5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

(1)

WYKŁAD 14

5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

5.1. Pojęcia ogólne

5A1 (Definicja). Równanie względem niewiadomej funkcji i jej pochodnych nazywamy różniczkowym (RR). RR o funkcji niewiadomej jednej zmennej nazywamy RR zwyczajnym (RRZ), równanie o funkcji dwóch lub większej liczby zmiennych nazywamy RR cząstkowym (RR o pochodnych cząstkowych). Rzędem RR nazywamy największy rząd n pochodnych (istotnie) występujących w tym równaniu. Mamy tu na myśli takie równania, w których zostały wykonane wszystkie możliwe redukcje i skrócenia mogące mieć wpływ na ustalenie liczby n .

5A2 (Przykłady).

2.1. Równanie o postaci

( ) ( 1)

( , , ',..., ^ )



n n

y f x y y y , (1) gdzie f D:  ,D ⁿ^¹, jest równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n (tu x jest zmienną niezależną oraz y y x( ) jest funkcją (zmienną zależną)).

2.2. Rozważmy funkcję F G:  , gdzie G ⁿ^². Wtedy równanie o postaci ( , , ',..., ( )ⁿ ) 0

F x y y y  (2) jest najogólniejszą formą RRZ rzędu n w obszarze G (czasami zakładają że równanie (2) jest rozwiązalne w tym obszarze względem y^{( )}ⁿ ), inaczej mówiąc RRZ rzędu n wiąże (istotnie) zmienną nizależną x , zmienną zależną y i jej pochodne aż do rzędu n .

2.3. Równanie o postaci

( ) ( 1)

1( ) ^ ... _1( ) ' ( ) ( )

    

n n

y a x y a x y a x y f x (3) jest ogólną formą (na zbiorze X  ) RR liniowego zwyczajnego (RRL) rzędu n jednorodnego gdy f x( )0 dla xX albo niejednorodnego gdy f x( )0dla xX (funkcje a x₁( ),...,a x nazywamy współczynnikami, a funkcję _n( ) f x( ) nazywamy wyrazem wolnym (prawą częścią) tego równania.

2.4. Równania ' ( , )

y f x y , (4) ( , , ')0

F x y y (5) są odpowiednio równaniem rozwiązanym względem pochodnej i ogólną postacią RRZ rzędu pierwszego.

2.5. Równanie '' ( , , ')

y  f x y y (6) jest RRZ rzędu drugiego rozwiązanym względem starszej pochodnej oraz wyrażenie

( , , ', '') 0

F x y y y  (7) jest ogólną formą tego równania.

(2)

2.6. Równanie 0   y'' y' y f x( ) jest RRL rzędu pierwszego.

2.7. Równanie struny

2 2

  

 

u u

t x

jest RR cząstkowym rzędu drugiego.

Uwaga. Dalej pod nazwą „RR” będzimy rozumieć wyłącznie RRZ.

5A3 (Definicja). Funkcję y y x x( ), X nazywamy rozwiązaniem RR (2) na , przedziale X jeżeli na tym przedziale funkcja ta jest n -krotnie różniczkowalna i zamienia to równanie w tożsamość: F x y x y x( , ( ), '( ),...,y^{( )}ⁿ ( ))x 0 dla xX . Wykres rozwiązania RR nazywamy krzywą całkową tego RR, a znajdowanie rozwiązań RR nazywamy całkowaniem tego równania.

5A4 (Definicja). Zagadnieniem (początkowym) Cauchy’ego (w obszarze D ⁿ^¹ dla RRZ (1) rzędu n nazywamy zagadnienie następujące: znależć rozwiązanie y y x ( ) tego równania które spełnia warunki początkowe:

0 0

1 ( 1) 1

0 0, 0 0

( ) '( ) ,...., ⁿ^ ( ) ⁿ^

y x y y x y y x y , (8) gdzie ( ,x y y₀ ₀, ¹₀,...,y₀ⁿ^¹)D przy czym liczby x y y₀, ₀, ₀¹,...,y₀ⁿ^¹, zwane wartościami początkowymi, są dane.

