Czy mo˙zna rozwi¸aza´c to zadanie inaczej? Zadanie 3

ALGEBRA I R

Kartkowka I Javier de Lucas

Zadanie 1. (1 punkt) Dane wielomiany o wsp´o lczynnikach zespolonych P₁(X) := X⁴+ (a − 1)X³+ (b − a − 6)X²+ (−b − 6a)X − 6b.

i

P₂(X) := X²− 2X + 2, ustal a, b ∈ R, ˙zeby P1(X) b¸edzie podzielny przez P₂(X).

Zadanie 2. (1.25 punkt) Za pomoc¸a algorytmu Euklidesa dla wielomian´ow, znajd´z najwi¸ekszy wsp´olny dzielnik mi¸edzy wielomianami

P₁(X) := X⁵− 5X⁴− 15X³+ 125X²− 226X + 120, P₂(X) := X⁴+ 2X³− 13X²− 14X + 24.

Czy mo˙zna rozwi¸aza´c to zadanie inaczej?

Zadanie 3. (1.25 punkt) Udowodnij, ˙ze

sin^2mϕ = 1 2^2m−1

"

1 2

 2m m

 +

m

X

k=1

 2m m − k



(−1)^kcos(2kϕ)

# .

Zadanie^? 4. (0.5 punkt´ow) Niech k b¸edzie dodatni¸a liczb¸a ca lkowit¸a. Niech P (X) = Pn

α=0a_αX^α b¸edzie wielomianem takim, ˙ze a_α ∈ {−1, 0, 1} i P (X) jest podzielny przez (X − 1)^k. Niech q b¸edzie liczb¸a pierwsz¸a tak¸a, ˙ze _log(q)^q < _log(n+1)^k Udowodnij, ˙ze ka˙zda liczba w ∈ C taka, ˙ze w^q= 1, jest pierwiastkiem wielomianu P (X).

Prosz¸e odda´c mi rozwi¸azania do 3 listopada. Przypominam, ˙ze mo˙zna dosta´c a˙z do 4 punkt´ow za aktywno´s´c. Ostateczna ocena za aktywno´s´c to ´srednia wsr´od oce´n kartk´owek.

1