Streszczenie rozprawy doktorskiej

Instytut Badań Systemowych Polskiej Akademii Nauk

Streszczenie rozprawy doktorskiej

Wyznaczanie oceny grupowej z uwzględnieniem obiektów równowaŜnych i nieporównywalnych

mgr inŜ. Hanna Bury

Promotor

prof. nadzw. dr hab. inŜ. Wiesław Krajewski

Warszawa 2015

1. Wprowadzenie

Podejmowanie decyzji i dokonywanie wyborów jest niezbędnym elementem działania ludzi. MoŜe mieć charakter społeczno-polityczny (przykładem są wybory parlamentarne, przywódców politycznych i innych), ekonomiczny (jeŜeli podejmowane są decyzje odnośnie ogólnie rozumianego rozdziału nakładów, wyboru scenariuszy rozwoju, najlepszych projektów badawczych itp.) bądź osobisty (kiedy dotyczy wyborów konsumenckich, kariery Ŝyciowej i innych). Praktycznie kaŜde z tych działań wymaga agregacji szeroko pojętych preferencji.

W niektórych przypadkach problem wyboru moŜna sprowadzić do zadania wyznaczenia najlepszego – w sensie przyjętego kryterium (zbioru kryteriów) – elementu danego zbioru, spełniającego określone warunki. JeŜeli kryteria wyboru mogą być sformalizowane, a dostępne informacje pozwalają na skonstruowanie funkcji celu oraz ograniczeń, moŜna sformułować zadanie optymalizacji a następnie rozwiązywać je za pomocą metod programowania matematycznego.

W sytuacji, gdy rozwaŜany problem decyzyjny nie moŜe być łatwo sformalizowany, kryteria oceny są złoŜone bądź określone tylko intuicyjnie a ponadto nie wszystkie informacje dotyczące problemu są znane (lub w ogóle ich brak), rozwiązaniem moŜe być zasięgnięcie opinii ekspertów. MoŜe to mieć miejsce zarówno w przypadku braku wystarczających informacji (na przykład przy prognozowaniu wydarzeń dotyczących odległej przyszłości) – wówczas zaproszeni eksperci wspierają proces decyzyjny swoją wiedzą, doświadczeniem czy intuicją, jak teŜ ich nadmiaru i trudności dokonania wyboru najlepszego (w sensie, jak wyŜej) obiektu. Na podstawie opinii ekspertów wybierany jest najlepszy obiekt (najlepsze obiekty).

W klasycznych metodach wyznaczania oceny grupowej (preferencji zagregowanej) zakłada się, Ŝe decydenci są w stanie ocenić bądź porównać ze sobą wszystkie rozwaŜane opcje oraz, Ŝe w ocenie grupowej nie mogą występować obiekty równowaŜne.

W praktyce wspomniane załoŜenia nie zawsze mogą być spełnione. W sytuacjach

rzeczywistych zdarza się, Ŝe zbiór ocenianych obiektów bądź kryteriów oceny lub zbiór

ekspertów jest niejednorodny, co utrudnia ocenę. Przykładem moŜe być ranking przeglądarek

internetowych, ranking projektów badawczych ocenianych pod kątem kryteriów

merytorycznych, ekonomicznych i innych, porównanie atrakcyjnych, w sensie

geograficznym, klimatycznym etc. miejscowości wypoczynkowych. Kompetencje ekspertów

mogą dotyczyć pewnego podzbioru zbioru obiektów bądź wybranych kryteriów oceny. Z tego względu uwzględnienie w opiniach ekspertów i w ocenie grupowej moŜliwości występowania zarówno równowaŜności, jak i nieporównywalności obiektów w istotny sposób rozszerza klasę rozwaŜanych problemów.

Warto zauwaŜyć, Ŝe z punktu widzenia eksperta równowaŜność obiektów jest zasadniczo róŜna od ich nieporównywalności. Sytuacja, w której ekspert nie ocenia tych obiektów, do oceny których nie czuje się powołany bądź uwaŜa, Ŝe danych obiektów nie moŜna ze sobą porównywać ze względu na przyjęte kryterium (kryteria), jest róŜna od przypadku, kiedy ekspert dokonując oceny obiektów uwaŜa, Ŝe są one jednakowo dobre (równowaŜne) w sensie przyjętego kryterium (kryteriów).

Przedmiotem pracy jest zagadnienie wyznaczania oceny grupowej w sytuacji, gdy eksperci nie zawsze są w stanie określić relację ścisłej preferencji między obiektami, tzn.

w ocenach ekspertów mogą występować zarówno obiekty równowaŜne, jak i nieporównywalne oraz gdy obiekty równowaŜne i/ lub nieporównywalne mogą występować w ocenie grupowej.

