Twierdzenie Choqueta o mierzalno±ci rzutów
(Na podstawie wykªadu prof. Michaªa Morayne)
Mateusz Kwa±nicki 12. grudnia 2004.
1 Wst¦p
Ten tekst jest skróconym zapisem wykªadów dr M. Morayne, po±wi¦conych podstawom analizy stochastycznej. W wielu miejscach przede wszystkim w dowodach twierdze« pomini¦to szczegóªy rozumowania, które czytelnik powinien jednak bez trudu uzupeªni¢. Aby uªatwi¢ lektur¦ tekstu, tam gdzie trudno±¢ ªatwo przeoczy¢, zamieszczono symbol ♠.
2 Podstawowe denicje i fakty.
1. Oznaczenia. Niech N, Z oznaczaj¡ odpowiednio przestrzenie liczb na- turalnych (z zerem) oraz caªkowitych z topologi¡ dyskretn¡, za± ZN zbiór niesko«czonych ci¡gów liczb caªkowitych z topologi¡ produktow¡, induko- wan¡ przez metryk¦:
d(p, q) = (min {i : pi 6= qi} + 1)−1. Niech nadto:
S = [
n∈N
Zn
b¦dzie zbiorem wszystkich ci¡gów sko«czonych. Jedyny ci¡g dªugo±ci zero oznaczamy symbolem 0. Niech S∗ = S \ {0}. Symbole R, Q oznaczaj¡ od- powiednio zbiory liczb rzeczywistych i wymiernych; symbol + w indeksie dolnym b¦dzie oznaczaª, »e mamy na my±li jedynie liczby nieujemne (z ze- rem); wykluczenie zera ze zbioru b¦dziemy oznacza¢ symbolem ∗ w indeksie
górnym. W szczególno±ci N∗oznacza zbiór dodatnich liczb caªkowitych. Je±li k ∈ N, za± p ∈ ZN b¡d¹ p ∈ Zn dla pewnego n ≥ k, to oznaczamy:
phki = (p0, . . . , pk−1).
Je±li za± p ∈ S, p = (p0, . . . , pk−1) oraz i ∈ Z, to okre±lamy:
hp, ii = (p0, . . . , pk−1, i).
2. Twierdzenie. Przestrzenie topologiczne: ZN (z topologi¡ produktow¡), R \ Q oraz R+\ Q (z naturaln¡ topologi¡) s¡ ze sob¡ homeomorczne.
Dowód. Na potrzeby tego dowodu, niech p0 = (p0, . . . , pk−2, pk−1 + 1) dla p = (p0, . . . , pk−1) ∈ S∗.
Okre±lamy funkcj¦ ψ : S∗ → Q indukcyjnie dla coraz dªu»szych ci¡gów tak, aby dla wszystkich p = (p0, . . . , pk−1) ∈ S speªnione byªy nast¦puj¡ce warunki:
ψ(hp, ii) jest ±ci±le rosn¡c¡ funkcj¡ i ∈ Z,
i→−∞lim ψ(hp, ii) = ψ(p) oraz
i→∞lim ψ(hp, ii) = ψ(p0)je±li k ∈ N,
i→−∞lim ψ(i) = −∞ oraz lim
i→∞ψ(i) = ∞, ψ (S∗) = Q.
(Ostatni warunek uzyskamy na przykªad »¡daj¡c, by w k-tym kroku kon- strukcji wyczerpa¢ wszystkie liczby wymierne o mianowniku k.) Dla ci¡gu p ∈ ZN okre±lamy:
ϕ(p) = lim
k→∞ψ(phki).
Wówczas ϕ jest ró»nowarto±ciowym odwzorowaniem ZN na R \ Q (♠). Ob- razami zbiorów bazowych topologii w ZN s¡ wszystkie zbiory bazy topologii w R \ Q, zªo»onej z przedziaªów postaci (q(p), q(p0))dla p ∈ S∗. To oznacza ci¡gªo±¢ odwzorowa« ϕ i ϕ−1. Homeomorzm mi¦dzy przestrzeniami R \ Q oraz R+ \ Q ustala funkcja x 7→ 2 − x dla x < 1, x 7→ 1/x w przeciwnym przypadku.
