Nierówność Jensena, funkcje Orlicza i słynny warunek ∆2

Nierówność Jensena, funkcje Orlicza i słynny warunek ∆

.

Maciej Burnecki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

Dolnośląski Festiwal Nauki 2018

Nierówność Jensena

Nierówność Jensena

Twierdzenie

Załóżmy, że I ⊆ (−∞, ∞) jest przedziałem oraz że Φ : I → R. Wówczas równoważne są dwa następujące warunki:

1 Φ jest funkcją ciągłą oraz Φ

x1+ x2

2



¬ Φ(x1) + Φ(x2)

2 dla

x₁, x₂∈ I ,

2 Φ(αx1+ (1 − α)x2) ¬ αΦ(x1) + (1 − α)Φ(x2) dla x1, x2∈ I oraz α ∈ (0, 1).

Definicja

O funkcji spełniającej założenia powyższego twierdzenia i którykolwiek z równoważnych warunków 1, 2 mówimy, że jest wypukła. Warunek 2 nazywamy nierównością Jensena.

Nierówność Jensena

Nierówność Jensena

Twierdzenie

Załóżmy, że I ⊆ (−∞, ∞) jest przedziałem oraz że Φ : I → R. Wówczas równoważne są dwa następujące warunki:

1 Φ jest funkcją ciągłą oraz Φ

x1+ x2

2



¬ Φ(x1) + Φ(x2)

2 dla

x₁, x₂∈ I ,

2 Φ(αx1+ (1 − α)x2) ¬ αΦ(x1) + (1 − α)Φ(x2) dla x1, x2∈ I oraz α ∈ (0, 1).

Definicja

O funkcji spełniającej założenia powyższego twierdzenia i którykolwiek z równoważnych warunków 1, 2 mówimy, że jest wypukła. Warunek 2 nazywamy nierównością Jensena.

Nierówność Jensena

Nierówność Jensena

Twierdzenie

Załóżmy, że I ⊆ (−∞, ∞) jest przedziałem oraz że Φ : I → R. Wówczas równoważne są dwa następujące warunki:

1 Φ jest funkcją ciągłą oraz Φ

x1+ x2

2



¬ Φ(x1) + Φ(x2)

2 dla

x₁, x₂∈ I ,

2 Φ(αx1+ (1 − α)x2) ¬ αΦ(x1) + (1 − α)Φ(x2) dla x1, x2∈ I oraz α ∈ (0, 1).

Definicja

O funkcji spełniającej założenia powyższego twierdzenia i którykolwiek z równoważnych warunków 1, 2 mówimy, że jest wypukła. Warunek 2

Nierówność Jensena

Dowód twierdzenia (1 ⇒ 2)

Niech x₁ < x₂∈ I . Oznaczmy przez Θ : [x₁, x₂] → R funkcję liniową spełniającą Θ(x₁) = Φ(x₁) oraz Θ(x₂) = Φ(x₂). Przyjmijmy F = Φ − Θ. Mamy udowodnić, że F (x ) ¬ 0 dla x ∈ [x1, x2] .

Przypuśćmy, że tak nie jest i określmy y₀= sup {F (x ) : x ∈ [x₁, x₂]} oraz x0= inf {x ∈ [x1, x2] : F (x ) = y0} . Wówczas y₀ > 0, x0 ∈ (x₁, x2) oraz F (x ) < F (x0) dla x ∈ [x1, x0).

Niech punkty u₁ < u₂ ∈ [x₁, x₂] będą tak wybrane, że x₀ = ^u1+u₂ ². Otrzymujemy Θ(x₀) = ^Θ(u1)+Θ(u₂ ²⁾ oraz F (x₀) = Φ(x₀) − Θ(x₀) ¬

Φ(u1)+Φ(u2)

2 −^Θ(u1)+Θ(u₂ ²⁾ = ¹₂(F (u1) + F (u2)) < F (x0), co jest sprzecznością.

