Zadania X - powtórzeniowe 1. Niech f(x, y) = (

(1)

Zadania X - powtórzeniowe 1. Niech

f (x, y) =

( _x

3

y−xy

³

x

²

+y

²

dla (x, y) ∈ R ² \ {(0, 0)}

0 w.p.p.

Znaleźć wszystkie cztery pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f , w szczególności stwierdzić, że pochodne mieszane w punkcie (0, 0) nie są sobie równe. Jaki stąd wniosek?

2. Zbadaj ekstrema lokalne następujących funkcji : a) f (x, y) = (x + 5y + xy)

b) f (x, y) = 1 − √

x ² + y ² c) f (x, y) = (6 − x − y)x ² y ³ d) f (x, y) = x − 2y + ln √

x ² + y ² + 3arctg _x ^y

3. Obliczyć jakobiany przekształceń. Znaleźć przekształcenie odwrotne do tych przekształceń oraz znaleźć obrazy zbiorów A otrzymanych za pomocą tych przekształceń:

a) (u, v) 7→ (x, y) = ( ¹ ₂ (u + v), ¹ ₂ (u − v), A = {(u, v) : 1 ¬ u ¬ 2, −u ¬ v ¬ 4 − u}, b) (u, v) 7→ (x, y) = (u, v √

u), A = {(u, v) : 0 ¬ u ¬ 1, 0 ¬ v √ u}, c) (u, v) 7→ (x, y) = (2u + 3v, u − v), A = {(u, v) : u ² + v ² ¬ 1}.

4. Obliczyć jakobiany przekształceń:

a) (r, ϕ, z) 7→ (r cos ϕ, r sin ϕ, z) - są to tzw. współrzędne walcowe. Co jest obrazem zbioru A = (0, 1i × (−π, π) × (0, 1) ?

b) (r, ϕ, ψ) 7→ (r cos ϕ cos ψ, r sin ϕ cos ψ, r sin ψ) - są to tzw. współrzędne sferyczne w R ³ . Co jest obrazem zbioru A = (0, 1i × (−π, π) × h− ^π ₂ , ^π ₂ i?

Wykaż, że powyższe przekształcenia są dyfeomorfizmami z podanych obszarów na ich obrazy.

5. Wyznaczyć σ-ciało w X generowane przez:

a) rodzinę złożoną z dwóch danych podzbiorów zbioru X;

b) rodzinę wszystkich podzbiorów jednoelementowych podzbiorów zbioru X.

6. Niech (f _n ) będzie ciągiem funkcji rzeczywistych ciągłych określonych na R. Wykazać, że zbiór A = {x ∈ R : lim ^n→∞ f n (x) = +∞} jest borelowski.

7. Dla każdego A ⊂ N kładziemy:

µ(A) =

( 0 jeśli zbiór A jest skończony, +∞ jeśli zbiór A jest nieskończony.

Czy funkcja ta jest miarą na σ-ciele wszystkich podzbiorów N?

1

(2)

8. Dla każdego A ⊂ X kładziemy:

µ(A) =

( 0 jeśli zbiór A jest co najwyżej przeliczalny, +∞ jeśli zbiór A jest nieprzeliczalny.

Czy funkcja ta jest miarą na σ-ciele wszystkich podzbiorów N?

9. Prostopadłościan, którego dolną podstawą jest prostokąt D położony w płaszczyźnie Oxy i ograniczony prostymi x = 1, y = 2, x = −1, y = −2, został ścięty od góry powierzchnią z = 6 − x ² − y ² . Obliczyć objętość powstałej bryły.

10. Obliczyć całkę ^RR _D sin x cos ydxdy, gdzie obszarem całkowania jest trójkąt o wierzchołkach A(a, 0), B(0, a), C(0, 0), a > 0.

11. Znaleźć objętość bryły ograniczonej obszarami:

a) z = a ² − x ² , y = 2x, x + y = a, z = 0, y = 0;

b) y = x ² , z = x ² + y ² , y = 1, z = 0;

c) z ² = xy, x + y = 4, x + y = 6.

12. Stosując zamianę zmiennych oblicz całkę ^RR _D √ ^dxdy

x

²

+y

²

gdzie D jest wnętrzem okręgu jed- nostkowego.

13. Oblicz objętość elipsoidy o równaniu ^x _a

²2

+ ^y _b

²2

+ ^z _c

²2

= 1.

