Ruch w nieinercjalnym układzie odniesienia Wykład 10 Karol Kołodziej

Karol Kołodziej

(przy współpracy Bartosza Dziewita) Instytut Fizyki

Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl

Kolejne dwa wykłady poświęcimy dyskusji zagadnień, które ilustrują zastosowania wprowadzonego wcześniejformalizmu nierelatywistycznej mechaniki teoretycznej.

Na początek rozważymyruch punktu materialnego w nieinercjalnym układzie odniesienia.

nierelatywistycznej mechaniki teoretycznej.

Na początek rozważymyruch punktu materialnego w nieinercjalnym układzie odniesienia.

Przejście do nieinercjalnego układu odniesienia realizujemy przez transformację punktową

q_i → Qi = Q_i(q, t), i = 1, . . . , n.

Kolejne dwa wykłady poświęcimy dyskusji zagadnień, które ilustrują zastosowania wprowadzonego wcześniejformalizmu nierelatywistycznej mechaniki teoretycznej.

Na początek rozważymyruch punktu materialnego w nieinercjalnym układzie odniesienia.

Przejście do nieinercjalnego układu odniesienia realizujemy przez transformację punktową

q_i → Qi = Q_i(q, t), i = 1, . . . , n.

Wykorzystamy fakt, że transformacje punktowe nie zmieniają postaci równań Lagrange’a II rodzaju.

d dt

∂L

∂˙q_i − ∂L

∂q_i = 0 → d dt

∂L^′

∂ ˙Q_i − ∂L^′

∂Q_i = 0,

nierelatywistycznej mechaniki teoretycznej.

Na początek rozważymyruch punktu materialnego w nieinercjalnym układzie odniesienia.

Przejście do nieinercjalnego układu odniesienia realizujemy przez transformację punktową

q_i → Qi = Q_i(q, t), i = 1, . . . , n.

Wykorzystamy fakt, że transformacje punktowe nie zmieniają postaci równań Lagrange’a II rodzaju.

d dt

∂L

∂˙q_i − ∂L

∂q_i = 0 → d dt

∂L^′

∂ ˙Q_i − ∂L^′

∂Q_i = 0,

gdzie nową funkcję Lagrange’a tworzymy wstawiając odwrotne równania transformacyjne do funkcji wyjściowej.

L(q, ˙q, t) = L^q(Q, t), ˙q(Q, ˙Q, t), t^= L^′(Q, ˙Q, t).

Transformację z inercjalnego układu odniesienia S do układu S^′ poruszającego się ruchem przyspieszonym można przeprowadzić dokonując:

1 przesunięcia równoległego początku układu współrzędnych,

2 obrotu względem początku układu.

równania transformacyjne do funkcji wyjściowej.

L(q, ˙q, t) = L^q(Q, t), ˙q(Q, ˙Q, t), t^= L^′(Q, ˙Q, t).

Transformację z inercjalnego układu odniesienia S do układu S^′ poruszającego się ruchem przyspieszonym można przeprowadzić dokonując:

1 przesunięcia równoległego początku układu współrzędnych,

2 obrotu względem początku układu.

Transformacje z punktu 1 są proste, dlategoograniczmy się do obrotów.

gdzie nową funkcję Lagrange’a tworzymy wstawiając odwrotne równania transformacyjne do funkcji wyjściowej.

L(q, ˙q, t) = L^q(Q, t), ˙q(Q, ˙Q, t), t^= L^′(Q, ˙Q, t).

Transformację z inercjalnego układu odniesienia S do układu S^′ poruszającego się ruchem przyspieszonym można przeprowadzić dokonując:

1 przesunięcia równoległego początku układu współrzędnych,

2 obrotu względem początku układu.

Transformacje z punktu 1 są proste, dlategoograniczmy się do obrotów.

Wektor położenia ma postać

w układzie S : ~r(t) = xi(t)ˆxi,

w układzie S^′: ~r(t) = x_i^′(t)ˆx_i^′(t), y y^′ z

~r = ~r^′ z^′

x x^′ gdzie ˆxi i ˆx_i^′(t) są odpowiednio wersorami osi układu S i S^′.

Zakładamy, że początki układów S i S pokrywają się.

Rozważmy jeden punkt materialny bez więzów.

