Geometria analityczna
1. Dany jest punkt 𝑃𝑃(2, 6) oraz wektor [1, 4]. Znajdź równanie prostej prostopadłej do
podanego wektora, przechodzącej przez punkt P. Czy prosta ta zawiera następujące punkty:
𝐴𝐴(0, −2), 𝐵𝐵(3, 9), 𝐶𝐶(7, 11). Znajdź współrzędne punktów przecięcia się tej prostej z osiami współrzędnych.
2. Dane są punkty 𝐴𝐴(2, 4), 𝐵𝐵(4, 1). Wyznacz równanie prostej 𝑙𝑙 prostopadłej do 𝐴𝐴𝐵𝐵�����⃗
przechodzącej przez punkt 𝑃𝑃(3, −1). Sprawdź czy prosta 𝑙𝑙 przecina proste 𝑚𝑚 𝑖𝑖 𝑛𝑛 w tym samym punkcie. Gdzie 𝑚𝑚: 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 5 = 0, 𝑛𝑛: 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 7.
3. Znajdź odległość punktu 𝑃𝑃(−7, 2) od prostej 𝑘𝑘: 3𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 + 17 = 0.
4. Znajdź równanie symetralnej odcinka 𝐴𝐴𝐵𝐵, gdzie 𝐴𝐴(2, 6), 𝐵𝐵(7, 4).
5. Znajdź środek okręgu opisanego na trójkącie o wierzchołkach 𝐴𝐴(3, 6), 𝐵𝐵(−1, 2), 𝐶𝐶(7, 12).
Oblicz długość promienia.
6. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt 𝑃𝑃(−3, 2) równoodległej od punktów 𝐴𝐴(−6, 5), 𝐵𝐵(8, −1).
7. Znajdź równanie okręgu o środku należącym do prostej 𝑘𝑘: 3𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 2 = 0 przechodzącego przez punkty 𝐴𝐴(−3, −1), 𝐵𝐵(1, −3).
8. Oblicz pole trójkąta 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶, gdzie 𝐴𝐴(−2, 3), 𝐵𝐵(7, 1), 𝐶𝐶(5, −4).
9. Oblicz długość wszystkich wysokości trójkąta 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶, gdzie 𝐴𝐴(−4, −1), 𝐵𝐵(4, −7), 𝐶𝐶(−1, 3).
10. Oblicz pole trójkąta utworzonego pomiędzy osiami układu współrzędnych, a prostą 𝑘𝑘 prostopadłą do wektora 𝑢𝑢�⃗ = [3, 4], przechodzącą przez punkt 𝑃𝑃(−2, 4).
11. Znajdź równanie takiej prostej 𝑝𝑝 przechodzącej przez 𝐴𝐴(−2, −2), która ogranicza wraz z osiami współrzędnych trójkąt o polu równym 4.
12. W kwadracie 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴𝐴 dany jest wierzchołek 𝐴𝐴(2, −1), oraz wektor 𝐶𝐶𝐴𝐴�����⃗ = [5,−2]. Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków. Oblicz pole powstałego kwadratu. Dla jednego z otrzymanych przypadków wyznacz równania prostych zawierających przekątne.
13. Dane są równania prostych zawierających dwa boki równoległoboku: 𝑠𝑠: 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 5 = 0, 𝑘𝑘: 5𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 − 11 = 0, oraz punkt przecięcia przekątnych 𝑆𝑆(0 ,12). Wyznacz równania prostych zawierających pozostałe dwa boki równoległoboku. Oblicz pole tego równoległoboku.
14. Wykaż, że trójkąt 𝐴𝐴(3, 3), 𝐵𝐵(4, 8), 𝐶𝐶(−2, 4) jest trójkątem prostokątnym. Wyznacz środek okręgu opisanego na tym trójkącie.
15. Znajdź współrzędne punktu symetrycznego do 𝑃𝑃(2, 11) względem prostej 𝑙𝑙: 𝑦𝑦 =12𝑥𝑥 + 9.
16. Punkt 𝑃𝑃(−1, −4) przekształcono symetrycznie względem prostej 𝑘𝑘: 5𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 − 20 = 0 otrzymując punkt 𝑄𝑄. Następnie punkt 𝑄𝑄 przekształcono w symetrii względem środka układu współrzędnych otrzymując punkt 𝑇𝑇. Znajdź współrzędne punktu 𝑇𝑇.
17. W kwadracie𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴𝐴 dany jest wierzchołek 𝐴𝐴(1, −3) oraz prosta zawierającą jedną z
przekątnych 𝑘𝑘: 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 0. Znajdź współrzędne pozostałych wierzchołków, oblicz pole tego kwadratu.
18. Punkty 𝐴𝐴(2, ,2), 𝐴𝐴(−2, −1) są wierzchołkami rombu. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków, wiedząc, że przekątna 𝐴𝐴𝐶𝐶 zawarta jest w prostej 𝑙𝑙: 𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 − 1 = 0.
19. W równoległoboku 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴𝐴 dane są wierzchołki: 𝐴𝐴(1, 1), 𝐵𝐵(5, 3). Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków, jeśli wiesz że przekątne przecinają się w punkcie 𝑆𝑆(3, 4).
20. W trójkącie 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 dane są: wierzchołek 𝐴𝐴(3, −2) oraz wektory 𝐴𝐴𝐵𝐵�����⃗ = [4,1], 𝐵𝐵𝐶𝐶�����⃗ = [−6,4].
Wyznacz współrzędne punktu przecięcia wysokości opuszczonej z wierzchołka 𝐶𝐶 z bokiem 𝐴𝐴𝐵𝐵.
21. W trójkącie równoramiennym (|𝐴𝐴𝐶𝐶| = |𝐵𝐵𝐶𝐶|) dany jest wierzchołek 𝐶𝐶(−6, 2) oraz wektory 𝐴𝐴𝐵𝐵�����⃗ = [−4,−6], 𝐶𝐶𝐴𝐴�����⃗ = [−6, 4], gdzie 𝐶𝐶𝐴𝐴 jest wysokością. Znajdź równania prostych w których zawierają się boki tego trójkąta.
22. Znajdź równania prostych, w których zawierają się boki trójkąta 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶, jeśli dany jest wierzchołek 𝐴𝐴(−2, 1) oraz dwie spośród wysokości tego trójkąta zawierają się w prostych 𝑘𝑘: 5𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 + 5 = 0, 𝑙𝑙: 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 1 = 0.
23. Tak jak w 18, tylko 𝐴𝐴(0, 2), 𝑘𝑘: 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 4 = 0, 𝑙𝑙: 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 0.
24. 𝐴𝐴(−4, 2) jest wierzchołkiem trójkąta 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶, zaś dwie spośród środkowych tego trójkąta zawierają się w prostych 𝑠𝑠: 𝑥𝑥 = 0, 𝑝𝑝: 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 2 = 0. Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków.
25. Punkty 𝐴𝐴(−4, 4), 𝐵𝐵(4, 0) są wierzchołkami trójkąta 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶, zaś 𝑀𝑀(3, 4) jest ortocentrum (przecięciem się wysokości). Wyznacz współrzędne wierzchołka 𝐶𝐶.
