DLA STUDENTÓW III ROKU

STATYSTYKA

DLA STUDENTÓW III ROKU

MATEMATYKI EKONOMICZNEJ, MATEMATYKI Z INFORMATYK þ A I MATEMATYKI NAUCZYCIELSKIEJ

Lista 2

1. (Wzór Hardy’ego-Weinberga)

Najprostszy model genetyczny zakłada, úze cechy dziedziczne wyst þepuj þ a w genach parami. Geny mog þ a przybiera´c dwie formy, nazywane allelami. Oznacza si þe je literami A i a. Wobec tego s þ a trzy róúzne genotypy: AA, Aa

i aa.

Załóúzmy, úze pary kojarz þ a si þe w sposób losowy i kaúzdy przekazuje potomkowi losowo jeden ze swoich al- leli. Oznaczmy przez θ prawdopodobie´nstwo wyst þ apienia w pokoleniu 0 w populacji allela A. Prawdopodobie´ nstwo wyst þ apienia allela a w pokoleniu 0 wyniesie wi þec 1 − θ.

(a) Pokaúz, úze prawdopodobie´nstwo wyst þ apienia genotypów AA, Aa i aa jest stałe we wszystkich pokoleniach, pocz þ awszy od pierwszego i wynosi

p

= θ

, p

= 2θ (1 − θ) , p

= (1 − θ)

(b) Pokaúz, úze prawdopodobie´nstwo wyst þ apienia alleli A i a jest równieúz stałe we wszystkich pokoleniach i wynosi odpowiednio θ i 1 − θ.

(c) Oszacuj parametr θ metod þ a podstawienia cz þesto´sci na podstawie próby n-elementowej, w której genotyp AA pojawił si þe n

razy, geno- typ Aa pojawił si þe n

razy, genotyp aa - n

razy. Pokaúz, dobieraj þ ac odpowiednio zdarzenia, úze jego estymatorami mog þ a by´c

θ b

= r n

n , c θ

= 1 − r n

n , b θ

= n

n + n

2n

(d) Przypu´s´cmy, úze parametrem modelu statystycznego jest stosunek ϑ prawdopodobienstwa wyst þ apienia alleli A do prawdopodobienstwa wyst þ apienia alleli a , równy

ϑ = θ 1 − θ

Znajd´z metod þ a podstawienia cz þesto´sci estymator ϑ.

2. Niech obserwacje X

= [x

, x

, . . . , x

] b þed þ a prób þ a prost þ a z rozkładu N (0, σ) z nieznanym parametrem σ.

(a) Znajd´z estymator parametru σ

metod þ a momentów, opieraj þ ac si þe na drugim momencie,

(b) Znajd´z estymator parametru σ na podstawie estymatora z punktu (a) i relacji σ = √

σ

,

1

Wi þecej na ten temat w W. Feller,Wst ˛ ep do rachunku prawdopodobie´ nstwa, t. I Rozdział V, §5

2

genotypy Aa i aA s þ a nierozró úznialne

3

Na przykład, kolor kwiatu ro´sliny mo úze zawiera´c dwa allele: A - czerwony i a - biały.

Genotypy, które odpowiadaj þ a tym allelom s þ a: AA - czerwony, Aa - ró úzowy, aa - biały.

1

(c) Znajd´z, metod þ a momentów estymator parametru σ, korzystaj þ ac z toúzsamo´sci E |X| = σ

q

π

, gdzie X ma rozkład N (0, σ) . Udowodnij t þ a toúzsamo´s´c.

3. Rzucamy monet þ a tak długo, aúz wypadnie orzeł. Orzeł pojawił si þe po raz pierwszy po n rzutach. Znajd´z estymator najwi þekszej wiarygodno´sci dla prawdopodobie´ nstwa wypadni þecia orła w jednym rzucie. Wykonaj analo- giczne obliczenia, gdyby´smy powtarzali taki eksperyment k-krotnie i orzeł pojawiłby si þe po raz pierwszy w tych powtórzeniach po n

, n

, . . . , n

rzu- tach.

4. Niech obserwacje X

= [x

, x

, . . . , x

] b þed þ a prób þ a prost þ a z rozkładu jednostajnego na odcinku ¡

θ −

, θ +

¢

. Pokaúz, úze dowolny estymator bθ (X), spełniaj þacy warunek

x

− 1

2 < b θ (X) < x

+ 1 2 jest estymatorem najwi þekszej wiarygodno´sci parametru θ.

5. Obserwacje X

= [x

, x

, . . . , x

] s þ a realizacjami niezaleúznych zmiennych losowych X

o rozkładzie N (µ

, 1)

(a) Znajd´z, metod þ a najwi þekszej wiarygodno´sci estymatory parametrów µ

,

(b) Wykonaj zadanie (a) przy załoúzeniu, úze n = 2 i µ

≤ µ

.

6. Rzucamy monet þ a aúz do uzyskania orła, ale nie wi þecej, niúz M razy. Wynik x takiego do´swiadczenia b þedziemy zapisywa´c w nast þepuj þ acy sposób:

x =

½ j gdy orzeł wypadł po raz pierwszy za j-tym razem M + 1 gdy orzeł nie wypadł ani razu.

Znajd´z estymator najwi þekszej wiarygodno´sci dla prawdopodobie´ nstwa wy- padni þecia orła w jednym rzucie. Znajd´z przykłady praktyczne, w których taki model ma zastosowanie.

Andrzej D ˛ abrowski, 20.10.99

2