3. Uwaga. W powy»szym dowodzie mo»na bez »adnych dodatkowych zmian zast¡pi¢ zbiór Q dowolnym innym g¦stym podzbiorem przeliczalnym E ⊂ R. Tym samym udowodnili±my, »e R\E1oraz R\E2s¡ homeomorczne dla ka»dych dwóch przeliczalnych podzbiorów g¦stych E1, E2 ⊂ R. ledz¡c uwa»nie dowód mo»na zauwa»y¢, »e homeomorzm mi¦dzy tymi przestrze- niami jest ustalony przez pewn¡ funkcj¦ rosn¡c¡ f rozszerzaj¡c¡ si¦ w sposób ci¡gªy do homeomorzmu R → R. Oznacza to, »e istnieje ci¡gªa i rosn¡ca funkcja f : R → R speªniaj¡ca warunek f(E1) = E2. Co ciekawe, istnieje funkcja speªniaj¡ca te zaªo»enia i dodatkowo taka, »e f i f−1s¡ niesko«czenie wiele razy ró»niczkowalne.
4. Denicje. Od tego momentu, je±li nie zostanie powiedziane inaczej, X jest pewnym zbiorem, za± Φ pewn¡ rodzin¡ jego podzbiorów. Oznaczamy:
(Φ)δ= (
\
n∈N
An : An∈ Φ, n ∈ N )
,
(Φ)σ = (
[
n∈N
An: An∈ Φ, n ∈ N )
, Φc= {Ac: A ∈ Φ} .
Rodzin¦ Φ nazywamy σδ-krat¡, je±li Φ = (Φ)δ = (Φ)σ, za± σ-algebr¡, je±li jest σδ-krat¡ oraz Φ = Φc. Najmniejsz¡ σδ-krat¦ zawieraj¡c¡ Φ oznaczamy Φˆ, za± najmniejsz¡ σ-algebr¦ σ(Φ). Rodzin¦ wszystkich podzbiorów X oznaczamy P (X). Je±li X jest przestrzeni¡ topologiczn¡, to przez B (X) oznaczamy rodzin¦ zbiorów borelowskich na X, czyli σ(τ), gdzie τ jest rodzin¡
otwartych podzbiorów X.
Je±li Φ i Ψ s¡ rodzinami podzbiorów odpowiednio zbioru X i Y , to okre-
±lamy:
Φ × Ψ = {A × B : A ∈ Φ, B ∈ Ψ} , Φ ˆ⊗ Ψ = (Φ × Ψ)ˆ,
Φ ⊗ Ψ = σ(Φ × Ψ).
Deniujemy rzutowanie: π(x, y) = x. Dla zbioru A ⊂ X × Y oraz x ∈ X okre±lamy ci¦cie (A)x jako {y ∈ Y : (x, y) ∈ A}.
5. Fakt. Zachodz¡ nast¦puj¡ce relacje:
Φ ˆ⊗ Ψ = Φ ˆ⊗ ˆΨ = ˆΦ ˆ⊗ ˆΨ, Φ ⊗ Ψ = Φ ⊗ σ(Ψ) = σ(Φ) ⊗ σ(Ψ).
3 Transformacja A Souslina
1. Denicja. Niech T : S∗ → P (X). Oznaczamy:
A(T ) = [
p∈ZN
\
k∈N∗
T (phni), A(Φ) = {A(T ) : T : S∗ → Φ} .
2. Twierdzenie. Operacja A jest indempotentna, czyli A(A(Φ)) = A(Φ).
Dowód. Niech ˆT : S∗ → A(Φ) i niech ˆT (p) = A (Tp), gdzie Tp : S∗ → Φ. Niech ponadto n 7→ (α(n), β(n)) b¦dzie bijekcj¡ mi¦dzy Z oraz Z × Z.
Niech k ∈ N, k > 0. Wówczas k = 2i(2j + 1) dla pewnych wyznaczonych jednoznacznie i, j ∈ N. Okre±lamy wtedy:
q = (α(p1), α(p2), α(p4), . . . , α(p2i)),
T (pe 1, . . . , pk) = Tq(β(p2i), p2i·3, p2i·5, . . . , p2i(2j+1)).
