• Nie Znaleziono Wyników

Całki oznaczone

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Całki oznaczone"

Copied!
47
0
0

Pełen tekst

(1)

Całki oznaczone

Opracowanie: Mieczysław Chalfen

- Definicja

- Wzór Newtona-Leibniza - Zastosowania geometryczne - Reguła Guldina

- Całki niewłaściwe - Wartość średnia - Błąd całkowy

(2)

Definicja całki oznaczonej.

𝑃𝑖 = 𝑓(𝑥𝑖)∙∆𝑥𝑖

𝑖=1 𝑛

𝑃𝑖 =

𝑖=1 𝑛

𝑓(𝑥𝑖)∙∆𝑥𝑖

𝑛 ∞lim

𝑖=1 𝑛

𝑃𝑖 = lim

𝑛 ∞𝑖=1 𝑛

𝑓 𝑥𝑖 ∙∆𝑥𝑖=

𝑎 𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ∈ 𝑅

𝑛 ∞ lim

𝑖=1 𝑛

𝑓 𝑥 𝑖 ∙∆𝑥 𝑖 =

𝑎 𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

granica suma funkcja różniczka podcałkowa

granica dolna granica górna

(3)

Pierwsze zastosowanie całki oznaczonej – pole trapezu krzywoliniowego

𝑃 =

𝑎 𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

(4)

Obliczanie całki z definicji

(5)

Wzór Newtona - Leibniza

𝒂 𝒃

𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒃 − 𝑭 𝒂 , 𝒈𝒅𝒛𝒊𝒆 𝑭 𝒙 − 𝒇𝒖𝒏𝒌𝒄𝒋𝒂 𝒑𝒊𝒆𝒓𝒘𝒐𝒕𝒏𝒂, 𝒄𝒛𝒚𝒍𝒊 𝒄𝒂ł𝒌𝒂 𝒏𝒊𝒆𝒐𝒛𝒏𝒂𝒄𝒛𝒐𝒏𝒂

Przykład 1.

0 1

𝑥2𝑑𝑥 = 𝑥3 3

1

0

= 1 3 − 0

3 = 1

3 ∈ 𝑅

(6)

Przykład 2.

0 𝜋

sin 𝑥 𝑑𝑥 = −cos(x) 𝜋

0 = − cos 𝜋 − − cos 0 = 1 − −1 = 2

(7)

Zastosowania geometryczne całki oznaczonej.

- pole dowolnego obszaru - długość łuku krzywej - objętość bryły obrotowej - objętość dowolnej bryły - pole powierzchni bryły - inne:

- środek ciężkości figury płaskiej - środek ciężkości bryły

(8)

Pole „dowolnej” figury

𝑃𝑖 = f 𝑥𝑖 − g 𝑥𝑖 ∆𝑥𝑖

𝑃 = lim

𝑛 ∞𝑖=1 𝑛

𝑃𝑖 = lim

𝑛 ∞ 𝑖=1 𝑛

f 𝑥𝑖 − g 𝑥𝑖 ∆𝑥𝑖

𝑃 =

𝑎 𝑏

𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

(9)

Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi y=f(x) i y=g(x) - narysuj na jednym wykresie obie funkcje

- znajdź punkty przecięcia tych krzywych rozwiązując równanie f(x)=g(x) - oblicz pole za pomocą całki

Przykład. Oblicz pole obszaru ograniczonego liniami: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥, 𝑔 𝑥 = 2𝑥 − 3

𝑥2 − 2𝑥 = 2𝑥 − 3 a=1, b=3

𝑃 =

1 3

2𝑥 − 3 − 𝑥2 − 2𝑥 𝑑𝑥 =

1 3

−𝑥2 + 4𝑥 − 3𝑑𝑥 =

= −𝑥33 + 2𝑥2 − 3𝑥 3 1

= −9 + 18 − 9 − (−13 + 2 − 3) = 43

(10)

Długość łuku krzywej

𝑙𝑖 = ∆𝑥𝑖2 + ∆𝑦𝑖2= 1 + ∆𝑦𝑖2

∆𝑥𝑖2 ∆𝑥𝑖

𝑙 = lim

𝑛 ∞ 𝑖=1 𝑛

1 + ∆𝑦𝑖2

∆𝑥𝑖2 ∆𝑥𝑖 =

𝑎 𝑏

1 + 𝑓′(𝑥)2𝑑𝑥

(11)

