Typy zadań zaliczeniowych – TRiL, studia niestacjonarne, sem.III, 2011/12
UWAGA: Na zaliczenie należy przynieść:
a) indeks - osoby bez indeksu moga zostać niedopuszczone do zaliczenia,,
b) kalkulator (nie można korzystać z innych urządzeń elektronicznych).
Na zaliczeniu można także korzystać z pojedyńczej kartki formatu A4 wypełnionej jednostronnie odręcznym pismem zwykłej wielkości - na tej stronie może znajdować sie dowolna treść,
z wyjatkiem rozwi, azanych zadań.,
1. Obliczyć przybliżoną wartość √
2 stosując wzór interpolacyjny: a) Lagrange’a, b) Newtona, jeśli za węzły interpolacji przyjmiemy punkty x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 4.
2. Obliczyć przybliżoną wartość cos 18 π stosując wzór interpolacyjny: a) Lagrange’a, b) Newtona, jeśli za węzły interpolacji przyjmiemy punkty x 0 = 0, x 1 = π 3 .
3. Dla funkcji y = f (x) określonej tabelką
x 1 2 5 8
f (x) 3 5 4 6
znaleźć wielomian aproksymujący (średniokwadratowo) pierwszego stopnia, przyjmując jako bazę funkcje: φ 0 (x) = 1, φ 1 (x) = x.
4. Za pomocą metody: A) prostokątów środkowych, B) trapezów, C) Simpsona obliczyć całkę:
a) Z 2π
0
e sin(x) dx, b) Z π
0
x sin(x)dx, c) Z 1
0
e −x2dx, d) Z 2
0
1
1 + x 2 , e) Z 5
1
dx x . przyjmując, że przedział całkowania dzielimy na 4 równe części. Oszacować błąd globalny.
5. Wykonać dwie iteracje metodą: a) połowienia, b) regula falsi, c) siecznych, d) stycznych w celu wyznaczenia pierwiastka równania x 3 + x 2 − 3x − 3 = 0 położonego w przedziale < 1; 2 >. Ile trzeba wykonać iteracji, aby metodą połowienia otrzymać przybliżoną wartość pierwiastka z błędem nie przekraczającym 0, 5 · 10 −4 ?
6. Rozwiązać układ równań:
2 1 3
1 2 4
5 1 −6
x 1 x 2 x 3
=
6 7 0
stosując metodę eliminacji Gaussa: a) bez wyboru elementu podstawowego, b) z częściowym wyborem, c) z pełnym wyborem.
7. Rozwiązać metodą Cholesky’ego układ równań:
4x 1 + 2x 2 = 8 2x 1 + 5x 2 = 12 8. Zbadać zbieżność poniższych szeregów liczbowych, korzystając z kryterium
a) porównawczego:
∞
X
n=1
2 n 2 + 1 ,
∞
X
n=1
n n 2 + 3 ,
∞
X
n=1
√ 1 n + 1 ,
b) d’Alemberta:
∞
X
n=1
10 n n! ,
∞
X
n=1
n!
n n ,
∞
X
n=1
n n 3 n n! , c) Cauchy’ego:
∞
X
n=1
n 10 π n ,
∞
X
n=1
n − 1 2n + 4
n
,
∞
X
n=1
n 3 5
n
.
9. Wyznaczyć promień i przedział zbieżności poniższych szeregów potęgowych:
a)
∞
X
n=1
(−1) n (x − 4) n
2n , b)
∞
X
n=1
(3x + 5) n 5 n . 10. Rozwinąć w pełny szereg Fouriera funkcję:
a) f (x) = x, x ∈ h0; 1i, b) f (x) =
1 dla 0 ¬ x < 3 2 dla 3 ¬ x < 5
11. Rozwinąć funkcję z zadania 10. w szereg samych cosinusów.
12. Rozwinąć funkcję z zadania 10. w szereg samych sinusów.