Wst¦p do statystycznej analizy danych (3 inf, 2015/2016)
4. Zmienne losowe
Zad. 4.1 Niech X oznacza liczb¦ orªów w trzech rzutach monet¡.
a) Wyznacz rozkªad, dystrybuant¦ (wzór i wykres) zmiennej losowej X.
b) Oblicz P(X ≤ 1), P(X > 2), P(X = 1, 5), P(X = 1), P (2 ≤ X ≤ 3), P(X < 3).
Zad. 4.2 Wyznacz rozkªad zmiennej losowej, której dystrybuanta wyra»a si¦ nast¦puj¡- cym wzorem:
F (t) =
0, t < −1, 0.2, −1 ≤ t < 12, 0.4, 12 ≤ t < 3, 1, t ≥ 3.
Zad. 4.3 Niech X b¦dzie zmienn¡ losow¡ okre±laj¡c¡ liczba sukcesów w schemacie Ber- noullego. Obliczy¢ EX, V ar(X).
Zad. 4.4 Niech X ∼ P oiss(λ). Oblicz a) P(X = 2),
b) warto±¢ oczekiwan¡ zmiennej losowej Y = eX.
Zad. 4.5 Dobierz staªe A i B tak, aby funkcja okre±lona dla x ∈ R wzorem F (x) = A + Barctgx, byªa dystrybuant¡ zmiennej losowej X. Wyznacz g¦sto±¢ X.
Zad. 4.6 Niech X b¦dzie zmienn¡ losow¡ o g¦sto±ci f(t) = 0; t /∈ [−2, 2]
a(4 − t2); t ∈ [−2, 2].
a) Wyznacz parametr a i narysuj wykres f.
b) Wyznacz dystrybuant¦ zmiennej X i narysuj jej wykres.
c) Oblicz E(X), V ar(X).
d) Wyznacz E(3X + 2)2.
e) Oblicz prawdopodobie«stwo, »e X > 1 lub X < −1.
f) Zinterpretuj P (X < −1) na wykresie g¦sto±ci i dystrybuanty.
Zad. 4.7 Niech X ma rozkªad N(1, 2). Oblicz P(X < 0), P(X < 1), P(X > −1), P(|X| > 1).
Zad. 4.8 Wiedz¡c, »e X ma rozkªad wykªadniczy z parametrem λ > 0 i P(X < 2) = 34, znajd¹
a) dystrybuant¦ zmiennej losowej X, b) λ;
c) warto±¢ oczekiwan¡ i wariancj¦ zmiennej losowej e−X.
Zad. 4.9 Wiadomo, »e E(X + Y ) = a, E(X − Y ) = b, V ar(X − Y ) = V ar(X + Y ).
Oblicz E(XY ).
Zad. 4.10 Zmienne losowe X i Y s¡ niezale»ne i maj¡ rozkªad normalny N(0, 1). Czy zmienne losowe 2X + Y i X + 2Y s¡ niezale»ne?
1
Wst¦p do statystycznej analizy danych (3 inf, 2015/2016)
4'. Zmienne losowe - zadania do samodzielnego rozwi¡zania.
Zad. 4'.1 Z partii zawieraj¡cej 100 wyrobów, z których 10 jest wybrakowanych, losu- jemy 5 wyrobów do sprawdzenia (bez zwracania). Znale¹¢ rozkªad zmiennej losowej okre±laj¡cej liczb¦ braków w wylosowanej próbce.
Zad. 4'.2 Zmienne losowe X, Y s¡ niezale»ne i maj¡ rozkªad geometryczny z parametrem p, 0 < p < 1. Niech Z = min(X, X − Y ). Znale¹¢ P(Z = −1).
Zad. 4'.3 Wyznacz rozkªad zmiennej losowej, której dystrybuanta wyra»a si¦ nast¦pu- j¡cym wzorem:
a)
F (t) =
0, t < −12, 0.3, −12 ≤ t < 3, 0.6, 3 ≤ t < 3.5, 1, t ≥ 3.5.
b)
F (t) =
0, t < −2, 0.2, −2 ≤ t < 1.5, 0.7, 1.5 ≤ t < 5, 1, t ≥ 5.
