• Zadanie 2. Wyznaczy´ c i zbada´ c punkty krytyczne funkcji f : R

(1)

Zadania z analizy II. Seria 3

• Zadanie 1. Znale´ z´ c wszystkie wielomiany stopnia 2, spe lniaj¸ ace 2-wymiarowe r´ ownanie Laplace’a.

• Zadanie 2. Wyznaczy´ c i zbada´ c punkty krytyczne funkcji f : R

ⁿ₊

→ R, zadanej wzorem

f (x) = x

₁

· x

2

· . . . · x

n

+ 1 x

1

+ 2 x

2

+ . . . + n x

n

.

• Zadanie 3. Znale´ z´ c odleg lo´ s´ c punktu (0, 0, 0) od powierzchni okre´ slonej r´ ownaniem

z = 1 xy .

• Zadanie 4. Znale´z´ c i zbada´ c punkty krytyczne funkcji (x, y) 7→ z(x, y), zadanej niejawnie r´ ownaniem

1 2 (x

²

+ y

²

)z

³

+ xyz

²

+ z − 2 = 0.

• Zadanie 5. Jak w zadaniu 4, ale funkcja z zadana jest r´ ownaniem 1

2 (x

²

+ y

²

)z

³

+ xyz

²

+ 1 = 0.

• Zadanie 6. Znale´z´ c pochodn¸ a odwzorowania (x, y) 7→ (u, v) w punkcie (x, y, u, v) = (1, 2, 3, 4), zadanego r´ ownaniem F (x, y, u, v) = 0, gdzie F : R

⁴

→ R

²

dane jest przez

F (x, y, u, v) = (x + y + u + v − 10, x

²

+ y

²

+ u

²

+ v

²

− 30).

• Zadanie 7. Znale´z´c punkty krytyczne funkcji f : S → R, je´sli f (x, y, z) = (x − 2y)z, S = {(x, y, z) ∈ R

³

: 3x

²

+ 5y

²

+ 30z

²

= 32}. Zbada´ c jeden z punkt´ ow krytycznych.

• Zadanie 8. Stosuj¸ ac metod¸ e mno˙znik´ ow Lagrange’a, znale´ z´ c najmniejsz¸ a i najwi¸ eksz¸ a warto´ s´ c funkcji f (x, y, z) = x + 2y + 3z na zbiorze B = {(x, y, z) ∈ R

³

: x

²

+ y

²

≤ z ≤ 1}. Zbada´ c jeden ze znalezionych punkt´ ow krytycznych, obliczaj¸ ac pochodne rz¸ edu 2.

1