Wówczas (♠):
A( eT ) = [
p∈ZN
\
k∈N∗
T (phki)e
= [
q∈ZN
[
pi∈ZN,i∈N∗
\
i∈N∗
\
j∈N∗
Tqhii(pihji)
= [
q∈ZN
\
i∈N∗
[
p∈ZN
\
k∈N∗
Tqhii(phki)
= [
q∈ZN
\
i∈N∗
A(Tqhii) = A( ˆT ).
3. Twierdzenie. Rodzina A(Φ) jest σδ-krat¡ zawieraj¡c¡ Φ.
Dowód. Niech An ∈ Φ dla n ∈ N. Okre±lmy T1(p0, . . . , pk−1) = A|p0|, T2(p0, . . . , pk−1) = Ak−1 dla ka»dego (p0, . . . , pk−1) ∈ S∗. Wówczas A(T1) = S
n∈NAn oraz A(T2) =T
n∈NAn, a wi¦c (Φ)σ ⊂ A(Φ), (Φ)δ ⊂ A(Φ). Stosuj¡c ten rezultat dla A(Φ) w miejsce Φ otrzymujemy:
(A(Φ))σ ⊂ A(A(Φ)) = A(Φ), (A(Φ))δ⊂ A(A(Φ)) = A(Φ), co dowodzi tezy.
4. Uwaga. W ogólno±ci rodzina A(Φ) nie jest σ-algebr¡, nawet gdy Φ jest σ-algebr¡.
5. Twierdzenie. Zachodz¡ nast¦puj¡ce równo±ci:
A(Φ) =π(E) : E ∈ Φ ˆ⊗ B ZN = π(E) : E ∈ Φ ˆ⊗ B (R) . Dowód. Teza twierdzenia wynika z poni»szych trzech lematów.
6. Lemat. Zachodzi inkluzja A(Φ) ⊂ π(E) : E ∈ Φ ˆ⊗ B ZN . Dowód. Niech T : S∗ → Φ. Okre±lmy:
Ek= [
p∈Zk
T (p) × U (p),
gdzie U(p0, . . . , pk−1) = q ∈ ZN : qi = pi, i = 0, . . . , k − 1
jest zbiorem ba- zowym topologii w ZN. Niech E = T∞k=1Ek. Wówczas E ∈ Φ ˆ⊗ B ZN
oraz π(E) = A(T ).
7. Lemat. Zachodzi inkluzja A(Φ) ⊃ π(E) : E ∈ Φ ˆ⊗ B (R) .
Dowód. Niech Ψ = {[a, b] : a, b ∈ R, a ≤ b} b¦dzie rodzin¡ domkni¦tych prze- dziaªów liczb rzeczywistych. Wówczas (Ψ)δ = Ψ oraz ˆΨ = B (R). Ponadto je±li Bn ∈ Ψ, n ∈ N, to:
\
n∈N
Bn = ∅ ⇔ ∃k ∈ N :
k
\
n=0
Bn= ∅.
Oznacza to, »e je±li En∈ Φ × Ψ, n ∈ N, to:
π \
n∈N
En
!
= \
k∈N
π
k
\
n=0
En
! .
Oczywi±cie rzut sumy dowolnej mnogo±ci zbiorów jest sum¡ rzutów tych zbio- rów. We¹my zatem dowolne T : S∗ → Φ × Ψ i niech T (p) = T1(p) × T2(p). Okre±lmy T : Se ∗ → Φ × Ψ dla p = (p0, . . . , pk−1) ∈ S∗ wzorem:
T (p) = Te 1(p) ×
k
\
n=1
T2(phni)
! .
Wówczas (♠):
π(A(T )) = π(A( eT )) = A(π ◦ eT ) ∈ A(Φ).
Ale A(Φ × Ψ) ⊃ (Φ × Ψ)ˆ = Φ ˆ⊗ B (R), a wi¦c π(E) ∈ A(Φ) dla wszystkich E ∈ Φ ˆ⊗ B (R).
8. Lemat. Zachodzi równo±¢:
π(E) : E ∈ Φ ˆ⊗ B ZN = π(E) : E ∈ Φ ˆ⊗ B (R) .