Wektor położenia ma postać

w układzie S : ~r(t) = xi(t)ˆxi,

w układzie S^′: ~r(t) = x_i^′(t)ˆx_i^′(t), y y^′ z

~r = ~r^′ z^′

x x^′ gdzie ˆxi i ˆx_i^′(t) są odpowiednio wersorami osi układu S i S^′. Prędkości i przyspieszenia w obu układach są różne.

˙~r(t) = ˙xi(t)ˆx_i = ~v(t),

˙~r(t) = ˙x_i^′(t)ˆx_i^′(t) + x_i^′(t) ˙ˆx_i^′(t),

Wektor położenia ma postać

w układzie S : ~r(t) = xi(t)ˆxi,

w układzie S^′: ~r(t) = x_i^′(t)ˆx_i^′(t), y y^′ z

~r = ~r^′ z^′

x x^′ gdzie ˆxi i ˆx_i^′(t) są odpowiednio wersorami osi układu S i S^′. Prędkości i przyspieszenia w obu układach są różne.

˙~r(t) = ˙xi(t)ˆx_i = ~v(t),

˙~r(t) = ˙x_i^′(t)ˆx_i^′(t) + x_i^′(t) ˙ˆx_i^′(t),

gdyż wersory układu S^′ obracają się w układzie S, a więc zmieniają się w czasie.

Zakładamy, że początki układów S i S pokrywają się.

Rozważmy jeden punkt materialny bez więzów.

Wektor położenia ma postać

w układzie S : ~r(t) = xi(t)ˆxi,

w układzie S^′: ~r(t) = x_i^′(t)ˆx_i^′(t), y y^′ z

~r = ~r^′ z^′

x x^′ gdzie ˆxi i ˆx_i^′(t) są odpowiednio wersorami osi układu S i S^′. Prędkości i przyspieszenia w obu układach są różne.

˙~r(t) = ˙xi(t)ˆx_i = ~v(t),

˙~r(t) = ˙x_i^′(t)ˆx_i^′(t) + x_i^′(t) ˙ˆx_i^′(t),

gdyż wersory układu S^′ obracają się w układzie S, a więc zmieniają

chwilowej osi obrotu, którego zwrot określamy zgodnie z re- gułą śruby prawoskrętnej.

Wtedy zmianę wersora układu primowanego w czasie ˙ˆx_i^′(t) możemy wyrazić następująco:

˙ˆx_i^′(t) = ~ω× ˆxi^′(t).

ściwie pseudowektor, prędkości kątowej ~ω skierowany wzdłuż chwilowej osi obrotu, którego zwrot określamy zgodnie z re- gułą śruby prawoskrętnej.

Wtedy zmianę wersora układu primowanego w czasie ˙ˆx_i^′(t) możemy wyrazić następująco:

˙ˆx_i^′(t) = ~ω× ˆxi^′(t).

Uwzględniając ten wzór w równaniu

˙~r(t) = ˙x_i^′(t)ˆx_i^′(t) + x_i^′(t) ˙ˆx_i^′(t)

chwilowej osi obrotu, którego zwrot określamy zgodnie z re- gułą śruby prawoskrętnej.

Wtedy zmianę wersora układu primowanego w czasie ˙ˆx_i^′(t) możemy wyrazić następująco:

˙ˆx_i^′(t) = ~ω× ˆxi^′(t).

Uwzględniając ten wzór w równaniu

˙~r(t) = ˙x_i^′(t)ˆx_i^′(t) + x_i^′(t) ˙ˆx_i^′(t) otrzymamy

˙~r(t) = ˙x_i^′(t)ˆx_i^′(t) + ~ω× xi^′(t)ˆx_i^′(t) = ~v^′(t) + ~ω× ~r(t).

ściwie pseudowektor, prędkości kątowej ~ω skierowany wzdłuż chwilowej osi obrotu, którego zwrot określamy zgodnie z re- gułą śruby prawoskrętnej.

Wtedy zmianę wersora układu primowanego w czasie ˙ˆx_i^′(t) możemy wyrazić następująco:

˙ˆx_i^′(t) = ~ω× ˆxi^′(t).

Uwzględniając ten wzór w równaniu

˙~r(t) = ˙x_i^′(t)ˆx_i^′(t) + x_i^′(t) ˙ˆx_i^′(t) otrzymamy

˙~r(t) = ˙x^′(t)ˆx^′(t) + ~ω× x^′(t)ˆx^′(t) = ~v^′(t) + ~ω× ~r(t).

