Schemat punktowania

(1)

1

KONKURS PRZEDMIOTOWY Z MATEMATYKI

Finał – 15 marca 2010 r.

Schemat punktowania

Przy punktowaniu zadań naleŜy stosować następujące ogólne reguły:

Punktując rozwiązania zadań przyznajemy tylko całkowitą liczbę punktów.

Punkt za wybór metody rozwiązania zadania przyznajemy, gdy uczeń zauwaŜył wszystkie istotne własności i związki oraz zaczął je poprawnie stosować, np.: wybrał właściwy algorytm, wzór (i podstawił do niego dane liczby), w inny sposób pokazał plan rozwiązania zadania.

Punkt za wykonanie zadania przyznajemy tylko wtedy, gdy uczeń konsekwentnie stosuje przyjętą metodę rozwiązania (a nie zapisuje np. ciągu przypadkowych obliczeń) i doprowadza do

otrzymania ostatecznego, prawidłowego wyniku.

Nie jest wymagana pisemna odpowiedź, ale jednoznaczne wskazanie wyniku lub rozstrzygnięcie problemu.

Za kaŜdy inny niŜ podany w kluczu, poprawny sposób rozwiązania zadania, przyznajemy maksymalną liczbę punktów.

W przypadku, gdy zadanie rozwiązywano innym sposobem, niŜ podany w kluczu, ale popełnione zostały błędy lub nie dokończono rozwiązywania, naleŜy przyznać proporcjonalnie mniej

punktów, niŜ wynosi ich maksymalna liczba dla tego zadania.

Laureatami zostają uczniowie, którzy uzyskali 90% lub więcej punktów moŜliwych do zdobycia, tzn. 36 punktów lub więcej.

CZĘŚĆ I

Numer zadania

Odpowiedź 1 2 3 4 5 6 7 8

A Tak Tak Tak Tak Tak Tak Tak Tak

B Nie Tak Tak Nie Tak Nie Nie Nie

C Tak Nie Tak Tak Nie Tak Nie Tak

(2)

2

CZĘŚĆ II

Zadanie 9.

Szkic rozwiązania:

42

4 4 3⋅ + =

82

8 8 7⋅ + =

572

57 57 56⋅ + = n – naturalna

(

ⁿ⁻¹

)

^⋅ⁿ⁺ⁿ⁼ⁿ² dlaczego?

poniewaŜ

(

ⁿ⁻¹

)

^⋅ⁿ⁺ⁿ⁼

(

ⁿ⁻¹⁺¹

)

^⋅ⁿ⁼ⁿ^⋅ⁿ⁼ⁿ²

Schemat punktowania:

1p. - za analogiczne poprawne przedstawienie danych przykładów liczbowych.

1 p. – za uogólnienie.

1 p. – za uzasadnienie.

Zadanie 10.

(

¹ ² ²

)

²

⁽

¹ ² ³²

⁾

² ³⁵

2 2 2

2ⁿ + ⁿ⁺¹+ ⁿ⁺⁵ = ⁿ + ¹+ ⁵ = ⁿ + + = ⁿ⋅ 14

5 2 5 7 2 2 35

2ⁿ^⋅⋅ = ⁿ⁻¹⋅ ⋅ ⋅ = ⁿ⁻¹⋅ ⋅ 35

2ⁿ⋅ jest podzielna przez 7 i 2 czyli przez 14 (poniewaŜ 35 dzieli się przez 7 , a 2ⁿ dzieli się przez 2 - ndodatnie, czyli najmniejsze n jest równe 1, co daje 2¹ =2, a przy n>1 analogicznie).

1 p. – za wyciągnięcie wspólnego czynnika przed nawias i przekształcenie do iloczynu 35 i 2ⁿ_. 1 p. – za uzasadnienie, Ŝe zawsze liczba podzielna przez 2.

1 p. – za uzasadnienie, Ŝe dana liczba jest podzielna przez 7 i cały iloczyn przez 14.

(3)

3 Zadanie 11.

8 2³ =

sz = V

6 1 1 1 2 1 1 3

1⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

naroŜa = V

Ścięto 8 naroŜników więc objętość całej bryły obliczamy

[ ]

³

3 62 6 8 1

8 dm

V_b = − ⋅ =

Powstała figura ma 14 ścian. Jest 6 kwadratów o boku równym 2dm (jako przeciwprostokątna w trójkącie prostokątnym równoramiennym o boku 1dm), a 8 trójkątów równobocznych o boku 2dm.

( )

² ² ¹² ⁴ ³ ⁴

(

³ ³

) [ ]

²

2 2 3 2 8 1 2

6 dm

P_c = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + = +

Odp. Objętość powstałej bryły wynosi ³ 3

62dm , a pole powierzchni całkowitej ⁴

(

³⁺ ³

)

^dm²^.

1 p. – za metodę obliczenia objętości 1 naroŜa.

1 p. – za metodę obliczenia objętości powstałej bryły.

1 p. – za poprawne określenie rodzaju ścian i ich ilości.

1 p. – za poprawną metodę obliczenia pola powierzchni całkowitej.

1 p. – za poprawne obliczenia w całym zadaniu i poprawną jednostkę.

(4)

4 Zadanie 12.

x – liczba wszystkich studentów

5 – liczba studentów, którzy otrzymali ocenę 5.

x 25 ,

x 6 ,

(

^x ^x

)

x− 5+0,25 +0,6 – liczba studentów, którzy otrzymali ocenę 2.

(

⁰^,⁸⁵ +⁵

)

=⁰^,¹⁵ −⁵

− x x

x – liczba studentów, którzy otrzymali ocenę 2.

( )

x

x x

x 4 0,6 3 0,15 5 2 25

, 0 5

5⋅ + ⋅ + ⋅ + − ⋅

– średnia z egzaminu wszystkich studentów

3,25 – średnia z egzaminu wszystkich studentów

( )

25 , 2 3 5 15 , 0 3 6 , 0 4 25 , 0 5

5⋅ + ⋅ + ⋅ + − ⋅ =

x

x x

x – równanie z warunków zadania

25 , 10 3 3 , 0 8 , 1

25+ + + − =

x x x x

25 , 15 3 1 ,

3 + =

x x

x x 15 3,25 1

,

3 + =

15 15 , 0 x=

=100 x

Odp. 10 studentów nie zdało egzaminu, a stypendium otrzymało 30 studentów.

1 p. – za poprawną metodę określenia liczby studentów, którzy otrzymali poszczególne stopnie z egzaminu.

1 p. – za poprawną metodę obliczania średniej z egzaminu.

1 p. – za poprawne równanie.

1 p. – za poprawne przekształcanie równania.

1 p. – za poprawne obliczenia w całym zadaniu (obie odpowiedzi).