Nierówność Jensena

Dowód twierdzenia (1 ⇒ 2)

Niech x₁ < x₂∈ I . Oznaczmy przez Θ : [x₁, x₂] → R funkcję liniową spełniającą Θ(x₁) = Φ(x₁) oraz Θ(x₂) = Φ(x₂). Przyjmijmy F = Φ − Θ. Mamy udowodnić, że F (x ) ¬ 0 dla x ∈ [x1, x2] .

Przypuśćmy, że tak nie jest i określmy y₀= sup {F (x ) : x ∈ [x₁, x₂]} oraz x0= inf {x ∈ [x1, x2] : F (x ) = y0} . Wówczas y₀ > 0, x0 ∈ (x₁, x2) oraz F (x ) < F (x0) dla x ∈ [x1, x0).

Niech punkty u₁ < u₂ ∈ [x₁, x₂] będą tak wybrane, że x₀ = ^u1+u₂ ². Otrzymujemy Θ(x₀) = ^Θ(u1)+Θ(u₂ ²⁾ oraz F (x₀) = Φ(x₀) − Θ(x₀) ¬

Φ(u1)+Φ(u2)

2 −^Θ(u1)+Θ(u₂ ²⁾ = ¹₂(F (u1) + F (u2)) < F (x0), co jest sprzecznością.

Nierówność Jensena

Dowód twierdzenia (1 ⇒ 2)

Niech x₁ < x₂∈ I . Oznaczmy przez Θ : [x₁, x₂] → R funkcję liniową spełniającą Θ(x1) = Φ(x1) oraz Θ(x2) = Φ(x2). Przyjmijmy F = Φ − Θ.

Mamy udowodnić, że F (x ) ¬ 0 dla x ∈ [x1, x2] .

Przypuśćmy, że tak nie jest i określmy y₀= sup {F (x ) : x ∈ [x₁, x₂]} oraz x0= inf {x ∈ [x1, x2] : F (x ) = y0} . Wówczas y₀ > 0, x0 ∈ (x₁, x2) oraz F (x ) < F (x0) dla x ∈ [x1, x0).

Niech punkty u₁ < u₂ ∈ [x₁, x₂] będą tak wybrane, że x₀ = ^u1+u₂ ². Otrzymujemy Θ(x₀) = ^Θ(u1)+Θ(u₂ ²⁾ oraz F (x₀) = Φ(x₀) − Θ(x₀) ¬

Φ(u1)+Φ(u2)

2 −^Θ(u1)+Θ(u₂ ²⁾ = ¹₂(F (u1) + F (u2)) < F (x0), co jest sprzecznością.

Nierówność Jensena

Dowód twierdzenia (1 ⇒ 2)

Niech x₁ < x₂∈ I . Oznaczmy przez Θ : [x₁, x₂] → R funkcję liniową spełniającą Θ(x1) = Φ(x1) oraz Θ(x2) = Φ(x2). Przyjmijmy F = Φ − Θ.

Mamy udowodnić, że F (x ) ¬ 0 dla x ∈ [x1, x2] .

Przypuśćmy, że tak nie jest i określmy y₀= sup {F (x ) : x ∈ [x₁, x₂]}

oraz x0= inf {x ∈ [x1, x2] : F (x ) = y0} .

Wówczas y0 > 0, x0 ∈ (x₁, x2) oraz F (x ) < F (x0) dla x ∈ [x1, x0).

Niech punkty u₁ < u₂ ∈ [x₁, x₂] będą tak wybrane, że x₀ = ^u1+u₂ ². Otrzymujemy Θ(x₀) = ^Θ(u1)+Θ(u₂ ²⁾ oraz F (x₀) = Φ(x₀) − Θ(x₀) ¬

Φ(u1)+Φ(u2)

2 −^Θ(u1)+Θ(u₂ ²⁾ = ¹₂(F (u1) + F (u2)) < F (x0), co jest sprzecznością.

Nierówność Jensena

Dowód twierdzenia (1 ⇒ 2)

Niech x₁ < x₂∈ I . Oznaczmy przez Θ : [x₁, x₂] → R funkcję liniową spełniającą Θ(x1) = Φ(x1) oraz Θ(x2) = Φ(x2). Przyjmijmy F = Φ − Θ.

