• Nie Znaleziono Wyników

 =@ EH= E HAIJ  @EAAE= MEAE=K w(x) = x

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share " =@ EH= E HAIJ  @EAAE= MEAE=K w(x) = x"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

1. Znajd¹ iloraz i reszt¦ z dzielenia wielomianu w(x) = x7+ x4+ x + 1 przez u(x) = x3+ x2+ 1w arytmetyce Z2. (3 punkty)

2. Rozªó» podane wielomiany na czynniki nierozkªadalne we wskazanym pier±cieniu: (po 2 punkty) a) w(X) = X6+ X5+ X2+ 1 w Z2[X]

b) w(X) = X5+ X3+ X w Z2[X]

c) w(X) = X4+ 2 w Z3[X]

Wskazówka: w(a) = 0 wtedy i tylko wtedy gdy w(X) dzieli si¦ przez (X − a).

3. Zbuduj tabelk¦ mno»enia dla pier±cienia ilorazowego Z3[X]/(X2+ 2X + 2). (4 punkty) Czy pier±cie« ten jest ciaªem? (1 punkt)

Wska» te elemety (a, b) pier±cienia, które s¡ pierwiastkami wielomianu generuj¡cego X2+ 2X + 2. (1 punkt) Uwaga: Chciaªbym zobaczy¢ systematyczn¡ metod¦ obliczania elementów tabelki, podobnie jak pokazywaªem to tydzie« temu.

Rozwi¡zania

1. x7+ x4+ x + 1 = (x3+ x2+ 1)(x4+ x3+ x2+ x) + x2+1 (mod 2)

2. a) (X3+ X2+ 1)(X2+ X + 1)(X + 1), b) X(X2+ X + 1)2, c) (X2+ 1)(X + 1)(X + 2) 3. Elementy pier±cienia ilorazowego to (a, b) ≡ aX + b, gdzie a, b ∈ {0, 1, 2}. Mno»enie elementów

(aX + b)(cX + d) = abX2 + (ad + bc)X + bd = (ad + bc− 2ab)X + bd − 2ab (mod X2+ 2X + 2), a zatem (a, b) · (c, d) = (ad + bc − 2ab, bd − 2ab) (mod 3). Skrótowy zapis w tabeli: ab zamiast (a, b).

× 01 02 10 11 12 20 21 22 01 01 02 10 11 12 20 21 22 02 02 01 20 22 21 10 12 11 10 10 20 11 21 01 22 02 12 11 11 22 21 02 10 12 20 01 12 12 21 01 10 22 02 11 20 20 20 10 22 12 02 11 01 21 21 21 12 02 20 11 01 22 10 22 22 11 12 01 20 21 10 02

Pier±cie« jest ciaªem, gdy» wszystkie niezerowe elementy s¡ odwracalne. Pierwiastkami wielomianu generuj¡cego s¡ elementy (1, 0) i (2, 1):

(1, 0)2+ (0, 2)(1, 0) + (0, 2) = (1, 1) + (2, 0) + (0, 2) = (0, 0) (2, 1)2+ (0, 2)(2, 1) + (0, 2) = (2, 2) + (1, 2) + (0, 2) = (0, 0)

Cytaty

Powiązane dokumenty

This thesis presents a method for modeling and optimization of exploitation works in a multi-plant mining enterprise. This method can be used in the evaluation of design

[r]

Udowodni¢, »e ciaªo liczb rzeczywistych nie jest rozszerzeniem czysto przest¦pnym »adnego swojego wªa±ciwego podciaªa.. Okre±li¢ stopie« przest¦pny dla

[r]

Mo»emy wi¦c skorzysta¢

Szereg (12.5) ma wi¦c dodatnie wyrazy, i jest zbie»ny (czyli jest zbie»na caªka po lewej stronie (12.5)) dokªadnie wtedy, gdy jest ograniczony.. Oszacujmy jeszcze

wa»ne narz¦dzie i dla matematyków i dla in»ynierów (tak»e dla informatyków :-)).. Sprz¦»enie jest odbiciem wzgl¦dem osi poziomej, a moduª oznacza euklidesow¡ odlegªo±¢

Warunek (i) mówi, »e A jest ograniczony od góry i s jest ograniczeniem od góry, a warunek (ii) mówi, »e »adna liczba mniejsza od s nie jest ogranicze- niem A od góry, czyli, »e