Przydatne wzory:

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna, Informatyka; S-I ⁰ .in». 7 maja 2018

Legalna ±ci¡ga na kolokwium nr. 2

Uwaga: Zabrania si¦ korzystania z innych materiaªów (nie dotyczy legalnej ±ci¡gi do kolokwium nr 1) jak równie» dopisywania dodatkowych informacji.

Przydatne wzory:

Pochodne funkcji elementarnych:

Lp. Wzór 1 Wzór 2 Uwagi

1. (c) ⁰ = 0 c ∈ R

2. (x ^α ) ⁰ = αx ^α−1 ( ^α ) ⁰ = α ^α−1 ·  ⁰ α ∈ R \ {0}

3. ( √

x) ⁰ = ¹

n

√ x

 √

  0

= ^

n

√



n ∈ N \ {0, 1}; x > 0 4. (sin x) ⁰ = cos x (sin ) ⁰ = (cos ) ·  ⁰

5. (cos x) ⁰ = − sin x (cos ) ⁰ = (− sin ) ·  ⁰

6. (tg x) ⁰ = _cos ¹

x (tg ) ⁰ = _cos ^

 x 6= ^π ₂ + kπ, k ∈ N 7. (ctg x) ⁰ = − _sin ¹

x (ctg ) ⁰ = − _sin ^

 x 6= kπ, k ∈ N 8. (a ^x ) ⁰ = a ^x · ln a (a ^ ) ⁰ = a ^ · ln a ·  ⁰ a > 0 9. (e ^x ) ⁰ = e ^x (e ^ ) ⁰ = e ^ ·  ⁰

10. (ln x) ⁰ = _x ¹ (ln ) ⁰ = ^

 x > 0

11. (log _a x) ⁰ = _{x ln a} ¹ (log _a ) ⁰ = _{ ln a} ^

a > 0, a 6= 0; x > 0 12. (arcsin x) ⁰ = ^{√ 1}

1−x

(arcsin ) ⁰ = ^{√ }

1−

|x| < 1 13. (arccos x) ⁰ = ^√ _1−x ⁻¹

(arccos ) ⁰ = ^{√ −}

1−

|x| < 1 14. (arctg x) ⁰ = _1+x ¹

(arctg ) ⁰ = _1+ ^

15. (arcctg x) ⁰ = _1+x ⁻¹

(arcctg ) ⁰ = _1+ ^−

Rodzaj przeksztaªce« wykorzystywanych w obliczaniu granic za pomoc¡ reguªy L'Hospitala Rodzaj nieoznaczono±ci Stosowane przeksztaªcenie Otrzymana nieoznaczono±¢

0 · ∞ f · g = ^f

g

lub f · g = ^g

0 0 lub ^∞ _∞

∞ − ∞ f − g =

1 g

−

1 f g

0 0

1 ^∞ , ∞ ⁰ , 0 ⁰ f ^g = e ^{g ln f} 0 · ∞

K¡t przeci¦cia dwóch funkcji :

φ = arctan    

f ⁰ (x ₀ ) − g ⁰ (x ₀ ) 1 + f ⁰ (x 0 ) · g ⁰ (x 0 )

    . W przypadku gdy 1 + f ⁰ (x ₀ ) · g ⁰ (x ₀ ) = 0 to styczne te s¡ prostopadªe.

Równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) w punkcie (x 0 , f (x 0 )) : y − y 0 = f ⁰ (x 0 )(x − x 0 ).

Równanie prostej normalnej do wykresu funkcji f(x) w punkcie (x 0 , f (x 0 )) o ile f ⁰ (x 0 ) 6= 0 : y = − _f

(x ¹

) · (x − x 0 ) + f (x 0 ).

Wzór na przybli»on¡ warto±¢: f(x) ≈ f(x 0 ) + f ⁰ (x 0 )(x − x 0 ).

1

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna, Informatyka; S-I ⁰ .in». 7 maja 2018

Lp. Wzór Uwagi

1. R dx = x + c

2. R adx = ax + c

3. R x ^α dx = _α+1 ¹ x ^α+1 + c α ∈ R \ {−1}

4. R sin xdx = − cos x + c

5. R cos xdx = sin x + c

6. R tg xdx = − ln | cos x| + c x 6= ^π ₂ + kπ, k ∈ N

7. R ctg xdx = ln | sin x| + c x 6= kπ, k ∈ N

8. R sinh xdx = cosh x + c 9. R cosh xdx = sinh x + c

10. R ₁

cosh

x dx = tgh x + c

11. R ₁

sinh

x dx = − ctgh x + c

12. R a ^x dx = _{ln a} ¹ a ^x + c a > 0

13. R e ^x dx = e ^x + c

14. R ₁

x dx = ln |x| + c x 6= 0

15. R ₁

cos

x dx = tg x + c x 6= ^π ₂ + kπ, k ∈ N

16. R ₁

sin

x dx = − ctg x + c x 6= kπ, k ∈ N

17. R _{√ 1}

a

−x

dx = arcsin ^x _a + c a 6= 0

18. R ₁

a

+x

dx = ¹ _a arctg ^x _a + c a 6= 0

19. R ₁

√

x

+a dx = ln  x + √

x ² + a 

 + c a ∈ R

20. R ₁

a

−x

dx = _2a ¹ ln   ^a+x _a−x

 + c a > 0, |x| 6= a

21. R f

(x)

f (x) dx = ln |f (x)| + c

22. R ₁

ax+b dx = ¹ _a ln |ax + b| + c

23. R cos ⁿ xdx = ¹ _n sin x cos ⁿ⁻¹ x + ⁿ⁻¹ _n R cos ⁿ⁻² xdx n ≥ 2 24. R sin ⁿ xdx = − ¹ _n cos x sin ⁿ⁻¹ x + ⁿ⁻¹ _n R sin ⁿ⁻² xdx n ≥ 2 25. R √

x ² + adx = ¹ ₂ x √

x ² + a + ^a ₂ ln |x + √

x ² + a| + c

26. R _dx

(x

+1)