Przykład. Oblicz długość łuku linii łańcuchowej danej równaniem f(x)=cosh(x), 0<x<1

𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝑥) − 𝑠𝑖𝑛ℎ2(𝑥) =1

cosh(𝑥) = 𝑒𝑥+𝑒2 −𝑥, sinh(𝑥) = 𝑒𝑥−𝑒2 −𝑥

𝑠𝑖𝑛ℎ2 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥 − 1

𝑙 =

0 1

1 + 𝑠𝑖𝑛ℎ2 𝑥 𝑑𝑥 =

0 1

𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥 𝑑𝑥 =

=

0 1

cosh 𝑥 𝑑𝑥 = sinh(𝑥) 1 0

= sinh 1 − sinh 0 ≈ 1.18 cosh(𝑥) = sinh(𝑥)

(12)

Bryły obrotowe: powstają przez obrót fragmentu wykresu funkcji y=f(x) wokół osi OX lub OY

(13)

Jakie znamy bryły obrotowe ? - walec

- kula - stożek - ???

- torus (dętka rowerowa, samochodowa)

(14)

Objętość bryły obrotowej dookoła osi OX

𝑣𝑖 = 𝜋𝑟2ℎ = 𝜋𝑓(𝑥𝑖)2∆𝑥𝑖

𝑣 = lim

𝑛 ∞ 𝑖=1 𝑛

𝜋𝑓(𝑥𝑖)2∆𝑥𝑖 = 𝜋

𝑎 𝑏

𝑓(𝑥)2𝑑𝑥

(15)

Przykład. Wyprowadź wzór na objętość stożka.

𝑣 = 1

3𝜋𝑟2

(16)

Objętość dowolnej bryły

𝑣𝑖 = s(𝑥𝑖)∆𝑥𝑖

𝑣 = lim

𝑛 ∞𝑖=1 𝑛

𝑠(𝑥𝑖)∆𝑥𝑖 =

𝑎 𝑏

𝑠(𝑥)𝑑𝑥

Zastosowanie w tomografii komputerowej do pomiaru objętość organów wewnętrznych

Pole przekroju s(x)

(17)

Pole powierzchni bocznej bryły obrotowej dookoła osi OX

(18)

Przykład. Wyprowadź wzór na pole powierzchni kuli o promieniu r.

(19)

Objętość bryły obrotowej dookoła osi OY 𝑝𝑖 = 𝜋𝑥𝑖+12 − 𝜋𝑥𝑖2 = 𝜋(𝑥𝑖+1 + 𝑥𝑖) 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 = 𝜋(𝑥𝑖+1 + 𝑥𝑖)∆𝑥𝑖 𝑣𝑖 = 𝜋(𝑥𝑖+1 + 𝑥𝑖)∆𝑥𝑖𝑓(𝑥𝑖)

𝑣 = lim

𝑛 ∞ 𝑖=1 𝑛

𝜋(𝑥𝑖+1 + 𝑥𝑖)𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥𝑖 = 2𝜋

𝑎 𝑏

𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥

(20)

Przykład

(21)

Reguła Guldina

𝑣 = 2𝜋𝑅 ∙ 𝜋𝑟2 𝑃 = 2𝜋𝑅 ∙ 2𝜋𝑟 𝑣 = 𝑝 ∙ 𝑠

P = l ∙ s

(22)

Całka oznaczona

𝑎 𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎) jest niewłaściwa gdy:

1. 𝑐∈[𝑎,𝑏]¬𝑐 ∈ 𝐷𝐹 c nie należy do dziedziny funkcji pierwotnej, czyli nie można obliczyć F(c), np. F(a) lub F(b) 2. 𝑎, 𝑏 = ±∞

Przykład 1.

(23)

Zamiana całki niewłaściwej na granice całek oznaczonych

(24)

Przykład 1.

0 11

𝑥 𝑑𝑥 = lim

ℎ 0+ 11

𝑥 𝑑𝑥 = lim

ℎ 0+ln(𝑥) 1 ℎ

= lim

ℎ 0+ ln 1 − ln ℎ = 0 − −∞ = +∞

(25)

Przykład 2.

