Funkcje trygonometryczne

Funkcje trygonometryczne

1. Punkt (1, 0) obracamy wokół początku układu współrzędnych o kąt α . Znajdź współ- rzędne punktu P , który otrzymamy, gdy kąt ten jest równy:

(a) ^π₆ (b) ^π₄

2. Znajdź najmniejszy kąt dodatni o jaki należy obrócić punkt P = (1, 0) wokół początku układu współrzędnych, aby otrzymać punkty:

(a) (

√2 2 , −

√2

2 ) (b) (−¹₂,

√3 2 )

3. Korzystając z poniższych informacji obliczyć wartości funkcji sin x , cos x , tg x , ctg x . (a) cos x = −³₄, x ∈ (^π₂, π) (b) cos x = −¹₂, x ∈ (³₂π, 2π)

4. Wartość podanego wyrażenia jest liczbą dodatnią czy ujemną?

(a) sin 547^ocos 421^otg 123^o (b) sin 348^o− ctg 909^o+ cos 269^o

(c) ^cos(−153_{sin 179o}^o) (d) _{cos 192}^tg(−301_o^o_ctg(−271^{) sin 1304}_o^o₎

5. Obliczyć:

(a) sin 75^o (b) cos 105^o

(c) tg 15^o (d) cos 165^o

6. Korzystajac ze wzoru sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, uzasadnij wybrana tozsamosc trygonometryczna:

(a) sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β (b) cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β

(c) cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β

7. Sprawdź, czy prawdziwe są poniższe równości:

(a) sin 7x tg 3, 5x + cos 7x = 1 (b) sin²(⁷₂π − x) +^{1−cos x}₂ − sin 2x = (cos x − sin x)²

8. Uzasadnić następujące tożsamości trygonometryczne:

(a) tg(α + β) = 1−tg α tg β^{tg α+tg β}

(b) tg(α − β) = 1+tg α tg β^{tg α−tg β}

(c) sin α + sin β = 2 sin^α+β₂ cos^α−β₂ (d) sin α − sin β = 2 cos^α+β₂ sin^α−β₂ (e) cos α + cos β = 2 cos^α+β₂ cos^α−β₂

(f) cos α − cos β = −2 sin^α+β₂ sin^α−β₂ (g) _{tg x+ctg x}^{tg x} = sin²x

(h) sin x+cos x

cos x − tg x = ^{sin x}_{tg x} − cos x + 1 (i) sin(x + y) sin(x − y) = sin²x − sin²y

9. Oblicz:

(a) sin 1^o+ sin 2^o+ . . . + sin 359^o (b) cos 1^o+ cos 2^o+ . . . + cos 179^o

1

10. Korzystając ze wzorów redukcyjnych dla sinusów i cosinusów, zapisz podane wyrażenia tylko za pomocą funkcji sinus o argumentach z przedziału [0,^π₂], wiedząc, że x ∈ [0,^π₂]:

(a) sin(x + π) + cos(x − 3π) +_cos2(x−^{1 π}₂)

(b) cos(x + π) + sin(x − 3π) + _sin2(x−^{1 π}₂)

(c) cos²(x − π) cos(x + ⁵₂π)

(d) cos(x) + cos(−x) + cos(x + 17π) (e) 12 cos(¹₂x) + 5 cos(x − 5π) (f) 3 cos(2x) + cos(x + 9π)

11. Korzystając ze wzorów redukcyjnych dla sinusów i cosinusów, zapisz podane wyrażenia tylko za pomocą funkcji cosinus o argumentach z przedziału [0,^π₂], wiedząc, że x ∈ [0,^π₂]:

(a) sin(x + π) + sin(x − 3π) +_sin2(x−^{1 π}₂)

(b) sin(x + π) + cos(x − 3π) + _cos2(x−^{1 π}₂)

(c) sin²(x − π) sin(x +⁵₂π)

(d) sin(x) + sin(−x) + sin(x + 17π) (e) 12 sin(¹₂x) + 5 sin(x − 5π) (f) 3 sin(2x) + sin(x + 9π)

12. Korzystając ze wzorów redukcyjnych dla tangensów i cotangensów, zapisz podane wyrażenia tylko za pomocą funkcji tangens o argumentach z przedziału (0,^π₂), wiedząc, że x ∈ (0,^π₂):

(a) ctg(x) + ctg(x + π) (b) ctg²(x +^π₂) + tg(x +¹⁷₃π)

(c) ctg(x) ctg(2x) ctg(3x)

(d) tg(x + 10π) + ctg(x − 19π) + ctg(⁷₂x + ⁵₂π) (e) ctg(5x) tg(2x) ctg(9x)

(f) ctg(x + π) + ctg(x −⁹₂π)

13. Korzystając ze wzorów redukcyjnych dla tangensów i cotangensów, zapisz podane wyrażenia tylko za pomocą funkcji kotangens o argumentach z przedziału (0,^π₂), wiedząc, że x ∈ (0,^π₂):

(a) tg(x) + tg(x + π)

(b) tg²(x +^π₂) + ctg(x +¹⁷₃π) (c) tg(x) tg(2x) tg(3x)

(d) ctg(x + 10π) + tg(x − 19π) + tg(⁷₂x + ⁵₂π) (e) tg(5x) ctg(2x) tg(9x)

(f) tg(x + π) + tg(x −⁹₂π)

Źródło wykorzystane do orpacowania materiału: materiały z platformy OLAT: P. Rzonsowski, Funkcje trygonome- tryczne

2