26. Punkty 𝐴𝐴(0, −5) oraz 𝐴𝐴(−3, −1) są kolejnymi wierzchołkami trapezu 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴𝐴, zaś prosta 𝑘𝑘: 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 0 jest osią symetrii. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków i oblicz pole trapezu.
27. Dany jest trójkąt 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶: 𝐴𝐴(−5, 1), 𝐵𝐵(1, 7), 𝐶𝐶(7, −5). Wyznacz współrzędne następujących punktów: środka okręgu opisanego na tym trójkącie, środka ciężkości, oraz ortocentrum trójkąta.
28. Na osi 𝑂𝑂𝑂𝑂 znajdź punkt 𝑃𝑃, który jest równoodległy od prostych: 𝑘𝑘: 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 1 = 0 i 𝑚𝑚: 11𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 + 1 = 0.
29. Dany jest równoległobok 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴𝐴 o wierzchołkach 𝐴𝐴(2, 4), 𝐵𝐵(6, 3), 𝐶𝐶(4, −1). Wyznacz współrzędne wierzchołka 𝐴𝐴. Oblicz pole równoległoboku. Oblicz sinus kąta pomiędzy odcinkami 𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐴𝐴𝐿𝐿, gdzie punkty 𝐴𝐴 𝑖𝑖 𝐿𝐿 to środki boków odpowiednio: 𝐵𝐵𝐶𝐶, 𝐶𝐶𝐴𝐴.
30. W trójkącie 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 dane są: wierzchołek 𝐴𝐴(−4, −1), środek 𝑆𝑆(2, 1) boku 𝐴𝐴𝐵𝐵, oraz 𝐵𝐵𝐶𝐶�����⃗ = [−4, 4]. Oblicz pole trójkąta, wyznacz równanie symetralnej boku 𝐵𝐵𝐶𝐶.
31. W układzie kartezjańskim dane są punkty: 𝐴𝐴(1, 2), 𝐵𝐵(5, 4), 𝐶𝐶(3, 6), 𝐴𝐴(0, 8). Przez punkt D poprowadzono prostą 𝑘𝑘 prostopadłą do 𝐴𝐴𝐵𝐵. Znajdź na prostej 𝑘𝑘 taki punkt 𝑃𝑃, by pola trójkątów 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 𝑖𝑖 𝐴𝐴𝐵𝐵𝑃𝑃 były równe.
32. Punkty 𝐴𝐴(0, −5), 𝐵𝐵(4, 3), 𝐶𝐶(−1, 3) są kolejnymi wierzchołkami trapezu równoramiennego 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴𝐴 o podstawach 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝑖𝑖 𝐶𝐶𝐴𝐴. Oblicz współrzędne wierzchołka 𝐴𝐴 i oblicz pole trapezu.
33. Pole trójkąta o wierzchołkach 𝐴𝐴(2, 3), 𝐵𝐵(1, −2) jest równe 8. Znajdź współrzędne trzeciego wierzchołka, wiedząc, że należy on do prostej 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 3 = 0.
34. Punkt 𝐶𝐶(1, 2) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶, w którym |𝐴𝐴𝐶𝐶| = |𝐵𝐵𝐶𝐶| = 5. Bok 𝐴𝐴𝐵𝐵 zawiera się w prostej o równaniu 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 1 = 0. Wyznacz współrzędne
wierzchołków 𝐴𝐴 𝑖𝑖 𝐵𝐵, oblicz pole trójkąta.
35. Jedno z ramion trójkąta równoramiennego 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 zawarte jest w prostej 𝑘𝑘: 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 3 = 0.
Podstawą trójkąta jest odcinek o końcach 𝐴𝐴(2, 1), 𝐵𝐵(5, 2). Oblicz współrzędne wierzchołka 𝐶𝐶.
Oblicz pole tego trójkąta. Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
36. W rombie 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴𝐴, którego pole wynosi 10, dane są przeciwległe wierzchołki 𝐴𝐴(1, 1), 𝐶𝐶(3, 5).
Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu.
37. Boki 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝑖𝑖 𝐴𝐴𝐶𝐶 trójkąta 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 zawarte są w wykresie funkcji 𝑦𝑦 = |𝑥𝑥 − 1|, zaś bok 𝐵𝐵𝐶𝐶 zawarty jest w prostej 𝑘𝑘 przechodzącej przez punkt 𝑃𝑃(−5, 0). Znajdź równanie prostej 𝑘𝑘, jeśli pole trójkąta 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 wynosi 12.
38. Znajdź równania prostych, w których zawierają się dwusieczne kątów, utworzonych przez proste 𝑘𝑘: 4𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 − 7 = 0, 𝑙𝑙: 3𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 5 = 0.
39. Wyznacz współrzędne środka, oraz promień okręgu:
a. 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2− 2𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 − 4 = 0
b. 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2− 𝑥𝑥 − 0,5𝑦𝑦 −5916= 0
40. W prostokątnym układzie współrzędnych zilustruj zbiory:
𝐴𝐴 = {(𝑥𝑥, 𝑦𝑦): 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅, 𝑦𝑦 ∈ 𝑅𝑅, 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2+ 4𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 − 11 ≤ 0}
𝐵𝐵 = {(𝑥𝑥, 𝑦𝑦): 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅, 𝑦𝑦 ∈ 𝑅𝑅, 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2− 4𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 − 8 ≤ 0}
A następnie wyznacz zbiory 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵, 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵, 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵, 𝐵𝐵 − 𝐴𝐴.
41. Napisz równanie okręgu, którego środek znajduje się na prostej k, przechodzącego przez punkty A i B: 𝑘𝑘: 𝑦𝑦 = −2𝑥𝑥 − 2, 𝐴𝐴(5,10), 𝐵𝐵(3, 12).
42. Napisz równania stycznych do okręgu 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2− 2𝑥𝑥 + 12𝑦𝑦 + 28 = 0 prostopadłych do prostej 𝑘𝑘: 𝑦𝑦 = −0,5𝑥𝑥 + 3.
43. Napisz równanie stycznych do okręgu 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2− 6𝑥𝑥 + 8𝑦𝑦 + 21 = 0 przechodzących przez punkt 𝐴𝐴(5, −1).
44. Wyznacz współrzędne przecięcia się okręgów:
�𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2− 2𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 + 9 = 0 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2+ 2𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 − 3 = 0
45. Prosta 𝑘𝑘: 3𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 3 = 0 przecina parabolę 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥2− 2𝑥𝑥 + 3 w punktach A i B. Wyznacz współrzędne punktów A i B. Oblicz odległość wierzchołka paraboli od prostej k. Zapisz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek AB.
46. Napisz równanie okręgu symetrycznego do okręgu 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2+ 6𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 − 15 = 0 względem prostej 𝑘𝑘: 𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 − 4 = 0. Oblicz pole trójkąta którego dwa wierzchołki są środkami tych okręgów, a wierzchołek trzeci jest środkiem układu współrzędnych.
47. Prosta o równaniu 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 + 2 = 0 przecina okrąg 𝑜𝑜: 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2− 6𝑥𝑥 − 16 = 0 w punktach 𝐴𝐴 𝑖𝑖 𝐵𝐵. Znajdź równanie symetralnej 𝑚𝑚 cięciwy AB. Wyznacz taki punkt 𝑀𝑀 ∈ 𝑚𝑚, aby trójkąt 𝐴𝐴𝐵𝐵𝑀𝑀 był prostokątny.
