Zestaw zadań z analizy matematycznej dla IFT s.2
5. Funkcje dwóch i trzech zmiennych
1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji:
a) f
(
x,y)
= xsiny;b) f
(
x,y)
=arcsin y− x;c)
( )
25
, 2 2
2
− +
=
y x
y y x
x
f .
2. Zbadać, czy podane ciągi punktów są zbieżne. Dla ciągu zbieżnego wskazać jego granicę:
a)
( ) ( )
+
+
= −
n n n
y n xn n
2 sin 1 1, arcsin 1 ,
2
2
2 π
;
b)
( )
+
= 1,ln 1
, ,
, n
n n n
z y
xn n n n ;
c)
( )
= + , 2,3 , 1
, 2
2 n n
n
n n
z n y
x .
3. Obliczyć, jeżeli istnieją, podane granice funkcji:
a) ( ) ( )x y x
y
x,lim→0,0 + ;
b) ( ) ( )
( )
2 2
2
0 , 0 ,lim
y x
xy
y
x → + ;
c) ( ) ( ) 2 2 1
0 , 0 ,
2 2
lim
y x e x y
y
x +
+
−
→ ;
d) ( ) ( )
( )
y y x
x
y x
sin 1
lim 2 2
0 , 0
, +
→ ;
e) ( ) ( )
( )
(
2 2)
22 2
0 , 0 ,
cos lim 1
y x
y x
y
x +
+
−
→ ;
f) ( ) ( ) 2
lim 2 2 2
1 , 1
, + −
− +
→ x y
y x
y
x ;
g) ( ) ( ) 2
2
0 , ,
lim sin y
x
y
x →π .
4. Znaleźć zbiory punktów ciągłości podanych funkcji:
a)
( )
<
≥
= +
0 dla 2
0 , dla
2 2
x x y
y x x
f ;
b)
( )
1 , 1
, 2 2
− +
= + z x
y z x
y x
f ;
c)
( )
>
+
≤ +
−
= −
1 dla
0
1 dla
, 1
2 2
2 2 2
2
y x
y x y
y x x
f ;
d)
( )
∈
<
∈
= ≥
R x y
R x y
y x x
f 1 dla 0 oraz
oraz 0 dla
, sin .