Mamy udowodnić, że F (x ) ¬ 0 dla x ∈ [x1, x2] .

Przypuśćmy, że tak nie jest i określmy y₀= sup {F (x ) : x ∈ [x₁, x₂]}

oraz x0= inf {x ∈ [x1, x2] : F (x ) = y0} . Wówczas y₀ > 0, x0 ∈ (x₁, x2) oraz F (x ) < F (x0) dla x ∈ [x1, x0).

Niech punkty u₁ < u₂ ∈ [x₁, x₂] będą tak wybrane, że x₀ = ^u1+u₂ ². Otrzymujemy Θ(x₀) = ^Θ(u1)+Θ(u₂ ²⁾ oraz F (x₀) = Φ(x₀) − Θ(x₀) ¬

Φ(u1)+Φ(u2)

2 −^Θ(u1)+Θ(u₂ ²⁾ = ¹₂(F (u1) + F (u2)) < F (x0), co jest sprzecznością.

Nierówność Jensena

Dowód twierdzenia (1 ⇒ 2)

Niech x₁ < x₂∈ I . Oznaczmy przez Θ : [x₁, x₂] → R funkcję liniową spełniającą Θ(x1) = Φ(x1) oraz Θ(x2) = Φ(x2). Przyjmijmy F = Φ − Θ.

Mamy udowodnić, że F (x ) ¬ 0 dla x ∈ [x1, x2] .

Przypuśćmy, że tak nie jest i określmy y₀= sup {F (x ) : x ∈ [x₁, x₂]}

oraz x0= inf {x ∈ [x1, x2] : F (x ) = y0} . Wówczas y₀ > 0, x0 ∈ (x₁, x2) oraz F (x ) < F (x0) dla x ∈ [x1, x0).

Niech punkty u₁ < u₂ ∈ [x₁, x₂] będą tak wybrane, że x₀ = ^u1+u₂ ². Otrzymujemy Θ(x0) = ^Θ(u1)+Θ(u₂ ²⁾ oraz F (x0) = Φ(x0) − Θ(x0) ¬

Φ(u1)+Φ(u2)

2 −^Θ(u1)+Θ(u₂ ²⁾ = ¹₂(F (u1) + F (u2)) < F (x0), co jest sprzecznością.

Nierówność Jensena

(2 ⇒ 1)

Należy pokazać tylko ciągłość funkcji Φ. Rozważmy dowolny punkt x₀ ∈ I . Niech ponadto x₁ ¬ x₀¬ x₂ ∈ I , przy czym któraś z nierowności jest ostra.

Oznaczmy przez Θ₁, Θ₂ : [x₁, x₂] → R funkcje liniowe spełniające odpowiednio warunki Θ₁(x₁) = Φ(x₁), Θ₂(x₂) = Φ(x₂) oraz

Θ1(x0) = Θ2(x0) = Φ(x0).

Z założenia o funkcji Φ otrzymujemy nierówności

Θ2(x ) ¬ Φ(x ) ¬ Θ1(x ) dla x ∈ [x1, x0] oraz Θ1(x ) ¬ Φ(x ) ¬ Θ2(x ) dla x ∈ [x0, x2]. Dlatego funkcja Φ jest ciągła w punkcie x0. 

Nierówność Jensena

(2 ⇒ 1)

Należy pokazać tylko ciągłość funkcji Φ. Rozważmy dowolny punkt x₀ ∈ I . Niech ponadto x₁ ¬ x₀¬ x₂ ∈ I , przy czym któraś z nierowności jest ostra.

Oznaczmy przez Θ₁, Θ₂ : [x₁, x₂] → R funkcje liniowe spełniające odpowiednio warunki Θ₁(x₁) = Φ(x₁), Θ₂(x₂) = Φ(x₂) oraz

Θ1(x0) = Θ2(x0) = Φ(x0).