Otrzymaliśmy wzór transformacyjny dla prędkości

~v= ~v^′+ ~ω× ~r,

gdzie~v jest prędkością punktu w układzie inercjalnym,

Otrzymaliśmy wzór transformacyjny dla prędkości

~v= ~v^′+ ~ω× ~r,

gdzie~v jest prędkością punktu w układzie inercjalnym,

~v^′ jest jego prędkością w układzie nieinercjalnym,

Otrzymaliśmy wzór transformacyjny dla prędkości

~v= ~v^′+ ~ω× ~r,

gdzie~v jest prędkością punktu w układzie inercjalnym,

~v^′ jest jego prędkością w układzie nieinercjalnym,

a~ω jest prędkością kątową, z którą układ nieinercjalny porusza się względem układu inercjalnego.

Otrzymaliśmy wzór transformacyjny dla prędkości

~v= ~v^′+ ~ω× ~r,

gdzie~v jest prędkością punktu w układzie inercjalnym,

~v^′ jest jego prędkością w układzie nieinercjalnym,

a~ω jest prędkością kątową, z którą układ nieinercjalny porusza się względem układu inercjalnego.

~

v = ~v + ~ω× ~r do funkcji Lagrange’a punktu materialnego

L(~r, ~v) = 1

2m~v²− V (~r)

=

Podstawmy związek

~

v = ~v^′+ ~ω× ~r do funkcji Lagrange’a punktu materialnego

L(~r, ~v) = 1

2m~v²− V (~r)

= 1

2m ~v^′2+ m ~v^′· (~ω × ~r) + 1

2m(~ω× ~r)²− V (~r)

~

v = ~v + ~ω× ~r do funkcji Lagrange’a punktu materialnego

L(~r, ~v) = 1

2m~v²− V (~r)

= 1

2m ~v^′2+ m ~v^′· (~ω × ~r) + 1

2m(~ω× ~r)²− V (~r)=L^′ ~r , ~v^′
.

Podstawmy związek

~

v = ~v^′+ ~ω× ~r do funkcji Lagrange’a punktu materialnego

L(~r, ~v) = 1

2m~v²− V (~r)

= 1

2m ~v^′2+ m ~v^′· (~ω × ~r) + 1

2m(~ω× ~r)²− V (~r) =L^′ ~r , ~v^′
. Wyraźmy nową funkcję Lagrange’a przez składowe wektorów

L^′ = 1

2m˙x_i^′˙x_i^′+ m ˙x_i^′ε_ijkωjx_k^′ +1

2mε_ijkωjx_k^′ε_ilmω_lx_m^′ − V

~

v = ~v + ~ω× ~r do funkcji Lagrange’a punktu materialnego

L(~r, ~v) = 1

2m~v²− V (~r)

= 1

2m ~v^′2+ m ~v^′· (~ω × ~r) + 1

2m(~ω× ~r)²− V (~r) =L^′ ~r , ~v^′
. Wyraźmy nową funkcję Lagrange’a przez składowe wektorów

L^′ = 1

2m˙x_i^′˙x_i^′+ m ˙x_i^′ε_ijkωjx_k^′ +1

2mε_ijkωjx_k^′ε_ilmω_lx_m^′ − V i obliczmy jej pochodne występujące w równaniach Lagrange’a II rodzaju.

Podstawmy związek

~

v = ~v^′+ ~ω× ~r do funkcji Lagrange’a punktu materialnego

L(~r, ~v) = 1

2m~v²− V (~r)

= 1

2m ~v^′2+ m ~v^′· (~ω × ~r) + 1

2m(~ω× ~r)²− V (~r) =L^′ ~r , ~v^′
. Wyraźmy nową funkcję Lagrange’a przez składowe wektorów

L^′ = 1

2m˙x_i^′˙x_i^′+ m ˙x_i^′ε_ijkωjx_k^′ +1

2mε_ijkωjx_k^′ε_ilmω_lx_m^′ − V i obliczmy jej pochodne występujące w równaniach Lagrange’a II

