Definicja 1. Ci¸ ag funkcyjny w zbiorze X jest to przyporz¸ adkowanie ka˙zdej liczbie naturalnej dok ladnie jednej funkcji okre´slonej w tym zbiorze.

(1)

Szeregi funkcyjne i pot¸ egowe

1 Ci¸ agi funkcyjne

Niech X ⊂ R oraz X 6= ∅.

Definicja 1. Ci¸ ag funkcyjny w zbiorze X jest to przyporz¸ adkowanie ka˙zdej liczbie naturalnej dok ladnie jednej funkcji okre´slonej w tym zbiorze.

Je˙zeli f _n (x) oznacza funkcj¸e, kt´ ora jest przyporz¸ adkowana liczbie n ∈ N, to ci¸ag funkcyjny oz- naczamy symbolem

{f n (x)} (1)

lub

f ₁ (x), f ₂ (x), . . . , f _n (x), . . . Funkcj¸e f _n (x) nazywamy n-tym wyrazem ci¸ agu (1).

Je˙zeli ci¸ ag funkcyjny (1) jest okre´slony w zbiorze X, to dla ka˙zdego x ₀ ∈ X ci¸ag {f _n (x ₀ )} jest ci¸ agiem liczbowym, kt´ ory jest zbie˙zny albo rozbie˙zny.

Definicja 2. Ci¸ ag funkcyjny (1) nazywamy zbie˙znym w zbiorze X do funkcji granicznej f (x), co zapisujemy

n→∞ lim f _n (x) = f (x) dla x ∈ X lub

f _n (x) −→ f (x) ^X je˙zeli

∀ _ε>0 ∀ _x∈X ∃ _n

₀

_∈N ∀ _n≥n

₀

|f _n (x) − f (x)| < ε

Przyk lad 1. Rozwa˙zmy ci¸ ag

f _n (x) = x

n n ∈ N x ∈ [0; 1]

Ci¸ ag ten jest zbie˙zny w przedziale [0; 1] do funkcji granicznej f (x) = 0.

Rozwa˙zmy teraz ci¸ ag

f _n (x) = x ⁿ n ∈ N x ∈ [0; 1]

Ci¸ ag ten jest zbie˙zny w przedziale [0; 1] do funkcji granicznej f (x) = 0 dla 0 ≤ x < 1

1 dla x = 1

Uwaga Zbie˙zno´s´ c w sensie definicji 2 nazywamy zbie˙zno´ sci¸ a punktow¸ a lub zbie˙zno´ sci¸ a zwyk l¸ a.

(2)

Definicja 3. Ci¸ ag funkcyjny (1) nazywamy jednostajnie zbie˙znym w zbiorze X do funkcji granicznej f (x), co zapisujemy

f _n (x) =⇒ f (x) ^X je˙zeli

∀ _ε>0 ∃ _n

₀

_∈N ∀ _x∈X ∀ _n≥n

₀

|f _n (x) − f (x)| < ε Przyk lad 2. Rozwa˙zmy ci¸ ag

f n (x) = x

n n ∈ N x ∈ [0; 1]

Ci¸ ag ten jest zbie˙zny jednostajnie w przedziale [0; 1] do funkcji granicznej f (x) = 0.

Rozwa˙zmy teraz ci¸ ag

f _n (x) = x ⁿ n ∈ N x ∈ [0; 1]

Ci¸ ag ten jest zbie˙zny w przedziale [0; 1] do funkcji granicznej f (x) = 0 dla 0 ≤ x < 1

1 dla x = 1

ale zbie˙zno´s´ c ta nie jest jednostajna, a tylko punktowa.

Twierdzenie 1. Je˙zeli ka˙zdy wyraz ci¸ agu {f _n (x)} jest funkcj¸ a ci¸ ag l¸ a w zbiorze X oraz f n (x) =⇒ f (x) ^X

to funkcja graniczna f (x) jest ci¸ ag la w zbiorze X.

2 Szeregi funkcyjne

Rozwa˙zmy ci¸ ag funkcyjny {f n (x)} okre´slony w pewnym zbiorze X.

Definicja 4. Ci¸ ag {S _n (x)} sum

S _n (x) =

n

X

k=1

f _k (x) (2)

nazywamy szeregiem funkcyjnym i oznaczamy symbolem

∞

X

n=1

f _n (x) ≡ f ₁ (x) + f ₂ (x) + . . . + f _n (x) + . . . (3)

Funkcje f ₁ (x), f ₂ (x), . . . nazywamy wyrazami szeregu (3). Sumy (2) nazywamy sumami cz¸e´sciowymi szeregu(3). Wyraz f _n (x) nazywamy n-tym lub og´ olnym wyrazem szeregu.