5A5 (Definicja). Rozwiązaniem ogólnym (w obszarze D X D X₁,  ,D₁ ⁿ) RR (1) rzędu n nazywamy funkcję y( ,x C C₁, ₂,...,C zmiennej nizależnej x i n _n) zmiennych C C₁, ₂,...,C , które są dowolnymi stałymi, jeżeli funkcja ta spełnia warunki: _n

1) przy ustalonych wartościach dowolnych stałych C C₁, ₂,...,C funkcja φ jest _n rozwiązaniem RR (1) w przedziale X;

2) funkcja y( ,x C C₁, ₂,...,C_n) rozstrzyga dowolne zagadnienie Cauchy’ego (w obszarze D), tzn. dla każdego układu wartości początkowych (x y y₀, ₀, ¹₀,...,y₀ⁿ^¹)  D wartości C C₁, ₂,...,C można tak dobrać, aby otrzymać rozwiązanie _n y( ,x C C₁, ₂,...,C_n) spełniające warunki początkowe (8).

5A6 (Definicja). Rozwiązanie, które otrzymamy z rozwiązania ogólnego RR przy ustalonych wartościach dowolnych stałych, nazywamy rozwiązaniem szczególnym.

5A+B7 (Definicja). Wyrażenie ( , ,x y C C₁, ₂,...,C_n) nazywamy całką ogólną 0 RR (1), jeżeli ono określa rozwiązanie ogólne jako funkcję uwiklaną. Podobnie to wyrażenie przy ustalonych C C₁, ₂,...,C_n określa całkę szczególną.

5A8 (Przykłady).

8.1. Rozważmy RR rzędu pierwszego 'y  f x( ). Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale X, to na tym przedziale istnieje nieskończenie wiele rozwiązań (rodzina krzywych całkowych) y=φ(x,C)=F(x)+C, gdzie F jest jakąkolwiek funkcją pierwotną funkcji f w przedziale X, a funkcja φ zmiennej x i dowolnej stałej C jest rozwiązaniem

(3)

ogólnym tego równania (w obszarze X  ). Jeżeli zażądamy dodatkowo, aby funckcja y=φ(x, C) spełniała warunek początkowy y(x0)=y0,x₀X , to otrzymamy C y₀ F x( )₀ oraz

0

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )

x

y x F x  y F x  y 



f t dt jest rozwiązaniem szczególnym.

8.2. Jeżeli będziemy całkowali RR rżędu 4

(iv) 2

1 1 2

3 2 4 3 2

1 2 3 1 2 3 4

24 ''' 24 6 '' 12 6 2

' 4 3 2

y y x C y x C x C

y x C x C x C y x C x C x C x C

       

          

to otrzymamy rozwiązanie ogólne o postaci yx⁴C x₁ ³  C x₂ ² C x₃ C jako ₄ funkcję zmiennej x i dowolnych stałych C C C C . ₁, ₂, ₃, ₄

5A+B9 (Definicja). Zagadnieniem brzegowym w obszarze

1

1 ... ^

    _n ⁿ

D X D D R dla RR (1) nazywamy zagadnienie następująco:

znależc’ rozwiązanie y y x , ( ) xX , tego równania spełniająco warunki brzegowe:

( _k)  _k

y x y , gdzie x_kX y, _kD_k, dla k=1, ..., n. Dla RRL (3) możemy zalożyć, że

k 

D dla k=1, ..., n.

Uwaga. Dla RR rzędu drugiego (n=2) zagadnienie brzegowe jest następująco: wśród krzywych całkowych RR znależć tę, która przechodzi przez punkty P x y₁( ,₁ ₁),P x y . ₂( ,₂ ₂) lub ogólnej wśród rozwiązań tego równania znależć to, które spełnia warunki:

11 ( )1 12 ( 2) 1

 y x  y x  , ₂₁y x( )₁ ₂₂y x( ₂)₂, gdzie x x₁, ₂X oraz liczby

11, 12, 21, 22, 1, 2

      są dane.

5A10 (Prykład). Dla RR ''y  sinx rozwiązać podane zagadnienia brzegowe:

a) (0) 0, 1;

2

 

   

y y

b) ^' 3

(0) 3; (0) ( ) 3, (0) 3.

2 2 2 2

   

     

           

y y y y y y y

Rozwiązanie: a)

2 '

1 1 2

1 2

0 (0)

cos sin

1 ( ) 1

2 2

 

 



           

y c

y x c y x c x c

y c c

2 '

1 1 2

1 2

0 (0)

cos sin

1 ( ) 1

2 2

 

 



       

   



y c

y x c y x c x c

y c c

1 2 0 sin

c c y x

     jest szukanym roswiązaniem. Podobnie rozwiązujemy zagadnienie brzegowe b).