Z założenia o funkcji Φ otrzymujemy nierówności

Θ2(x ) ¬ Φ(x ) ¬ Θ1(x ) dla x ∈ [x1, x0] oraz Θ1(x ) ¬ Φ(x ) ¬ Θ2(x ) dla x ∈ [x0, x2]. Dlatego funkcja Φ jest ciągła w punkcie x0. 

Nierówność Jensena

(2 ⇒ 1)

Należy pokazać tylko ciągłość funkcji Φ. Rozważmy dowolny punkt x₀ ∈ I . Niech ponadto x₁ ¬ x₀¬ x₂ ∈ I , przy czym któraś z nierowności jest ostra.

Oznaczmy przez Θ₁, Θ₂ : [x₁, x₂] → R funkcje liniowe spełniające odpowiednio warunki Θ₁(x₁) = Φ(x₁), Θ₂(x₂) = Φ(x₂) oraz

Θ1(x0) = Θ2(x0) = Φ(x0).

Z założenia o funkcji Φ otrzymujemy nierówności

Θ2(x ) ¬ Φ(x ) ¬ Θ1(x ) dla x ∈ [x1, x0] oraz Θ1(x ) ¬ Φ(x ) ¬ Θ2(x ) dla x ∈ [x0, x2]. Dlatego funkcja Φ jest ciągła w punkcie x0. 

Nierówność Jensena

(2 ⇒ 1)

Należy pokazać tylko ciągłość funkcji Φ. Rozważmy dowolny punkt x₀ ∈ I . Niech ponadto x₁ ¬ x₀¬ x₂ ∈ I , przy czym któraś z nierowności jest ostra.

Oznaczmy przez Θ₁, Θ₂ : [x₁, x₂] → R funkcje liniowe spełniające odpowiednio warunki Θ₁(x₁) = Φ(x₁), Θ₂(x₂) = Φ(x₂) oraz

Θ1(x0) = Θ2(x0) = Φ(x0).

Z założenia o funkcji Φ otrzymujemy nierówności

Θ2(x ) ¬ Φ(x ) ¬ Θ1(x ) dla x ∈ [x1, x0] oraz Θ1(x ) ¬ Φ(x ) ¬ Θ2(x ) dla x ∈ [x0, x2]. Dlatego funkcja Φ jest ciągła w punkcie x0. 

Nierówność Jensena

(2 ⇒ 1)

Należy pokazać tylko ciągłość funkcji Φ. Rozważmy dowolny punkt x₀ ∈ I . Niech ponadto x₁ ¬ x₀¬ x₂ ∈ I , przy czym któraś z nierowności jest ostra.

Oznaczmy przez Θ₁, Θ₂ : [x₁, x₂] → R funkcje liniowe spełniające odpowiednio warunki Θ₁(x₁) = Φ(x₁), Θ₂(x₂) = Φ(x₂) oraz

Θ1(x0) = Θ2(x0) = Φ(x0).

Z założenia o funkcji Φ otrzymujemy nierówności

Θ2(x ) ¬ Φ(x ) ¬ Θ1(x ) dla x ∈ [x1, x0] oraz Θ1(x ) ¬ Φ(x ) ¬ Θ2(x ) dla x ∈ [x0, x2]. Dlatego funkcja Φ jest ciągła w punkcie x0. 

Nierówność Jensena

Uwaga

Powyższa postać nierówności Jensena to bardzo elementarny przypadek.

W wersji ogólniejszej:

Φ



 Z

Ω

f d µ



¬ Z

Ω

(Φ ◦ f ) d µ, (1)

gdzie (Ω, Σ, µ) jest przestrzenią probabilistyczną, Φ : R → R funkcją wypukłą, f : Ω → R funkcją mierzalną oraz powyższe całki istnieją.

Ćwiczenie

Wykaż, że określona przez nas nierówność Jensena jest szczególnym przypadkiem powyższej nierówności całkowej.

Nierówność Jensena

Uwaga

Powyższa postać nierówności Jensena to bardzo elementarny przypadek.