14. Oblicz objętość bryły ograniczonej paraboloidą 2az = x ² + y ² i sferą x ² + y ² + z ² = 3a ² . 15. ( ¹ ₂ *) Oblicz całkę potrójną ^RRR _V √

x ² + y ² + z ² dxdydz, gdzie obszar V jest ograniczony po- wierzchnią x ² + y ² + z ² = z.

16. Oblicz granice całek;

a) ^R

R e ^−|x| sin ⁿ xdx;

b) ^R ₀ ¹ √

ⁿ

xlnxdx;

c) ^R _R _{n+5 sin x} ¹

2

cos(e

x50+n7 n+5xn

) e

^|πx|

; d) ^RR _R

2

+

x

ⁿ

+y

ⁿ

1+x

ⁿ

+y

ⁿ

e ^−x−y dxdy;

e) ^RR _A 1 + ^x+y _n ⁿ e ^−3x−2y dxdy, gdzie A = {(x, y) : x > 0, x + y > 0}.

17. Oblicz miarę zbioru G = {(x, y) : x ² < y < 2x ² , 1 < xy < 2}. Wskazówka: zastosuj podstawienie : u = xy, v = _x ^y

2

.

18. Oblicz całkę ^R _R e ^−x

²

dx. Wskazówka: oblicz najpierw całkę ^RR _R

2

e ^−x

²

^−y

²

dxdy.

19. Oblicz całki:

a) ^RR _A xdxdy, gdzie A = {(x, y) : x ² + y ² < x}.

2

(3)

b) ^RR _R

2

e ^−x

²

^−xy−y

²

dxdy 20. Dla jakich c funkcja

ν(A) =

Z

A

cxe ^−|x| dl ₁

określona dla A z σ-ciała zbiorów borelowskich na R + jest miarą na tym σ- ciele (l ₁ oznacza jednowymiarową miarę Lebesgue’a). Czy jest to miara skończona? Jeśli tak, to dobierz stałą c tak, aby miara ta była miara probabilistyczną.

21. Dana jest miara µ określona dla σ-ciała wszystkich podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych.

Miara ta jest skupiona na zbiorze liczb naturalnych (tzn. µ(R \ N) = 0, ponadto µ({n}) =

1

2

ⁿ

. Czy jest to miara probabilistyczna? Oblicz ^R _A dµ oraz (może być ciut trudniejsze, ale powinno się dać policzyć) ^R _A xdµ dla A = h−15, 10), A = (0, +∞).

22. Udowodnij, że kombinacja wypukła skończenie wielu miar probabilistycznych określonych na tych samych przestrzeniach jest miarą probabilistyczną. Jaka jest wartość oczekiwana zmiennej X względem nowej miary, jeśli znamy wartości oczekiwane X względem począt- kowych miar?

23. () Zbiór Cantora na prostej. Rozpatrzmy zbiór I* ₀ = [0, 1] (odcinek jednostkowy do- mknięty). Dzielimy go na trzy równe odcinki, przy czym dwa zewnętrzne są domknięte (tj. na odcinki [0, ¹ ₃ ], ( ¹ ₃ , ² ₃ ), [ ² ₃ , 1]). Następnie z naszego zbioru usuwamy odcinek środkowy i otrzymujemy w ten sposób zbiór I ₁ . Następnie każdy z dwóch odcinków z których składa się zbiór I ₁ dzielimy jak poprzednio i usuwamy odcinki środkowe - otrzymujemy w ten sposób zbiór I 2 . Procedurę tę powtarzamy nieskończenie wiele razy. Zbiorem Cantora na- zywamy zbiór C = ^T _n∈N I _n . Zauważ, że zbiór ten nie zawiera żadnego odcinka. Wykaż, że jest to zbiór domknięty. Uzasadnij jego mierzalność. Dlaczego jest to zbiór miary zero?

Zadania X - powtórzeniowe 1. Niech f(x, y) = (

Zadania X - powtórzeniowe 1. Niech

f (x, y) =

( x

y−xy

x

+y

dla (x, y) ∈ R 2 \ {(0, 0)}

0 w.p.p.

Znaleźć wszystkie cztery pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f , w szczególności stwierdzić, że pochodne mieszane w punkcie (0, 0) nie są sobie równe. Jaki stąd wniosek?