(4)

5A+C11 (Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań). Rozważmy RR (4) rzędu 1: 'y  f x y w obszarze ( , ) D ² oraz niech ( ,x y₀ ₀) D . Jeżeli funkcja f oraz jej pochodna cząstkowa f

y



 są ciągłe na obszarze D, to zagadnienie początkowe

'

0 0

( , ), ( ) ,

y  f x y y x  y ma dokladnie jedno rozwiązanie (inaczej mówiąc, istnieje otoczenie O(x0) i dokładnie jedno rozwiązanie y y x( ), xO x( ),₀ RR (4) spełniająco warunek początkowy y x( ) ₀ y czyli w geometrycznej interpretacji: dla każdego punktu ₀

0 0

( ,x y ) D istnieje otoczenie O x y( ,₀ ₀) D i w tym otoczeniu istnieje przy czym dokładnie jedna krzywa całkowa RR (4), która przechodzi przez punkt ( ,x y₀ ₀).

Uwaga. Sformułowanie analogicznego twierdzenia dla RR (4) rzędu n jest bardziej skomplikowane, ale dla RRL (3) w obszarze X D₁ ⁿ^¹ zagadnienie początkowe (8) ma (przy czym dokładnie jedno) rozwiązanie, jeżeli wyraz wolny f(x) oraz współczynniki a x₁( ),...,a x_n( ) są ciąqłe dla x X ( , ).a b

5B12 (Definicja). Rozwiązanie RR nazywamy osobliwym, jeżeli w każdym punkcie tego rozwiązania nie ma jednoznaczności rozwiązania zagadnienia początkowego Cauchy’ego.

5A+B13 (Przykłady).

13.1. Rozważmy RR

23

' 3

y  y . (9)

Stąd mamy: dy 3 ²³ ²³ 3 3 ¹³ 3 3 ( )³

y y dy dx y x C y x C

dx

 



 



      ^jest

rozwiązaniem ogólnym. Wtedy rozwiązanie y 0 jest rozwiązaniem osobliwym, poniewaz przez każdy punkt

( ,0)x0 wykresu tego rozwiązania przechodzą dwie krzywę całkową o równaniach:

0

y  oraz y(xx₀)³.

13.2. Rozważmy RR

' 2 '

( )y    . Ćwiczenie y 2 0 (A+B): sprawdzić, czy ma

to równanie rozwiązania osobliwe, rozwiązania ogólne.

5A+B14 (Interpretacja geometryczna RR pierwszego rzędu). Rozważmy RR (4):

' ( , ) y  f x y lub

P x y dx( , ) Q x y dy( , ) 0 (10) (to jest formą różniczkową RR w obszarze DR²). Każdemu punktowie M x y tego ( , ) obszaru jest zatem przyporządkowany kierunek stycznej do krzywej całkowej

(5)

przechodzącej przez ten punkt i nachylonej do osi Ox pod kątem, którego tangens jest równy ( , )f x y (czyli − ( , )

( , ) P x y

Q x y dla RR (10)) lub nachylonej do osi Oy pod kątem o tangensu 1

( , )

f x y (czyli − ( , ) ( , ) Q x y

P x y dla RR (10)). RR określa wtedy na obszarze D pole kierunków (odcinków) które są stycznymy. Kierunek jest określony, jeżeli istnieje dy

dx lub dx

dy . Jeżeli w pewnym punkcie obszaru D nie istnieje zarówno dy

dx jak i dx

dy , to punkt taki jest (nazywamy) osobliwym. Zatem całkowanie RR wygodnie rozumieć w szerszym sensie: całkować RR na obszarze D, znaczy znależć na tym obszarze (oprócz punktów osobliwych) wszystkie krzywe całkowe, które w każdym swym punkcie będą styczne do odpowiednego kierunku RR. Przy wykonamiu tego zadania oraz przy rysowaniu pola kierunków stycznych jest pożyteczne pojęcie izokliny RR, tzn. zbioru punktów płaszcyzny (obszaru D), w których styczne do krzywych całkowych tego równania mają jednakowy kierunek.

5A+B15 (Przykład). Rozważmy RR: 0 dy x xdx ydy

dx y

     lub dx y

dy   x .

Mamy zatem równania izoklin: x

k const

  y lub

y :

const

 x

Stąd otrzymamy rodzinę krzywych całkowych:

5A+B16 (Uwaga). RR (10) o różniczkach jest równoważne dwóm RR o pochodnych:

( , ) ( , ) dy P x y

dx  Q x y lub ( , ) ( , ) dx Q x y dy  P x y .