Teza pracy

Zastosowanie analizy relacyjnej do modelowania preferencji ekspertów umoŜliwia jednolity zapis preferencji w postaci binarnych relacji porządku, co pozwala na uwzględnienie obiektów równowaŜnych i nieporównywalnych zarówno w opiniach ekspertów, jak i w ocenie grupowej.

Celem pracy

jest sformułowanie relacyjnego modelu preferencji ekspertów z wykorzystaniem binarnych

macierzy porównań parami. Paradygmat relacji binarnych umoŜliwia modelowanie

równowaŜności i nieporównywalności obiektów w opiniach ekspertów, jak równieŜ w ocenie

grupowej oraz sformułowanie zadania wyznaczania oceny grupowej (nazywanej równieŜ

relacją preferencji zagregowanej) jako problemu optymalizacji zero-jedynkowej. Takie

podejście umoŜliwia wprowadzenie explicite ograniczeń na postać oceny grupowej,

szczególnie dotyczących przechodniości (lub spójności bądź antysymetryczności). Jego wadą

jest złoŜoność obliczeniowa problemu.

2. Podstawowe pojęcia i definicje

Przyjmujemy, Ŝe dany jest zbiór ekspertów (decydentów) K ={1, …, K}, |K | = K, zadaniem których jest uporządkowanie – w sensie określonego kryterium lub zbioru kryteriów – pewnego zbioru obiektów (opcji, wariantów itp.) O = {O

, O

, …, O

}, |O | = n, bądź znalezienie obiektu najlepszego.

Opinie ekspertów podawane są w skali porządkowej; T

oznacza uporządkowanie podane przez eksperta o numerze k, zaś T oznacza pewne uporządkowanie.

Ten sposób formułowania opinii stawia przed ekspertami mniejsze wymagania niŜ w przypadku ocen obiektów w skali liczbowej. Zadaniem eksperta jest wskazanie właściwej – jego zdaniem – kolejności obiektów lub dokonanie porównań obiektów parami.

2.1. Porównania obiektów parami

Przyjęto, Ŝe zarówno opinie ekspertów, jak i ocena grupowa są przedstawiane w postaci porównań parami. JeŜeli liczba ocenianych obiektów jest znaczna, uszeregowanie ich we właściwej (zdaniem eksperta) kolejności moŜe być kłopotliwe. W takiej sytuacji eksperci mogą dokonywać porównań obiektów parami. Porównywanie jedynie par obiektów znacząco ułatwia proces oceny. Jego wadą jest moŜliwość nieprzechodniości opinii ekspertów.

Macierze porównań obiektów parami stanowią wygodne narzędzie zapisu opinii ekspertów, ułatwiają równieŜ uwzględnianie obiektów nieporównywalnych i równowaŜnych Zapis ten jest uniwersalny, w tym sensie, Ŝe opinia przedstawiona w postaci uporządkowania zawsze moŜe być zapisana w postaci macierzy porównań parami (przejście odwrotne, z uwagi na moŜliwość nieprzechodniości ocen ekspertów podawanych w postaci porównań parami bądź obecność obiektów nieporównywalnych, nie zawsze jest wykonalne).

Wprowadzamy następujące oznaczenia:

j k

i

O

O f , jeŜeli ekspert k ściśle preferuje obiekt O

względem O

,

j k

i

O

O ≈ , jeŜeli ekspert k jest indyferentny względem obiektów O

oraz O

, to znaczy, Ŝe uwaŜa te obiekty za równowaŜne,

j k

i

O

O p , jeŜeli ekspert k ściśle preferuje obiekt O

względem O

,

j k

i

O

O || , jeŜeli zdaniem eksperta k obiekty O

i O

są nieporównywalne, tzn. nie moŜe on

stwierdzić, czy preferuje jeden obiekt względem drugiego ani teŜ czy obydwa obiekty uwaŜa za równowaŜne.

Definicję klasycznej macierzy porównań parami podali Kemeny i Snell [10]. ZałoŜyli, Ŝe wszystkie obiekty są porównywane oraz, Ŝe obiekty równowaŜne mogą występować w opiniach ekspertów, natomiast nie są dopuszczalne w ocenie grupowej. Macierz ta, podawana przez eksperta o numerze k, ma następującą postać

Definicja

] [

k

= a

A , gdzie

 



 



−

≈

=

j k i

j k i

j k i k

ij

O O

O O

O O a

p f

jeŜeli 1

jeŜeli 0

jeŜeli 1

. (1)

Zazwyczaj przyjmuje się, Ŝe a

= 0 , i = 1, ..., n. (2) Na podstawie indywidualnych opinii podanych w postaci macierzy porównań parami A

(1) wyznaczana jest macierz rozkładu głosów ekspertów L – outranking matrix [17].

