Całki oznaczone
Opracowanie: Mieczysław Chalfen
- Definicja
- Wzór Newtona-Leibniza - Zastosowania geometryczne - Reguła Guldina
- Całki niewłaściwe - Wartość średnia - Błąd całkowy
Definicja całki oznaczonej.
𝑃𝑖 = 𝑓(𝑥𝑖)∙∆𝑥𝑖
𝑖=1 𝑛
𝑃𝑖 =
𝑖=1 𝑛
𝑓(𝑥𝑖)∙∆𝑥𝑖
𝑛 ∞lim
𝑖=1 𝑛
𝑃𝑖 = lim
𝑛 ∞𝑖=1 𝑛
𝑓 𝑥𝑖 ∙∆𝑥𝑖=
𝑎 𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ∈ 𝑅
𝑛 ∞ lim
𝑖=1 𝑛
𝑓 𝑥 𝑖 ∙∆𝑥 𝑖 =
𝑎 𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
granica suma funkcja różniczka podcałkowa
granica dolna granica górna
Pierwsze zastosowanie całki oznaczonej – pole trapezu krzywoliniowego
𝑃 =
𝑎 𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Obliczanie całki z definicji
Wzór Newtona - Leibniza
𝒂 𝒃
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒃 − 𝑭 𝒂 , 𝒈𝒅𝒛𝒊𝒆 𝑭 𝒙 − 𝒇𝒖𝒏𝒌𝒄𝒋𝒂 𝒑𝒊𝒆𝒓𝒘𝒐𝒕𝒏𝒂, 𝒄𝒛𝒚𝒍𝒊 𝒄𝒂ł𝒌𝒂 𝒏𝒊𝒆𝒐𝒛𝒏𝒂𝒄𝒛𝒐𝒏𝒂
Przykład 1.
0 1
𝑥2𝑑𝑥 = 𝑥3 3
1
0
= 1 3 − 0
3 = 1
3 ∈ 𝑅
Przykład 2.
0 𝜋
sin 𝑥 𝑑𝑥 = −cos(x) 𝜋
0 = − cos 𝜋 − − cos 0 = 1 − −1 = 2
Zastosowania geometryczne całki oznaczonej.
- pole dowolnego obszaru - długość łuku krzywej - objętość bryły obrotowej - objętość dowolnej bryły - pole powierzchni bryły - inne:
- środek ciężkości figury płaskiej - środek ciężkości bryły
Pole „dowolnej” figury
𝑃𝑖 = f 𝑥𝑖 − g 𝑥𝑖 ∆𝑥𝑖
𝑃 = lim
𝑛 ∞𝑖=1 𝑛
𝑃𝑖 = lim
𝑛 ∞ 𝑖=1 𝑛
f 𝑥𝑖 − g 𝑥𝑖 ∆𝑥𝑖
𝑃 =
𝑎 𝑏
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi y=f(x) i y=g(x) - narysuj na jednym wykresie obie funkcje
- znajdź punkty przecięcia tych krzywych rozwiązując równanie f(x)=g(x) - oblicz pole za pomocą całki
Przykład. Oblicz pole obszaru ograniczonego liniami: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥, 𝑔 𝑥 = 2𝑥 − 3
𝑥2 − 2𝑥 = 2𝑥 − 3 a=1, b=3
𝑃 =
1 3
2𝑥 − 3 − 𝑥2 − 2𝑥 𝑑𝑥 =
1 3
−𝑥2 + 4𝑥 − 3𝑑𝑥 =
= −𝑥33 + 2𝑥2 − 3𝑥 3 1
= −9 + 18 − 9 − (−13 + 2 − 3) = 43
Długość łuku krzywej
𝑙𝑖 = ∆𝑥𝑖2 + ∆𝑦𝑖2= 1 + ∆𝑦𝑖2
∆𝑥𝑖2 ∆𝑥𝑖
𝑙 = lim
𝑛 ∞ 𝑖=1 𝑛
1 + ∆𝑦𝑖2
∆𝑥𝑖2 ∆𝑥𝑖 =
𝑎 𝑏
1 + 𝑓′(𝑥)2𝑑𝑥
Przykład. Oblicz długość łuku linii łańcuchowej danej równaniem f(x)=cosh(x), 0<x<1
𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝑥) − 𝑠𝑖𝑛ℎ2(𝑥) =1
cosh(𝑥) = 𝑒𝑥+𝑒2 −𝑥, sinh(𝑥) = 𝑒𝑥−𝑒2 −𝑥
𝑠𝑖𝑛ℎ2 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥 − 1
𝑙 =
0 1
1 + 𝑠𝑖𝑛ℎ2 𝑥 𝑑𝑥 =
0 1
𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥 𝑑𝑥 =
=
0 1
cosh 𝑥 𝑑𝑥 = sinh(𝑥) 1 0
= sinh 1 − sinh 0 ≈ 1.18 cosh(𝑥)′ = sinh(𝑥)
Bryły obrotowe: powstają przez obrót fragmentu wykresu funkcji y=f(x) wokół osi OX lub OY
Jakie znamy bryły obrotowe ? - walec
- kula - stożek - ???