Definicja 5. Szereg (3) nazywamy zbie˙znym w zbiorze X, je˙zeli ci¸ ag jego sum cz¸e´sciowych (2) jest zbie˙zny w tym zbiorze

S _n (x) −→ S(x) ^X (4)

natomiast rozbie˙znym w przypadku przeciwnym.

Funkcj¸e graniczn¸ a S(x) nazywamy sum¸ a szeregu (3) w zbiorze X i piszemy

∞

X

n=1

f _n (x) −→ S(x) ^X

(3)

Definicja 6. Szereg (3) nazywamy zbie˙znym jednostajnie w zbiorze X, je˙zeli ci¸ ag jego sum cz¸e´sciowych (2) jest zbie˙zny jednostajnie w tym zbiorze

S _n (x) =⇒ S(x) ^X (5)

Definicja 7. Szereg (3) nazywamy zbie˙znym bezwzgl¸ ednie w zbiorze X, je˙zeli szereg

∞

X

n=1

|f n (x)|

jest zbie˙zny w zbiorze X.

Twierdzenie 1. (kryterium Weierstrassa) Je˙zeli istnieje taka liczba n ₀ ∈ N 0 , ˙ze dla ka˙zdego n ≥ n ₀ i dla ka˙zdego x ∈ X spe lniona jest nier´ owno´s´ c

|f _n (x)| ≤ a _n (6)

przy czym szereg liczbowy

∞

X

n=1

a _n (7)

jest zbie˙zny, to szereg funkcyjny (3) jest zbie˙zny jednostajnie i bezwzgl¸ednie w zbiorze X.

Przyk lad 2. Rozwa˙zmy szereg

∞

X

n=1

sin nx n ²

Poniewa˙z dla ka˙zdego n ∈ N i dla ka˙zdego x ∈ R spe lniona jest nier´owno´s´c

sin nx n ²

≤ 1 n ² oraz szereg liczbowy

∞

X

n=1

1 n ²

jest zbie˙zny, a wi¸ec rozwa˙zany szereg jest na podstawie kryterium Weierstrassa zbie˙zny jednostajnie i bezwzgl¸ednie.

3 Szeregi pot¸ egowe

Szereg postaci

∞

X

n=0

a _n (x − x ₀ ) ⁿ (8)

czyli

a ₀ + a ₁ (x − x ₀ ) + a ₂ (x − x ₀ ) ² + . . . + a _n (x − x ₀ ) ⁿ + . . . nazywamy szeregiem pot¸ egowym.

W dalszym ci¸ agu zajmiemy si¸e badaniem szereg´ ow postaci

∞

X

n=0

a _n x ⁿ (9)

(4)

poniewa˙z szereg (8) mo˙zna zawsze sprowadzi´ c do postaci (9), przyjmuj¸ ac r´ o˙znic¸e x − x ₀ jako now¸ a zmienn¸ a.

Szereg (9) jest oczywi´scie zbie˙zny dla x = 0, przy czym jego suma wynosi wtedy a 0 .

Lemat 1. Je˙zeli szereg (9) jest zbie˙zny dla x = % 6= 0, to jest zbie˙zny dla ka˙zdego x spe lniaj¸ acego warunek |x| < |%|.

Niech X oznacza zbi´ or utworzony ze wszystkich liczb x, dla kt´ orych szereg (9) jest zbie˙zny.

Zbi´ or ten nie jest pusty, gdy˙z 0 ∈ X. Oznaczmy nast¸epnie przez Z zbi´ or utworzony z warto´sci bezwzgl¸ednych wszystkich x ∈ X. Poniewa˙z 0 ∈ Z, wi¸ec inf Z = 0, natomiast

0 ≤ sup Z ≤ +∞

przy czym sup Z = +∞, gdy zbi´ or Z jest nieograniczony.

Definicja 8. Liczb¸e

R = sup Z (10)

nazywamy promieniem zbie˙zno´ sci szeregu pot¸egowego (3).