Elementy tej macierzy są określane następująco: dla kaŜdej pary rozpatrywanych obiektów (O

, O

) , i, j = 1, …, n podawana jest liczba ekspertów l

, których zdaniem obiekt O

jest lepszy w sensie przyjętego kryterium od obiektu O

oraz liczba ekspertów l

mających opinię przeciwną. W przypadku ogólnym, gdy w opiniach ekspertów występują obiekty równowaŜne spełniona jest zaleŜność

l

+ l

+m

= K, (3)

gdzie m

oznacza liczbę ekspertów, którzy uznali obiekty O

i O

za równowaŜne, zaś K oznacza liczbę ekspertów.

JeŜeli w ocenach ekspertów mogą występować obiekty równowaŜne zazwyczaj przyjmuje się – aby była spełniona równość (3) – Ŝe w porównaniach parami kaŜdy z obiektów równowaŜnych otrzymuje ½ głosu eksperta. W macierzy rozkładu głosów ekspertów występują więc elementy l

oraz l

lub elementy

ij ji

ji ij

ij

ij

l m l l m

l ~ 0 . 5

, 5 .

~ 0

+

= +

= (4)

L=

0 0

0

2 1

2 1

2 2

1 2

1 1

2 1

L M O M M M

L L L

n n n

n n n

l l O

l l

O

l l

O

O O

O

, (5)

gdzie 1 | , 1 | . 2

| 1

1 0 1

0 1

1 ij

K

k a K

k a K

k a k ij

ij

a m

l

ij k

ij k

ij

= +

= ∑ ∑ ∑

=

=

=

=

=

=

(6)

Macierz ta odgrywa waŜną rolę w procesie wyznaczania oceny grupowej. Stanowi podstawę metod condorcetowych (w tym metody mediany Kemeny’ego). Przechodniość (lub jej brak) macierzy L określa własności oceny grupowej wyznaczanej za pomocą metody większościowej (majority rule), w szczególności pozwala stwierdzić, czy preferencja zagregowana ma charakter cykliczny.

2.2. Binarne macierze porównań parami

Bury i Wagner [3] zaproponowali zdefiniowanie binarnej macierzy porównań parami do opisu przypadków ścisłej preferencji (O

f O

lub O

p O

), równowaŜności oraz nieporównywalności obiektów. Przyjęto, Ŝe podane sytuacje wyczerpują moŜliwe zaleŜności między obiektami, quintum non datur.

Macierz B = [b

] jest definiowana następująco.

Definicja

JeŜeli

 



 





≈

j i

j i

j i

j i

O O

O O

O O

O O

||

p f

, to

0 ,

0

1 ,

0

1 ,

1

0 ,

1

=

=

=

=

=

=

=

=

ji ij

ji ij

ji ij

ji ij

b b

b b

b b

b b

, b

= 1 . (7)

Analogicznie, jak w poprzednio, na podstawie binarnych macierzy porównań parami jest wyznaczana macierz L

będącą odpowiednikiem macierzy rozkładu głosów ekspertów L.

Niech l

oznacza liczbę ekspertów, których zdaniem obiekt O ~

f O

. Z definicji (7) mamy

j i j

i k

ij

O O O O

b = 1 dla f lub ≈ .

Stąd ∑

=

=

K

k k ij ij

B

b

l

1

. (8)

NaleŜy zauwaŜyć, Ŝe w przypadku ogólnym l

+ l

≠ K .

JeŜeli relacje między obiektami mają charakter ścisłej preferencji, wówczas macierze

rozkładu głosów ekspertów L oraz L

otrzymane na podstawie klasycznych oraz binarnych

macierzy porównań parami są zgodne. W przypadku występowania obiektów równowaŜnych

macierze L oraz L

róŜnią się. (Ze względu na fakt, Ŝe macierz L jest definiowana jedynie dla

obiektów porównywalnych, próby zestawiania macierzy L oraz L

w przypadku obiektów nieporównywalnych nie mają sensu).

2.3. Relacje preferencji

Relacja preferencji jest szczególnym przypadkiem relacji binarnej. Zazwyczaj przyjmowane jest załoŜenie, Ŝe jest to relacja porządkująca, tzn. zwrotna, spójna i przechodnia. ZałoŜenie o przechodniości relacji preferencji jest wyrazem oczekiwania racjonalności działania ekspertów oraz moŜliwości wyznaczenia oceny grupowej. W praktyce opinie ekspertów często nie są przechodnie i wyznaczenie na ich podstawie przechodniej i spójnej oceny grupowej jest trudne bądź niemoŜliwe. Jest to waŜny problem, gdyŜ nieprzechodnie opinie mogą prowadzić do nieracjonalnych decyzji. Wiadomo równieŜ, Ŝe nawet przechodnie opinie ekspertów mogą prowadzić do nieprzechodniej oceny grupowej (przykładem jest tzw. paradoks Condorceta). W takiej sytuacji rozwiązaniem moŜe być stosowanie metod agregacji preferencji umoŜliwiających wprowadzenie ograniczeń na własności (szczególnie przechodniość) oceny grupowej.