Zad. 4'.4 Niech X oznacza ilo±¢ reszek w rzutach czterema monetami. Wyznacz:
a) rozkªad zmiennej losowej X,
b) warto±¢ oczekiwan¡ i wariancj¦ zmiennej losowej X, c) dystrybuant¦ (wzór i wykres) tej zmiennej losowej.
Zad. 4'.5 Do trzech kolorowych pudeªek (czerwone, niebieskie, zielone) wkªadamy 3 ko- lorowe piªki (czerwon¡, niebiesk¡, zielon¡). Ka»da piªka musi tra ¢ do dokªadnie jednego pudeªka. Kolor pudeªek, do których wkªadamy piªki nie jest znany w trak- cie do±wiadczenia. Niech X b¦dzie zmienn¡ losow¡ okre±laj¡c¡ ilo±¢ prawidªowych przyporz¡dkowa« kul do pudeªek pod wzgl¦dem kolorów. Wyznacz:
a) rozkªad zmiennej losowej X,
b) warto±¢ oczekiwan¡ i wariancj¦ zmiennej losowej X, b) dystrybuant¦ (wzór i wykres) tej zmiennej losowej.
Zad. 4'.6 W pudeªku znajduj a si e trzy ponumerowane od 1 do 3 »etony. Gracz losuje trzykrotnie »eton bez zwracania. Zdobywa tyle punktów, w ilu przypadkach numer
»etonu zgadza si e z numerem losowania. Wyznacz:
a) rozkªad zmiennej losowej X, okre±laj¡cej liczb¦ zdobytych punktów, b) warto±¢ oczekiwan¡ i wariancj¦ zmiennej losowej X,
b) dystrybuant¦ (wzór i wykres) tej zmiennej losowej.
2
Wst¦p do statystycznej analizy danych (3 inf, 2015/2016)
Zad. 4'.7 Niech X ma rozkªad N(4, 16). Oblicz:
a) P(X > −1), b) P(|X| < 6).
Zad. 4'.8 Niech X ma rozkªad N(3, 9). Oblicz:
a) P(X > −2), b) P(|X| < 5).
Zad. 4'.9 Zmienna losowa X ma g¦sto±¢ f(x) = α(x2− 1)1(−2,2)(x). a) Wyznacz dystrybuant¦ zmiennej X.
b) Wyznacz parametr α.
c) Oblicz warto±¢ oczekiwan¡ zmiennej (1 − X)2. d) Oblicz P (X > 0).
Zad. 4'.10 Zmienna losowa X ma g¦sto±¢ dan¡ wzorem:
f (x) = ax(x − 3)
1
(0,3)(x).(a) Wyznacz parametr a i narysuj wykres g¦sto±ci.
(b) Wyznacz dystrybuant¦ zmiennej X i narysuj jej wykres.
(c) Oblicz warto±¢ oczekiwan¡ zmiennej (X − 1)2. (d) Oblicz P (X > 1).
Zad. 4'.11 Zmienna losowa X ma g¦sto±¢ f(x) = α(−x2+ x + 2)1(−1,2)(x). a) Wyznacz dystrybuant¦ zmiennej X.
b) Wyznacz parametr α.
c) Oblicz warto±¢ oczekiwan¡ zmiennej (2X − 3)2. d) Oblicz P (X > 1).
Zad. 4'.12 Zmienna losowa X ma g¦sto±¢ f(x) = αxα−1, x ∈ (0, 1),
0, w p.p. .
a) Wyznacz dystrybuant¦ zmiennej losowej X.
b) Wyznacz parametr α.
c) Oblicz wariancj¦ zmiennej X oraz warto±¢ oczekiwan¡ zmiennej (1 − X)2. d) Oblicz P (X > 12).
Zad. 4'.13 Znajd¹ warto±¢ oczekiwan¡ pola prostok¡ta, którego obwód jest równy 20, a jeden bok jest zmienn¡ losow¡ X o rozkªadzie jednostajnym na [1, 10].
Zad. 4'.14 Znajd¹ warto±¢ oczekiwan¡ pola trójk¡ta, którego wysoko±¢ jest dwa razy krótsza ni» podstawa b¦d¡ca zmienn¡ losow¡ X o rozkªadzie U[1, 4].
3