48. Okrąg o równaniu 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2+ 4𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 − 11 = 0 przesunięto równolegle o wektor 𝑎𝑎⃑ = [2,3].
Wyznacz równanie obrazu tego okręgu oraz osie symetrii figury będącej sumą obydwu okręgów.
49. Prosta 𝑘𝑘: 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 1 = 0 przecina okrąg 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2− 4𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 + 1 = 0 w punktach A i B. W każdym z tych punktów poprowadzono styczną do danego okręgu. Oblicz współrzędne punktu 𝑃𝑃 przecięcia obu stycznych.
50. Znajdź równanie okręgu o środku w punkcie 𝑆𝑆(3, −2) stycznego do prostej o równaniu 3𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 − 12 = 0.
51. Wykaż, że środek okręgu opisanego na trójkącie ABC, gdzie 𝐴𝐴(−4, 0), 𝐵𝐵(0, −4), 𝐶𝐶(4, 0).
Należy do paraboli o równaniu 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2− 6𝑥𝑥.
52. Okrąg jest dany równaniem 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2− 2𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 + 5 = 0. Oblicz miarę kąta pomiędzy stycznymi do tego okręgu przechodzącymi przez początek układu współrzędnych.
53. Znajdź równanie okręgu stycznego równocześnie do dwóch prostych o równaniach 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 2 = 0 𝑖𝑖 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 3 = 0 przechodzącego przez punkt 𝑃𝑃 = (1, 0).
54. Znajdź równanie okręgu, stycznego do zewnętrznie do okręgu 𝑂𝑂1: 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2= 20 oraz do prostej 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 20 = 0, o jak najmniejszym promieniu.
55. Oblicz pole figury ograniczonej osią rzędnych oraz linią utworzoną z par liczb spełniających równanie 𝑥𝑥 + |𝑦𝑦| = 2.
56. Wyznacz kąty trójkąta ograniczonego prostymi: 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 𝜋𝜋 = 0, 𝑦𝑦 = √3𝑥𝑥 − 2, 4 = 𝑦𝑦. Oblicz jego pole.
57. Zapisz równanie okręgu przechodzącego przez punkty 𝐴𝐴 = (4, 2), 𝐵𝐵 = (7, 1), 𝐶𝐶 = (6, −2). Wyznacz punkty przecięcia tego okręgu z osiami współrzędnych.
58. Wyznacz wartości parametru p, dla których dane okręgi są styczne: 𝑂𝑂1: 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2+ 4𝑥𝑥 − 2𝑝𝑝𝑦𝑦 + 𝑝𝑝2 = 0, 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑎𝑎𝑜𝑜 𝑂𝑂2: 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2= 2.
59. Mając dane współrzędne wierzchołka 𝐵𝐵 = (2, −5) oraz równania dwóch środkowych pewnego trójkąta 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶: 4𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 = 0, 𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 0, oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków.
60. Na prostej o równaniu 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 1 = 0 wyznacz taki punkt C, aby pole trójkąta o
wierzchołkach 𝐶𝐶, 𝐴𝐴 = (2, 1), 𝐵𝐵 = (5, 2) było równe 5. Uzasadnij, że trójkąt ABC jest rozwartokątny.
61. Na płaszczyźnie kartezjańskiej zaznacz zbiór punktów, których współrzędne spełniają nierówność: 𝑙𝑙𝑜𝑜𝑙𝑙𝑦𝑦(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) > 0.
62. Przez początek układu współrzędnych 𝑂𝑂 poprowadzono styczne do okręgu o równaniu 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2− 10𝑥𝑥 + 20 = 0. Oblicz pole trójkąta 𝑂𝑂𝐴𝐴𝐵𝐵, gdzie punkty 𝐴𝐴 𝑖𝑖 𝐵𝐵 to punkty styczności.
63. Na osobnych rysunkach zaznacz zbiory 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵, gdzie
𝐴𝐴 = {(𝑥𝑥, 𝑦𝑦): 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑅𝑅, 𝑥𝑥2− 𝑦𝑦2≤ 0}, 𝐵𝐵 = {(𝑥𝑥, 𝑦𝑦): 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑅𝑅, 2|𝑥𝑥| − |𝑦𝑦| ≤ 0}
64. Dane są trzy wierzchołki 𝐴𝐴(0, 4), 𝐵𝐵(−1, −6), 𝐶𝐶(−9, 0) równoległoboku 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴𝐴. Oblicz długośc wysokości ℎ opuszczonej z wierzchołka 𝐵𝐵 na bok 𝐴𝐴𝐴𝐴.
65. Znajdź obraz okręgu 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2− 8𝑦𝑦 = 0 w jednokładności o środku w punkcie 𝑂𝑂(0, 0) i skali 𝑠𝑠 = −32.
66. Ramiona trójkąta równoramiennego mają równania 7𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 5 = 0, 2𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 − 3 = 0.
Znajdź równanie podstawy tego trójkąta, jeżeli przechodzi ona przez punkt 𝑃𝑃(0, 1).
67. Trójkąt o wierzchołkach 𝐴𝐴(−2, 3), 𝐵𝐵(7, 1), 𝐶𝐶(5, −4) przekształcono jednokładnie względem punktu 𝑆𝑆(3, 2) w skali 𝑠𝑠 = −2. Wyznacz współrzędne trójkąta po przekształceniu. Oblicz jego pole.
68. Dane są punkty 𝐴𝐴(1, 0), 𝐵𝐵(−1, 1) . Punkt należy do okręgu o równaniu 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2− 1 = 0 . Znajdź współrzędne punktu 𝐶𝐶, tak aby pole trójkąta 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 było największe. Oblicz to pole.
69. Punkty 𝐴𝐴(−9, −3), 𝐵𝐵(5, 5) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶, w którym 𝐴𝐴𝐵𝐵 jest przeciwprostokątną. Wyznacz współrzędne wierzchołka -𝐶𝐶 wiedząc, że leży on na osi 𝑂𝑂𝑂𝑂.
70. Wierzchołki trójkąta 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 mają współrzędne: 𝐴𝐴(−6, 4), 𝐵𝐵(−2, −4), 𝐶𝐶(3, 1). Napisz równanie okręgu, który jest styczny do prostej 𝐴𝐴𝐶𝐶, a jego środek jest punktem przecięcia się wysokości trójkąta 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶.
71. Znajdź równanie okręgu stycznego do prostej 𝑘𝑘: 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 13 = 0 i do prostej 𝑚𝑚: 7𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 5 = 0 w punkcie 𝐴𝐴(1, 2).
72. Dane są punkty 𝐴𝐴(2, 1), 𝐵𝐵(4, 1), 𝑆𝑆1= (−22, 1), 𝑆𝑆2= (8,1). Odcinek 𝐶𝐶𝐴𝐴 jest obrazem odcinka 𝐴𝐴𝐵𝐵 w jednokładności o skali dodatniej i środku 𝑆𝑆1, jak i w jednokładności o skali ujemnej i środku 𝑆𝑆2. Oblicz współrzędne punktów 𝐶𝐶 𝑖𝑖 𝐴𝐴.