Dowód. Przestrzenie ZN i R \ Q s¡ homeomorczne (twierdzenie 2.2), a mi¦dzy przestrzeniami R \ Q oraz R istnieje wzajemnie jednoznaczne od- wzorowanie borelowskie, którego odwrotno±¢ jest tak»e borelowska. Zatem:
π(E) : E ∈ Φ ˆ⊗ B ZN = π(E) : E ∈ Φ ˆ⊗ B (R \ Q)
=π(E) : E ∈ Φ ˆ⊗ B (R) .
9. Uwaga. Oczywi±cie w twierdzeniu 5 mo»na w miejsce R napisa¢ R+
b¡d¹ dowolny przedziaª (otwarty lub domkni¦ty) liczb rzeczywistych.
4 Twierdzenie Königa o drzewach
1. Denicja. Drzewem nazywamy ka»dy zbiór T ⊂ S speªniaj¡cy waru- nek:
(p0, . . . , pk) ∈ T ⇒ (p0, . . . , pk−1) ∈ T dla wszystkich k ∈ N. Dla wierzchoªka p ∈ T liczb¦:
# {i : hp, ii ∈ T }
nazywamy stopniem rozgaª¦zienia wierzchoªka p. Drzewo T nazywamy sko«- czenie rozgaª¦zionym, je±li stopie« rozgaª¦zienia ka»dego wierzchoªka T jest sko«czony.
2. Twierdzenie Königa o drzewach sko«czenie rozgaª¦zionych. Je±li T jest drzewem sko«czenie rozgaª¦zionym oraz #T = ∞, to istnieje ci¡g p ∈ ZN taki, »e phki ∈ T dla ka»dego k ∈ N∗.
Dowód. Ci¡g p skonstruujemy indukcyjnie, dbaj¡c o to, by w ka»dym kroku zbiór przedªu»e« ci¡gu phki w drzewie T :
A(phki) = {q ∈ T : qhki = phki}
byª niesko«czony. Dla k = 0 zachodzi A(0) = T , a wi¦c warunek jest speª- niony. Je±li skonstruowany zostaª ju» ci¡g phki, to:
A(phki) = {phki} ∪[
i∈Z
A(hphki , ii)
oraz tylko sko«czenie wiele zbiorów A(hphki , ii), i ∈ Z, jest niepustych. Za- tem dla pewnego i ∈ Z zbiór A(hphki , ii) jest niesko«czony. Przyjmujemy pk = i.
5 Pojemno±¢ Choqueta
1. Denicja. Funkcj¦ ν : P (X) → R nazywamy Φ-pojemno±ci¡ Choqueta (w skrócie Φ-pojemno±ci¡), je±li speªnia nast¦puj¡ce warunki:
1. Monotoniczno±¢: Dla A ⊂ B ⊂ X zachodzi ν(A) ≤ ν(B),
2. Ci¡gªo±¢ w gór¦: Dla A0 ⊂ A1 ⊂ · · · ⊂ X zachodzi ν Sn∈NAn = limn→∞ν(An),
3. Ci¡gªo±¢ w dóª: Dla A0 ⊂ A1 ⊂ · · · ⊂ X, An ∈ Φ, n ∈ N, zachodzi ν T
n∈NAn = limn→∞ν(An).
Mówimy, »e A ⊂ X jest ν-kapacytowalny, je±li:
∀ > 0 ∃B ∈ (Φ)δ : B ⊂ A, ν(B) > ν(A) − .
2. Twierdzenie. Je±li (Ω, F, P) jest przestrzeni¡ probabilistyczn¡, za± P∗ miar¡ zewn¦trzn¡, czyli:
P∗(A) = inf {P(E) : E ∈ F , E ⊃ A} , to P∗ jest F-pojemno±ci¡.
Dowód. Najpierw udowodnimy, »e P∗ jest F-pojemno±ci¡. Monotoniczno±¢
wynika wprost z denicji. Je±li An ⊂ X dla n ∈ N, to niech En ∈ F b¦dzie takim zbiorem, »e An ⊂ En, P∗(An) = P(En).