5A+B17 (Przyklady z geometrii i fizyki prowadzące do RR).

(6)

17.1. Z geometrii (równanie rodziny krzywych). Znależeć rodziną krzywych, dla których odcinek stycznej zawarty między osiami układu współrzędnych dzieli się na równe części w punkcie styczności.

Niech y y x( ) będzie równaniem szukanej krzywej oraz punkt M x y będzie punktem ( , ) styczności. Mamy zatem równanie stycznej

'( )( )

Y  y y x X x , gdzie punkt ( , )X Y leży na stycznej. Wtedy:

przy Y 0 X x y _' A x( y _',0)

y y

      ,

przy X    0 Y y xy^'B(0,yxy^')

Mamy:

'

2 2 ,

2 2

A B

M

A B

M

x y

x x y

x x

y y y xy

y y

 

  

 

  

.

Stąd otrzymamy równanie rodziny krzywych:

xy^'   . (11) y 0 17.2. Z fizyki. Mamy punktowe

żródło stwiatła. Znależć formę reflektora, dla którego promieni tego żródła wracają od reflektora wiązką promieni równoległych.

Rozważmy oś Ox ze żródło o początku i która będzie równoległa wiąskę promieni. Niech punkt M x y ( , ) będzie dowolnym punktem reflektora.

Niech dalej kąt  będzie kątem między promieniem padającym do reflektora i promieniem, wracającym od reflektora

oraz kąt  będzie kątem między stycznej i promieniem wracającym w punkcje M . Z fizuki wiemy, że kąt padania jest równy kątu odbicia. Wtedy

2 2

 

   .Stąd mamy:

  2 oraz

(7)

' 2

2 2

'

' 2 ' '

' 2

2 2

' '

( 2 ) 2 2

1

2 ( ) 2 0

1 ( )

(z fizyki 0) .

y tg

tg tg tg

tg y

x tg

x x y

y y y xy y y

y y

x x y

y y y y

    

 

 

     

  

  

       



  

   

Mamy wtedy równanie reflektora:

2 2

' x x y

y y

 

 

5.2. Równania różniczkowe rzędu pierwszego.

Pamiętamy, że równanie o postaci F x y y  jest ogólną formą RR rzędu ( , , )^' 0 pierwczego oraz rozwiązanie ogólne RR y^'  f x y( , ) rzędu 1 ma postać y( , )x C i jest funkcją zmiennej niezależnej x i dowolnej stałej C.

5A18 (RR o zmiennych rozdzielonych). W ten sposób nazywamy RR o postaci

' ( ) ( )

( ) ( ) M x N y

y  P x  Q y (2) o funkcji niewiadomej y y x( ) lub ogólnej równanie o postaci różniczkowej

( ) ( )P x Q y dyM x N y dx( ) ( ) (2*) o funkcji niewiadomej y y x( ), x( , )a b ^, lub o funkcji niewiadomej xx y( ),

( , )

y c d . Stąd wynika, że jeżeli N y( ₀)0 dla pewnego y₀( , )c d , to funkcija stała ( ) 0

y x  y , x( , )a b , jest jednym z rozwiązań równania (2) oraz (2*), natomiast jeżeli ( )0 0

M x  dla pewnego x₀( , )a b , to funkcija stała x y( ) jest jednym z rozwiązań x₀ RR (2*). Założmy teraz, że zmienna x jest różna od pierwiastków funkcji P oraz zmienna y różni się od pierwiastków funkcji N. Wówczas zapisujemy (2*) w postaci rozdzielonej (od której pochodzi nazwa): ( ) ( )

( ) ( )

Q y M x

dy dx

N y  P x , całkujemy zatem

( ) ( )

Q y M x

dy dx C

N y  P x 

 

(3) i otrzymamy całke ogólną (tutaj C jest dowolną stąła, całki rozumiane są jako dowolne, lecz ustałone, funkcje pierwotne). Jeżeli mamy rozwiązać zagadnienie początkowe Cauchy’ego y x( )₀  y₀^, to możemy skorzystać z całki szczególną:

0 0

( ) ( )

y x

Q t M t

dt dt

N t  P t

 

^.