73. Wierzchołki 𝐴𝐴 𝑖𝑖 𝐵𝐵 kwadratu 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴𝐴 leżą na paraboli 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2− 6𝑥𝑥 + 19, przy czym
odcinek 𝐴𝐴𝐵𝐵 jest równoległy do osi 𝑂𝑂𝑂𝑂. Wykaż, że jeżeli odległość punktu 𝐴𝐴 od osi 𝑂𝑂𝑂𝑂 jest liczbą całkowitą to pole kwadratu 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴𝐴 również jest liczbą całkowitą.
74. W okrąg o równaniu 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2− 12𝑥𝑥 − 8𝑦𝑦 + 32 = 0 wpisano trójkąt równoboczny 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 w którym 𝐴𝐴(2, 6). Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków trójkąta.
75. Punkt 𝐴𝐴(−1, −2) jest wierzchołkiem rombu, którego jeden z boków zawiera się w prostej 𝑘𝑘 o równaniu 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 − 3 = 0. Środkiem symetrii tego rombu jest punkt 𝑆𝑆(2, 2).
Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu i oblicz jego pole.
76. Dla jakich wartości parametru proste 𝑥𝑥 = 𝑚𝑚𝑦𝑦 + 1 oraz 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑥𝑥 − 1 przecinają się w jednym punkcie, który leży poniżej prostej 𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 1?
77. Przez początek układu współrzędnych poprowadzono prostą przecinającą okrąg𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2− 8𝑦𝑦 + 12 = 0 w dwóch punktach 𝐴𝐴 𝑖𝑖 𝐵𝐵. Uzasadnij, że liczba |𝑂𝑂𝐴𝐴| ∗ |𝑂𝑂𝐵𝐵| nie zależy od wyboru prostej i oblicz wartość tego iloczynu.
78. Na prostej 𝐿𝐿: 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 6 = 0 wyznacz taki punkt 𝐶𝐶, aby długość łamanej 𝐴𝐴𝐶𝐶𝐵𝐵, gdzie 𝐴𝐴(1, 3), 𝐵𝐵(2, 2), była najmniejsza.
Planimetria
1. W trójkącie dwa boki mają długość 3,15 oraz 0,78. Wyznacz długość trzeciego boku wiedząc, że wyraża się liczbą całkowitą.
2. Uzasadnij, że w dowolnym pięciokącie wypukłym długość każdego boku jest mniejsza od sumy długości boków pozostałych
3. Uzasadnij, że suma odległości dowolnego punktu płaszczyzny od wierzchołków danego czworokąta jest większa od połowy obwodu tego czworokąta.
4. Wykaż, że połowa sumy dwóch boków trójkąta jest większa od środkowej trzeciego boku.
5. Wykaż, że odcinek łączący środki dwóch boków jest równoległy do trzeciego boku, oraz, że jego długość jest równa połowie tego boku.
6. W trójkącie ABC punkt D jest środkiem boku AC. Z punktu D poprowadzono odcinek DE taki, że 𝐴𝐴𝐷𝐷 ⊥ 𝐴𝐴𝐵𝐵 oraz 𝐷𝐷 ∈ 𝐴𝐴𝐵𝐵. Uzasadnij, że długość odcinka De jest równa połowie wysokości CF.
7. W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest równa odcinkowi, który łączy środek podstawy ze środkiem ramienia. Podstawa trójkąta ma długość a. Jaką długość ma wysokość opuszczona na podstawę?
8. W trójkącie ABC poprowadzono środkową CD. Wierzchołek A połączono odcinkiem ze środkiem E środkowej CD i przedłużono go aż do przecięcia w punkcie F z bokiem CB. Oblicz stosunek |𝐶𝐶𝐶𝐶|: |𝐶𝐶𝐵𝐵|.
9. Udowodnij, że dwa trójkąty prostokątne są przystające, jeżeli przyprostokątna i przeciwległy jej kąt ostry jednego trójkąta równają się przyprostokątnej i przeciwległemu kątowi ostremu drugiego trójkąta.
10. W trójkątach 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 𝑖𝑖 𝐴𝐴1𝐵𝐵1𝐶𝐶1 poprowadzono dwusieczne 𝐵𝐵𝐴𝐴 𝑖𝑖 𝐵𝐵1𝐴𝐴1. Wykaż, że jeśli |𝐵𝐵𝐶𝐶| =
|𝐵𝐵1𝐶𝐶1| i |∢𝐵𝐵| = |∢𝐵𝐵1|, |𝐵𝐵𝐴𝐴| = |𝐵𝐵1𝐴𝐴1|. To ⊿𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 ≡ ⊿𝐴𝐴1𝐵𝐵1𝐶𝐶1.
11. Dany jest trójkąt równoboczny ABC. Punkty P, Q, R leżą na bokach trójkąta ABC (po jednym na każdym boku) w taki sposób, że każdy bok trójkąta PQR jest prostopadły do jednego boku trójkąta ABC. Uzasadnij, że trójkąt PQR jest równoboczny. Wyznacz stosunek |𝐴𝐴𝐵𝐵|: |𝑃𝑃𝑄𝑄|.
12. Dany jest trójkąt równoramienny ABC o podstawie AC. Ramię AB przedłużono na zewnątrz trójkąta o odległość BD i punkt D połączono z punktem C. Oblicz długość AC, jeżeli obwód trójkąta CBD wynosi 24cm, a obwód trójkąta ADC wynosi 39cm.
13. W trójkącie ABC ze środka każdego boku prowadzimy odcinki prostopadłe do dwóch boków.
Wykaż, że:
a. Odcinki te przecinają się parami na wysokościach trójkąta ABC;
b. Odcinki poprowadzone do tego samego boku mają równe długości i długość każdego z nich jest równa połowie długości odpowiedniej wysokości trójkąta.
14. W trójkącie ABC prowadzimy wysokość CD. Udowodnij, że jeśli |𝐵𝐵𝐶𝐶| > |𝐴𝐴𝐶𝐶|, to wysokość CD tworzy większy kąt z bokiem BC niż z bokiem AC.
15. Z dowolnie wybranego punktu na boku trójkąta równobocznego prowadzimy odcinki prostopadłe do pozostałych dwóch boków. Udowodnij, że suma długości tych odcinków jest równa długości wysokości w tym trójkącie.
16. W trójkącie ABC prowadzimy dwusieczne kątów B i C, które przecinają się w punkcie S.
Wykaż, że CBS jest rozwartokątny.
17. Wewnątrz trójkąta ABC wybrano dowolny punkt S. Udowodnij, że |∢𝐶𝐶𝑆𝑆𝐵𝐵| > |∢𝐶𝐶𝐴𝐴𝐵𝐵|.
18. Jeden z kątów trójkąta jest równy różnicy pozostałych kątów. Znajdź największy kąt tego trójkąta.
19. Wykaż, że jeśli kąt przyległy do jednego z kątów trójkąta jest dwa razy większy od drugiego kąta tego trójkąta to trójkąta jest równoramienny.
20. W równoramiennym trójkącie prostokątnym środkowe poprowadzone do przyprostokątnych mają długość k. Oblicz długość boków tego trójkąta.