Niech R będzie pewną relacją porządkującą ( ~f ) zbiór A, (a, b ∈ A), R = P ∪ I, gdzie P oznacza relację ścisłej preferencji (f), I – relację indyferencji (≈),

Przyjęto zapis relacji binarnej za pomocą macierzy binarnej M = [m

], gdzie

 

 ∀ ∈

= 0 w przeciwnym razie ,

,

1 aRb a b A

m

. (9)

W tabeli przedstawiono macierzowy zapis wybranych własności relacji.

spójność (silna spójność) ∀a, b∈ A m

+ m

≥ 1

zwrotność ∀a∈ A m

= 1

symetryczność ∀a, b∈ A m

= m

asymetryczność ∀a, b∈ A m

+ m

≤ 1

antysymetryczność ∀a, b∈ A, a≠b m

+ m

≤ 1 przechodniość ∀a, b, c∈ A m

+ m

− m

≤ 1

W pracy pokazano, Ŝe binarna macierz porównań parami B określa relację binarną R na

rozwaŜanym zbiorze obiektów O.

Zatem własności poszukiwanej relacji preferencji zagregowanej (oceny grupowej) mogą być wyraŜone za pomocą współczynników binarnej macierzy porównań parami B.

Definicja [20]

Iloczyn boolowski macierzy M

* M

jest to macierz binarna, której elementy są wyznaczane za pomocą następującej zaleŜności

2 1 1 2

1

* ]

[

n

ij

=

m ∧ m

=

M U

M , i, j = 1,…n. (10)

Twierdzenie [20]

Relacja binarna opisana za pomocą macierzy M jest przechodnia wtedy i tylko wtedy, gdy

M * M ≤ M. (11)

Po rozpisaniu nierówności otrzymujemy warunki przechodniości zgodne z podanymi w tabeli.

ZaleŜność ta (w postaci macierzowej) jest równieŜ wykorzystywana przy badaniu przechodniości macierzy rozkładu głosów ekspertów.

2.4. Przechodniość macierzy rozkładu głosów ekspertów L i L

Definicja ([16], [18])

Macierz rozkładu głosów ekspertów L jest przechodnia, jeŜeli z warunku

i k k i j

k k j i j j

i

l l l l l

l ≥ oraz ≥ wynika, Ŝe ≥ , (12)

i, = 1,...n , j = 1,...n , k = 1,…, n, i ≠ j, i ≠ k, j ≠ k.

W przypadku ogólnym dla K ≥ 3 macierz rozkładu głosów ekspertów odpowiadająca dowolnym uporządkowaniom T

∈ T

= { T

, K , T

} nie musi być przechodnia.

Przechodniość macierzy rozkładu głosów ekspertów L

(wyznaczanej na podstawie binarnych macierzy porównań parami) jest definiowana analogicznie.

JeŜeli macierz rozkładu głosów ekspertów L jest przechodnia, wówczas istnieje zwycięzca w sensie Condorceta, zaś ocena grupowa wyznaczona metodą mediany Kemeny’ego ma postać ciągu kolejnych zwycięzców Condorceta ([16]).

Do badania przechodniości macierzy rozkładu głosów ekspertów L lub L

posłuŜymy się

odpowiadającą jej macierzą binarną zdefiniowaną następująco.

Definicja

Binarna macierz rozkładu głosów ekspertów BL

 

 ≥

=

=

razie przeciwnym w

0 ], 1

[

l

l

bl bl

BL (13)

lub

 

 ≥ ∧ + >

=

razie przeciwnym w

0

0 ) (

1

ij

l l l

bl l . (14)

Dla obiektów nieporównywalnych w ocenie grupowej ( l

= l

= 0 ) mamy bl

= bl

= 0 .

Lemat 1.

JeŜeli w opiniach ekspertów nie występują obiekty nieporównywalne ( 1

, ,

≥ +

∀

∀

≠

∈

k ji k j ij i j i K

k

b b ),

wówczas macierze BL wyznaczane na podstawie macierzy rozkładu głosów ekspertów L oraz L

są takie same.

Lemat 2.

JeŜeli w macierzy rozkładu głosów ekspertów L lub L

nie występują obiekty nieporównywalne (relacja preferencji zagregowanej jest spójna), wówczas przechodniość macierzy BL jest warunkiem koniecznym i wystarczającym przechodniości macierzy L lub L

.

Wniosek

Z Lematu 2. wynika, Ŝe przechodniość macierzy rozkładu głosów ekspertów L (L

) moŜna sprawdzać graficznie stosując macierzowy zapis twierdzenia o przechodniości macierzy binarnych (11) [20] do analizy przechodniości macierzy BL.

Nierówność BL*BL ≤ BL moŜna przedstawić graficznie: # w komórce (i, j) oznacza, Ŝe element (i, j) macierzy BL nie spełnia podanej nierówności.