Twierdzenie (A+C: istnienie i jednoznaczność rozwiązań). Jeżeli funkcji

de f ( ) de f ( )

( ) , ( , ), ( ) , ( , ),

( ) ( )

M x N y

x x a b y y c d

P x Q y

      są ciągłe, pry czym ( ) y  dla 0

( , )

y c d , to zagadnienie początkowe y x( ₀) y₀ dla równaniay^'  ( ) ( )x y , gdzie

2

0 0

( ,x y ) D {( , )x y  :x( , ),a b y( , )}c d , ma dokładnie jedno rozwiązanie, to

(8)

znaczy przez każdy punkt prostokąta D przechodzi jedna (i tylko jedna) krzywa całkowa tego równania.

Przykład. Rozważmy równanie (11) w 3A+B17:

' 0 dy y dy dx ln ln ln C

xy y y x C y

dx x y x x

              jest rodziną

krzywych (giperbole) całkowych (rozwiązanie ogólne). Zamiast stałej dowolnej, którą oznaczamy jedną litęra, napisaliśmy tu ln C . Oczywiście, każdą stałę można zapisać w takiej postaci. Rozwiązając zagadnienie Cauchy’ego: (1) 1y  , otrzymamy

1 1 1

1

C C y

     jest rozwiązaniem szczególnym. Uwzględniając warunek x początkowy (0) 0y  otrzymamy rozwiązanie ( ) 0y x  .

Czy to jest rozwiązaniem szczególnym? Czy to jest rozwiązaniem osobliwym?

5A19 (Równanie jednorodne). W ten sposób nazywamy RR o postaci ^' y

y _{  }^{ }x

  (4) gdzie funkcja  jest ciągła w przedziale ( , )a b , lub o postaci

' ( , )

y  f x y , (4*) gdzie f tx ty( , ) f x y( , ) dla dowolnego t , ( , )x y  D ², lub o postaci różniczkowej

( , ) ( , ) 0

M x y dxN x y dy , (4**) gdzie M tx ty( , )t M x y N tx ty^k ( , ), ( , )t N x y t^k ( , ),  ,  k 1 ,( , )x y D^.

RR jednorodne można za pomocą podstawienia

y  (5) u x sprowadzić do RR o zmiennych rozdzielonych.

Dowód, na prykład dla równania (4*), mamy:

' ' '

( ) ( , ) (1, ) du (1, )

y ux u x u f x ux f u x f u u

      dx   

(1, )

du dx

f u u x

 

 (równanie o zmiennych rozdzielonych).

Przykład. Rożważmy RR (12) w 3A+B17:

2 2

' x x y

y y

 

  . Mamy:

2 2 2 2

( ) ( )

( , ) tx tx ty x x y ( , )

f tx ty f x y

ty y

   

     . Więc jest wtedy to równanie

jednorodnym.

Podstawiając y u x  , otrzymamy po redukcji ^' 1 1 u² u x u

u

 

   . Stąd wynika:

(9)

2 2 2

2 2

2

2 2 2 2

2

2 2 2 2

2 2

1 1 1 1

1 1

1

1 1 1

(1 1 ) 1 1

ln 1 1 ln ln ln

1 1 1 ( 1) 2

2 .

du u u u

x u

dx u u

udu dx

u u x

udu dx

u u x

d u dx

u x

u x C C

x

y C y C y C C

x x x x x x x

y C Cx

    

     

  

  

   

  

 

  

 

      

          

 

 

Stąd wynika, że reflektorami szukanymi są paraboli.

5A20 (RRL rzędu pierwszego). W ten sposób nazywamy RR o postaci

' ( ) ( )

y  p x y f x (6) gdzie ( )p x i ( )f x są to funkcje dane, określone (i ciągłe) w pewnym przedziale ( , )a b . RRL jednorodne dy ( ) 0

p x y

dx   (funkcja ( ) 0f x  ) jest RR o zmiennych rozdzielonych.

Rozdzielamy więc zmienne i całkujemy dy ( ) ln ( )

p x dx y p x dx C

y     



 

( ) p x dx

y C e jest rozwiązaniem ogólnym RRL jednorodnego. W ogólnym przypadku RRL (6) niejednorodne ( ( )f x  )0 sprowadzamy do RR o zmiennych rozdzielonych korzystając z metody _''u^''. W tym celu wprowadzamy dwie nowe funkcje

niewiadome uu x( ) i   ( )x za pomocą podstawienia:

y  . (7) u  Wówczas y^' u^'u^' i zgodnie z (6) mamy:

' ' ' '

( ) ( ) ( ( ) ) ( )

uu  p x u  f x uu  p x  f x . (8) Na funkcje   ( )x nałożmy teraz dodatkowy warunek

' p x( ) 0

   (9) dzięki któremu równanie (8) stanie się układem RR o zmiennych rozdzielonych:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ^{p x dx} ^{p x dx} ^{p x dx} ( ) ^{p x dx}

u C



f x e^ dx y u Ce^^ e^^ 



f x e^ dx (10) jest rozwiązaniem ogólnym.

