Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka

(1)

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka

Wykład 5-6

1

(2)



1. Interpretacja parametrów przy zmiennych objaśniających ciągłych

◦ Interpretacja współczynników regresji w modelu liniowym

◦ Elastyczność

◦ Semielastyczność

 2. Zastosowanie modelu potęgowego o Przekształcenie Boxa-Coxa

(3)



1. Interpretacja parametrów przy zmiennych objaśniających ciągłych

◦ Elastyczność

(4)

 Model regresji liniowej dla i-tej obserwacji:

 Wartość oczekiwana zmiennej objaśnianej przy danych wartościach zmiennych objaśniających wynosi:

 Pochodną cząstkową warunkowej wartości oczekiwanej po

mierzy oczekiwaną zmianę Y_i jako efekt zmiany o jedną jednostkę, gdy wartości innych zmiennych objaśniających modelu pozostają niezmienione (ceteris paribus).

1 2 2

...

i i K Ki i

Y     X    X  

1 2 2

( )

_i _i _k _ki _K _Ki

E Y     X    X   X

(

_i

)

k ki

E Y X

 

 ^

x

Ki



_k

X

Ki

(5)

₂ – współczynnik

INTERPRETACJA: jeżeli wartość zmiennej niezależnej X_2i wzrośnie o jednostkę, to wartość zmiennej zależnej y :

- wzrośnie (jeżeli b₂>0) o |b₂| jednostek lub - spadnie (jeżeli b₂<0) o |b₂| jednostek ceteris paribus.

₁ – wyraz wolny

Uwaga ! Wyrazu wolnego nie interpretujemy.

1 2 2

...

i i K Ki i

Y     X    X  

1 2 2

...

i i K Ki

Y b b X b X



   

(6)

 Zmienna nauka_i - lata nauki i-tej osoby

 Interpretacja:

Miesięczne wynagrodzenie wzrasta przeciętnie o 73,59 zł przy wzroście liczby lat nauki o jeden rok, przy założeniu pozostałych charakterystyk na niezmienionym poziomie.

i i

i

nauka wiek

placa  

₁

 

₂

 

₃

 

i i

i

nauka wiek

placa   993 , 26  73 , 59   35 , 09 

(7)

 Elastyczności mogą być wyznaczane z modelu - LOGLINIOWYM, w którym zarówno zmienna objaśniana jak i zmienne objaśniające są logarytmami zmiennych pierwotnych.

mierzy o ile procent zmieni się zmienna objaśniana, gdy zmienna objaśniająca zmieni się o jeden procent, gdy wartości innych zmiennych objaśniających modelu pozostają niezmienione (ceteris paribus).

1 2 2

ln Y

_i

    ln X

_i

  ... 

_K

ln X

_Ki

 

_i

ln ( ) ln

i

k ki

E Y X

 

 ^



_k

1 2 2

ln ( )  Y

_i

    ln X

_i

  ... 

_K

ln X

_Ki

(8)

INTERPRETACJA: jeżeli wartość zmiennej niezależnej X_2i wzrośnie o 1% , to wartość zmiennej zależnej y :

- wzrośnie (jeżeli b₂>0) o |b₂| % lub - spadnie (jeżeli b₂<0) o |b₂| %.

ceteris paribus.

₁– wyraz wolny

1 2 2

ln Y

_i

    ln X

_i

  ... 

_K

ln X

_Ki

 

_i

1 2 2

ln Y

ⁱ

b b ln X

_i

... b

_K

ln X

_Ki



   

(9)

 Interpretacja:

Miesięczne wydatki wzrastają przeciętnie o 0,25% przy wzroście miesięcznego wynagrodzenia o 1%, przy założeniu pozostałych charakterystyk na niezmienionym poziomie.

i i

i

dochód

wydatki )     ln( )  

ln(

₁ ₂

) ln(

25 , 0 2

)

ln( wydatki

_i

   dochód

_i

(10)

 Semielastyczności mogą być wyznaczane z modelu , w którym zmienna objaśniana jest zlogarytmowana a zmienne objaśniające nie są

logarytmami zmiennych pierwotnych.

*100% mierzy o ile procent zmieni się zmienna objaśniana, gdy

zmienna objaśniająca zmieni się o jedną jednostkę, gdy wartości innych zmiennych objaśniających modelu pozostają niezmienione (ceteris paribus).

1 2 2

ln Y

_i

    X

_i

  ... 

_K

X

_Ki

 

_i

ln (

_i

)

k ki

E Y X

 

 ^



_k

1 2 2

ln ( )  Y

_i

    X

_i

  ... 

_K

X

_Ki

(11)

INTERPRETACJA: jeżeli wartość zmiennej niezależnej X_2i wzrośnie o 1 jednostkę, to wartość zmiennej zależnej y :

- wzrośnie (jeżeli b₂>0) o |b₂| *100% lub - spadnie (jeżeli b₂<0) o |b₂| *100%.

ceteris paribus.