21. W kole poprowadzono cięciwę tworzącą kąt 30𝑜𝑜 ze średnicą. Oblicz odległość cięciwy od środka okręgu, wiedząc, że dzieli ona średnicę na dwa odcinki o długościach 10cm i 4cm.
22. Do danego okręgu poprowadzono styczną tak, że końce A i B średnicy AB tego okręgu są odległe od stycznej o 25cm i 15cm. Oblicz długość średnicy AB.
23. Dane jest koło o promieniu długości 16cm. W kole tym poprowadzono cięciwę opartą na łuku odpowiadającym kątowi środkowemu o mierze 120𝑜𝑜. Znajdź odległość tej cięciwy od środka koła.
24. W okręgu narysowano dwie średnice AB i CD. Udowodnij że czworokąt ACBD jest prostokątem.
25. W okrąg o promieniu długości r kreślimy średnicę AB oraz taką cięciwę AC, że |AC|=r. Jaką częścią okręgu jest łuk CAB?
26. W trójkącie prostokątnym z wierzchołka kąta ostrego poprowadzono środkową. Na tej środkowej, jako na średnicy zbudowano okrąg. Na jakie części zostały podzielone przez ten okrąg przyprostokątne?
27. W trapezie trzy boki mają długość a, czwarty bok ma długość b. Uzasadnij, że przekątne trapezu są dwusiecznymi kątów przy boku długości b.
28. Oblicz miary kątów rombu, wiedząc, że symetralna boku rombu zawiera jego wysokość.
29. W prostokącie, którego obwód wynosi 44cm, różnica odległości punktu przecięcia
przekątnych od dwóch nierównych boków wynosi 8cm. Oblicz długości boków prostokąta.
30. Udowodnij, że jeżeli czworokąt ma parę boków równoległych i równej długości to jest równoległobokiem.
31. W prostokącie, który nie jest kwadratem, poprowadzono dwusieczne kątów wewnętrznych i zewnętrznych. Udowodnij, że punkty przecięcia tych dwusiecznych są wierzchołkami
kwadratu.
32. W trójkącie równoramiennym ABC mamy dane |AC|=|BC|=16cm oraz |AB|=12cm. W trójkąt ten wpisano okrąg. Oblicz długości odcinków, na jakie punkt styczności podzielił odcinek AC.
33. Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny, wiedząc, że obwód trójkąta wynosi 30cm, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość 6,5cm.
34. Okrąg podzielono na trzy części w stosunku 5:6:7 i przez punkty podziału poprowadzono styczne. Oblicz miary kątów trójkąta wyznaczonego przez punkty przecięcia stycznych.
35. W trójkącie ABC długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka C równa się połowie długości boku AB. Wykaż, że trójkąt ABC jest prostokątny, przy czym kąt C jest prosty.
36. Na kole opisano wielokąt o parzystej liczbie boków i ponumerowano kolejno jego boki.
Wykaż, że wówczas suma długości boków o numerach parzystych jest równa sumie długości boków o numerach nieparzystych.
37. Na okręgu opisano trapez o obwodzie równym 52cm. Oblicz długość odcinka łączącego środki ramion trapezu.
38. Wykaż, że w wielokącie o parzystej liczbie wierzchołków wpisanym w okrąg suma miar kątów przy parzystych wierzchołkach równa się sumie miar kątów o numerach nieparzystych.
39. Wykaż, że jeśli dwusieczne kątów wewnętrznych trapezu wyznaczają czworokąt to można na nim opisać okrąg.
40. W sześciokącie foremnym ABCDEF dane są: 𝐴𝐴𝐵𝐵�����⃗ = 𝑎𝑎⃗, 𝐴𝐴𝐶𝐶�����⃗ = 𝑏𝑏�⃗. Wyraź w zależności od tych wektorów wektory 𝐴𝐴𝐶𝐶,������⃗ 𝐴𝐴𝐴𝐴�����⃗, 𝐴𝐴𝐷𝐷�����⃗, 𝐵𝐵𝐶𝐶�����⃗, 𝐶𝐶𝐶𝐶�����⃗.
41. Wykaż, że jeżeli w czworokącie przekątne dzielą się na połowy to wielokąt jest równoległobokiem.
42. Uzasadnij, że odcinek łączący środki ramion trapezu jest równoległy do podstaw i jego długość jest równa średniej arytmetycznej długości podstaw.
43. Uzasadnij, że odcinek łączący środki przekątnych w trapezie jest równoległy do podstaw i jego długość jest równa połowie różnicy długości podstaw.
44. W trójkącie ABC bok AB ma długość c. Punkty M, N leżą odpowiednio na bokach CA i CB tak, że |𝐶𝐶𝑀𝑀|: |𝑀𝑀𝐴𝐴| = |𝐶𝐶𝐶𝐶|: |𝐶𝐶𝐵𝐵| = 2: 1. Wyznacz długość odcinka MN.
45. Wykaż, że jeżeli w trójkącie 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛2𝛼𝛼=𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛2𝛽𝛽+𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛2(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽), to trójkąt ten jest prostokątny.
46. W trójkącie ABC, w którym miara kąta CAB=𝛼𝛼, poprowadzono dwusieczną CD kąta wewnętrznego ACB, przy czym miara kąta CDA=𝛽𝛽. Oblicz |𝐴𝐴𝐴𝐴||𝐴𝐴𝐷𝐷|.
47. Oblicz długość przekątnych 𝑑𝑑1 i 𝑑𝑑2 równoległoboku, którego boki mają długość 3cm i 5cm, zaś kąt ostry ma miarę 30°.
48. W trójkącie długości boków wynoszą 2cm, 5cm i 6cm. Oblicz cosinusy kątów tego trójkąta.
49. W trójkącie a:b:c=4:5:6. Wykaż, że w tym trójkącie cos𝛽𝛽=𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠2𝛼𝛼.
50. W trójkącie równoramiennym kąt przy wierzchołku ma miarę 120°. Wyznacz stosunek długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.
51. Oblicz miary kątów trójkąta, w którym wysokość i środkowa poprowadzone z jednego wierzchołka dzielą kąt przy tym wierzchołku na trzy równe części.
52. Wykaż, że w dowolnym równoległoboku suma kwadratów długości przekątnych jest równa podwojonej sumie kwadratów długości boków.
53. Długość boków trójkąta, którego jeden z kątów ma miarę 120°, tworzą trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. W jakim stosunku pozostają długości boków tego trójkąta?
54. W równoległoboku ABCD punkty E i F są środkami boków AB i AD. Wykaż, że proste CE i CF dzielą przekątną BD tego równoległoboku na trzy równe części.
55. Wykaż, że w trójkącie prostokątnym, w którym jedna przyprostokątne jest dwa razy dłuższa od drugiej, wysokość dzieli przeciwprostokątną na części, z których jedna jest cztery razy dłuższa od drugiej.
56. W trójkącie ABC są dane: Miara kąta A = 55°,|AB|=10 cm. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
57. W trójkącie ABC są dane: Miara kąta A = 80°, miara kąta B = 40°. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość 12 cm. Oblicz długość boku |AB|.
58. Wykaż, że jeżeli w trójkącie ABC środkowa CD jest jednocześnie wysokością, to trójkąt jest równoramienny i przy tym AC=BC.