W wersji ogólniejszej:

Φ



 Z

Ω

f d µ



¬ Z

Ω

(Φ ◦ f ) d µ, (1)

gdzie (Ω, Σ, µ) jest przestrzenią probabilistyczną, Φ : R → R funkcją wypukłą, f : Ω → R funkcją mierzalną oraz powyższe całki istnieją.

Ćwiczenie

Wykaż, że określona przez nas nierówność Jensena jest szczególnym przypadkiem powyższej nierówności całkowej.

Nierówność Jensena

Ćwiczenie

Założmy, że funkcja Φ : (a, b) → R jest dwukrotnie różniczkowalna, gdzie −∞ ¬ a < b ¬ ∞. Udowodnij, że Φ jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy Φ⁰⁰(x ) ­ 0 dla każdego x ∈ (a, b).

Nierówność Jensena

Stwierdzenie

Załóżmy, że funkcja Φ : [a, b] → R spełnia nierówność Jensena w swojej dziedzinie, gdzie a < b ∈ R. Wówczas równość

Φ(αa + (1 − α)b) = αΦ(a) + (1 − α)Φ(b) zachodzi albo wyłącznie dla α ∈ {0, 1}, albo dla wszystkich α ∈ [0, 1] (tzn. wtedy funkcja Φ jest liniowa).

Dowód. Niech Θ : [a, b] → R będzie taką funkcją liniową, że Θ(a) = Φ(a) oraz Θ(b) = Φ(b). Przypuśćmy, że Φ(x₀) < Θ(x₀) dla pewnego x0 ∈ (a, b).

Przez Θ₁, Θ₂→ R oznaczmy funkcje liniowe o wykresach łączących punkt (x₀, Φ(x₀)) odpowiednio z punktami (a, Φ(a)) oraz (b, Φ(b)).

Otrzymujemy Φ(x ) ¬ Θ1(x ) < Θ(x ) dla x ∈ (a, x0) oraz Φ(x ) ¬ Θ₂(x ) < Θ(x ) dla x ∈ (x₀, b). 

Nierówność Jensena

Stwierdzenie

Załóżmy, że funkcja Φ : [a, b] → R spełnia nierówność Jensena w swojej dziedzinie, gdzie a < b ∈ R. Wówczas równość

Φ(αa + (1 − α)b) = αΦ(a) + (1 − α)Φ(b) zachodzi albo wyłącznie dla α ∈ {0, 1}, albo dla wszystkich α ∈ [0, 1] (tzn. wtedy funkcja Φ jest liniowa).

Dowód. Niech Θ : [a, b] → R będzie taką funkcją liniową, że Θ(a) = Φ(a) oraz Θ(b) = Φ(b). Przypuśćmy, że Φ(x₀) < Θ(x₀) dla pewnego x0∈ (a, b).

Przez Θ₁, Θ₂→ R oznaczmy funkcje liniowe o wykresach łączących punkt (x₀, Φ(x₀)) odpowiednio z punktami (a, Φ(a)) oraz (b, Φ(b)).

Otrzymujemy Φ(x ) ¬ Θ1(x ) < Θ(x ) dla x ∈ (a, x0) oraz Φ(x ) ¬ Θ₂(x ) < Θ(x ) dla x ∈ (x₀, b). 

Nierówność Jensena

Stwierdzenie

Załóżmy, że funkcja Φ : [a, b] → R spełnia nierówność Jensena w swojej dziedzinie, gdzie a < b ∈ R. Wówczas równość

Φ(αa + (1 − α)b) = αΦ(a) + (1 − α)Φ(b) zachodzi albo wyłącznie dla α ∈ {0, 1}, albo dla wszystkich α ∈ [0, 1] (tzn. wtedy funkcja Φ jest liniowa).

Dowód. Niech Θ : [a, b] → R będzie taką funkcją liniową, że Θ(a) = Φ(a) oraz Θ(b) = Φ(b). Przypuśćmy, że Φ(x₀) < Θ(x₀) dla pewnego x0∈ (a, b).