Mo˙zliwe s¸ a trzy przypadki:

1. R = 0, tzn. do zbioru Z nale˙zy tylko 0. Szereg (9) jest w´ owczas zbie˙zny tylko w punkcie x = 0.

2. 0 < R < +∞. Szereg (9) jest w tym przypadku zbie˙zny dla ka˙zdego |x| < R. M´ owimy wtedy,

˙ze szreg pot¸egowy jest zbie˙zny w pewnym przedziale, zwanym przedzia lem zbie˙zno´ sci. Jest to jeden z przedzia l´ ow:

(−R; +R), (−R; +R], [−R; +R), [−R; +R]

3. R = +∞. W tym przypadku szereg (9) jest zbie˙zny dla ka˙zdego x ∈ R.

Twierdzenie 2. (o promieniu zbie˙zno´ sci) Je˙zeli istnieje granica λ = lim

n→∞

a _n+1 a _n

(11) to promie´ n zbie˙zno´sci szeregu (9) jest nast¸epuj¸ acy

R =



 



 



0 gdy λ = +∞

1 λ gdy 0 < λ < +∞

+∞ gdy λ = 0

(12)

Przyk lad 3. Rozwa˙zmy szereg

∞

X

n=0

x ⁿ n + 1 Mamy tutaj

a _n = 1

n + 1 a _n+1 = 1 n + 2 zatem

λ = lim

n→∞

n + 1

n + 2 = 1

(5)

wi¸ec R = 1.

Dla x = −1 szereg

∞

X

n=0

(−1) ⁿ n + 1

jest zbie˙zny na podstawie kryterium Lebniza, a dla x = 1 szereg

∞

X

n=0

1 n + 1

jest rozbie˙zny. Przedzia lem zbie˙zno´sci tego szeregu jest wi¸ec przedzia l [−1; 1).

Przyk lad 4. Rozwa˙zmy szereg

∞

X

n=0

x ⁿ n!

Mamy tutaj

a _n = 1

n! a _n+1 = 1 (n + 1)!

zatem

λ = lim

n→∞

1 n + 1 = 0

wi¸ec R = +∞. Przedzia lem zbie˙zno´sci tego szeregu jest wi¸ec przedzia l (−∞; +∞).

Przyk lad 5. Rozwa˙zmy szereg

∞

X

n=0

n!x ⁿ Mamy tutaj

a _n = n! a _n+1 = (n + 1)!

zatem

λ = lim

n→∞ (n + 1) = +∞

wi¸ec R = 0. Szereg jest zbie˙zny tylko w punkcie x = 0.

Twierdzenie 3. (o promieniu zbie˙zno´ sci) Je˙zeli istnieje granica λ = lim

n→∞

p|a

n

_n | (13)

to promie´ n zbie˙zno´sci szeregu (9) jest nast¸epuj¸ acy

R =



 



 



0 gdy λ = +∞

1 λ gdy 0 < λ < +∞

+∞ gdy λ = 0

(14)

Przyk lad 6. Rozwa˙zmy szereg

∞

X

n=0

2 ⁿ x ⁿ Mamy tutaj

λ = lim

n→∞

√

n

2 ⁿ = 2

(6)

wi¸ec R = ¹ ₂ .

Dla x = − ¹ ₂ szereg

∞

X

n=0

(−1) ⁿ jest rozbie˙zny, a dla x = ¹ ₂ szereg

∞

X

n=0

1 jest tak˙ze rozbie˙zny. Przedzia lem zbie˙zno´sci tego szeregu jest wi¸ec przedzia l − ¹ ₂ ; ¹ ₂ .

Definicja 1. Ci¸ ag funkcyjny w zbiorze X jest to przyporz¸ adkowanie ka˙zdej liczbie naturalnej dok ladnie jednej funkcji okre´slonej w tym zbiorze.

Szeregi funkcyjne i pot¸ egowe

1 Ci¸ agi funkcyjne

Niech X ⊂ R oraz X 6= ∅.

Definicja 1. Ci¸ ag funkcyjny w zbiorze X jest to przyporz¸ adkowanie ka˙zdej liczbie naturalnej dok ladnie jednej funkcji okre´slonej w tym zbiorze.

Je˙zeli f n (x) oznacza funkcj¸e, kt´ ora jest przyporz¸ adkowana liczbie n ∈ N, to ci¸ag funkcyjny oz- naczamy symbolem

{f n (x)} (1)

lub

f 1 (x), f 2 (x), . . . , f n (x), . . . Funkcj¸e f n (x) nazywamy n-tym wyrazem ci¸ agu (1).

