecznym i w y ­ starczającym modalnej sterowalności. W tym celu zo6tanę nejoierw w y z n a ­ czone odpowiednie macierze

+ A 2 (wl2

■ • « - n r p - w

i-« ³ -C :])“[:]•»

0 JL + a2 (w i2 - a4 )_ 1b2

(zl1 - A 1)” 1A?

(zł. - A 1 )-1Q 1 • 4 [°](z - O ) ' 1 [i]

A 4 4 A 3 (zl

ro ii roi '0 l'

M

Lo oj

u. _.°

32 4 A 3

Warunek l) twierdzenie 4.4 Jest spełniony, gdyż rzęd B i l l - • miast warunek 2) twierdzenie 4,4 nie jest spełniony, gdyż rzęd

neto- O 1 | 1

" I l i

« 1 < 2 = m. Zatem rozpatrywany układ dynamiczny typu 2-D nie Jest modal- nie sterowalny, mimo że na podstawie przykładu 3.1 Jest on lokalnie ste­

rowalny. Tak więc lokalna sterowalność nie Jest waru nk ie m wystar cz aJ ęc ym modalnej sterowalności układu dyna mi cz ne go typu 2-0. W przypadku układów dyna mi cz ny ch tyou 1-D lokalna sterowalność, globalna st er ow al no ść oraz modalna sterowalność sę sobie równoważne, natomiast dla układów d y n a m i c z ­ nych typu 2-D wszystkie te pojęcia sę istotnie różne [loj , [li] . [12].

Równanie charakte ry st yc zn e rozpatrywanego układu ma postać następujęcę

w( zw - l).

Zetem krzywe wa rtości wł as ny ch [lOj sę nos t ęnuj ęce : Vj(z,w! = (z,0) oraz V 2 (z.w) - (z. i). W celu sprawdzenia, któro z nich nie Jest modelnie s t e­

rowalna, w y st ar cz y określić rzędy odpowiednich macierzy f v , 1 - AJBloraz

t

V n 4 m - A ;BJ-

( 'Z Ł 1 0 ' \ 'z O - l "

det(

0 w l 2

■ A)

■ det 0 w -1 -1 0 w

rz?d[Vn+m - AiB] = ^rz9Ć

-1 o ojo

r z ą d J v 2 I n + m * A ! 8 ] = r i ? d

z O - 113L

O i -ijl -1 O | j o

Zetem krzywe wartości wl ee ny ch nie jest modelnie sterowalne.

5. W Ł AS NO ŚĆ POWSZECHNOŚCI MO DA LN E3 STEROWALNOŚCI

W praktyce inżynierskiej in teresującym za ga dn ie ni em Jest zachowanie się danej włas no śc i układu dyna mi cz ne go przy ni ew ie lk ic h zmianach Jego pa ra­

metrów. W przypadku gdy niewielkie zmiany p a ra me tr ów układu dyna mi cz ne go nie wp ływaj? na danę własność, wó wczaa w ł a s no ść ta posiada cechę p o ws ze­

chności. Bardziej precyzyjne określenie powśze ch no śc i danej w ł as no śc i z a ­ warte Jest w poniższej definicji.

Definicja 5.1 [2]. Włas no ść E układu d y na mi cz ne go o N parametrach nazywa się powszechna, jeżeli zbiór pu nktów przestrzeni RN ,w których ona nie zachodzi, jest podzbiorem miejsc zerowych pewnego wielom ia nu N z m i e n ­ nych o wspó łc zy nn ik ac h rzeczywistych.

Innymi słowy po ws zechność danej wł as no ś c i ' u k ł a d u dynamicznego oznacza, że zachodzi ona w zbiorze gęstym i otwartym w pr ze strzeni pa ra me tr ów RN . Zate m i n t u i c y j n i e r z e c z b i o r ą c Z B c h o d z i o n a p r a w i e w s z ę d z i e w p r z e s t r z e n i R . Stąd praw do po do bi eń st wo trafienia ns układ dynamiczny, w którym dana N włas no ść posiadająca cechę powszechności nie z a c h o d z i , Jest przy o d po wi ed­

nio zdefiniowanej mierze prawdopo do bi eń st wo równe zeru.

Twierdzenia 5.1 f2~|. Glob al na a t e r o w a l n o ś ć , lokalna s t e r o w a l ń o ś ć , mo- dalna st er owalńość oraz st er ow al ńo ść pary ma cierzy (a(w) , s(w)) są p o ­ ws ze ch ny mi wł as no ś c i a m i układu d y na mi cz ne go typu 2-0.

Lokalna horyzontalna st er ow al ńo ść oraz lokalna we rt yk al na sterowalńość również są po ws ze ch ny mi włas no śc ia mi układu d y n a mi cz ne go typu 2-D.

