• Nie Znaleziono Wyników

1. Niech A będzie grupą przemienną skończona, a ∈ A oraz l ∈ Z.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "1. Niech A będzie grupą przemienną skończona, a ∈ A oraz l ∈ Z."

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

ALGEBRA 1B, Lista 7

Niech P będzie zbiorem liczb pierwszych.

1. Niech A będzie grupą przemienną skończona, a ∈ A oraz l ∈ Z.

Udowodnić, że

rząd(a) = rząd(la) · NWD(l, rząd(a)).

2. Niech A będzie skończoną grupą przemienną. Udowodnić, że A jest izomorficzna z grupą postaci

Y

p∈P,i∈N

(Z

pi

)

ap,i

,

gdzie prawie wszystkie a

p,i

są równe 0.

3. Udowodnić, że jeśli istnieje poniższy izomorfizm grup skończonych

Y

p∈P,i∈N

(Z

pi

)

ap,i

=

Y

p∈P,i∈N

(Z

pi

)

bp,i

,

to dla każdych p ∈ P, i ∈ N mamy a

p,i

= b

p,i

. 4. Czy grupy Z

24

× Z

36

i Z

48

× Z

18

są izomorficzne?

5. Znaleźć przykład A E B E G takich, że A 5 G.

6. Niech f : G → H będzie homomorfizmem, N E G i π : G → G/N będzie homomorfizmem ilorazowym. Udowodnić, ze jeśli N ⊆ ker(f ), to istnieje jedyny homomorfizm f

N

: G/N → H taki, że f = f

N

◦ π.

7. Udowodnić, że jeśli f : G → H jest homomorfizmem i H

2

E H

1

6 H, to wtedy

f

−1

(H

1

)/f

−1

(H

2

) ∼ = H

1

/H

2

. 8. Udowodnić, że:

(a) Dla n > 3 grupa A

n

jest generowana przez zbiór wszystkich cykli długości 3.

(b) Dla n > 1 mamy (S

n

)

0

= A

n

. (c) Dla n > 5 mamy (A

n

)

0

= A

n

.

9. Niech G bedzie grupą i S ⊆ G. Udowodnić, że jeśli dla każdego g ∈ G mamy gSg

−1

⊆ hSi, to hSi E G.

1

Cytaty

Powiązane dokumenty

[r]

[r]

Charakterystyka pierścienia i ciała, ciała proste i klasyfikacja ciał

[r]

Wówczas l(Hu) ≤ n, istnieje więc reprezentant b warstwy Hu taki, że każdy początkowy segment b jest również reprezentantem... Dowód prowadzimy przez indukcję ze względu

Istnieją grupy skończone, w których iloczyn dwóch komutatorów może nie być równy żadnemu komutatorowi..

(15) Dowieść, że część wspólna wszystkich p-podgrup Sylowa grupy G jest jej podgrupą normalną.. (Wskazówka: Zauważyć, że jeśli H < G, to T{g −1 Hg : g ∈ G}

[r]