L O

O

O

O

O

BL*BL ≤ BL O

O

O

O

O

O

- 3 3 2,5 6 O

O

4 - 3 4 6 O

#

O

4 4 - 3 6,5 O

#

O

4,5 3 4 - 7 O

#

O

1 1 0,5 0 - O

Jak pokazano, przechodniość macierzy BL jest warunkiem koniecznym i dostatecznym przechodniości macierzy L. Z tabeli wynika, Ŝe macierz BL nie jest przechodnia, stąd (lemat 2) macierz L nie jest przechodnia. Sprawdzamy relacje między parami obiektów (O

, O

) oznaczonymi #. Na podstawie macierzy L mamy l

= 3, l

= 3 oraz l

= 3. W relacji preferencji zagregowanej występuje cykl: O

p O

p O

p O

.

3. Model preferencji ekspertów

ZałoŜenie, Ŝe eksperci porównują obiekty parami oraz, Ŝe opinie ekspertów są opisywane za pomocą binarnych macierzy porównań parami [3] w naturalny sposób prowadzi do zastosowania relacji binarnych do modelowania preferencji ekspertów, szczególnie w przypadku występowania nieporównywalności bądź równowaŜności obiektów.

Przyjęcie relacyjnego modelu preferencji ekspertów umoŜliwia zastosowanie algebraicznych sposobów sprawdzania przechodniości i innych własności opinii ekspertów oraz macierzy rozkładu głosów ekspertów. Ma to istotne znaczenie przy formułowaniu zadania wyznaczania oceny grupowej jako problemu optymalizacji zero-jedynkowej z ograniczeniami na poŜądane własności poszukiwanych rozwiązań.

W pracy wykazano, Ŝe w przyjętym modelu preferencji ekspertów binarne macierze porównań parami są zgodne z macierzami relacji binarnych. Macierzowy zapis relacji binarnych pozwala w jednolitej formie ująć opinie ekspertów wyraŜone w postaci porządków lub preporządków liniowych bądź częściowych.

Model preferencji ekspertów zapisany w postaci zestawu relacji binarnych posłuŜył do sformułowania zadania wyznaczania oceny grupowej jako zadania optymalizacji całkowitoliczbowej. Zastosowanie macierzowego zapisu relacji ułatwia sprawdzanie własności opinii ekspertów oraz formułowanie warunków, jakie powinna spełniać relacja preferencji zagregowanej (poszukiwana ocena grupowa). WaŜna jest równieŜ moŜliwość algebraicznego zapisu własności tej relacji, szczególnie warunku przechodniości rozwiązania, zazwyczaj trudnego do realizacji w innych modelach np. [5].

4. Wybór metody agregacji preferencji

W procesie wyznaczania decyzji grupowej kluczową rolę odgrywa wybór metody

agregacji preferencji.

Definicja ([11], [14])

Metoda agregacji jest to odwzorowanie profilu preferencji indywidualnych T w decyzję społeczną R∈ T

f: T → T

. (15)

PowyŜsza definicja znajduje zastosowanie przy projektowaniu optymalizacyjnych metod agregacji preferencji. Istotną zaletą takiego podejścia jest moŜliwość wprowadzenia ograniczeń zapewniających poŜądane własności rozwiązania (rozwiązań) oraz moŜliwość dostosowania metody do specyfiki problemu i postaci danych. Jednym ze sposobów formułowania funkcji celu zadania optymalizacji jest przyjęcie kryterium odległości rozwiązania od profilu uporządkowań podanych przez ekspertów.

Większość stosowanych współcześnie metod agregacji preferencji daje się opisać według tego schematu.

Określenie racjonalnych zasad wyboru metody agregacji preferencji wymaga przyjęcia pewnych załoŜeń odnośnie preferencji, zarówno indywidualnych, jak i preferencji zagregowanej.

Niezbędnymi własnościami relacji preferencji zagregowanej są ([14]) zwrotność i spójność.

JeŜeli relacja preferencji społecznej jest równieŜ przechodnia, mówimy, Ŝe jest racjonalna.

Jak pokazuje przykład paradoksu Condorceta, relacja preferencji zagregowanej nie zawsze jest przechodnia, nawet wtedy, gdy preferencje indywidualne są przechodnie.

5. Wyznaczanie oceny grupowej

Wyznaczenie oceny grupowej sprowadza się do znalezienia opinii, która w sensie przyjętej definicji jest najmniej oddalona od zbioru opinii podanych przez ekspertów oraz posiada odpowiednie własności. MoŜe być ona wyznaczana na przykład metodą przeglądu zupełnego bądź jako rozwiązanie zadania optymalizacji.

Postać rozwiązania zadania agregacji preferencji zaleŜy zarówno od przyjętej definicji odległości, jak równieŜ od postaci opinii ekspertów. Jak wspomniano, problem ten jest formułowany jako zadanie optymalizacji – minimalizacji odległości – z ograniczeniami.

