1. Znajd¹ iloraz i reszt¦ z dzielenia wielomianu w(x) = x7+ x4+ x + 1 przez u(x) = x3+ x2+ 1w arytmetyce Z2. (3 punkty)
2. Rozªó» podane wielomiany na czynniki nierozkªadalne we wskazanym pier±cieniu: (po 2 punkty) a) w(X) = X6+ X5+ X2+ 1 w Z2[X]
b) w(X) = X5+ X3+ X w Z2[X]
c) w(X) = X4+ 2 w Z3[X]
Wskazówka: w(a) = 0 wtedy i tylko wtedy gdy w(X) dzieli si¦ przez (X − a).
3. Zbuduj tabelk¦ mno»enia dla pier±cienia ilorazowego Z3[X]/(X2+ 2X + 2). (4 punkty) Czy pier±cie« ten jest ciaªem? (1 punkt)
Wska» te elemety (a, b) pier±cienia, które s¡ pierwiastkami wielomianu generuj¡cego X2+ 2X + 2. (1 punkt) Uwaga: Chciaªbym zobaczy¢ systematyczn¡ metod¦ obliczania elementów tabelki, podobnie jak pokazywaªem to tydzie« temu.
Rozwi¡zania
1. x7+ x4+ x + 1 = (x3+ x2+ 1)(x4+ x3+ x2+ x) + x2+1 (mod 2)
2. a) (X3+ X2+ 1)(X2+ X + 1)(X + 1), b) X(X2+ X + 1)2, c) (X2+ 1)(X + 1)(X + 2) 3. Elementy pier±cienia ilorazowego to (a, b) ≡ aX + b, gdzie a, b ∈ {0, 1, 2}. Mno»enie elementów
(aX + b)(cX + d) = abX2 + (ad + bc)X + bd = (ad + bc− 2ab)X + bd − 2ab (mod X2+ 2X + 2), a zatem (a, b) · (c, d) = (ad + bc − 2ab, bd − 2ab) (mod 3). Skrótowy zapis w tabeli: ab zamiast (a, b).
× 01 02 10 11 12 20 21 22 01 01 02 10 11 12 20 21 22 02 02 01 20 22 21 10 12 11 10 10 20 11 21 01 22 02 12 11 11 22 21 02 10 12 20 01 12 12 21 01 10 22 02 11 20 20 20 10 22 12 02 11 01 21 21 21 12 02 20 11 01 22 10 22 22 11 12 01 20 21 10 02
Pier±cie« jest ciaªem, gdy» wszystkie niezerowe elementy s¡ odwracalne. Pierwiastkami wielomianu generuj¡cego s¡ elementy (1, 0) i (2, 1):
(1, 0)2+ (0, 2)(1, 0) + (0, 2) = (1, 1) + (2, 0) + (0, 2) = (0, 0) (2, 1)2+ (0, 2)(2, 1) + (0, 2) = (2, 2) + (1, 2) + (0, 2) = (0, 0)