= _2n−2 ¹ _(1+x ^x

)

+ ²ⁿ⁻³ _2n−2 R ₁

(1+x

)

dx n ≥ 2

27. R √

a ² − x ² dx = ^a ₂

arcsin _|a| ^x + ^x ₂ √

a ² − x ² + c

Wzór na caªkowanie przez cz¦±ci:R f(x)g ⁰ (x)dx = f (x)g(x) − R f ⁰ (x)g(x)dx.

Caªkowanie pewnych caªek niewymiernych:

2a. Caªk¦ postaci R ^√ _ax

^dx +bx+c sprowadzamy do R √ ^dx

a(x−p)

+q i dokonujemy podstawienia x−p = q ₁

|a| t, a nast¦pnie stosujemy odpowiednie wzory z powy»szej tabeli.

2b. Caªk¦ postaci R √

ax ² + bx + cdx sprowadzamy do R pa(x − p) ² + qdx i dokonujemy podstawienia x−p = q ₁

|a| t, a nast¦pnie stosujemy odpowiednie wzory z powy»szej tabeli.

Caªkowanie pewnych wyra»e« trygonometrycznych:

1. Caªk¦ R W (sin x, cos x, tg x)dx obliczmy przez podstawienie t = tg ^x ₂ . Wówczas mamy:

dx = 2

1 + t ² dt, sin x = 2t

1 + t ² , cos x = 1 − t ² 1 + t ² .

2. Caªk¦ R W (sin ² x, cos ² x sin x cos x)dx obliczmy przez podstawienie t = tg x. Wówczas mamy:

dx = 1

1 + t ² dt, sin ² x = t ²

1 + t ² , cos ² x = 1 1 + t ² .

2

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna, Informatyka; S-I ⁰ .in». 7 maja 2018

3. Caªk¦ postaci R sin ^m x cos ⁿ xdx, n, m ∈ N liczmy:

a) gdy m, n s¡ parzyste jak podpunkcie 2;

b) gdy m jest nieparzyste, przez podstawienie t = cos x, c) gdy n jest nieparzyste, przez podstawienie t = sin x.

4. Caªki postaci R sin ax sin bxdx, R cos ax cos bxdx, R sin ax cos bx obliczmy korzystaj¡c ze wzorów:

sin x sin y = 1

2 [cos(x − y) − cos(x + y)], cos x cos y = 1

2 [cos(x − y) + cos(x + y)], sin x cos y = 1

2 [sin(x − y) + sin(x + y)].

Inne przydatne wzory trygonometryczne:

cos ² x = ^{1+cos 2x} ₂ , sin ² x = ^{1−cos 2x} ₂ , cos 2x = cos ² x − sin ² x, sin 2x = 2 sin x cos x.

Pole obszaru pªaskiego:

Je»eli krzywe y = f(x) oraz y = g(x) dla x ∈ [a, b] speªniaj¡ nierówno±¢ f(x) ≥ g(x) co oznacza, »e wykres funkcji f znajduje si¦ powy»ej wykresu funkcji g, to pole obszaru ograniczonego tymi krzywymi oraz prostymi x = a, x = b wyra»a si¦ wzorem:

P =

b

Z

a

[f (x) − g(x)]dx.

Dªugo±¢ krzywej:

Dªugo±¢ krzywej Γ : y = f(x) dla x ∈ [a, b] wyra»a si¦ wzorem: |Γ| = R ^b

a

p1 + (f ⁰ (x)) ² dx.

Obj¦to±¢ bryª obrotowych:

Obj¦to±¢ V bryªy powstaªej z:

a) obrotu wokóª osi Ox obszaru N : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x) wyra»a si¦ wzorem: V = π R ^b

a

f ² (x)dx,

b) obrotu wokóª osi Oy obszaru N : 0 ≤ a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x) (innymi sªowy obj¦to±¢ bryªy powstaªej z obrotu obszaru "pod krzyw¡"y = f(x)) wyra»a si¦ wzorem: V = 2π R ^b

a

xf (x)dx.

Pole powierzchni bryª obrotowych:

Pole powierzchni powstaªej z obrotu:

a) wokóª osi Ox wykresu funkcji f(x) dla a ≤ x ≤ b, wyra»a si¦ wzorem: P = 2π R ^b

a

f (x)p1 + (f ⁰ (x)) ² dx,

b) wokóª osi Oy wykresu funkcji f(x) dla 0 ≤ a ≤ x ≤ b, wyra»a si¦ wzorem: P = 2π R ^b

a

xp1 + (f ⁰ (x)) ² dx.

Inne przydatne wzory:

a) sin 2α = 2 sin α cos α, b) cos 2α = cos ² α − sin ² α,

c) sin α + sin β = 2 sin ^α+β ₂ cos ^α−β ₂ , d) sin α − sin β = 2 sin ^α−β ₂ cos ^α+β ₂ , e) cos α − cos β = −2 sin ^α+β ₂ sin ^α−β ₂ , f) cos α = sin ^π ₂ − α

g) a ² − b ² = (a − b)(a + b), h) a ³ ± b ³ = (a ± b)(a ² ∓ ab + b ² ).

3