- torus (dętka rowerowa, samochodowa)
Objętość bryły obrotowej dookoła osi OX
𝑣𝑖 = 𝜋𝑟2ℎ = 𝜋𝑓(𝑥𝑖)2∆𝑥𝑖
𝑣 = lim
𝑛 ∞ 𝑖=1 𝑛
𝜋𝑓(𝑥𝑖)2∆𝑥𝑖 = 𝜋
𝑎 𝑏
𝑓(𝑥)2𝑑𝑥
Przykład. Wyprowadź wzór na objętość stożka.
𝑣 = 1
3𝜋𝑟2ℎ
Objętość dowolnej bryły
𝑣𝑖 = s(𝑥𝑖)∆𝑥𝑖
𝑣 = lim
𝑛 ∞𝑖=1 𝑛
𝑠(𝑥𝑖)∆𝑥𝑖 =
𝑎 𝑏
𝑠(𝑥)𝑑𝑥
Zastosowanie w tomografii komputerowej do pomiaru objętość organów wewnętrznych
Pole przekroju s(x)
Pole powierzchni bocznej bryły obrotowej dookoła osi OX
Przykład. Wyprowadź wzór na pole powierzchni kuli o promieniu r.
Objętość bryły obrotowej dookoła osi OY 𝑝𝑖 = 𝜋𝑥𝑖+12 − 𝜋𝑥𝑖2 = 𝜋(𝑥𝑖+1 + 𝑥𝑖) 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 = 𝜋(𝑥𝑖+1 + 𝑥𝑖)∆𝑥𝑖 𝑣𝑖 = 𝜋(𝑥𝑖+1 + 𝑥𝑖)∆𝑥𝑖𝑓(𝑥𝑖)
𝑣 = lim
𝑛 ∞ 𝑖=1 𝑛
𝜋(𝑥𝑖+1 + 𝑥𝑖)𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥𝑖 = 2𝜋
𝑎 𝑏
𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Przykład
Reguła Guldina
𝑣 = 2𝜋𝑅 ∙ 𝜋𝑟2 𝑃 = 2𝜋𝑅 ∙ 2𝜋𝑟 𝑣 = 𝑝 ∙ 𝑠
P = l ∙ s
Całka oznaczona
𝑎 𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎) jest niewłaściwa gdy:
1. 𝑐∈[𝑎,𝑏]¬𝑐 ∈ 𝐷𝐹 c nie należy do dziedziny funkcji pierwotnej, czyli nie można obliczyć F(c), np. F(a) lub F(b) 2. 𝑎, 𝑏 = ±∞
Przykład 1.
Zamiana całki niewłaściwej na granice całek oznaczonych
Przykład 1.
0 11
𝑥 𝑑𝑥 = lim
ℎ 0+ ℎ 11
𝑥 𝑑𝑥 = lim
ℎ 0+ln(𝑥) 1 ℎ
= lim
ℎ 0+ ln 1 − ln ℎ = 0 − −∞ = +∞
Przykład 2.
0 1 1
𝑥 𝑑𝑥 =
0 1
𝑥−12𝑑𝑥 = 𝑥12 12
1 0
= 2 𝑥 1 0
= 2
0 nie należy do dziedziny funkcji podcałkowej, ale należy do dziedziny funkcji pierwotnej !
Uwaga !!! Przykład złośliwy !!!
Błędne rozwiązanie:
−1 1 1
𝑥2 𝑑𝑥 =
−1 1
𝑥−2𝑑𝑥 = 𝑥−1
−1 1
−1
= (−1 𝑥) 1
−1
= −1 − 1 = −2
−1 1 1
𝑥2 𝑑𝑥 =
−1 0 1
𝑥2 𝑑𝑥 +
0 1 1
𝑥2 𝑑𝑥 = lim
ℎ 0− −1 ℎ
𝑥−2𝑑𝑥 + lim
ℎ 0+ ℎ 1
𝑥−2𝑑𝑥 = lim
ℎ 0−−1 𝑥
ℎ
−1
+ lim
ℎ 0+ −1 𝑥
1 ℎ
=
¬(0 ∈ 𝐷)
= lim
ℎ 0− −1
ℎ − 1 + lim
ℎ 0+(−1 +1
ℎ) = +∞ − 1 − 1 + ∞ = +∞
Granice nieskończone
Rozbicie całki niewłaściwej w granicach od -∞ do + ∞ na sumę dwóch całek
Przykłady.
Pole obszaru nieograniczonego.
Zad. Oblicz pole ograniczone wykresem funkcji f(x)=cosh(x), g(x)=sinh(x), x>0
Objętość bryły nieograniczonej.
Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót hiperboli wokół osi OX, x>1
Wpisz tutaj równanie.
Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót krzywej Gaussa y(x) = 𝑒−𝑥2dookoła osi OY
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
-3 -2 -1 0 1 2 3
Krzywa Gaussa
𝑣 = 2𝜋
0 +∞
𝑥𝑒−𝑥2𝑑𝑥
𝑡 = −𝑥2 𝑑𝑡
𝑑𝑥 = −2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡
−2𝑥
= 2𝜋 𝑥𝑒𝑡 𝑑𝑡
−2𝑥 = − 𝜋 𝑒𝑡𝑑𝑡 = − 𝜋𝑒𝑡 = −𝜋𝑒−𝑥2 +∞
0 = − 𝜋(𝑒−∞2−𝑒0) = 𝜋
Ś𝑟𝑓 = 𝑎
𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 − 𝑎
a
h 𝑃 = 𝑎ℎ ℎ = 𝑃
𝑎 Wartość średnia funkcji na przedziale [a, b]
Temperatura powietrza zmienia się w ciągu doby według wzoru - Naszkicuj wykres tej funkcji
- Oblicz średnią temperaturę dla całej doby
- Oblicz średnią temperaturę pomiędzy godz. 6 a 12
𝑇(𝑡) = 4 sin 𝜋
12 𝑡 − 12 + 10
Błąd całkowy
Zad. Oblicz błąd całkowy pomiędzy parabolą 𝑦 𝑥 = 𝑥2 a linia prostą y=x-0.1, dla x od 0 do 1.
(𝑎 + 𝑏)2= 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2= 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎c + 2𝑏𝑐
Przybliżanie funkcji nieliniowej linią prostą.
Przybliż funkcję y = 𝑒𝑥 funkcją liniową y=ax+1, tak by zminimalizować błąd przybliżenia na odcinku (0,1)
δ(3/2)≈0.01
Całka w fizyce
Praca = siła ∙ przesunięcie W = F ∙ s
Oblicz pracę potrzebną do wyniesienia statku kosmicznego o masie m [kg] z powierzchni Ziemi na wysokość h [km]
𝐹 = 𝑘𝑀𝑚 𝑟2
𝑊 =
𝑅 𝑅+ℎ
𝑘 𝑀𝑚
𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑘𝑀𝑚(−1
𝑥) 𝑅 + ℎ 𝑅
= 𝑘𝑀𝑚(− 1
𝑅 + ℎ + 1 𝑅)
𝑊∞ = lim
ℎ +∞𝑘𝑀𝑚 − 1
𝑅 + ℎ + 1
𝑅 = 𝑘𝑀𝑚
𝑅 < ∞ F – siła
M – masa Ziemi m – masa ciała k – stała grawitacji
r – odległość dwóch ciał
droga = prędkość ∙ czas s = vt w ruchu jednostajnym prostoliniowym, czyli wtedy, gdy v nie zależy od czasu !
Zadanie. Maratończyk biegnie przez 3 godz. z prędkością zmieniającą się według wzoru
1. Sporządź wykres tej funkcji 2. Jaki dystans przebiegł ?
3. Jaka była średnia prędkość ?
4. Jaki dystans przebiegł pomiędzy 1 a 2 godz. biegu ?
5. Jaka była średnia prędkość pomiędzy 1 a 2 godz. biegu ?
𝑣 𝑡 = −𝑡2 + 20 [km/h]
Zad. „Medycyna”. Kroplówka podaje pacjentowi lekarstwo ze zmiennym w czasie natężeniem określonym wzorem:
c 𝑡 = 10 1 − 𝑡 60
2 2
[𝑚𝑔/𝑚𝑖𝑛]
1. Sporządź wykres tej funkcji.
2. Kiedy natężenie było największe ?
3. Jaką dawkę lekarstwa pacjent otrzymał w ciągu godziny ? 4. Jaką dawkę otrzymał w ciągu pierwszych 30 min ?
5. Jaka była średnia minutowa dawka w ciągu godziny ?
Ad.1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 10 20 30 40 50 60
y 𝑥 = 𝑎 1 − 𝑥 𝑏
𝑛 𝑚
y′ 𝑥 = −𝑎𝑚 1 − 𝑥 𝑏
𝑛 𝑚−1
𝑛 𝑥 𝑏
𝑛−11 𝑏
Ad.2. Oczywiście w chwili t=0 Ad.3,4.
Ad.5. Średnia dawka minutowa w ciągu godziny 320/60 = 5,33 g/min
Średnia dawka w ciągu pierwszych 30 min 253,75/30 = 8,46 g/min
A jaka jest średnia dawka pomiędzy 30 a 60 min?
(320-253,75)/30 = 2,21 g/min
Powtórka – całki.
Całki nieoznaczone:
- Wzory podstawowe - Całkowanie przez części
- Całkowanie przez podstawienie - Całkowanie funkcji wymiernych
Całki oznaczone - zastosowania - Definicja
- Wzór Newtona-Leibniza - Pole figury płaskiej
- Długość łuku krzywej - Objętość bryły obrotowej
- Pole powierzchni bryły obrotowej - Całki niewłaściwe
- Wartość średnia funkcji - Błąd całkowy
- Praca - Droga