L^′ = 1

2m˙x_i^′˙x_i^′+ m ˙x_i^′ε_ijkω_jx_k^′ + 1

2mε_ijkω_jx_k^′ε_ilmω_lx_m^′ − V ,

∂L^′

∂x_n^′

L^′ = 1

2m˙x_i^′˙x_i^′+ m ˙x_i^′ε_ijkω_jx_k^′ + 1

2mε_ijkω_jx_k^′ε_ilmω_lx_m^′ − V ,

∂L^′

∂x_n^′ =

L^′ = 1

2m˙x_i^′˙x_i^′+ m ˙x_i^′ε_ijkω_jx_k^′ + 1

2mε_ijkω_jx_k^′ε_ilmω_lx_m^′ − V ,

∂L^′

∂x_n^′ = m˙x_i^′ε_ijkω_jδ_kn+ 1

2mε_ijkω_jε_ilmω_l δ_knx_m^′ + x_k^′δ_mn
− ∂V

∂x_n^′

L^′ = 1

2m˙x_i^′˙x_i^′+ m ˙x_i^′ε_ijkω_jx_k^′ + 1

2mε_ijkω_jx_k^′ε_ilmω_lx_m^′ − V ,

∂L^′

∂x_n^′ = m ˙x_i^′ε_ijkω_jδ_kn+ 1

2mε_ijkω_jε_ilmω_l δ_knx_m^′ + x_k^′δ_mn
− ∂V

∂x_n^′

=

L^′ = 1

2m˙x_i^′˙x_i^′+ m ˙x_i^′ε_ijkω_jx_k^′ + 1

2mε_ijkω_jx_k^′ε_ilmω_lx_m^′ − V ,

∂L^′

∂x_n^′ = m ˙x_i^′ε_ijkω_jδ_kn+ 1

2mε_ijkω_jε_ilmω_l δ_knx_m^′ + x_k^′δ_mn
− ∂V

∂x_n^′

= mε_ijn˙x_i^′ω_j +1

2mε_ijnω_jε_ilmω_lx_m^′ + 1

2mε_ijkω_jε_ilnω_lx_k^′ − ∂V

∂x_n^′

L^′ = 1

2m˙x_i^′˙x_i^′+ m ˙x_i^′ε_ijkω_jx_k^′ + 1

2mε_ijkω_jx_k^′ε_ilmω_lx_m^′ − V ,

∂L^′

∂x_n^′ = m ˙x_i^′ε_ijkω_jδ_kn+ 1

2mε_ijkω_jε_ilmω_l δ_knx_m^′ + x_k^′δ_mn
− ∂V

∂x_n^′

= mε_ijn˙x_i^′ω_j +1

2mε_ijnω_jε_ilmω_lx_m^′ + 1

2mε_ijkω_jε_ilnω_lx_k^′ − ∂V

∂x_n^′

=

L^′ = 1

2m˙x_i^′˙x_i^′+ m ˙x_i^′ε_ijkω_jx_k^′ + 1

2mε_ijkω_jx_k^′ε_ilmω_lx_m^′ − V ,

∂L^′

∂x_n^′ = m ˙x_i^′ε_ijkω_jδ_kn+ 1

2mε_ijkω_jε_ilmω_l δ_knx_m^′ + x_k^′δ_mn
− ∂V

∂x_n^′

= mε_ijn˙x_i^′ω_j +1

2mε_ijnω_jε_ilmω_lx_m^′ + 1

2mε_ijkω_jε_ilnω_lx_k^′ − ∂V

∂x_n^′

= − mε^njiω_j˙x_i^′−1

2mε_njiω_j(~ω× ~r)i −1

2mε_nliω_l(~ω× ~r)i− ∂V

∂x_n^′

L^′ = 1

2m˙x_i^′˙x_i^′+ m ˙x_i^′ε_ijkω_jx_k^′ + 1

2mε_ijkω_jx_k^′ε_ilmω_lx_m^′ − V ,

∂L^′

∂x_n^′ = m ˙x_i^′ε_ijkω_jδ_kn+ 1

2mε_ijkω_jε_ilmω_l δ_knx_m^′ + x_k^′δ_mn
− ∂V

∂x_n^′

= mε_ijn˙x_i^′ω_j +1

2mε_ijnω_jε_ilmω_lx_m^′ + 1

2mε_ijkω_jε_ilnω_lx_k^′ − ∂V

∂x_n^′

= − mε^njiω_j˙x_i^′−1

