W powyższej sytuacji będziemy mówić, że ϕX jest funkcją wielomianową

(1)

LICZENIE PUNKTÓW ROZMAITOŚCI I WIELOMIANY HALLA

NA POSTAWIE REFERATU STANISŁAWA KASJANA

1. Ogólne sformułowanie problemu

Niech X będzie schematem zdefiniowanym nad Z. Przez ϕ^X oznaczamy funkcję zdefiniowaną wzorem

ϕX(q) := |X (Fq)|.

Chcemy badać, czy ϕX ∈ Z[t] (precyzyjniej, czy istnieje F ∈ Z[t] taki, że ϕX(q) := F (q) dla każdego q). W powyższej sytuacji będziemy mówić, że ϕX jest funkcją wielomianową.

Dla przykładu zauważmy, że ϕ_A^N(q) = q^N oraz ϕ_P^N(q) = ^q^{N +1}_q−1⁻¹. Ponadto,

ϕ_GL_N(q) = (q^N − 1)(q^N − q) · · · (q^N − q^{N −1}).

Aby pokazać, że nie zawsze ϕ_X jest funkcją wielomianową, rozważ- my krzywą X daną równaniem y² = x³ + ax + b. Przypomnijmy, że jeśli krzywa X jest nieosobliwa (równoważnie 4a³ + 27b² 6= 0), to X nazywamy krzywą eliptyczna. Hasse udowodnił, że jeśli X jest krzywą eliptyczną, to

||X (Fq)| − q − 1| ≤ 2√ q.

Niech 0 ≤ θ_q ≤ π będzie takim kątem, że

|X (Fq)| − q − 1 = 2√

q cos θ_q.

Hipoteza Sato–Tata (potwierdzona dla szerokiej klasy przykładów) mó- wi, że dla dowolnych 0 ≤ α < β ≤ π,

N →∞lim

|{p ≤ N : α ≤ θ_q ≤ β}|

|{p ≤ N }| = _π² Z β

α

sin^θdθ, co wyklucza możliwość, że ϕ_X ∈ Z[t].

2. Zliczanie podmodułów

Niech Λ będzie skończenie generowaną i wolną Z-algebrą. Dla ciała k piszemy Λ^(k) := Λ ⊗_Zk. Zakładamy, że istnieje zbiór I_Λ taki, że dla każdego ciała k istnieją Λ^(k)-moduły M_i(k), i ∈ I_Λ, którą tworzą układ reprezentantów klas izomorfizmu nierozkładalnych Λ^(k)-modułów. Po- nadto żądamy, aby wymiar dim_kHom_Λ(k)(M_i(k), M_j(k)) nie zależał od

Data: 10.12.2019.

1

(2)

2 STANISŁAW KASJAN

k (tę wspólną wartość oznaczamy dim Hom(M_i, M_j)). Jeśli α : I_Λ → N, to definiujemy

Mα(k) :=M

i∈IΛ

Mi(k)^α(i).

Przykładem takiej algebry jest Λ = Z[t]/t^N. W tym przypadku, I_Λ = {1, 2, . . . , n} oraz M_i(k) := k[t]/tⁱ. Podobnie, gdy

Λ :=

Z Z

0 Z[t]/tⁿ

, to I_Λ:= {1, 2, . . . , n} × {0, 1}, oraz

M_i,0(k) := (0 → k[t]/tⁱ) i M_i,1(k) := (k −−→ k[t]/t^tⁱ⁻¹ ⁱ).

Innymi przykładami takich algebry są algebry postaci ZQ, gdzie Q jest kołczanem Dynkina.

Dla α, β, γ : I_Λ→ N i ciała k, niech

X_α,γ^β (k) := {U ≤ M_β(k) : U ' M_α(k) i M_β(k)/U ' M_γ(k)}.

Wtedy X_α,γ^β jest Z-schematem i kładziemy ϕ^βα,γ := ϕ_X^β

α,γ. Wiadomo, że jeśli Λ = Z[t]/t^N lub Λ = ZQ dla kołczanu Dynkina Q, to ϕ^βα,γ są funkcjami wielomianowymi.

3. Współczynnik wiodący Jeśli

ϕX = a_ntⁿ+ a_n−1tⁿ⁻¹+ · · · + a₀,

to z twierdzenia Langa–Weila wynika, że a_n jest liczbą składowych maksymalnego wymiaru schematu X .

4. Wielomiany Halla

Aby pokazać, że ϕ^β_α,γ są funkcjami wielomianowymi, można postę- pować następująco:

• pokazać, że ϕ^β_i,γ jest funkcją wielomianowa dla dowolnych i ∈ I_Λ oraz β, γ;

• poprzez indukcję na dim End(M_α) pokazać, że ϕ^β_α,γ jest funkcją wielomianową.

Aby wykonać krok inducyjny, załóżmy, że α = α⁰+ α⁰⁰(a więc Mα(k) = M_α⁰(k) ⊕ M_α⁰⁰(k) dla każdego k). Wtedy mamy równość

X

δ

ϕ^δ_α0,α⁰⁰ϕ^β_δ,γ =X

ρ

ϕ^β_α0,ρϕ^ρ_α00,γ, która jest konsekwencją łączności w algebrze Halla. Stąd

ϕ^β_α,γ = 1 ϕ^α_α0,α⁰⁰

X

ρ

ϕ^β_α0,ρϕ^ρ_α00,γ −X

δ6=α

ϕ^δ_α0,α⁰⁰ϕ^β_δ,γ

! .

(3)

LICZENIE PUNKTÓW ROZMAITOŚCI I WIELOMIANY HALLA 3

Z założenia indukcyjnego X

ρ

ϕ^β_α0,ρϕ^ρ_α00,γ−X

δ6=α

ϕ^δ_α0,α⁰⁰ϕ^β_δ,γ ∈ Z[t] i ϕ^α_α0,α⁰⁰ ∈ Z[t].

Korzystając z obserwacji, że jeśli F, G ∈ Q[t] oraz ^{F (m)}_G(m) ∈ Z dla nieskoń- czenie wielu m ∈ Z, to ^F_G ∈ Q[t], dostajemy, iż ϕ^βα,γ ∈ Q[t]. Ponieważ dodatkowo ϕ^α_α0,α⁰⁰ jest wielomianem unormowanym (gdyż odpowiednia rozmaitość jest nieprzywiedlna), więc ϕ^β_α,γ ∈ Z[t].

Powyższa strategia została zastosowana z powodzeniem przez Autora oraz Kosakowską w przypadku Λ :=_Z _Z

0 Z[t]/tⁿ.