2. Zbadaj ekstrema lokalne następujących funkcji : a) f (x, y) = (x + 5y + xy)

b) f (x, y) = 1 − √

x 2 + y 2 c) f (x, y) = (6 − x − y)x 2 y 3 d) f (x, y) = x − 2y + ln √

x 2 + y 2 + 3arctg x y

3. Obliczyć jakobiany przekształceń. Znaleźć przekształcenie odwrotne do tych przekształceń oraz znaleźć obrazy zbiorów A otrzymanych za pomocą tych przekształceń:

a) (u, v) 7→ (x, y) = ( 1 2 (u + v), 1 2 (u − v), A = {(u, v) : 1 ¬ u ¬ 2, −u ¬ v ¬ 4 − u}, b) (u, v) 7→ (x, y) = (u, v √

u), A = {(u, v) : 0 ¬ u ¬ 1, 0 ¬ v √ u}, c) (u, v) 7→ (x, y) = (2u + 3v, u − v), A = {(u, v) : u 2 + v 2 ¬ 1}.

4. Obliczyć jakobiany przekształceń:

a) (r, ϕ, z) 7→ (r cos ϕ, r sin ϕ, z) - są to tzw. współrzędne walcowe. Co jest obrazem zbioru A = (0, 1i × (−π, π) × (0, 1) ?

b) (r, ϕ, ψ) 7→ (r cos ϕ cos ψ, r sin ϕ cos ψ, r sin ψ) - są to tzw. współrzędne sferyczne w R 3 . Co jest obrazem zbioru A = (0, 1i × (−π, π) × h− π 2 , π 2 i?

Wykaż, że powyższe przekształcenia są dyfeomorfizmami z podanych obszarów na ich obrazy.

5. Wyznaczyć σ-ciało w X generowane przez:

a) rodzinę złożoną z dwóch danych podzbiorów zbioru X;

b) rodzinę wszystkich podzbiorów jednoelementowych podzbiorów zbioru X.

6. Niech (f n ) będzie ciągiem funkcji rzeczywistych ciągłych określonych na R. Wykazać, że zbiór A = {x ∈ R : lim n→∞ f n (x) = +∞} jest borelowski.

7. Dla każdego A ⊂ N kładziemy:

µ(A) =

( 0 jeśli zbiór A jest skończony, +∞ jeśli zbiór A jest nieskończony.

Czy funkcja ta jest miarą na σ-ciele wszystkich podzbiorów N?

1

8. Dla każdego A ⊂ X kładziemy:

µ(A) =

( 0 jeśli zbiór A jest co najwyżej przeliczalny, +∞ jeśli zbiór A jest nieprzeliczalny.

Czy funkcja ta jest miarą na σ-ciele wszystkich podzbiorów N?

9. Prostopadłościan, którego dolną podstawą jest prostokąt D położony w płaszczyźnie Oxy i ograniczony prostymi x = 1, y = 2, x = −1, y = −2, został ścięty od góry powierzchnią z = 6 − x 2 − y 2 . Obliczyć objętość powstałej bryły.

10. Obliczyć całkę RR D sin x cos ydxdy, gdzie obszarem całkowania jest trójkąt o wierzchołkach A(a, 0), B(0, a), C(0, 0), a > 0.

11. Znaleźć objętość bryły ograniczonej obszarami:

a) z = a 2 − x 2 , y = 2x, x + y = a, z = 0, y = 0;

b) y = x 2 , z = x 2 + y 2 , y = 1, z = 0;

c) z 2 = xy, x + y = 4, x + y = 6.

12. Stosując zamianę zmiennych oblicz całkę RR D √ dxdy

x

+y

gdzie D jest wnętrzem okręgu jed- nostkowego.

13. Oblicz objętość elipsoidy o równaniu x a

+ y b

+ z c

= 1.

14. Oblicz objętość bryły ograniczonej paraboloidą 2az = x 2 + y 2 i sferą x 2 + y 2 + z 2 = 3a 2 . 15. ( 1 2 *) Oblicz całkę potrójną RRR V √

x 2 + y 2 + z 2 dxdydz, gdzie obszar V jest ograniczony po- wierzchnią x 2 + y 2 + z 2 = z.

16. Oblicz granice całek;

a) R

R e −|x| sin n xdx;

b) R 0 1 √

xlnxdx;

c) R R n+5 sin x 1

cos(e

) e

; d) RR R

x

+y

1+x

+y

e −x−y dxdy;

e) RR A  1 + x+y n  n e −3x−2y dxdy, gdzie A = {(x, y) : x > 0, x + y > 0}.

17. Oblicz miarę zbioru G = {(x, y) : x 2 < y < 2x 2 , 1 < xy < 2}. Wskazówka: zastosuj podstawienie : u = xy, v = x y

.