2mε_njiω_j(~ω× ~r)i −1

2mε_nliω_l(~ω× ~r)i− ∂V

∂x_n^′

=

L^′ = 1

2m˙x_i^′˙x_i^′+ m ˙x_i^′ε_ijkω_jx_k^′ + 1

2mε_ijkω_jx_k^′ε_ilmω_lx_m^′ − V ,

∂L^′

∂x_n^′ = m ˙x_i^′ε_ijkω_jδ_kn+ 1

2mε_ijkω_jε_ilmω_l δ_knx_m^′ + x_k^′δ_mn
− ∂V

∂x_n^′

= mε_ijn˙x_i^′ω_j +1

2mε_ijnω_jε_ilmω_lx_m^′ + 1

2mε_ijkω_jε_ilnω_lx_k^′ − ∂V

∂x_n^′

= − mε^njiω_j˙x_i^′−1

2mε_njiω_j(~ω× ~r)i −1

2mε_nliω_l(~ω× ~r)i− ∂V

∂x_n^′

= −m ~ω × ~v^′
n− m [~ω × (~ω × ~r)]n− ∂V

∂x_n^′

L^′ = 1

2m˙x_i^′˙x_i^′+ m ˙x_i^′ε_ijkω_jx_k^′ + 1

2mε_ijkω_jx_k^′ε_ilmω_lx_m^′ − V ,

∂L^′

∂x_n^′ = m ˙x_i^′ε_ijkω_jδ_kn+ 1

2mε_ijkω_jε_ilmω_l δ_knx_m^′ + x_k^′δ_mn
− ∂V

∂x_n^′

= mε_ijn˙x_i^′ω_j +1

2mε_ijnω_jε_ilmω_lx_m^′ + 1

2mε_ijkω_jε_ilnω_lx_k^′ − ∂V

∂x_n^′

= − mε^njiω_j˙x_i^′−1

2mε_njiω_j(~ω× ~r)i −1

2mε_nliω_l(~ω× ~r)i− ∂V

∂x_n^′

= −m ~ω × ~v^′
n− m [~ω × (~ω × ~r)]n− ∂V

∂x_n^′

∂L^′

∂˙x_n^′

L^′ = 1

2m˙x_i^′˙x_i^′+ m ˙x_i^′ε_ijkω_jx_k^′ + 1

2mε_ijkω_jx_k^′ε_ilmω_lx_m^′ − V ,

∂L^′

∂x_n^′ = m ˙x_i^′ε_ijkω_jδ_kn+ 1

2mε_ijkω_jε_ilmω_l δ_knx_m^′ + x_k^′δ_mn
− ∂V

∂x_n^′

= mε_ijn˙x_i^′ω_j +1

2mε_ijnω_jε_ilmω_lx_m^′ + 1

2mε_ijkω_jε_ilnω_lx_k^′ − ∂V

∂x_n^′

= − mε^njiω_j˙x_i^′−1

2mε_njiω_j(~ω× ~r)i −1

2mε_nliω_l(~ω× ~r)i− ∂V

∂x_n^′

= −m ~ω × ~v^′
n− m [~ω × (~ω × ~r)]n− ∂V

∂x_n^′

∂L^′

∂˙x_n^′ =

L^′ = 1

2m˙x_i^′˙x_i^′+ m ˙x_i^′ε_ijkω_jx_k^′ + 1

2mε_ijkω_jx_k^′ε_ilmω_lx_m^′ − V ,

∂L^′

∂x_n^′ = m ˙x_i^′ε_ijkω_jδ_kn+ 1

2mε_ijkω_jε_ilmω_l δ_knx_m^′ + x_k^′δ_mn
− ∂V

∂x_n^′

= mε_ijn˙x_i^′ω_j +1

2mε_ijnω_jε_ilmω_lx_m^′ + 1

2mε_ijkω_jε_ilnω_lx_k^′ − ∂V

∂x_n^′

= − mε^njiω_j˙x_i^′−1

2mε_njiω_j(~ω× ~r)i −1

2mε_nliω_l(~ω× ~r)i− ∂V

∂x_n^′

= −m ~ω × ~v^′
n− m [~ω × (~ω × ~r)]n− ∂V

∂x_n^′

∂L^′

∂˙x_n^′ = m˙x_i^′δ_in+ mδ_inε_ijkω_jx_k^′ =

L^′ = 1