Je±li A0 ⊂ A1 ⊂ . . ., to:
P(En) = P∗(An) ≤ P
∞
\
i=n
Ei
!
≤ P(En).
Zatem:
P(En) =P∗(An) ≤ P∗ [
j∈N
Aj
!
≤ P [
j∈N
∞
\
i=j
Ei
!
= lim
j→∞P
∞
\
i=j
Ei
!
= lim
j→∞P (Ej) ,
co oznacza ci¡gªo±¢ w gór¦. Ci¡gªo±¢ w dóª wynika wynika z ci¡gªo±ci miary.
3. Twierdzenie Choqueta. Zaªó»my, »e Φ jest krat¡, czyli rodzin¡
zamkni¦t¡ na sko«czone sumy i przekroje. Je±li ν jest Φ-pojemno±ci¡, to ka»dy zbiór z rodziny A(Φ) jest ν-kapacytowalny.
Dowód. Niech A = A(T ), gdzie T : S∗ → Φ. Bez straty ogólno±ci mo»emy przyj¡¢, »e:
T (phki) ⊃ T (phk + 1i) dla wszystkich p ∈ ZN, k ∈ N∗. Okre±lamy:
T (p) =e \
k∈N∗
T (phki)
dla p ∈ ZN. Ponadto dla dowolnego sko«czonego ci¡gu liczb naturalnych m = (m0, . . . , mk−1)niech S(m) oznacza sum¦ mnogo±ciow¡ obrazów wszyst- kich ci¡gów z ZN, których pocz¡tkowe wspóªrz¦dne s¡ ograniczone przez liczby mi, a wi¦c:
S(m) = [
p∈ZN,|pi|<midla i=0,...,k−1
T (p).e
Zauwa»my, »e S(0) = A. Ustalmy > 0. Konstruujemy indukcyjnie ci¡g liczb naturalnych m w nast¦puj¡cy sposób. Przyjmijmy, »e zostaªy ju» okre-
±lone m0, . . . , mk−1 tak, »e:
ν(S(mhki)) > ν(A) − .
Wobec:
S(mhki) = [
i∈N
S(hmhki , ii) i denicji Φ-pojemno±ci, dla pewnego mk ∈ N:
ν(S(mhk + 1i)) > ν(A) − .
Niech teraz:
Fk = [
p∈Nk,|pi|<midla i=0,...,k−1
T (p) dla k ∈ N∗ oraz niech:
F = \
k∈N∗
Fk. Oczywi±cie Fk ∈ Φ, wi¦c F ∈ (Φ)δ. Ponadto:
ν(Fk) ≥ ν(S(mhki)) > ν(A) − ,
przez co ν(F ) = limk→∞ν(Fk) ≥ ν(A) − . Poka»emy, »e F ⊂ A.
Niech x ∈ F . Okre±lamy drzewo T jako zbiór wszystkich wierzchoªków postaci phki dla p ∈ ZN takich, »e x ∈ T (p) oraz |pi| < midla i = 0, . . . , k−1.
Jest to drzewo niesko«czone (bo wobec denicji F i Fkzawiera ci¡gi dowolnej dªugo±ci) i sko«czenie rozgaª¦zione, wi¦c na mocy twierdzenia Königa (4.2) istnieje ci¡g p ∈ ZN taki, »e |pi| < mi dla i ∈ N oraz x ∈ T (phki) dla wszystkich k ∈ N∗. To oznacza, »e x ∈ A. Zatem F ⊂ A.
Powy»szy dowód pochodzi od prof. J. Cichonia i prof. [???].
4. Wnioski. Niech (Ω, F, µ) b¦dzie przestrzeni¡ probabilistyczn¡. Przez Fµ oznaczamy σ-algebr¦ uzupeªnion¡ wzgl¦dem miary µ, a wi¦c σ-algebr¦
generowan¡ przez F oraz wszystkie zbiory A ⊂ X takie, »e µ∗(A) = 0. Wówczas:
Fµ= {A : ∃E1, E2 ∈ F : E1 ⊂ A ⊂ E2, µ(E1) = µ(E2)}
lub inaczej:
Fµ= {A : ∃E ∈ F : E ⊂ A, µ(E) = µ∗(A)} .