18. Oblicz całkę R R e −x

dx. Wskazówka: oblicz najpierw całkę RR R

e −x

−y

dxdy.

19. Oblicz całki:

a) RR A xdxdy, gdzie A = {(x, y) : x 2 + y 2 < x}.

2

b) RR R

e −x

−xy−y

dxdy 20. Dla jakich c funkcja

ν(A) =

( _x

dla (x, y) ∈ R ² \ {(0, 0)}

x ² + y ² c) f (x, y) = (6 − x − y)x ² y ³ d) f (x, y) = x − 2y + ln √

x ² + y ² + 3arctg _x ^y

a) (u, v) 7→ (x, y) = ( ¹ ₂ (u + v), ¹ ₂ (u − v), A = {(u, v) : 1 ¬ u ¬ 2, −u ¬ v ¬ 4 − u}, b) (u, v) 7→ (x, y) = (u, v √

u), A = {(u, v) : 0 ¬ u ¬ 1, 0 ¬ v √ u}, c) (u, v) 7→ (x, y) = (2u + 3v, u − v), A = {(u, v) : u ² + v ² ¬ 1}.

b) (r, ϕ, ψ) 7→ (r cos ϕ cos ψ, r sin ϕ cos ψ, r sin ψ) - są to tzw. współrzędne sferyczne w R ³ . Co jest obrazem zbioru A = (0, 1i × (−π, π) × h− ^π ₂ , ^π ₂ i?

6. Niech (f _n ) będzie ciągiem funkcji rzeczywistych ciągłych określonych na R. Wykazać, że zbiór A = {x ∈ R : lim ^n→∞ f n (x) = +∞} jest borelowski.

9. Prostopadłościan, którego dolną podstawą jest prostokąt D położony w płaszczyźnie Oxy i ograniczony prostymi x = 1, y = 2, x = −1, y = −2, został ścięty od góry powierzchnią z = 6 − x ² − y ² . Obliczyć objętość powstałej bryły.

10. Obliczyć całkę ^RR _D sin x cos ydxdy, gdzie obszarem całkowania jest trójkąt o wierzchołkach A(a, 0), B(0, a), C(0, 0), a > 0.

a) z = a ² − x ² , y = 2x, x + y = a, z = 0, y = 0;

b) y = x ² , z = x ² + y ² , y = 1, z = 0;

c) z ² = xy, x + y = 4, x + y = 6.

12. Stosując zamianę zmiennych oblicz całkę ^RR _D √ ^dxdy

13. Oblicz objętość elipsoidy o równaniu ^x _a

+ ^y _b

+ ^z _c

14. Oblicz objętość bryły ograniczonej paraboloidą 2az = x ² + y ² i sferą x ² + y ² + z ² = 3a ² . 15. ( ¹ ₂ *) Oblicz całkę potrójną ^RRR _V √

x ² + y ² + z ² dxdydz, gdzie obszar V jest ograniczony po- wierzchnią x ² + y ² + z ² = z.

a) ^R

R e ^−|x| sin ⁿ xdx;

b) ^R ₀ ¹ √

c) ^R _R _{n+5 sin x} ¹

; d) ^RR _R

e ^−x−y dxdy;

e) ^RR _A 1 + ^x+y _n ⁿ e ^−3x−2y dxdy, gdzie A = {(x, y) : x > 0, x + y > 0}.

17. Oblicz miarę zbioru G = {(x, y) : x ² < y < 2x ² , 1 < xy < 2}. Wskazówka: zastosuj podstawienie : u = xy, v = _x ^y

18. Oblicz całkę ^R _R e ^−x

dx. Wskazówka: oblicz najpierw całkę ^RR _R

e ^−x

^−y

a) ^RR _A xdxdy, gdzie A = {(x, y) : x ² + y ² < x}.

b) ^RR _R

e ^−x

^−xy−y

cxe ^−|x| dl ₁

określona dla A z σ-ciała zbiorów borelowskich na R + jest miarą na tym σ- ciele (l ₁ oznacza jednowymiarową miarę Lebesgue’a). Czy jest to miara skończona? Jeśli tak, to dobierz stałą c tak, aby miara ta była miara probabilistyczną.

. Czy jest to miara probabilistyczna? Oblicz ^R _A dµ oraz (może być ciut trudniejsze, ale powinno się dać policzyć) ^R _A xdµ dla A = h−15, 10), A = (0, +∞).