2m˙x_i^′˙x_i^′+ m ˙x_i^′ε_ijkω_jx_k^′ + 1

2mε_ijkω_jx_k^′ε_ilmω_lx_m^′ − V ,

∂L^′

∂x_n^′ = m ˙x_i^′ε_ijkω_jδ_kn+ 1

2mε_ijkω_jε_ilmω_l δ_knx_m^′ + x_k^′δ_mn
− ∂V

∂x_n^′

= mε_ijn˙x_i^′ω_j +1

2mε_ijnω_jε_ilmω_lx_m^′ + 1

2mε_ijkω_jε_ilnω_lx_k^′ − ∂V

∂x_n^′

= − mε^njiω_j˙x_i^′−1

2mε_njiω_j(~ω× ~r)i −1

2mε_nliω_l(~ω× ~r)i− ∂V

∂x_n^′

= −m ~ω × ~v^′
n− m [~ω × (~ω × ~r)]n− ∂V

∂x_n^′

∂L^′

∂˙x_n^′ = m ˙x_i^′δ_in+ mδ_inε_ijkω_jx_k^′ =m˙x_n^′ + mε_njkω_jx_k^′.

L^′ = 1

2m˙x_i^′˙x_i^′+ m ˙x_i^′ε_ijkω_jx_k^′ + 1

2mε_ijkω_jx_k^′ε_ilmω_lx_m^′ − V ,

∂L^′

∂x_n^′ = m ˙x_i^′ε_ijkω_jδ_kn+ 1

2mε_ijkω_jε_ilmω_l δ_knx_m^′ + x_k^′δ_mn
− ∂V

∂x_n^′

= mε_ijn˙x_i^′ω_j +1

2mε_ijnω_jε_ilmω_lx_m^′ + 1

2mε_ijkω_jε_ilnω_lx_k^′ − ∂V

∂x_n^′

= − mε^njiω_j˙x_i^′−1

2mε_njiω_j(~ω× ~r)i −1

2mε_nliω_l(~ω× ~r)i− ∂V

∂x_n^′

= −m ~ω × ~v^′
n− m [~ω × (~ω × ~r)]n− ∂V

∂x_n^′

∂L^′

∂˙x_n^′ = m ˙x_i^′δ_in+ mδ_inε_ijkω_jx_k^′ = m ˙x_n^′ + mε_njkω_jx_k^′.

dt∂˙x_n^′ =

dt m˙x_n+ mεnjkω_jx_k =m¨x_n+ mεnjk˙ωjx_k+ mεnjkω_j˙x_k

d dt

∂L^′

∂˙x_n^′ = d

dt m˙x_n^′ + mεnjkω_jx_k^′
= m¨x_n^′ + mεnjk˙ωjx_k^′ + mεnjkω_j˙x_k^′

=

dt∂˙x_n^′ =

dt m˙x_n+ mεnjkω_jx_k = m¨x_n+ mεnjk˙ωjx_k+ mεnjkω_j˙x_k

= m¨x_n^′ + m^˙~ω × ~r^_n+ m ~ω× ~v^′
_n.

d dt

∂L^′

∂˙x_n^′ = d

dt m˙x_n^′ + mεnjkω_jx_k^′
= m¨x_n^′ + mεnjk˙ωjx_k^′ + mεnjkω_j˙x_k^′

= m¨x_n^′ + m^˙~ω × ~r^_n+ m ~ω× ~v^′
_n. Równania Lagrange’a II rodzaju

d dt

∂L^′

∂˙x_n^′ = ∂L^′

∂x_n^′, n= 1, 2, 3,

dt∂˙x_n^′ =

dt m˙x_n+ mεnjkω_jx_k = m¨x_n+ mεnjk˙ωjx_k+ mεnjkω_j˙x_k

= m¨x_n^′ + m^˙~ω × ~r^_n+ m ~ω× ~v^′
_n. Równania Lagrange’a II rodzaju

d dt

∂L^′

∂˙x_n^′ = ∂L^′

∂x_n^′, n= 1, 2, 3, mają zatem postać

mx¨_n^′ = −m^˙~ω × ~r^

n− m ~ω × ~v^′
n

− m ~ω × ~v^′
_n− m [~ω × (~ω × ~r)]n− ∂V

∂x_n^′.