59. Dwusieczne kątów zewnętrznych rombu przecinają się w punktach K, L, M, N. Wykaż, że czworokąt KLMN jest prostokątem oraz, że jego pole jest dwa razy większe od pola rombu.
60. Prosta równoległa do podstawy trójkąta dzieli pole trójkąta na połowy. W jakim stosunku prosta ta dzieli ramiona trójkąta?
61. Wykaż, że pole dowolnego trójkąta ABC jest równe 12|𝐵𝐵𝐶𝐶| ∗ |𝐶𝐶𝐴𝐴| ∗ sin (∢𝐶𝐶).
62. Dane są dwa boki a i b trójkąta ABC. Znajdź bok c, jeżeli wiadomo, że kąt C jest dwa razy większy od kąta B.
63. Znajdź długość dwusiecznej kąta prostego w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych a i b.
64. Na okręgu opisz trapez prostokątny. Odległości środka okręgu od końców ramienia pochyłego wynoszą 2 i 4. Oblicz pole tego trapezu.
65. Wewnątrz kąta 60° znajduje się punkt odległy od jednego ramienia o a, od drugiego zaś o b.
Znajdź odległość tego punktu od wierzchołka kąta.
66. Prostokąt przecinamy dwiema prostymi, równoległymi do jednej przekątnej i jednakowo od niej odległymi. Wykaż, że otrzymany wówczas równoległobok wpisany w dany prostokąt ma obwód równy sumie długości przekątnych danego prostokąta.
67. Udowodnij, że jeśli czworokąt wpisany w okrąg ma jedną parę boków przeciwległych równej długości, to przekątne tego czworokąta są równej długości.
68. Jedna z podstaw trapezu wpisanego w okrąg jest średnicą okręgu. Oblicz cosinus kąta ostrego tego trapezu, wiedząc, że stosunek obwodu do sumy długości podstaw wynosi 5 : 3.
69. W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość 2a, wysokość opuszczona na tę podstawę – długość h. W trójkąt wpisano okrąg i poprowadzono styczną do okręgu równoległą do podstawy. Oblicz długość promienia okręgu i długość odcinka stycznej zawartego w trójkącie.
70. Ramiona trapezu są średnicami dwóch okręgów. Wykaż, że jeżeli te okręgi są zewnętrznie styczne, to w trapez ten można wpisać w okrąg.
71. Oblicz cosinus kąta ostrego pomiędzy środkowymi trójkąta prostokątnego równoramiennego, poprowadzonymi z wierzchołków kątów ostrych.
72. Suma długości dwu boków trójkąta wynosi 4. Jaką najmniejszą wartość ma obwód tego trójkąta, jeśli miara kąta pomiędzy wspomnianymi bokami wynosi 60°?
73. Wykaż, że jeżeli kąty wewnętrzne trójkąta spełniają warunek sin 𝛼𝛼 = sin 𝛽𝛽+sin 𝛾𝛾
cos 𝛽𝛽+cos 𝛾𝛾 to trójkąt ten jest prostokątny.
74. W trójkącie równoramiennym 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶, |𝐴𝐴𝐶𝐶| = |𝐵𝐵𝐶𝐶|, punkt 𝐴𝐴 jest spodkiem wysokości trójkąta poprowadzonej z wierzchołka C, a punkt E jest środkiem boku 𝐵𝐵𝐶𝐶 i |𝐶𝐶𝐴𝐴| = |𝐴𝐴𝐷𝐷|. Wykaż, że trójkąt 𝐶𝐶𝐴𝐴𝐷𝐷 jest równoboczny.
75. W okrąg wpisano prostokąt. Przez wierzchołki prostokąta poprowadzono styczne do okręgu.
Wykaż, że punkty przecięcia się stycznych są wierzchołkami rombu.
76. Udowodnij, że w trójkącie 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 symetralna boku 𝐵𝐵𝐶𝐶 przecina dwusieczną kąta 𝐵𝐵𝐴𝐴𝐶𝐶 w punkcie 𝐴𝐴 leżącym na okręgu opisanym na trójkącie 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶.
77. W trójkącie 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶, w którym kąt przy wierzchołku 𝐴𝐴 jest prosty, kreślimy koło styczne do boków 𝐵𝐵𝐶𝐶 i 𝐴𝐴𝐶𝐶, mające środek na boku 𝐴𝐴𝐵𝐵. Koło to przecina bok 𝐴𝐴𝐵𝐵 w punkcie 𝑀𝑀 i jest
styczne do przeciwprostokątnej w punkcie 𝐴𝐴. Wykaż, że jeżeli na przedłużeniu boku 𝐴𝐴𝐶𝐶 odłożymy 𝐶𝐶𝐷𝐷, |𝐶𝐶𝐷𝐷| = |𝐴𝐴𝐶𝐶|, to punkty 𝑀𝑀, 𝐷𝐷, 𝐴𝐴 leżą na jednej prostej.
78. Na przedłużeniu przeciwprostokątnej 𝐴𝐴𝐵𝐵 trójkąta prostokątnego obrano taki punkt 𝐴𝐴, że
|𝐵𝐵𝐴𝐴| = |𝐵𝐵𝐶𝐶|. Oblicz |𝐶𝐶𝐴𝐴|, jeśli wiadomo, że |𝐵𝐵𝐶𝐶| = 𝑎𝑎, |𝐴𝐴𝐶𝐶| = 𝑏𝑏
79. W okrąg o promieniu długości 10 wpisano trapez 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴𝐴, którego przekątna 𝐴𝐴𝐶𝐶 zawarta jest w dwusiecznej kąta 𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴, a długość podstawy 𝐴𝐴𝐵𝐵 trapezu jest dwukrotnie większa od długości podstawy 𝐶𝐶𝐴𝐴. Oblicz pole tego trapezu.
80. W trójkącie prostokątnym dwusieczna kąta ostrego dzieli bok przeciwległy w stosunku 2: 3.
Oblicz stosunek pola koła opisanego na tym trójkącie do pola koła wpisanego w ten trójkąt.
81. Wykaż, że suma odległości dowolnego punktu położonego wewnątrz równoległoboku od prostych zawierających boki tego równoległoboku jest wielkością stałą.
82. Przez środek boku trójkąta równobocznego poprowadzono prostą tworzącą z tym bokiem kąt ostry 𝛼𝛼 i dzielącą pole tego trójkąta w stosunku 1: 7. Oblicz 𝛼𝛼.
83. Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma przyprostokątnych równa się sumie średnic okręgu opisanego na tym trójkącie i okręgu wpisanego w ten trójkąt.
84. Podstawą trójkąta równobocznego jest średnica koła o promieniu 𝑅𝑅. Oblicz stosunek pola części trójkąta leżącego na zewnątrz koła do pola części trójkąta leżącego wewnątrz koła.
85. Wykaż, że jeśli w trójkącie 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑙𝑙 𝛽𝛽2=𝑎𝑎+𝑐𝑐𝑏𝑏 to trójkąt ten jest prostokątny.
86. Na okręgu o promieniu 𝑅𝑅 opisz trapez o kątach przy dłuższej podstawie 𝛽𝛽 𝑖𝑖 2𝛽𝛽. Oblicz pole tego trapezu.
87. Wykaż, że obwód trójkąta jest większy od sumy jego środkowych.
88. W trapezie równoramiennym długości podstaw są odpowiednio równe 36 i 12, zaś długość ramienia równa jest 20. Oblicz odległości punktu przecięcia przekątnych trapezu od obu jego podstaw.