Przez Θ₁, Θ₂→ R oznaczmy funkcje liniowe o wykresach łączących punkt (x₀, Φ(x₀)) odpowiednio z punktami (a, Φ(a)) oraz (b, Φ(b)).

Otrzymujemy Φ(x ) ¬ Θ1(x ) < Θ(x ) dla x ∈ (a, x0) oraz Φ(x ) ¬ Θ₂(x ) < Θ(x ) dla x ∈ (x₀, b). 

Nierówność Jensena

Stwierdzenie

Załóżmy, że funkcja Φ : [a, b] → R spełnia nierówność Jensena w swojej dziedzinie, gdzie a < b ∈ R. Wówczas równość

Φ(αa + (1 − α)b) = αΦ(a) + (1 − α)Φ(b) zachodzi albo wyłącznie dla α ∈ {0, 1}, albo dla wszystkich α ∈ [0, 1] (tzn. wtedy funkcja Φ jest liniowa).

Dowód. Niech Θ : [a, b] → R będzie taką funkcją liniową, że Θ(a) = Φ(a) oraz Θ(b) = Φ(b). Przypuśćmy, że Φ(x₀) < Θ(x₀) dla pewnego x0∈ (a, b).

Przez Θ₁, Θ₂→ R oznaczmy funkcje liniowe o wykresach łączących punkt (x₀, Φ(x₀)) odpowiednio z punktami (a, Φ(a)) oraz (b, Φ(b)).

Otrzymujemy Φ(x ) ¬ Θ1(x ) < Θ(x ) dla x ∈ (a, x0) oraz

Funkcje Orlicza

Funkcje Orlicza

Definicja

Mówimy, że przekształcenie Φ jest funkcją Orlicza, jeśli Φ : R → [0, ∞), Φ jest parzystą funkcją wypukłą oraz

Φ(x ) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0.

Funkcje Orlicza

Funkcje Orlicza

Definicja

Mówimy, że przekształcenie Φ jest funkcją Orlicza, jeśli Φ : R → [0, ∞), Φ jest parzystą funkcją wypukłą oraz

Φ(x ) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0.

Funkcje Orlicza

Ćwiczenie

Załóżmy, że Φ : R → R. Wówczas następujące warunki są równoważne:

1 Φ jest funkcją Orlicza;

2 istnieje prawostronnie ciągła funkcja niemalejąca

p : [0, ∞) → [0, ∞) taka, że p(x ) = 0 ⇒ x = 0 dla x ­ 0 oraz Φ(x ) =^R₀^|x|p dm dla x ∈ R;

3 istnieje lewostronnie ciągła funkcja niemalejąca

l : [0, ∞) → [0, ∞) taka, że l (x ) = 0 ⇒ x = 0 dla x ­ 0 oraz Φ(x ) =^R₀^|x|l dm dla x ∈ R.

Ćwiczenie

Przy oznaczeniach z poprzedniego ćwiczenia udowodnij, że jeśli Φ jest funkcją Orlicza, to p(x ) = φ₊(x ) = −φ−(−x ) oraz

l (x ) = φ−(x ) = −φ₊(−x ) dla każdego x > 0.

Funkcje Orlicza

Ćwiczenie

Załóżmy, że Φ : R → R. Wówczas następujące warunki są równoważne:

1 Φ jest funkcją Orlicza;

2 istnieje prawostronnie ciągła funkcja niemalejąca

p : [0, ∞) → [0, ∞) taka, że p(x ) = 0 ⇒ x = 0 dla x ­ 0 oraz Φ(x ) =^R₀^|x|p dm dla x ∈ R;

3 istnieje lewostronnie ciągła funkcja niemalejąca

l : [0, ∞) → [0, ∞) taka, że l (x ) = 0 ⇒ x = 0 dla x ­ 0 oraz Φ(x ) =^R₀^|x|l dm dla x ∈ R.