d dt

∂L^′

∂˙x_n^′ = d

dt m˙x_n^′ + mεnjkω_jx_k^′
= m¨x_n^′ + mεnjk˙ωjx_k^′ + mεnjkω_j˙x_k^′

= m¨x_n^′ + m^˙~ω × ~r^_n+ m ~ω× ~v^′
_n. Równania Lagrange’a II rodzaju

d dt

∂L^′

∂˙x_n^′ = ∂L^′

∂x_n^′, n= 1, 2, 3, mają zatem postać

mx¨_n^′ = −m^˙~ω × ~r^

n− m ~ω × ~v^′
n

− m ~ω × ~v^′
_n− m [~ω × (~ω × ~r)]n− ∂V

∂x^′.

m¨x_n^′ = −∂V

∂x_n^′ − m ˙~ω × ~r _n− 2m ~ω × ~v^′
_n− m [~ω × (~ω × ~r)]n

i przepiszmy w formie wektorowej

m~a^′ = −~∇^′V − m ˙~ω × ~r − 2m~ω × ~v^′− m~ω × (~ω × ~r) , gdzie operator nabla w przetransformowanych współrzędnych kartezjańskich wyraża się wzorem

∇~^′≡

"

∂

∂x1^′

, ∂

∂x2^′

, ∂

∂x3^′

# .

Uporządkujmy m¨x_n^′ = −∂V

∂x_n^′ − m^˙~ω × ~r^_n− 2m ~ω × ~v^′
_n− m [~ω × (~ω × ~r)]n

i przepiszmy w formie wektorowej

m~a^′ = −~∇^′V − m ˙~ω × ~r − 2m~ω × ~v^′− m~ω × (~ω × ~r) , gdzie operator nabla w przetransformowanych współrzędnych kartezjańskich wyraża się wzorem

∇~^′≡

"

∂

∂x1^′

, ∂

∂x2^′

, ∂

∂x3^′

# .

Jest to równanie ruchu punktu o masiem w układzieS^′

m¨x_n^′ = −∂V

∂x_n^′ − m ˙~ω × ~r _n− 2m ~ω × ~v^′
_n− m [~ω × (~ω × ~r)]n

i przepiszmy w formie wektorowej

m~a^′ = −~∇^′V − m ˙~ω × ~r − 2m~ω × ~v^′− m~ω × (~ω × ~r) , gdzie operator nabla w przetransformowanych współrzędnych kartezjańskich wyraża się wzorem

∇~^′≡

"

∂

∂x1^′

, ∂

∂x2^′

, ∂

∂x3^′

# .

Jest to równanie ruchu punktu o masiem w układzieS^′ obracającym się z prędkością kątową~ω w układzie S.

Porównajmy równanie ruchu punktu o masiemw układzie S^′ obracającym się z prędkością kątową~ω w układzie S

m~a^′ = −~∇^′V − m ˙~ω × ~r − 2m~ω × ~v^′− m~ω × (~ω × ~r) , z równaniem ruchu punktu w układzie inercjalnym S

m~a= −~∇V = ~F .

Porównajmy równanie ruchu punktu o masiemw układzie S^′ obracającym się z prędkością kątową~ω w układzie S

m~a^′ = −~∇^′V − m ˙~ω × ~r − 2m~ω × ~v^′− m~ω × (~ω × ~r) , z równaniem ruchu punktu w układzie inercjalnym S

m~a= −~∇V = ~F .

3 dodatkowe wyrazy po prawej stronierównania ruchu w układzie nieinercjalnym S^′

m~a^′= −~∇^′V−m ˙~ω × ~r − 2m~ω × ~v^′− m~ω × (~ω × ~r) . reprezentująsiły bezwładności.

nieinercjalnym S

m~a^′= −~∇^′V−m ˙~ω × ~r − 2m~ω × ~v^′− m~ω × (~ω × ~r) . reprezentująsiły bezwładności.

Przeanalizujmy je kolejno.

−m ˙~ω × ~r jest siłą bezwładności będącą reakcją na

przyspieszenie kątowe układu. Jeśli obrót jest jednostajny, tzn.

˙~ω = 0, to siła ta nie występuje.