W pracy przyjęto, Ŝe odwzorowanie preferencji indywidualnych w decyzję społeczną ma

postać mediany Kemeny’ego.

5.1. Wyznaczanie oceny grupowej metodą mediany Kemeny’ego

Mediana Kemeny’ego jest to uporządkowanie obiektów, które – w sensie przyjętej definicji – jest najmniej odległe od zbioru opinii podanych przez ekspertów.

Kemeny i Snell [10] przedstawili zestaw aksjomatów, jakie powinna spełniać odległość oraz udowodnili, Ŝe podana przez nich miara odległości jest jedyną funkcją spełniającą podane aksjomaty.

Znaczenie miary odległości zaproponowanej przez Kemeny’ego i Snella jest dwojakie.

Po pierwsze umoŜliwia porównanie relacji preferencji zagregowanej z opiniami podanymi przez ekspertów poprzez badanie jej odległości od danego zbioru opinii. Jest ona równieŜ zgodna z intuicyjną definicją bliskości uporządkowań preferencyjnych.

Po drugie jest jedyną miarą odległości spełniającą normatywne postulaty sprawiedliwej funkcji wyboru. Dowód tego twierdzenia przeprowadzili Lissowski i Świstak [15] dokonując normatywnej interpretacji oryginalnych aksjomatów Kemeny’ego i Snella.

W swojej klasycznej pracy Kemeny i Snell [10] przyjęli, Ŝe opinie ekspertów są preporządkami liniowymi oraz, Ŝe zarówno opinie ekspertów, jak i ocena grupowa są opisane za pomocą macierzy porównań parami. Ponadto załoŜyli, Ŝe ocena grupowa jest porządkiem liniowym. Sformułowali aksjomaty, jakie powinna spełniać odległość między uporządkowaniami oraz podali definicję tej odległości.

Zgodnie z załoŜeniami Kemeny’ego i Snella przyjmujemy, Ŝe T (pewne uporządkowanie) jest porządkiem liniowym, zaś T

(uporządkowanie podane przez eksperta o numerze k) jest preporządkiem liniowym.

Uporządkowanie T

jest opisywane za pomocą macierzy porównań parami A

= [ a

] (1), zaś uporządkowanie T za pomocą macierzy A = [ a

] .

Kemeny i Snell wykazali, Ŝe zdefiniowana przez nich odległość jest jedyną funkcją spełniającą przyjęte aksjomaty.

Definicja

Odległość danego uporządkowania T od zbioru uporządkowań podanych przez ekspertów }

, , {

)

(k K

T T

T = K jest, jak następuje

∑ ∑∑ ∑∑∑

= = = =

−

= >

−

=

−

=

K

k

K

k n

i n

j

k ij ij n

i n

i j

k ij ij

k

a a a a

T T d

1 1 1 1

1

1 )

(

2 ) 1

,

( . (16)

Ta zaleŜność została zastosowana do wyznaczania oceny grupowej, tzn. uporządkowania,

które jest najmniej odległe (w podanym sensie) od zbioru opinii przedstawionych przez ekspertów.

Definicja

Uporządkowanie arg min ( ,

)

T

MK

d T T

T

= nazywamy medianą Kemeny’ego.

L

– oznacza profil wszystkich porządków liniowych określonych na zbiorze n- elementowym.

5.2. Uogólniona metoda mediany Kemeny’ego (z uwzględnieniem obiektów równowaŜnych i nieporównywalnych w opiniach ekspertów i w ocenie grupowej)

Bury i Wagner ([3], [4]) uogólnili metodę mediany Kemeny’ego na przypadek występowania obiektów równowaŜnych w ocenie grupowej oraz obiektów nieporównywalnych zarówno w opiniach ekspertów, jak i w ocenie grupowej. W tym celu zastosowali relacyjny model preferencji ekspertów do sformułowania zadania minimalizacji odległości, co w prosty sposób umoŜliwiło uwzględnienie obiektów równowaŜnych i nieporównywalnych zarówno w opiniach ekspertów, jak i w ocenie grupowej. To podejście w istotny sposób rozszerzyło klasę rozwiązywanych problemów. Ponadto sformułowali explicite warunki, jakie powinny spełniać szukane rozwiązamia, szczególnie warunek przechodniości oceny grupowej.

Przyjmujemy, Ŝe zarówno opinie ekspertów, jak i ocena grupowa mają charakter preporządków częściowych oraz, Ŝe są opisywane za pomocą binarnych macierzy porównań parami B

, k = 1, ..., K oraz B. Odległość d między opiniami zdefiniowano przy uŜyciu binarnych macierzy porównań parami, co oznaczono za pomocą górnego indeksu

.