₁ – wyraz wolny

1 2 2

ln Y

_i

    X

_i

  ... 

_K

X

_Ki

 

_i

1 2 2

ln Y

ⁱ

b b X

_i

... b X

_K _Ki



   

(12)

 Interpretacja:

Płaca wzrasta przeciętnie o 4% przy wzroście wieku o 1 rok, przy założeniu pozostałych charakterystyk na niezmienionym poziomie.

i i

i

wiek

placa )  

₁

 

₂

 

ln(

i

wiek

placa )  2 , 34  0 , 04 

ln(

(13)

 Interpretacja:

Elastyczność: wzrost dochodu o 1% powoduje wzrost wydatków o 0,35%

przy założeniu pozostałych charakterystyk na niezmienionym poziomie.

Semielastyczność: wzrost liczby dzieci o 1 powoduje wzrost wydatków o 11%=0,11*100% przy założeniu pozostałych charakterystyk na

niezmienionym poziomie.

i i

i

dochód dzieci

wydatki )  3 , 6  0 , 35  ln( )  0 , 11 

ln(

(14)



1. Interpretacja parametrów przy zmiennych objaśniających ciągłych

◦ Elastyczność

(15)

Modelujemy wydatki gospodarstw domowych za pomocą dochodu tych gospodarstw.

Histogram wydatków /logarytmu wydatków gospodarstw domowych:

0

1.0e-042.0e-043.0e-044.0e-045.0e-04Gestosc

0 10000 20000 30000 40000

Wydatki gospodarstwa

0.2.4.6.8

Gestosc

4 6 8 10

Logarytm wydatkow gospodarstwa

(16)

Histogram dochodów/logarytmu dochodów gospodarstw:

0

1.0e-042.0e-043.0e-044.0e-04

Gestosc

0 20000 40000 60000

Dochod gospodarstwa

0.2.4.6.8

Gestosc

0 5 10

Logarytm dochodu gospodarstwa

(17)

Wyniki regresji:

ln(Wydatki) = 2,02+0,72*ln(Dochod) R²=0,58

Wydatki=712,81+0,58*Dochod R²=0,41

(18)

Regresja na poziomach i logarytmach:

246810

Logarytm wydatkow gospodarstwa

0 5 10

Logarytm dochodu gospodarstwa

0

10000200003000040000

Wydatki gospodarstwa

0 20000 40000 60000

Dochod gospodarstwa

(19)

Reszty z regresji:

0.5 11.5

Gestosc

-2 0 2 4 6

Standaryzowane reszty

0

2.0e-044.0e-046.0e-04Gestosc

-40000 -20000 0 20000 40000

Standaryzowane reszty

(20)

 Pozwala na przeprowadzenie sformalizowanej procedury wyboru między modelem liniowym i potęgowym

 Postać przekształcenia:

Pytanie: Co otrzymujemy dla , ,

?

( )

1 ( , ) x

x g x



  

  1    1   0

(21)

 Stosując to przekształcenie do zmiennej zależnej i zmiennych niezależnych:

 Dla :

Gdzie:

  1

( ) ( ) ( )

1 2 2

...

i i Ki K i

y

^

   x

^

   x

^

  

*

1 2 2

...

i i Ki K i

y    x    x   

*

1

1 2

...

_K

       

(22)

 Dla :

Gdzie:

Dla :

 ^{ } 1

* 2

1

2

1 ...

^K _i

i Ki

y

i

x x

 

 

    

*

1

1 2

...

_K

       

  0

1 2 2

ln y

_i

   ln x

_i

   ... ln x

_Ki



_K

 

_i

(23)

Dziękuję za uwagę

23

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka

1. Interpretacja parametrów przy zmiennych objaśniających ciągłych

1. Interpretacja parametrów przy zmiennych objaśniających ciągłych

...

Y     X    X  

( )

E Y     X    X   X

(

)

E Y X

 

 

x



X

...

Y     X    X  

...

Y b b X b X

   

nauka wiek

placa  

 

 

 

nauka wiek

placa   993 , 26  73 , 59   35 , 09 

ln Y

    ln X

  ... 

ln X

 

ln ( ) ln

E Y X

 

 



ln ( )  Y

    ln X

  ... 

ln X

ln Y

    ln X

  ... 

ln X

 

ln Y

b b ln X

... b

ln X

   

dochód

wydatki )     ln( )  

ln(

) ln(

25 , 0 2

)

ln( wydatki

   dochód

ln Y

    X

  ... 

X

 

ln (

)

E Y X

 

 



ln ( )  Y

    X

  ... 

X

ln Y

    X

  ... 

X

 

ln Y

 ^

 ^

 ^

 ^{ } 1