Je˙zeli ci¸ ag funkcyjny (1) jest okre´slony w zbiorze X, to dla ka˙zdego x 0 ∈ X ci¸ag {f n (x 0 )} jest ci¸ agiem liczbowym, kt´ ory jest zbie˙zny albo rozbie˙zny.

Definicja 2. Ci¸ ag funkcyjny (1) nazywamy zbie˙znym w zbiorze X do funkcji granicznej f (x), co zapisujemy

n→∞ lim f n (x) = f (x) dla x ∈ X lub

f n (x) −→ f (x) X je˙zeli

∀ ε>0 ∀ x∈X ∃ n

∈N ∀ n≥n

|f n (x) − f (x)| < ε

Przyk lad 1. Rozwa˙zmy ci¸ ag

f n (x) = x

n n ∈ N x ∈ [0; 1]

Ci¸ ag ten jest zbie˙zny w przedziale [0; 1] do funkcji granicznej f (x) = 0.

Rozwa˙zmy teraz ci¸ ag

f n (x) = x n n ∈ N x ∈ [0; 1]

Ci¸ ag ten jest zbie˙zny w przedziale [0; 1] do funkcji granicznej f (x) =  0 dla 0 ≤ x < 1

1 dla x = 1

Uwaga Zbie˙zno´s´ c w sensie definicji 2 nazywamy zbie˙zno´ sci¸ a punktow¸ a lub zbie˙zno´ sci¸ a zwyk l¸ a.

Definicja 3. Ci¸ ag funkcyjny (1) nazywamy jednostajnie zbie˙znym w zbiorze X do funkcji granicznej f (x), co zapisujemy

f n (x) =⇒ f (x) X je˙zeli

∀ ε>0 ∃ n

∈N ∀ x∈X ∀ n≥n

|f n (x) − f (x)| < ε Przyk lad 2. Rozwa˙zmy ci¸ ag

f n (x) = x

n n ∈ N x ∈ [0; 1]

Ci¸ ag ten jest zbie˙zny jednostajnie w przedziale [0; 1] do funkcji granicznej f (x) = 0.

Rozwa˙zmy teraz ci¸ ag

f n (x) = x n n ∈ N x ∈ [0; 1]

Ci¸ ag ten jest zbie˙zny w przedziale [0; 1] do funkcji granicznej f (x) =  0 dla 0 ≤ x < 1

1 dla x = 1

ale zbie˙zno´s´ c ta nie jest jednostajna, a tylko punktowa.

Twierdzenie 1. Je˙zeli ka˙zdy wyraz ci¸ agu {f n (x)} jest funkcj¸ a ci¸ ag l¸ a w zbiorze X oraz f n (x) =⇒ f (x) X

to funkcja graniczna f (x) jest ci¸ ag la w zbiorze X.

2 Szeregi funkcyjne

Rozwa˙zmy ci¸ ag funkcyjny {f n (x)} okre´slony w pewnym zbiorze X.

Definicja 4. Ci¸ ag {S n (x)} sum

S n (x) =

n

X

k=1

f k (x) (2)

nazywamy szeregiem funkcyjnym i oznaczamy symbolem

∞

X

n=1

f n (x) ≡ f 1 (x) + f 2 (x) + . . . + f n (x) + . . . (3)

Funkcje f 1 (x), f 2 (x), . . . nazywamy wyrazami szeregu (3). Sumy (2) nazywamy sumami cz¸e´sciowymi szeregu(3). Wyraz f n (x) nazywamy n-tym lub og´ olnym wyrazem szeregu.

Definicja 5. Szereg (3) nazywamy zbie˙znym w zbiorze X, je˙zeli ci¸ ag jego sum cz¸e´sciowych (2) jest zbie˙zny w tym zbiorze

S n (x) −→ S(x) X (4)

natomiast rozbie˙znym w przypadku przeciwnym.

Funkcj¸e graniczn¸ a S(x) nazywamy sum¸ a szeregu (3) w zbiorze X i piszemy

∞

X

n=1

f n (x) −→ S(x) X

Definicja 6. Szereg (3) nazywamy zbie˙znym jednostajnie w zbiorze X, je˙zeli ci¸ ag jego sum cz¸e´sciowych (2) jest zbie˙zny jednostajnie w tym zbiorze

S n (x) =⇒ S(x) X (5)

Definicja 7. Szereg (3) nazywamy zbie˙znym bezwzgl¸ ednie w zbiorze X, je˙zeli szereg

∞

X

n=1

|f n (x)|

jest zbie˙zny w zbiorze X.

