• Nie Znaleziono Wyników

3. Rzucono 1000 razy kostką. Znaleźć prawdopodobieństwo, że suma oczek będzie zawarta między 3410 a 3590?

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "3. Rzucono 1000 razy kostką. Znaleźć prawdopodobieństwo, że suma oczek będzie zawarta między 3410 a 3590?"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

rachunek prawdopodobieństwa matematyka zawodowa III rok

lista 19

1. Prawdopodobieństwo pojawienia się zdarzenia w jednym doświadczeniu wynisi 0, 3. Z jakim prawdopodobieństwem można twierdzić, że częstość tego zdarzenia przy 100 doświadczeniach będzie zawarta w granicach od 0, 2 do 0, 4?

2. Józio założył się z Olkiem, że w 100 rzutach kostką uzyska w sumie nie mniej niż 400 oczek i w tym celu rozpoczął ćwiczenia. Ile serii po 100 rzutów musi średnio wykonać, żeby doczekać się takiego wyniku?

3. Rzucono 1000 razy kostką. Znaleźć prawdopodobieństwo, że suma oczek będzie zawarta między 3410 a 3590?

4. Na poczcie pojawia się 100 klientów dziennie, każdy z nich dokonuje wpłaty (bądź wypłaty) X i , i = 1, 2, . . . 100, gdzie X i są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie, zerowej średniej i wariancji równej 100 2 . Ile gotówki należy mieć w kasie rano, by z prawdopodobieństwem 0, 99 na koniec dnia nie zabrakło pieniędzy?

Zakładamy, że w ciągu dnia ewentualne braki uzupełnia naczelnik, ale wieczorem chce odzyskać swoje pieniądze.

5. W Polsce jest 24, 6 mln podatników i każdy z nich myli się przy wypełnianiu zeznanania podatkowego. Wartość błędu dla i-tego podatnika jest zmienna losową X i , gdzie E(X i ) = 0 i D 2 (X i ) = 10000 , czyli D(X i ) = 100 (zło- tych); ponadto zakładamy niezależność X i . Jaka jest szansa, że straty państwa w wyniku tych błędów przekroczą 1 grosz na podatnika? A 3 grosze?

6. Zmienne losowe X 1 , X 2 , . . . , są niezależne i P (X k = k) = P (X k = −k) = 1 2 . Niech s 2 n =

n

P

k=1

D 2 (X k ). Zbadać zbieżność według rozkładu ciągu

X 1 + X 2 + . . . + X n s n

.

7. Zmienna losowa X λ ma rozkład Poissona z parametrem λ. Zbadać zbieżność według rozkładu zmiennych losowych

(X √

λ

−λ)

λ dla λ → ∞.

8. Dane są ciągi {X n } i {Y n } niezależnych zmiennych losowych, przy czym P (X n = n 1

α

) = P (X n = − n 1

α

) = p, P (X n = 0) = 1 − 2p, 0 < p < 1 2 , 1 3 < α ≤ 1 2 , P (Y n = √

n) = P (Y n = − √

n) = 1 2 . Dowieść, że każdy z tych ciągów spełnia CTG.

9. Funkcja p(x) = 1 3 dla x ∈ (−1, 0), p(x) = 2 3 dla x ∈ [0, 1) i p(x) = 0 dla x / ∈ (−1, 1) jest gęstością każdej z niezależnych zmiennych losowych X 1 , X 2 , . . . Znaleźć przybliżoną wartość prawdopodobieństwa P (S n < 13) dla n = 60.

10. Każda z niezależnych zmiennych losowych X 1 , X 2 , . . . X n ma ten sam rozkład oraz wariancję równą 5.

a) Znaleźć prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna tych zmiennych S n

n

różni się dla n = 4500 o co najwyżej 0, 04 od wartości średniej a = E(X 1 ).

b) Ile zmiennych losowych X k trzeba wziąć, aby z prawdopodobieństwem nie mniejszym od 0, 9974 różnica

| S n

n

− a| nie przekraczała 0, 01?

11. Zmienne losowe X 1 , X 2 , . . . są niezależne, mają ten sam rozkład i E(X 1 ) = 0, D 2 (X 1 ) = 1. Wykazać, że U n =

√ n(X 1 + . . . + X n )

X 1 2 + . . . + X n 2 −→ N (0, 1)

Cytaty

Powiązane dokumenty

15. Przy okrągłym stole usiadło dziesięć dziewcząt i dziesięciu chłopców. Jaka jest szansa, że osoby tej samej płci nie siedzą obok siebie? Jakie jest prawdopodobieństwo,

Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana osoba jest chora, jeśli test tej osoby dał wynik

Określić prawdopodobieństwo, że liczba celnych strzałów będzie się różnic o nie więcej niż 0,1 od ogólnej liczby strzałów.. Prawdopodobieństwo pojawienia się zdarzenia

7. W n rozróżnialnych komórkach rozmieszczono losowo r nierozróżnialnych cząstek, zakładamy, że wszystkie możliwe rozmieszczenia są jednakowo prawdopodobne. Jaka jest szansa,

Z jakim prawdopodobieństwem można twierdzić, że częstość tego zdarzenia przy 100 doświadczeniach będzie zawarta w granicach od 0,2 do 0,4?. Na campusie uniwersyteckim sa

3. Rzucamy dwiema kostkami. Obliczyć prawdopodobieństwo, że iloczyn liczb równych wyrzuconym oczkom jest liczbą parzystą... 5. Losujemy 2 kule bez zwracania. Udowodnić,

Ile miejsc należy przygotować w każdej restauracji, by powyższe prawdopodobieństwo było mniejsze od 0,001.. Prawdopodobieństwo pojawienia się zdarzenia w jednym doświadczeniu

8. W n rozróżnialnych komórkach rozmieszczono losowo r nierozróżnialnych cząstek, zakładamy, że wszystkie możliwe rozmieszczenia są jednakowo prawdopodobne. Jaka jest szansa,