Wstęp do statystycznej analizy danych
4. Zmienne losowe
Zad. 4.1 Niech X oznacza liczbę orłów w trzech rzutach monetą.
a) Wyznacz rozkład, dystrybuantę (wzór i wykres) zmiennej losowej X.
b) Oblicz P(X ≤ 1), P(X > 2), P(X = 1, 5), P(X = 1), P (2 ≤ X ≤ 3), P(X < 3).
Zad. 4.2 Wyznacz rozkład zmiennej losowej, której dystrybuanta wyraża się następują- cym wzorem:
F (t) =
0, t < −1, 0.2, −1 ≤ t < 12, 0.4, 12 ≤ t < 3, 1, t ≥ 3.
Zad. 4.3 Niech X będzie zmienną losową określającą liczba sukcesów w schemacie Ber- noullego. Obliczyć EX, V ar(X).
Zad. 4.4 Niech X ∼ P oiss(λ). Oblicz a) P(X = 2),
b) wartość oczekiwaną zmiennej losowej Y = eX.
Zad. 4.5 Dobierz stałe A i B tak, aby funkcja określona dla x ∈ R wzorem F (x) = A + Barctgx, była dystrybuantą zmiennej losowej X. Wyznacz gęstość X.
Zad. 4.6 Niech X będzie zmienną losową o gęstości f (t) = 0; t /∈ [−2, 2]
a(4 − t2); t ∈ [−2, 2].
a) Wyznacz parametr a i narysuj wykres f .
b) Wyznacz dystrybuantę zmiennej X i narysuj jej wykres.
c) Oblicz E(X), V ar(X).
d) Wyznacz E(3X + 2)2.
e) Oblicz prawdopodobieństwo, że X > 1 lub X < −1.
f) Zinterpretuj P (X < −1) na wykresie gęstości i dystrybuanty.
Zad. 4.7 Niech X ma rozkład N (1, 2). Oblicz P(X < 0), P(X < 1), P(X > −1), P(|X| > 1).
Zad. 4.8 Wiedząc, że X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ > 0 i P(X < 2) = 34, znajdź
a) dystrybuantę zmiennej losowej X, b) λ;
c) wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej e−X.
Zad. 4.9 Wiadomo, że E(X + Y ) = a, E(X − Y ) = b, V ar(X − Y ) = V ar(X + Y ).
Oblicz E(XY ).
Zad. 4.10 Zmienne losowe X i Y są niezależne i mają rozkład normalny N (0, 1). Czy zmienne losowe 2X + Y i X + 2Y są niezależne?
1
Wstęp do statystycznej analizy danych
4’. Zmienne losowe - zadania do samodzielnego rozwiązania.
Zad. 4’.1 Z partii zawierającej 100 wyrobów, z których 10 jest wybrakowanych, losu- jemy 5 wyrobów do sprawdzenia (bez zwracania). Znaleźć rozkład zmiennej losowej określającej liczbę braków w wylosowanej próbce.
Zad. 4’.2 Zmienne losowe X, Y są niezależne i mają rozkład geometryczny z parametrem p, 0 < p < 1. Niech Z = min(X, X − Y ). Znaleźć P(Z = −1).
Zad. 4’.3 Wyznacz rozkład zmiennej losowej, której dystrybuanta wyraża się następu- jącym wzorem:
a)
F (t) =
0, t < −12, 0.3, −12 ≤ t < 3, 0.6, 3 ≤ t < 3.5, 1, t ≥ 3.5.
b)
F (t) =
0, t < −2, 0.2, −2 ≤ t < 1.5, 0.7, 1.5 ≤ t < 5, 1, t ≥ 5.
Zad. 4’.4 Niech X oznacza ilość reszek w rzutach czterema monetami. Wyznacz:
a) rozkład zmiennej losowej X,
b) wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X, c) dystrybuantę (wzór i wykres) tej zmiennej losowej.
Zad. 4’.5 Do trzech kolorowych pudełek (czerwone, niebieskie, zielone) wkładamy 3 ko- lorowe piłki (czerwoną, niebieską, zieloną). Każda piłka musi trafić do dokładnie jednego pudełka. Kolor pudełek, do których wkładamy piłki nie jest znany w trak- cie doświadczenia. Niech X będzie zmienną losową określającą ilość prawidłowych przyporządkowań kul do pudełek pod względem kolorów. Wyznacz:
a) rozkład zmiennej losowej X,
b) wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X, b) dystrybuantę (wzór i wykres) tej zmiennej losowej.
Zad. 4’.6 W pudełku znajduj¸a si¸e trzy ponumerowane od 1 do 3 żetony. Gracz losuje trzykrotnie żeton bez zwracania. Zdobywa tyle punktów, w ilu przypadkach numer żetonu zgadza si¸e z numerem losowania. Wyznacz:
a) rozkład zmiennej losowej X, określającej liczbę zdobytych punktów, b) wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X,
c) dystrybuantę (wzór i wykres) tej zmiennej losowej.
2
Wstęp do statystycznej analizy danych
Zad. 4’.7 Niech X ma rozkład N (4, 16). Oblicz:
a) P(X > −1), b) P(|X| < 6).
Zad. 4’.8 Niech X ma rozkład N (3, 9). Oblicz:
a) P(X > −2), b) P(|X| < 5).
Zad. 4’.9 Zmienna losowa X ma gęstość f (x) = α(x2− 1)1(−1,1)(x).
a) Wyznacz dystrybuantę zmiennej X.
b) Wyznacz parametr α.
c) Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej (1 − X)2. d) Oblicz P (X > 0).
Zad. 4’.10 Zmienna losowa X ma gęstość daną wzorem:
f (x) = ax(x − 3)
1
(0,3)(x).(a) Wyznacz parametr a i narysuj wykres gęstości.
(b) Wyznacz dystrybuantę zmiennej X i narysuj jej wykres.
(c) Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej (X − 1)2. (d) Oblicz P (X > 1).
Zad. 4’.11 Zmienna losowa X ma gęstość f (x) = α(−x2+ x + 2)1(−1,2)(x).
a) Wyznacz dystrybuantę zmiennej X.
b) Wyznacz parametr α.
c) Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej (2X − 3)2. d) Oblicz P (X > 1).
Zad. 4’.12 Zmienna losowa X ma gęstość f (x) = αxα−1, x ∈ (0, 1),
0, w p.p. .
a) Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej X.
b) Wyznacz parametr α.
c) Oblicz wariancję zmiennej X oraz wartość oczekiwaną zmiennej (1 − X)2. d) Oblicz P (X > 12).
Zad. 4’.13 Znajdź wartość oczekiwaną pola prostokąta, którego obwód jest równy 20, a jeden bok jest zmienną losową X o rozkładzie jednostajnym na [1, 10].
Zad. 4’.14 Znajdź wartość oczekiwaną pola trójkąta, którego wysokość jest dwa razy krótsza niż podstawa będąca zmienną losową X o rozkładzie U [1, 4].
3