Stereometria
Graniastosłupy
1. W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym, przekątna ściany bocznej tworzy z sąsiednią ścianą boczną kąt miary 𝛼𝛼, krawędź podstawy ma długość 𝑎𝑎. Oblicz objętość tego
graniastosłupa. Zbadaj dla jakiego kąta 𝛼𝛼 zdanie ma rozwiązanie.
2. W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym pole powierzchni bocznej równe jest sumie pól obu podstaw. Oblicz wartość cosinusa kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do
sąsiedniej ściany bocznej.
3. Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt, w którym 𝑏𝑏 = 2, 𝛼𝛼 = 60°, 𝛽𝛽 = 45°. Przekątna największej ściany bocznej tworzy z płaszczyzną podstawy kąt miary 60°. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
4. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym suma długości jego krawędzi jest równa 48, a pole powierzchni całkowitej 90. Oblicz długość poszczególnych krawędzi graniastosłupa.
5. W prawidłowym graniastosłupie czworokątnym o krawędzi podstawy a, przekątna
graniastosłupa tworzy ze ścianą boczną kąt 𝛼𝛼. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.
6. Dół, jaki powstał po wykopaniu piasku ma kształt prostopadłościanu. Powierzchnia dołu jest równa 14,8𝑚𝑚2. Wymiary prostopadłościanu, z których największym jest głębokość dołu, tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 50𝑐𝑐𝑚𝑚. Oblicz ile 𝑚𝑚3 piasku wykopano.
7. Przekątna prostopadłościanu ma długość d. Kąt nachylenia tej przekątnej do każdej ściany bocznej wynosi 𝛼𝛼.
a. Uzasadnij, że podstawa prostopadłościanu jest kwadratem.
b. Wykaż, że jeżeli 𝛽𝛽 jest miarą kąta nachylenia przekątnej prostopadłościanu do płaszczyzny podstawy, to 2 cos2𝛼𝛼 + cos2𝛽𝛽 = 2.
8. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi podstawy jest równa 𝑏𝑏.
Przez przekątną podstawy i wierzchołek górnej podstawy poprowadzono płaszczyznę przecinającą dwie sąsiednie ściany graniastosłupa wzdłuż prostych, między którymi kąt ma miarę 𝛽𝛽. Oblicz objętość graniastosłupa.
9. W prostopadłościanie długości: krawędzi podstawy 𝑎𝑎, wysokości ℎ, oraz przekątnej prostopadłościanu 𝑑𝑑 = 6𝑐𝑐𝑚𝑚 tworzą ciąg arytmetyczny. Wiedząc, że 𝑎𝑎 + ℎ = 𝑑𝑑, oblicz pole powierzchni bocznej tego prostopadłościanu.
10. Sześcian podzielono płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy na dwie bryły, z których jedna ma pięć, a druga sześć ścian. Pole powierzchni całkowitej tej bryły, która ma pięć ścian, równe jest połowie pola powierzchni sześcianu. Znajdź cotangens kąta nachylenia płaszczyzny przecinającego do płaszczyzny podstawy.
11. Sześcian o krawędzi podstawy 𝑎𝑎 przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod katem 𝛼𝛼. Oblicz pole otrzymanego przekroju. Rozważ różne przypadki. Wykonaj obliczenia dla 𝛼𝛼 = 45°, 𝑎𝑎 = 3𝑐𝑐𝑚𝑚.
12. W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do drugiej ściany jest równy 𝛼𝛼. Promień okręgu wpisanego w podstawę ma długość 𝑜𝑜. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
13. Podstawą graniastosłupa prostego jest równoległobok. Przekątne graniastosłupa mają długości 9𝑐𝑐𝑚𝑚, √33𝑐𝑐𝑚𝑚. Obwód podstawy jest równy 18𝑐𝑐𝑚𝑚, zaś krawędź boczna mierzy 4𝑐𝑐𝑚𝑚.
Oblicz objętość tego graniastosłupa.
14. Z punktu na krawędzi bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, o krawędzi podstawy długości a, poprowadzono dwie płaszczyzny. Pierwsza z nich przechodzi przez krawędź podstawy dolnej i tworzy z nią kąt 𝛼𝛼, a druga przez krawędź podstawy górnej i nachylona jest do niej pod kątem 𝛽𝛽. Oblicz objętość graniastosłupa i sumę przekrojów graniastosłupa płaszczyznami.
Ostrosłupy
15. Na trzech półprostych parami prostopadłych, nie zawierających się w jednej płaszczyźnie i wychodzących z punktu A, odmierzono odcinki 𝐴𝐴𝑀𝑀, 𝐴𝐴𝐶𝐶, 𝐴𝐴𝑃𝑃 takie, że |𝐴𝐴𝑀𝑀| = |𝐴𝐴𝐶𝐶| = 𝑎𝑎, |𝐴𝐴𝑃𝑃| = 2𝑎𝑎. Znajdź odległość punktu 𝐴𝐴 od płaszczyzny 𝑀𝑀𝐶𝐶𝑃𝑃.
16. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość 𝑎𝑎, natomiast krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 𝛼𝛼. Oblicz objętość ostrosłupa. Następnie wykonaj obliczenia dla 𝑎𝑎 = 12𝑐𝑐𝑚𝑚, 𝛼𝛼 = 30°.
17. Ostrosłup prawidłowy trójkątny o boku podstawy długości 𝑎𝑎 wpisany jest w sferę, przy czym środek sfery dzieli wysokość ostrosłupa w stosunku √5: 1 licząc od wierzchołka. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
18. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku długości 𝑎𝑎. Jedna z krawędzi bocznych jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, a dwie pozostałe są do niej nachylone pod kątem miary 𝛼𝛼. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.
19. Podstawa 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 i ściana boczna 𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴𝐴 trójkątnego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi o boku długości 𝑎𝑎. Krawędź 𝐴𝐴𝐴𝐴 jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem 𝛼𝛼. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.
20. W prawidłowym ostrosłupie czworokątnym dane są 𝑎𝑎 = 20, 𝑐𝑐𝑙𝑙 𝛼𝛼 =32√2, gdzie 𝑎𝑎 jest długością krawędzi podstawy, 𝛼𝛼 miarą kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.
a. Oblicz pole powierzchni i objętość ostrosłupa.
b. Przez krawędź podstawy ostrosłupa poprowadzono płaszczyznę prostopadłą do przeciwległej ściany bocznej. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
21. Przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i wierzchołek, jest trójkątem równobocznym o polu równym 2√3. Oblicz objętość ostrosłupa.
22. Podstawą ostrosłupa jest kwadrat. Jedna z krawędzi bocznych jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Najdłuższa krawędź boczna ma długość 𝑏𝑏 i tworzy z przyległymi do niej krawędziami podstawy kąty 𝛾𝛾. Oblicz objętość ostrosłupa.