Miar¦ µ mo»na jednoznacznie rozszerzy¢ do miary na Fµ. Na mocy tw.
Choqueta i faktu, »e µ∗ jest Fµ-pojemno±ci¡, ka»dy zbiór z rodziny A(Fµ) speªnia powy»szy warunek, wi¦c A(Fµ) ⊂ Fµ.
Co wi¦cej, je±li (Ω, F) jest przestrzeni¡ mierzaln¡, to dla ka»dej miary probabilistycznej µ na σ-algebrze F zachodzi A(F) ⊂ Fµ, a wi¦c:
A(F ) ⊂ F∗ = \
µ∈M(F )
Fµ,
gdzie M(F) oznacza rodzin¦ wszystkich miar probabilistycznych na σ- algebrze F, za± F∗ nazywane jest rodzin¡ zbiorów uniwersalnie mierzalnych.
Zauwa»my, »e (F∗)∗ = F∗.
Na mocy twierdzenia 3.5 oznacza to, »e rzuty π(E) zbiorów E ∈ F⊗B (R) (a nawet E ∈ F∗⊗B (R)) nale»¡ do rodziny zbiorów uniwersalnie mierzalnych F∗, za± rzuty zbiorów E ∈ Fµ⊗ B (R)nale»¡ do Fµ. W szczególno±ci rzuty borelowskich podzbiorów pªaszczyzny na jedn¡ z osi s¡ mierzalne w sensie Lebesgue'a.
5. Twierdzenie. Je±li Φ = {E ⊂ F ⊗ B (R+) : ∀ω ∈ Ω : (E)ω jest zwarty}
oraz X = Ω × R+, to funkcja ν(A) = P∗(π(A)) dla A ∈ P (X) jest Φ- pojemno±ci¡.
Dowód. Monotoniczno±¢ ν wynika z monotoniczno±ci rzutów, ci¡gªo±¢ w gór¦
z przemienno±ci rzutowania i sumowania oraz ci¡gªo±ci w gór¦ P∗ udowod- nionej w twierdzeniu 5.2. Je±li A0 ⊃ A1 ⊃ . . ., An ∈ Φ, n ∈ N, to dla ω ∈ Ω:
\
n∈N
(An)ω = ∅ ⇔ ∃n ∈ N : (An)ω = ∅
wobec zwarto±ci ci¦¢ (An)ω, a wi¦c π Tn∈NAn = Tn∈Nπ(An). Ponadto na mocy wniosków wyci¡gni¦tych z tw. Choqueta, zachodzi π(An) ∈ FP, π T
n∈NAn ∈ FP. Zatem po przedªu»eniu P do miary na FP:
ν \
n∈N
An
!
=P∗ π \
n∈N
An
!!
= P \
n∈N
π(An)
!
= lim
n→∞P(π(An)) = lim
n→∞ν(An).
Znów w miejsce R+ mo»na wpisa¢ R b¡d¹ dowolny przedziaª liczb rze- czywistych.
6 Wykresy mierzalne i twierdzenie von Neu- manna o selektorze
1. Denicja. Zbiór A ∈ F ⊗ B (R+) nazywamy wykresem mierzalnym, je±li:
∀ω ∈ Ω : #(A)ω ≤ 1.
Debiutem zbioru E ⊂ Ω × R+ nazywamy funkcj¦ okre±lon¡ dla ω ∈ π(E) wzorem DA(ω) = inf {t ∈ R+ : (ω, t) ∈ E}.
2. Twierdzenie. Je±li przestrze« (Ω, F, P) jest zupeªna (czyli FP = F), to ka»dy wykres mierzalny jest postaci:
{(ω, f (ω)) : ω ∈ E}
dla pewnego E ∈ F oraz f : E → R+ borelowskiej.
Dowód. Je±li E ∈ F oraz f : E → R+ jest funkcj¡ borelowsk¡, to:
{(ω, f (ω)) : ω ∈ E}
= \
n∈N∗
[
k∈N
f−1 k
n,k + 1 n
∩ E
× k
n,k + 1 n
∈ F ⊗ B (R+) .