Przykłady: 1) xy^'   jest RRL jednorodnym, mamy y 0

ln ln ln

dy dy dx

x y y x c

dx   y  x     y Cx jest rozwiązaniem ogólnym;

(10)

2)xy^'   jest RRL niejednorodnym, y x² a) metoda standardowa:

' 2 ' ' 2 ' '

( ) ( )

xy  y x  y ux uu u x xuu x  

' 2

2

0 1

d dx

x x du

x x u x C

du dx

xu x

x x

dx

   

 

 

   

          

   



y u x2 Cx

    jest rozwiązaniem ogólnym, b) WM-metoda:

'

' 2

2 1 ( ) 1

xy y y y

x C y x Cx

x x x

          ^.

Twierdzenie (A+B) o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań RRL. Jeżeli funkcje ( )

p x i ( )f x są ciągłe w przedziale ( , )a b , to wzór (10) przedstawia całke ogólne równania (6), a ponadto przez każdy punkt ( ,x y obszaru ₀ ₀)

{( , ) 2: ( , ), }

D x y  x a b y przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa tego równania.

5A+B21 (RR Bernoulliego). W ten sposób nazywamy RR o postaci

' ( ) ( ) ^r

y  p x yq x y (11) Uwaga. Gdy r  , RR (11) jest RRL niejednorodnym, gdy zaś 0 r 1 jest RRL jednorodnym. W ogólnym przypadku RR (11) można także sprowadzić (B) przez podstawienie z y^{1 r}^ do równania liniowego ze wsględu na inną funkcję niewiadomą z.

Ale zwykłą metodą rozwiązania RR (11) jest metoda _''u^''^.Mamy:

' ' ' ' '

( ) ( ) ^r ^r ( ( ) )

yu     y u  u  p x u  q x u  uu   p x 

' ( ) ( ) 1

'

( ) 0

( ) (8) ( ) ( )

( )

p x dx p x dx

r r r

p x du

q x u e e q x dx

u q x u u

 

  

    

     

 

(to jest RR o zmiennych rozdzielonych).

Przykład. Znależć całkę ogólną równania (Bernoulliego):

' 2

ln

xy  y y x (12) Mamy:

'

' ' 2 2

' 2 2

( ) ln 0

ln

y u xu u x u x x

xu u x

      

 

  

      

 

' 2

2

1 ln x

u u

x x



    . Po całkowaniu tego równania otrzymamy (A+B):

1 ln u x

x Cx

   , gdzie C jest dowolną stałą. Wracając do zmiennej y otrzymujemy całkę

ogólną: 1

y 1 ln

x Cx

   .

Ćwiczenie (A+B). Czy funkcja ( ) 0y x  jest a) rozwiązaniem, b) rozwiązaniem szczególnym RR (12) w przedziale (1, ? )

5B+C22 (RR zupełne). W ten sposób nazywamy RR

(11)

^' ( , ) ( , ) P x y

y  Q x y (13) lub o postaci różniczkowej ( , )P x y dxQ x y dy( , ) 0, gdy istnieje funkcja u(x,y) klasy C² w obszarze D  ², ktorej różniczka zupełna równa się lewej stronie tego równania:

( , ) ( , ) ( , )

du x y P x y dxQ x y dy, a więc gdy (poziom C): u , u

P Q

x y

   

  ^.

Stąd mamy

Twierdzenie. Równanie (13) jest zupełne wtedy i tylko wtedy, gdy P Q

y x

  

  ^.

Twierdzenie. Jeżeli funkcje P x y i ( , ) Q x y klasy C( , ) ¹ w prostokącie {( , ) 2: ( , ), ( , )}

D x y  x a b y c d spełniają warunek P Q

y x

 

  oraz funkcja ( , )Q x y nie przyjmuje wartości zero w żadnym punkcie tego prostokąta, to wzór ( , ( ))u x y x  , c gdzie c jest dowolną stałą, a funkcja u x y jest określona następująco ( , )

0 0

0 0 0

( , ) ( , ) ( , ) , ( , )

x y

u x y 



P t y dt



Q x t dt x y D^, przedstawia całke ogólne RR (13), a ponadto przez każdy punkt (x y prostokąta D przechodzi dokładnie jedna krzywa ₀, ₀) całkowa tego równania.