23. Odległość środka podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego od jego krawędzi bocznej jest równa 8𝑐𝑐𝑚𝑚, zaś krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 30°. Wyznacz tangens kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
24. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy długości a i kącie nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy miary 𝛼𝛼. Wyznacz stosunek objętości kuli opisanej na tym ostrosłupie do objętości kuli wpisanej w ten ostrosłup.
25. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym pole powierzchni ściany bocznej jest równe jest 𝑃𝑃. Kąt płaski ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę 2𝛼𝛼. Oblicz objętość ostrosłupa.
26. W kulę wpisano ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym ściana boczna nachylona jest do płaszczyzny podstawy pod kątem miary 60°. Pole powierzchni kuli jest równe 64𝜋𝜋. Oblicz pole powierzchni i objętość ostrosłupa.
27. Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równe 96√3, miara kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy jest równa 30°. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
28. Ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości długości h, tworzącej z krawędzią boczną kąt 𝛼𝛼, przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem 𝛽𝛽, 𝛽𝛽 < 90°. Oblicz pole przekroju.
29. Dwie skośne względem siebie krawędzie ostrosłupa trójkątnego mają długość równą 𝑏𝑏, pozostałe krawędzie mają długość równą 𝑎𝑎. Oblicz objętość ostrosłupa.
30. Sześcian o krawędzi długości 𝑎𝑎 wpisano w ostrosłup prawidłowy czworokątny tak, że cztery jego wierzchołki należą do krawędzi bocznych ostrosłupa, zaś cztery pozostałe do jego podstawy. Ściana boczna ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 𝛼𝛼.
Oblicz objętość ostrosłupa.
31. Podstawą ostrosłupa wpisanego w kulę o promieniu 𝑅𝑅 = 8 jest trójkąt prostokątny
równoramienny. Jedna ściana boczna jest trójkątem równobocznym o boku równym długości przeciwprostokątnej podstawy. Oblicz objętość tego ostrosłupa. *Wyznacz miary kątów pomiędzy płaszczyznami sąsiednich ścian bocznych.
Bryły obrotowe
32. Trapez równoramienny, którego podstawy mają długość 𝑎𝑎 𝑖𝑖 𝑏𝑏, (0 < 𝑏𝑏 < 𝑎𝑎) oraz kąt ostry ma miarę 𝛼𝛼, obraca się dookoła prostej zawierającej dłuższą podstawę. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej powstałej bryły.
33. Trapez równoramienny o podstawach długości 3𝑎𝑎 𝑖𝑖 𝑎𝑎 oraz kącie ostrym 𝛼𝛼, raz obraca się dookoła krótszej podstawy, a drugi raz dookoła dłuższej podstawy. Wyznacz stosunek objętości otrzymanych brył obrotowych.
34. Dany jest trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej długości 𝑎𝑎 i kącie ostrym 𝛼𝛼. Przez wierzchołek kąta prostego poprowadzono prostą 𝑘𝑘 równolegle do przeciwprostokątnej.
Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót trójkąta wokół prostej 𝑘𝑘.
35. Trójkąt o boku długości 𝑎𝑎 i kątach ostrych do niego przyległych 𝛼𝛼 𝑖𝑖 𝛽𝛽 obraca się dookoła prostej poprowadzonej przez wierzchołek kąta przeciwległego bokowi 𝑎𝑎 i równoległej do tego boku. Oblicz objętość powstałej bryły obrotowej, oraz jej pole całkowite.
36. Trójkąt równoramienny o obwodzie 𝑝𝑝, którego kąt przy wierzchołku ma miarę 2𝛼𝛼, obraca się dookoła podstawy. Oblicz objętość powstałej bryły obrotowej.
37. Wyznacz cosinus kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy, wiedząc że pole podstawy stożka, pole powierzchni kuli wpisanej w ten stożek oraz pole powierzchni bocznej stożka, w podanej kolejności, tworzą ciąg arytmetyczny.
38. Kąty wewnętrzne trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny, a jego obwód jest równy 3�√6 + √2�. Oblicz długości boków tego trójkąta, oraz objętość bryły powstałej z obrotu tego trójkąta dookoła krótszej przyprostokątnej.
39. Wyznacz miarę kąta między osią symetrii 𝑘𝑘 i tworzącą takiego stożka, którego pole powierzchni całkowitej jest 𝜋𝜋√3 razy większe od jego pola przekroju osiowego.
40. Powierzchnia boczna walca obrotowego po rozwinięciu jest prostokątem, którego przekątna o długości 𝑑𝑑 tworzy z bokiem odpowiadającym wysokości walca kąt o mierze 𝛼𝛼. Oblicz objętość walca
41. W kulę o promieniu 𝑅𝑅 wpisano walec, którego promień 𝑜𝑜 =35𝑅𝑅.
a. Wyznacz stosunek objętości walca do objętości kuli.
b. Wyznacz sinus kąta pod jakim ze środka kuli widać średnicę walca.
42. Walec i stożek mają równe tworzące, równe pola powierzchni bocznych i równe objętości a. Wyznacz cosinus kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy b. Jakiej długości powinna być wysokość danego stożka, aby jego objętość była równa
7𝜋𝜋.
43. Kula o danym promieniu długości 𝑅𝑅 i stożek mają równe objętości. Pole powierzchni bocznej stożka jest trzy razy większe od pola powierzchni jego podstawy. Oblicz długość wysokości stożka.
44. Kulę metalową o promieniu długości 𝑅𝑅 przetopiono na stożek, którego pole powierzchni bocznej jest trzy razy większe od jego pola podstawy. Oblicz długość wysokości i promienia podstawy stożka.
45. Na kuli opisano stożek. Stosunek pola podstawy stożka do pola powierzchni kuli jest równy 34. Wyznacz:
a. Miarę kąta rozwarcia stożka
b. Stosunek objętości kuli do objętości stożka
c. Stosunek pola powierzchni całkowitej stożka do pola powierzchni kuli.
46. Pole powierzchni kuli wpisanej w stożek jest 169 razy większe od pola podstawy stożka. Oblicz sinus kąta rozwarcia stożka.
47. W stożku obrotowym kąt nachylenia tworzącej do płaszczyzny podstawy ma miarę 𝛼𝛼. Na stożku opisano kulę o promieniu długości 𝑅𝑅. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego stożka
48. Kula wpisana w stożek ma promień długości 2, a kula styczna do kuli wpisanej i powierzchni bocznej stożka ma promień długości 1. Środki obu kul leżą na wysokości stożka. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego stożka.
49. W model stożka, którego przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym, włożono kulę o promieniu długości 𝑅𝑅 i nalano wody zatapiając ją (stożek ustawiony wierzchołkiem w dół).
Powierzchnia wody jest styczna do kuli. Oblicz odległość powierzchni wody od wierzchołka stożka po wyjęciu kuli.
50. W kulę wpisano dwa stożki obrotowe o wspólnej podstawie, z których jeden ma pole powierzchni bocznej 3 razy większe od drugiego. Wyznacz stosunek długości wysokości tych stożków.
51. Romb o boku długości 𝑎𝑎 i kącie ostrym 𝛼𝛼 obraca się dookoła prostej 𝑘𝑘 przechodzącej przez wierzchołek kąta ostrego i prostopadłej do jednego z przyległych jej boków. Oblicz objętość bryły otrzymanej z obrotu.