Definicja

Odległość d

( R , R

) danej opinii R od zbioru opinii podanych przez ekspertów R

= {R

, R

, …, R

} dana jest zaleŜnością

( )

∑ ∑∑ ∑∑∑

= = = =

−

= >

−

=

− +

−

=

K

k

K

k n

i n

j

k ij ij n

i n

i j

k ji ji k ij ij k

B

R R b b b b b b

d

1 1 1 1

1

1 )

(

) ,

( (17)

Sprawdzenie, czy odległość zdefiniowana jak wyŜej spełnia aksjomaty przyjęte przez

Kemeny’ego i Snella wymaga, z uwagi na uwzględnianie obiektów nieporównywalnych,

modyfikacji przyjętej przez Kemeny’ego i Snella definicji relacji pomiędzy.

W pracy podano uogólnienie definicji relacji pomiędzy na przypadek występowania obiektów nieporównywalnych, oraz przedstawiono tabele ilustrujące klasyczną i uogólnioną definicję relacji pomiędzy i wykazano, Ŝe dla preporządków liniowych omawiane definicje są zgodne. Wykazano równieŜ, Ŝe odległość zdefiniowana wzorem (17) spełnia przyjęte przez Kemeny’ego i Snella aksjomaty (z uwzględnieniem uogólnionej definicji relacji pomiędzy).

5.3. Zadanie optymalizacji. Linearyzacja odległości

Wykorzystując fakt, Ŝe dla współczynników b

, b

, i, j = 1, …, n, k = 1, …, K, przyjmujących wartości ze zbioru {0, 1} mamy

k ij k ij ij ij k ij ij k ij

ij

b b b b b b b

b − = ( − )

= − 2 + (18)

zaleŜność (17) moŜna zapisać następująco

LB n

i n

j

Bij ij

K

k n

i n

j

k ij k ij ij ij k

B

R R b b b b b K l suma

d ∑∑∑ ∑∑

= =

= = =

+

−

= +

−

=

1 1

1 1 1

)

(

) ( 2 ) ( 2 )

,

( (19)

gdzie

∑∑

∑

= =

=

=

=

n

i n

j Bij LB

K

k k ij

Bij

b suma l

l

1 1

1

, . (20)

Wartości współczynników l

oraz suma

zaleŜą jedynie od postaci opinii ekspertów.

Definicja

Medianą Kemeny’ego z uwzględnieniem obiektów równowaŜnych i nieporównywalnych nazywamy binarną relację preferencji R

) , ( min

arg

R

MK

d R R

R

Tn

∈

= . (21)

Zadanie wyznaczania oceny grupowej za pomocą uogólnionej metody mediany Kemeny’ego sprowadza się do znalezienia takiej relacji preferencji zagregowanej, opisanej macierzą binarną B

, która jest najmniej odległa w sensie (19) od zbioru opinii podanych przez ekspertów oraz ma określone własności.

LB Bij

n

i n

j b ij k

B

R

d R R b K l suma

ij

n

= ∑∑ − +

= =

=

∈

( , ) min ( 2 )

min

1 1

] [ ) (

T B

(22)

z ograniczeniami na przechodniość macierzy B

ij hj

ih j h i h n h i j n j

i

∀ b + b − ≤ b

∀

1 . (23)

Liczba zmiennych wynosi n(n-1) (b

= 1) oraz mamy n(n-1)(n-2) warunków przechodniości.

Linearyzacja odległości umoŜliwia sformułowanie zadania optymalizacji bez konieczności wprowadzania macierzy strat i rezygnację z dodatkowych zmiennych i ograniczeń.

Przechodniość jest warunkiem koniecznym aby rozwiązanie zadania było relacją porządku, aczkolwiek moŜna rozwaŜać jej słabsze sformułowania. MoŜna równieŜ narzucać inne własności rozwiązań, np.

spójność ∀

b

+ b

≥ 1 , (24) antysymetryczność ∀

b

+ b

≤ 1 . (25)

5.4. Sposoby wyznaczania mediany Kemeny’ego

Hudry [13] analizował własności procedur agregacji preferencji do porządków medianowych, do których naleŜy metoda mediany Kemeny’ego. Stwierdził on, Ŝe z uwagi na konieczność zapewnienia przechodniości relacji preferencji zagregowanej bądź przynajmniej jej acykliczności, rozwaŜane zadanie agregacji jest NP-trudne. Stąd potrzeba znalezienia metod – heurystycznych, optymalizacyjnych lub innych – umoŜliwiających praktyczne rozwiązanie zadania.

• Algorytmy heurystyczne

Bury i Wagner ([1], [2]) przedstawili algorytmy wyznaczania mediany Kemeny’ego – zarówno w przypadku występowania obiektów równowaŜnych w opiniach ekspertów, jak teŜ ich braku.