0 1 1

𝑥 𝑑𝑥 =

0 1

𝑥−12𝑑𝑥 = 𝑥12 12

1 0

= 2 𝑥 1 0

= 2

0 nie należy do dziedziny funkcji podcałkowej, ale należy do dziedziny funkcji pierwotnej !

(26)

Uwaga !!! Przykład złośliwy !!!

Błędne rozwiązanie:

−1 1 1

𝑥2 𝑑𝑥 =

−1 1

𝑥−2𝑑𝑥 = 𝑥−1

−1 1

−1

= (−1 𝑥) 1

−1

= −1 − 1 = −2

−1 1 1

𝑥2 𝑑𝑥 =

−1 0 1

𝑥2 𝑑𝑥 +

0 1 1

𝑥2 𝑑𝑥 = lim

ℎ 0 −1

𝑥−2𝑑𝑥 + lim

ℎ 0+ 1

𝑥−2𝑑𝑥 = lim

ℎ 0−1 𝑥

−1

+ lim

ℎ 0+ −1 𝑥

1 ℎ

=

¬(0 ∈ 𝐷)

= lim

ℎ 0 −1

ℎ − 1 + lim

ℎ 0+(−1 +1

ℎ) = +∞ − 1 − 1 + ∞ = +∞

(27)

Granice nieskończone

(28)

Rozbicie całki niewłaściwej w granicach od -∞ do + ∞ na sumę dwóch całek

(29)

Przykłady.

(30)

Pole obszaru nieograniczonego.

Zad. Oblicz pole ograniczone wykresem funkcji f(x)=cosh(x), g(x)=sinh(x), x>0

(31)

Objętość bryły nieograniczonej.

Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót hiperboli wokół osi OX, x>1

Wpisz tutaj równanie.

(32)
(33)

Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót krzywej Gaussa y(x) = 𝑒−𝑥2dookoła osi OY

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

-3 -2 -1 0 1 2 3

Krzywa Gaussa

𝑣 = 2𝜋

0 +∞

𝑥𝑒−𝑥2𝑑𝑥

𝑡 = −𝑥2 𝑑𝑡

𝑑𝑥 = −2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡

−2𝑥

= 2𝜋 𝑥𝑒𝑡 𝑑𝑡

−2𝑥 = − 𝜋 𝑒𝑡𝑑𝑡 = − 𝜋𝑒𝑡 = −𝜋𝑒−𝑥2 +∞

0 = − 𝜋(𝑒−∞2−𝑒0) = 𝜋

(34)

Ś𝑟𝑓 = 𝑎

𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 − 𝑎

a

h 𝑃 = 𝑎ℎ ℎ = 𝑃

𝑎 Wartość średnia funkcji na przedziale [a, b]

(35)

Temperatura powietrza zmienia się w ciągu doby według wzoru - Naszkicuj wykres tej funkcji

- Oblicz średnią temperaturę dla całej doby

- Oblicz średnią temperaturę pomiędzy godz. 6 a 12

𝑇(𝑡) = 4 sin 𝜋

12 𝑡 − 12 + 10

(36)
(37)

Błąd całkowy

(38)

Zad. Oblicz błąd całkowy pomiędzy parabolą 𝑦 𝑥 = 𝑥2 a linia prostą y=x-0.1, dla x od 0 do 1.

(𝑎 + 𝑏)2= 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏

(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2= 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎c + 2𝑏𝑐

(39)

Przybliżanie funkcji nieliniowej linią prostą.