Ćwiczenie

Przy oznaczeniach z poprzedniego ćwiczenia udowodnij, że jeśli Φ jest funkcją Orlicza, to p(x ) = φ₊(x ) = −φ−(−x ) oraz

Warunek ∆₂

Warunek ∆

Definicja

Mówimy, że funkcja Orlicza Φ spełnia warunek ∆₂ dla dużych argumentów, jeśli istnieją λ > 0, x0­ 0 takie, że Φ(2x) ¬ λΦ(x) dla wszystkich x ­ x0.

Jeśli ponadto możemy przyjąć x₀= 0, to mówimy, że funkcja Φ spełnia warunek ∆2 dla wszystkich argumentów (globalnie).

Warunek ∆₂

Warunek ∆

Definicja

Mówimy, że funkcja Orlicza Φ spełnia warunek ∆₂ dla dużych argumentów, jeśli istnieją λ > 0, x0­ 0 takie, że Φ(2x) ¬ λΦ(x) dla wszystkich x ­ x0.

Jeśli ponadto możemy przyjąć x₀= 0, to mówimy, że funkcja Φ spełnia warunek ∆2 dla wszystkich argumentów (globalnie).

Warunek ∆₂

Warunek ∆

Definicja

Mówimy, że funkcja Orlicza Φ spełnia warunek ∆₂ dla dużych argumentów, jeśli istnieją λ > 0, x0­ 0 takie, że Φ(2x) ¬ λΦ(x) dla wszystkich x ­ x0.

Jeśli ponadto możemy przyjąć x₀= 0, to mówimy, że funkcja Φ spełnia warunek ∆2 dla wszystkich argumentów (globalnie).

Warunek ∆₂

Ćwiczenie

1 Udowodnij, że jeśli Φ(2x ) ¬ λΦ(x ) dla x ­ 0 i przy pewnym λ > 0, to Φ(2x ) ¬ λΦ(x ) dla wszystkich x ∈ R.

2 Udowodnij, że w powyższej definicji musi być λ ­ 2 dla funkcji Orlicza.

3 Udowodnij, że warunek ∆₂ można równoważnie zapisać w następującej postaci:

istnieją l > 1, λ > 0, x₀ ­ 0 takie, że Φ(lx) ¬ λΦ(x) dla x ­ x₀.

Warunek ∆₂

Przykład

Warunek ∆₂ spełniają funkcje Orlicza C |x |^p dla C > 0, p ­ 1 oraz

|x|^α(| ln |x || + 1) dla α ­ ³⁺

√ 5 2 .

Ćwiczenie

Załóżmy, że Φ jest funkcją Orlicza.

1 Udowodnij, że Φ spełnia warunek ∆₂ dla dużych argumentów wtedy i tylko wtedy, gdy lim_{x →∞}^{Φ(2x )}_{Φ(x )} < ∞.

2 Udowodnij, że funkcja Φ spełnia warunek ∆₂ dla wszystkich argumentów wtedy i tylko wtedy, gdy

limx →∞Φ(2x )

Φ(x ) < ∞ ∧ limx →0Φ(2x )

Φ(x ) < ∞^.

Warunek ∆₂

Przykład

Warunek ∆₂ spełniają funkcje Orlicza C |x |^p dla C > 0, p ­ 1 oraz

|x|^α(| ln |x || + 1) dla α ­ ³⁺

√ 5 2 .

Ćwiczenie

Załóżmy, że Φ jest funkcją Orlicza.

1 Udowodnij, że Φ spełnia warunek ∆₂ dla dużych argumentów wtedy i tylko wtedy, gdy lim_{x →∞}^{Φ(2x )}_{Φ(x )} < ∞.

2 Udowodnij, że funkcja Φ spełnia warunek ∆₂ dla wszystkich argumentów wtedy i tylko wtedy, gdy

limx →∞Φ(2x )

Φ(x ) < ∞ ∧ limx →0Φ(2x )

Φ(x ) < ∞^.

Warunek ∆₂

Twierdzenie

Założmy, że Φ jest funkcją Orlicza. Wówczas Φ spełnia warunek ∆₂ dla dużych (wszystkich) argumentów wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją takie α, x0­ 0 (x₀ = 0), że x φ+(x )

Φ(x ) < α dla x > x0.