W związku z powszechnością różnych ro dzajów s t e r o w a l n o ś c i , można dla każdej z nich zd ef in io wa ć odpowiedni zapas sterowalności, rozumiany Jako odległość euklidesowa w przestrzeni RN da nego układu dyna mi cz ne go typu 2-D od najbliższego nl es te ro wa ln eg o układu. Innymi słowy zapas s t e r o w a l ­ ności określa maksymalne d o p u sz cz al no zmiany pa ra me tr ów układu, nie po wo­

dujące utraty włas no śc i sterowalności. Podanie konkretnych w z or ów na ob­

liczanie zapasów sterowalności w ogólnym przypadku jast praktycznie ni e­

możliwe. Wy ni ka to z faktu, te relacje pomiędzy parametrami układu c h a­

rakteryzujące ni es te ro wa ln oś ć układu mają bardzo sk omplikowaną postać.

St er owalność uk ła dó w dyna mi cz ny ch typu 2-D 67

LITERATURA

[lj Ei9lng R . : Re al iz at io n and st ab ilization of 2-D systems. IEEE Tr an s­

actions on Auto ma ti c Control, vol. AC-23, no. 5, s. 793-799, 197R.

[23 Eising R . : Cont ro ll ab il it y and ob servability of 2-D systems. IEEE Transactions on Automatic Control, vol. AC-24, no. 1, s. 132 - 133, 1979,

[33 Eising R . : Sepa ra bi li ty of 2-D transfer matrices. IEEE Transactions on Automatic Control, vol. AC-24, no. 3, s. 508-510, 1979.

03

dings" of the IEEE, vol. 67, no. 5, s. P66-P68, 1979.

0 3 Eising R : State space realization and inversion of 2-D systems. M e ­ morandum COSOR 78-18, Eindhoven University of Technology. 197B.

[63 Eising R . : Internally stable realization of 2-D transfer matrices.

Si gn al Processing, Theories and Applications, s. 393-396. 1980.

[7] Eising R . . Emre E.: Exact model ma tching of 2-D systems. Me mo r a n d u m COSOR 70-15, Einhoven University of Technology, 197P.

0 3 Cising R . , Hautus M . L . 3 . : Re al iz at io n algori th ms for systems over a principal ideal domain. M e mo ra nd um COSOR 78-25, Eindhoven University of Technology, 1978.

[93 Fornasini E . , Ma rc he si ni G . : State space realization theory of two- di me ns io na l filters, IEEE Tr an sa ct io ns on Au to ma ti c Control,vol. AC- 21, no. 4, s. 484-492, 1976.

[10] Kaman E . w . : On an algebraic theory of systems definod by convolution operators. Math em at ic al Systems Theory, vol. 9, no. 1, s. 57-74,1975, [11] Kung S.y. . Levy B.C. , Morf M. : New results in 2-D systems theory, part I: 2-D polynomial matrices, factorization and coprimeness. Pro­

ceedings of the IEEE, vol. 65, no. 4, s. 361-072, 1977,

[12] Kunq S.Y. , Levy B.C. . Morf M. , Kailath T. : Now results in 2-D systems theory, oart II: 2-D state-space models - realization and the no­

tions of co ntrollability, ob se rvability and minimality. Proceedings Of the IEEE, vol. 65, no. 4, s. 945-960. 1977.

[13] Roes9er R.P. : A discrete state space model for linear image p r oc es­

sing. IEEE Transactions on Auto ma ti c Control, vol. AC-20, no. 1, s.

1-10, 1975.

Recenzent: Doc. dr hob. inż. Ban WfGLARZ

W p ły nę ło do Redakcji 15.05.1982 r.

y n P A B JIH E U O C T b JWHAMH'ffiCKHX CHCTEM T H IU 2 - f l

P e 3 ¡o u e

B CTaTbe npe^oTaBaeKO pasHue o n p e a e « H ita ynpaBJtaeiioctH £HHauHvecKTX c h c - Teii THna 2-.H: jioxaxbHott ynpasajtou^C Ta, raoCajibHoil ynpaBXHeaooiH, MoaaabHott ynpaBJiaeuocTa h y n p a sx a e u o cx a napu rtoaKHOMKajibHax naTpim. C<J>opny.nnpoBaHO He- o6xoahuh8 vi flocTaTOHHae ycBOBaa pasimx tbhob ynpaajiHexooiK a npoaHaaiisitpo- BaHo cooiHomeHHH uexxy hhuh. .HoxaaaHO« Bio uo^ajibHaji ynpaBBKewooTb sto th- niiwoe cbohctbo flKHaiiHuecxoH cHCTBitii inna 2-A, A a « “ Taxxe npauepu HJuuocTpii- py»qne Teopiira.

C O NT RO LL AB IL IT Y O F 2-0 DY NA MI CA L SYSTEMS

S u m m a r y

Following voriouo notions of cont ro ll ab il it y for 2-D dynamical ayoteraa are defined: local co ntrollability, global co nt ro ll ab il it y, modal c o n­

trollability and the cont ro ll ab il it y of the pair of polyno mi al matrices.

N e ce ss ar y and sufficient conditions for these types of co ntrollability ore formulated and the conections between them are considered. Furt he rm o­

re. it is shown that tha modal cont ro ll ab il it y is a generic property of the 2-D dynamical systems. Tha illustrative examples are also given.