Przybliż funkcję y = 𝑒𝑥 funkcją liniową y=ax+1, tak by zminimalizować błąd przybliżenia na odcinku (0,1)

δ(3/2)≈0.01

(40)

Całka w fizyce

Praca = siła ∙ przesunięcie W = F ∙ s

(41)

Oblicz pracę potrzebną do wyniesienia statku kosmicznego o masie m [kg] z powierzchni Ziemi na wysokość h [km]

𝐹 = 𝑘𝑀𝑚 𝑟2

𝑊 =

𝑅 𝑅+ℎ

𝑘 𝑀𝑚

𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑘𝑀𝑚(−1

𝑥) 𝑅 + ℎ 𝑅

= 𝑘𝑀𝑚(− 1

𝑅 + ℎ + 1 𝑅)

𝑊 = lim

ℎ +∞𝑘𝑀𝑚 − 1

𝑅 + ℎ + 1

𝑅 = 𝑘𝑀𝑚

𝑅 < ∞ F – siła

M – masa Ziemi m – masa ciała k – stała grawitacji

r – odległość dwóch ciał

(42)

droga = prędkość ∙ czas s = vt w ruchu jednostajnym prostoliniowym, czyli wtedy, gdy v nie zależy od czasu !

(43)

Zadanie. Maratończyk biegnie przez 3 godz. z prędkością zmieniającą się według wzoru

1. Sporządź wykres tej funkcji 2. Jaki dystans przebiegł ?

3. Jaka była średnia prędkość ?

4. Jaki dystans przebiegł pomiędzy 1 a 2 godz. biegu ?

5. Jaka była średnia prędkość pomiędzy 1 a 2 godz. biegu ?

𝑣 𝑡 = −𝑡2 + 20 [km/h]

(44)
(45)

Zad. „Medycyna”. Kroplówka podaje pacjentowi lekarstwo ze zmiennym w czasie natężeniem określonym wzorem:

c 𝑡 = 10 1 − 𝑡 60

2 2

[𝑚𝑔/𝑚𝑖𝑛]

1. Sporządź wykres tej funkcji.

2. Kiedy natężenie było największe ?

3. Jaką dawkę lekarstwa pacjent otrzymał w ciągu godziny ? 4. Jaką dawkę otrzymał w ciągu pierwszych 30 min ?

5. Jaka była średnia minutowa dawka w ciągu godziny ?

Ad.1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 10 20 30 40 50 60

y 𝑥 = 𝑎 1 − 𝑥 𝑏

𝑛 𝑚

y′ 𝑥 = −𝑎𝑚 1 − 𝑥 𝑏

𝑛 𝑚−1

𝑛 𝑥 𝑏

𝑛−11 𝑏

(46)

Ad.2. Oczywiście w chwili t=0 Ad.3,4.

Ad.5. Średnia dawka minutowa w ciągu godziny 320/60 = 5,33 g/min

Średnia dawka w ciągu pierwszych 30 min 253,75/30 = 8,46 g/min

A jaka jest średnia dawka pomiędzy 30 a 60 min?

(320-253,75)/30 = 2,21 g/min

(47)

Powtórka – całki.

Całki nieoznaczone:

- Wzory podstawowe - Całkowanie przez części

- Całkowanie przez podstawienie - Całkowanie funkcji wymiernych

Całki oznaczone - zastosowania - Definicja

- Wzór Newtona-Leibniza - Pole figury płaskiej

- Długość łuku krzywej - Objętość bryły obrotowej

- Pole powierzchni bryły obrotowej - Całki niewłaściwe

- Wartość średnia funkcji - Błąd całkowy

- Praca - Droga

Cytaty

Powiązane dokumenty

8. znajd´z zale˙zno´s´c mi˛edzy tymi pracami. Prawo Hooke’a mówi, ˙ze siła działaj ˛ aca na gumk˛e, jest proporcjonalna do wydłu˙zenia gumki ponad naturaln ˛

f (−|x|) zastąpienie prawej części wykresu symetrycznym odbiciem w osi Oy jego lewej części 9.. Przesunięcie to jest złożeniem wziętych w dowolnej kolejności przesunięć

Jeśli nie masz możliwości uczestniczenia na zajęciach online, należy to zgłosić wychowawcy, a także wysłać wiadomość na mail nauczyciela

Poma- ra«cz¦ nast¦pnie pokrojono w

Poma- ra«cz¦ nast¦pnie pokrojono w

Poma- ra«cz¦ nast¦pnie pokrojono w

Poma- ra«cz¦ nast¦pnie pokrojono w

Proponuję, abyś przeanalizował/a sobie najważniejsze informacje dotyczące figur przestrzennych, o których uczyłeś/aś się w ostatnim czasie.. Powtórz sobie