Uwaga

W powyższym twierdzeniu α > 1, gdyż x φ₊(x ) > Φ(x ) dla x 6= 0.

Warunek ∆₂

Twierdzenie

Założmy, że Φ jest funkcją Orlicza. Wówczas Φ spełnia warunek ∆₂ dla dużych (wszystkich) argumentów wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją takie α, x0­ 0 (x₀ = 0), że x φ+(x )

Φ(x ) < α dla x > x0.

Uwaga

W powyższym twierdzeniu α > 1, gdyż x φ₊(x ) > Φ(x ) dla x 6= 0.

Warunek ∆₂

Wniosek

Każda funkcja Orlicza spełniająca warunek ∆₂ dla dużych argumentów jest od pewnego miejsca ograniczona przez funkcję potęgową.

Stwierdzenie

Jeśli dla pewnej funkcji Orlicza istnieją µ > 1, x₀ ­ 0 (x₀= 0) takie, że φ+(2x ) ¬ µφ+(x ) dla wszystkich x ­ x0, to Φ spełnia warunek ∆2 dla dużych (wszystkich) argumentów.

Stwierdzenie

Nierówność w założeniach poprzedniego stwierdzenia jest spełniona, jeśli od miejsca x0 funkcja φ+ jest wklęsła (w szczególności ciągła).

Warunek ∆₂

Wniosek

Każda funkcja Orlicza spełniająca warunek ∆₂ dla dużych argumentów jest od pewnego miejsca ograniczona przez funkcję potęgową.

Stwierdzenie

Jeśli dla pewnej funkcji Orlicza istnieją µ > 1, x₀ ­ 0 (x₀= 0) takie, że φ+(2x ) ¬ µφ+(x ) dla wszystkich x ­ x0, to Φ spełnia warunek ∆2 dla dużych (wszystkich) argumentów.

Stwierdzenie

Nierówność w założeniach poprzedniego stwierdzenia jest spełniona, jeśli od miejsca x0 funkcja φ+ jest wklęsła (w szczególności ciągła).

Warunek ∆₂

Wniosek

Każda funkcja Orlicza spełniająca warunek ∆₂ dla dużych argumentów jest od pewnego miejsca ograniczona przez funkcję potęgową.

Stwierdzenie

Jeśli dla pewnej funkcji Orlicza istnieją µ > 1, x₀ ­ 0 (x₀= 0) takie, że φ+(2x ) ¬ µφ+(x ) dla wszystkich x ­ x0, to Φ spełnia warunek ∆2 dla dużych (wszystkich) argumentów.

Stwierdzenie

Nierówność w założeniach poprzedniego stwierdzenia jest spełniona, jeśli od miejsca x funkcja φ jest wklęsła (w szczególności ciągła).

Literatura

Literatura

M. A. KRASNOSEL’SKII, YA. B. RUTICKII, Convex functions and Orlicz spaces. Groningen 1961.

J. MUSIELAK, Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa 1976. M. M. RAO, Z. D. REN, Theory of Orlicz spaces. New York 1991.

Literatura

Literatura

M. A. KRASNOSEL’SKII, YA. B. RUTICKII, Convex functions and Orlicz spaces. Groningen 1961.

J. MUSIELAK, Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa 1976. M. M. RAO, Z. D. REN, Theory of Orlicz spaces. New York 1991.

Literatura

Literatura

M. A. KRASNOSEL’SKII, YA. B. RUTICKII, Convex functions and Orlicz spaces. Groningen 1961.

J. MUSIELAK, Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa 1976.

M. M. RAO, Z. D. REN, Theory of Orlicz spaces. New York 1991.

Literatura

Literatura

M. A. KRASNOSEL’SKII, YA. B. RUTICKII, Convex functions and Orlicz spaces. Groningen 1961.

J. MUSIELAK, Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa 1976.

M. M. RAO, Z. D. REN, Theory of Orlicz spaces. New York 1991.