Twierdzenie 1. (kryterium Weierstrassa) Je˙zeli istnieje taka liczba n 0 ∈ N 0 , ˙ze dla ka˙zdego n ≥ n 0 i dla ka˙zdego x ∈ X spe lniona jest nier´ owno´s´ c

|f n (x)| ≤ a n (6)

przy czym szereg liczbowy

∞

X

n=1

a n (7)

jest zbie˙zny, to szereg funkcyjny (3) jest zbie˙zny jednostajnie i bezwzgl¸ednie w zbiorze X.

Przyk lad 2. Rozwa˙zmy szereg

∞

Je˙zeli f _n (x) oznacza funkcj¸e, kt´ ora jest przyporz¸ adkowana liczbie n ∈ N, to ci¸ag funkcyjny oz- naczamy symbolem

f ₁ (x), f ₂ (x), . . . , f _n (x), . . . Funkcj¸e f _n (x) nazywamy n-tym wyrazem ci¸ agu (1).

Je˙zeli ci¸ ag funkcyjny (1) jest okre´slony w zbiorze X, to dla ka˙zdego x ₀ ∈ X ci¸ag {f _n (x ₀ )} jest ci¸ agiem liczbowym, kt´ ory jest zbie˙zny albo rozbie˙zny.

n→∞ lim f _n (x) = f (x) dla x ∈ X lub

f _n (x) −→ f (x) ^X je˙zeli

∀ _ε>0 ∀ _x∈X ∃ _n

_∈N ∀ _n≥n

|f _n (x) − f (x)| < ε

f _n (x) = x

f _n (x) = x ⁿ n ∈ N x ∈ [0; 1]

Ci¸ ag ten jest zbie˙zny w przedziale [0; 1] do funkcji granicznej f (x) = 0 dla 0 ≤ x < 1

f _n (x) =⇒ f (x) ^X je˙zeli

∀ _ε>0 ∃ _n

_∈N ∀ _x∈X ∀ _n≥n

|f _n (x) − f (x)| < ε Przyk lad 2. Rozwa˙zmy ci¸ ag

f _n (x) = x ⁿ n ∈ N x ∈ [0; 1]

Ci¸ ag ten jest zbie˙zny w przedziale [0; 1] do funkcji granicznej f (x) = 0 dla 0 ≤ x < 1

Twierdzenie 1. Je˙zeli ka˙zdy wyraz ci¸ agu {f _n (x)} jest funkcj¸ a ci¸ ag l¸ a w zbiorze X oraz f n (x) =⇒ f (x) ^X

Definicja 4. Ci¸ ag {S _n (x)} sum

S _n (x) =

f _k (x) (2)

f _n (x) ≡ f ₁ (x) + f ₂ (x) + . . . + f _n (x) + . . . (3)

Funkcje f ₁ (x), f ₂ (x), . . . nazywamy wyrazami szeregu (3). Sumy (2) nazywamy sumami cz¸e´sciowymi szeregu(3). Wyraz f _n (x) nazywamy n-tym lub og´ olnym wyrazem szeregu.

S _n (x) −→ S(x) ^X (4)

f _n (x) −→ S(x) ^X

S _n (x) =⇒ S(x) ^X (5)

Twierdzenie 1. (kryterium Weierstrassa) Je˙zeli istnieje taka liczba n ₀ ∈ N 0 , ˙ze dla ka˙zdego n ≥ n ₀ i dla ka˙zdego x ∈ X spe lniona jest nier´ owno´s´ c

|f _n (x)| ≤ a _n (6)

a _n (7)

sin nx n ²

sin nx n ²

≤ 1 n ² oraz szereg liczbowy

1 n ²

a _n (x − x ₀ ) ⁿ (8)

a ₀ + a ₁ (x − x ₀ ) + a ₂ (x − x ₀ ) ² + . . . + a _n (x − x ₀ ) ⁿ + . . . nazywamy szeregiem pot¸ egowym.

a _n x ⁿ (9)

poniewa˙z szereg (8) mo˙zna zawsze sprowadzi´ c do postaci (9), przyjmuj¸ ac r´ o˙znic¸e x − x ₀ jako now¸ a zmienn¸ a.

a _n+1 a _n

x ⁿ n + 1 Mamy tutaj

a _n = 1

n + 1 a _n+1 = 1 n + 2 zatem