5A+C23 (Uwaga). W praktyce jest użyteczna następująca klasyfikacja RR rzędu 1:

postać: y^'  f x y( , ) nazwa metoda całkowania

1) ( , )f x y ( )x ( )y RR o zmiennych rozdzielonych

rozdzielamy zmienne i całkujemy

2) ( , )f tx ty  f x y( , ) RR jednorodne podstawienie y  u x 3) ( , )f x y  p x y( ) q x( ) RRL podstawienie y  u  4) ( , )f x y  p x y( ) q x y( ) ^r RR Bernoulliego podstawienie y  u 

5) ( , )

( , )

( , ) P x y f x y

Q x y

 

P Q

y x

 

  (poziom C)

RR zupełne całka ogólna



^,

  

u x y x  , gdzie c

0

( , ) ( , )

( , )

x

x y

y

u x y P t y dt

Q x t dt

 





Uwaga. Podstawienie y  jest przypadkiem szczególnym podstawienia u x y u  przy  . x

Przykład. Znależć całke ogólne równania

(12)

3 2 2 3

(x xy 1)dx(x y y dy) 0. (14)

Ponieważ P 2 Q

y xy x

  

  więc w dowolnym obszarze prostokątnym D bez punktów osi Ox są spełnione wszystkie zalożenia poprzedniego twerdzenia. Mamy zatem

0 0

4 2 2 2 2 2

3 2 2 3 0 0

0

2 2 4 2 2 2 4 2 2 4

0 0 0 0

0 1 2

( , ) ( 1) ( )

4 2 4 2

2 4 2 4 4 2 4 .

x y

x x y x x y

u x y x xy dx x y y dy x

x y y x y y x x y y

x C x C

          

          

 

Wtedy wzór

4 4 2 2

4 2

x y x y

x C

    przedstawia całkę ogólną równania (14).

5C24 (Czynnik całkujący). Funkcja ( , ) x y jest czynnikiem całkującym równania

( , ) ( , ) 0

P x y dxQ x y dy , (15) gdy równanie

( , ) ( , )x y P x y dx ( , ) ( , )x y Q x y dy 0

   (16)

jest RR zupełnym w pewnym obszarze D. Mamy zatem ( P) ( Q)

y x

 

 

  Stąd mamy

( Q P)

P Q

y x x y

  

     

    . (17) Równanie (17) o pochodnych cząstkowych ,

x y

 

 

  niełatwe do rozwiązania w ogólnym przypadku. Zadanie to upraszcza się, gdy funkcją ( , )x y jest funkcją tylko jednej zmiennej x lub tylko jednej zmiennej y.

5B25 (Uwaga). Istnieją inne metody niż metoda "u"całkowania RRL

' ( ) ( )

y  p x y f x . (18)

25.1. Metoda uzmienienia stalej. Rozwiązanie tego RR przedstawiamy w postaci ( ) ( ) ^{p x dx}( )

y x c x e^ , (19)

gdzie funkcję c(x) staramy się tak dobrać, aby wzór (19) przedstawiał rozwiązanie ogólne RR . Jeżeli podstawimy (19) w RR (18):

( ) ( ) ( )

'( ) ^{p x dx} ( ) ^{p x dx}( ( )) ( ) ( ) ^{p x dx} ( )

c x e^ c x e^ p x  p x c x e^  f x to otrzymamy

' ( )

( ) ^{p x dx} ( )

c x e^  f x . Stąd c x( )



f x e( ) ^{p x dx}^{( )} dxC.

25.2. Metoda czynnika całkującego. Pomnożmy obie strony równania (18) przez wyrażenie e ^{p x dx}^{( )} : y e^' ^{p x dx}^{( )}  p x y e( ) ^{p x dx}^{( )}  f x e( ) ^{p x dx}^{( )} . Wtedy

( ) ' ( )

(ye^{p x dx})  f x e( ) ^{p x dx}. Zatem całkujemy

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ( ) ).

p x dx p x dx p x dx p x dx

ye 



f x e dx  C y e^ C



f x e dx