Je±li za± A jest wykresem mierzalnym, to okre±namy E = π(A) ∈ FP = F (mierzalno±¢ E wynika z 5.4) oraz f(ω) ∈ (A)ω dla ω ∈ E. Zauwa»my, »e wybór f jest jednoznaczny oraz »e A = {(ω, f(ω)) : ω ∈ E}. Ponadto dla F ∈ B (R+):
f−1(F ) = {ω ∈ Ω : (A)ω∩ F 6= ∅} = {ω ∈ Ω : (A ∩ (Ω × F ))ω 6= ∅}
=π(A ∩ (Ω × F )) ∈ FP = F
(mierzalno±¢ ponownie jest konsekwencj¡ 5.4). Zatem f jest funkcj¡ bore- lowsk¡.
3. Twierdzenie. Je±li przestrze« (Ω, F, P) jest zupeªna oraz E ∈ F ⊗ B (R+), to DE jest funkcj¡ mierzaln¡.
Dowód. Teza wynika z nast¦puj¡cego rachunku:
{ω ∈ π(E) : DE(ω) < t} = {ω ∈ Ω : ∃s ∈ [0, t) : (ω, s) ∈ E}
=π(E ∩ (Ω × [0, t))) oraz z 5.4.
4. Uwaga. W dowodach powy»szych twierdze« wykorzystali±my jedy- nie fakt, »e rzut zbioru mierzalnego jest mierzalny. Mo»na zatem osªabi¢
zaªo»enia tych twierdze«: zamiast zupeªno±ci przestrzeni probabilistycznej wystarczy wymaga¢, by A(F) = F. W szczególno±ci F mo»e by¢ σ-algebr¡
zbiorów uniwersalnie mierzalnych.
5. Twierdzenie von Neumanna o selektorze. Je±li przestrze« (Ω, F, P) jest zupeªna, za± E ∈ F ⊗ B (R+), to istnieje wykres mierzalny A ⊂ E taki,
»e π(A) = π(E).
Dowód. Niech Φ = {E ⊂ F ⊗ B (R+) : ∀ω ∈ Ω : (E)ω jest zwarty} i niech ν(A) = P∗(π(A)). Udowodnili±my w 5.5, »e ν jest Φ-pojemno±ci¡. Skon- struujemy indukcyjnie ci¡g Fn ∈ Φ, n ∈ N∗, oraz ci¡g pomocniczy En ∈ F ⊗ B (R+), n ∈ N∗.
Niech E1 = E. Zaªó»my, »e dla pewnego n ∈ N∗ skonstruowali±my ju» En ∈ F ⊗ B (R+). Poniewa» En jest ν-kapacytowalny, wi¦c istnieje Fn∈ (Φ)δ = Φ taki, »e Fn⊂ En oraz ν(Fn) > ν(En) − 1/n. Okre±lamy:
En+1= En\ (π(Fn) × R+).
Na mocy 5.4 En+1 ∈ F ⊗ B (R+).
Zauwa»my, »e π(Fn)∩π(En+1) = ∅oraz π(En+1)∪π(Fn) = π(En). Wynika st¡d, »e dla n 6= m zachodzi π(Fn) ∩ π(Fm) = ∅, a wi¦c:
F = [
n∈N∗
Fn∈ Φ, oraz:
π(F ) = [
n∈N∗
π(Fn) = [
n∈N∗
π(En) \ π(En+1) = π(E) \ \
n∈N∗
En.
St¡d:
P(π(E)) − P(π(F )) = lim
n→∞P(En+1) = lim
n→∞(ν(En) − ν(Fn)) = 0 (mierzalno±¢ wszystkich zbiorów w powy»szej równo±ci wynika z 5.4). Po- nadto wobec Fn⊂ En zachodzi F ⊂ E.
Okre±lmy f : π(E) → R+ wzorem f(ω) = DF(ω) dla ω ∈ π(F ) oraz tak, by f(ω) ∈ Eω dla ω ∈ π(E) \ π(E). Na mocy twierdzenia 6.3 i wobec zupeª- no±ci przestrzeni (Ω, F, P), funkcja f jest mierzalna. Ponadto jej wykres jest zawarty w E (bo wykres DF jest zawarty w F ). Teza wynika z twierdzenia 6.2.