3 dodatkowe wyrazy po prawej stronierównania ruchu w układzie nieinercjalnym S^′

m~a^′= −~∇^′V−m ˙~ω × ~r − 2m~ω × ~v^′− m~ω × (~ω × ~r) . reprezentująsiły bezwładności.

Przeanalizujmy je kolejno.

−m ˙~ω × ~r jest siłą bezwładności będącą reakcją na

przyspieszenie kątowe układu. Jeśli obrót jest jednostajny, tzn.

˙~ω = 0, to siła ta nie występuje.

−2m~ω × ~v^′ jest siłą Coriolisa, któradziała na ciało poruszające się w układzie nieinercjalnym S^′ z niezerową prędkością ~v^′. Siła ta działa w kierunku prostopadłym do prędkości ~ω i ~v^′.

nieinercjalnym S

m~a^′= −~∇^′V−m ˙~ω × ~r − 2m~ω × ~v^′− m~ω × (~ω × ~r) . reprezentująsiły bezwładności.

Przeanalizujmy je kolejno.

−m ˙~ω × ~r jest siłą bezwładności będącą reakcją na

przyspieszenie kątowe układu. Jeśli obrót jest jednostajny, tzn.

˙~ω = 0, to siła ta nie występuje.

−2m~ω × ~v^′ jest siłą Coriolisa, któradziała na ciało poruszające się w układzie nieinercjalnym S^′ z niezerową prędkością ~v^′. Siła ta działa w kierunku prostopadłym do prędkości ~ω i ~v^′.

−m~ω × (~ω × ~r) jest siłą odśrodkową.

Przyjrzyjmy się bliżej wzorowi na siłę odśrodkową, który na

pierwszy rzut oka różni się od wzoru na siłę dośrodkową poznanego w ramach wcześniejszych studiów mechaniki.

−m~ω × (~ω × ~r) jest siłą odśrodkową.

Przyjrzyjmy się bliżej wzorowi na siłę odśrodkową, który na

pierwszy rzut oka różni się od wzoru na siłę dośrodkową poznanego w ramach wcześniejszych studiów mechaniki.

Obliczmy najpierw wyrażenie

~

ω× (~ω × ~r) =

−m~ω × (~ω × ~r) jest siłą odśrodkową.

Przyjrzyjmy się bliżej wzorowi na siłę odśrodkową, który na

pierwszy rzut oka różni się od wzoru na siłę dośrodkową poznanego w ramach wcześniejszych studiów mechaniki.

Obliczmy najpierw wyrażenie

~

ω× (~ω × ~r) = xˆ_i^′ε_ijkω_j(~ω× ~r)k =

−m~ω × (~ω × ~r) jest siłą odśrodkową.

Przyjrzyjmy się bliżej wzorowi na siłę odśrodkową, który na

pierwszy rzut oka różni się od wzoru na siłę dośrodkową poznanego w ramach wcześniejszych studiów mechaniki.

Obliczmy najpierw wyrażenie

~

ω× (~ω × ~r) = xˆ_i^′ε_ijkω_j(~ω× ~r)k =xˆ_i^′ε_ijkω_jε_kmnω_mx_n^′

−m~ω × (~ω × ~r) jest siłą odśrodkową.

Przyjrzyjmy się bliżej wzorowi na siłę odśrodkową, który na

pierwszy rzut oka różni się od wzoru na siłę dośrodkową poznanego w ramach wcześniejszych studiów mechaniki.

Obliczmy najpierw wyrażenie

~

ω× (~ω × ~r) = xˆ_i^′ε_ijkω_j(~ω× ~r)k = ˆx_i^′ε_ijkω_jε_kmnω_mx_n^′

=

−m~ω × (~ω × ~r) jest siłą odśrodkową.

Przyjrzyjmy się bliżej wzorowi na siłę odśrodkową, który na

pierwszy rzut oka różni się od wzoru na siłę dośrodkową poznanego w ramach wcześniejszych studiów mechaniki.

Obliczmy najpierw wyrażenie

~

ω× (~ω × ~r) = xˆ_i^′ε_ijkω_j(~ω× ~r)k = ˆx_i^′ε_ijkω_jε_kmnω_mx_n^′

= xˆ_i^′(δimδ_jn− δⁱⁿδ_jm) ωjω_mx_n^′