Zadanie wyznaczania mediany Kemeny’ego (w podanym sformułowaniu) było rozwiązywane za pomocą algorytmów heurystycznych wykorzystujących twierdzenie Litvaka o kresie dolnym odległości.

• Przegląd zupełny

Jak wiadomo, metoda przeglądu zupełnego polega na rozpatrzeniu wszystkich moŜliwych uporzadkowań spełniających przyjęte załoŜenia. Rozwiązaniem jest uporządkowanie (uporządkowania), którego odległość od zbioru opinii ekspertów jest najmniejsza.

W tabeli przedstawiono liczbę moŜliwych (charakteryzujących się róŜnymi własnościami)

uporządkowań n obiektów, jakie naleŜałoby przeszukać stosując przegląd zupełny. Wynika

z niej, Ŝe wyznaczanie oceny grupowej jako rozwiązania zadania optymalizacji zero-

jedynkowej stanowi racjonalną alternatywę dla przeglądu zupełnego.

Tabela. Liczba porządków i preporządków liniowych i częściowych dla n obiektów liczba

obiektów

l. porządków liniowych

s

– l. preporz.

liniowych

l. porządków częściowych

l. preporządków częściowych

3 6 13 19 29

4 24 75 219 355

5 120 541 4 231 6 942

6 720 4 683 130 023 209 527

7 5 040 47 293 6 129 859 9 535 241

8 40 320 545 835 431 723 379 642 779 354

9 362 880 7 087 261 44 511 042 511 63 260 289 423

10 3 628 800 102 247 563 6 611 065 248 783 8 977 053 873 043

Źródło: http://oeis.org, On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

Z podanej tabeli wynika, Ŝe dla większej liczby obiektów n oraz w przypadku preporządków częściowych podejście optymalizacyjne do problemu agregacji preferencji, tzn.

rozwiązywanie binarnego zadania optymalizacji z ograniczeniami, stanowi rozsądną alternatywę dla przeglądu zupełnego.

5.5. Ocena jakości rozwiązań – analiza kresów dolnych

Jak wspomniano w pracy przy okazji definiowania (klasycznych i zmodyfikowanych) macierzy strat są one istotne dla oceny jakości rozwiązań otrzymanych za pomocą metod heurystycznych lub pakietów obliczeniowych.

Bury i Wagner [1] wykazali, Ŝe w zbiorze porządków liniowych wartości róŜnic odległości rozwiązań i kresu dolnego są liczbami parzystymi i wynoszą 0 (gdy macierz strat jest przechodnia lub 2, 4... w przypadku braku przechodniości. Pozwala to na ocenę, czy odległość rozwiązania otrzymanego numerycznie jest najmniejsza z moŜliwych. Ponadto przedstawiona w pracy analiza współczynników macierzy (zmodyfikowanych macierzy) strat i porównanie ich z wartościami odpowiednich współczynników (w

, w

), (bw

, bw

) macierzy W lub BW daje wskazówkę, czy w ocenie grupowej moŜna wprowadzić równowaŜność lub nieporównywalność rozwaŜanych obiektów (o ile preporządki liniowe lub częściowe są dopuszczalne) w celu zmniejszenia jej odległości od zbioru opinii ekspertów.

5.6. Grafy skierowane – moŜliwość zastosowania do graficznej prezentacji preferencji

Naturalnym sposobem przedstawienia relacji binarnej jest graf skierowany. KaŜdą

relację binarną na zbiorze skończonym moŜna przedstawić za pomocą grafu skierowanego

bez krawędzi równoległych i odwrotnie, kaŜdy graf skierowany bez krawędzi równoległych

określa relację binarną na zbiorze swoich wierzchołków [6]. Fakt ten zostanie wykorzystany do przedstawienia relacji preferencji zagregowanej w postaci uporządkowania.

Relacja preferencji zagregowanej (21), dana jest w postaci binarnej macierzy B, którą moŜna interpretować jako macierz osiągalności pewnego grafu skierowanego [19]. Z definicji macierzy B (7) oraz ograniczeń, jakie spełnia, np. (23) wynika, Ŝe graf ten zawiera pętle własne oraz krawędzie odpowiadające wszystkim relacjom przechodniości między porządkowanymi elementami zbioru obiektów O.

Czytelnym (to znaczy z pominięciem krawędzi wynikających z relacji przechodniości) sposobem prezentacji informacji zawartych w macierzy B jest przedstawienie jej w postaci diagramu Hassego [12]. WiąŜe się to z rozwaŜaniem macierzy przyległości grafu (w zasadzie jego redukcji przechodniej). Przy pewnych załoŜeniach odnośnie postaci grafu (acykliczny graf skierowany) zadanie wyznaczenia tej macierzy na podstawie znanej macierzy osiągalności moŜna rozwiązać za pomocą odpowiednich metod teorii grafów ([6], [12]).

Niech G (V, A) będzie grafem skierowanym, V – oznacza n elementowy zbiór wierzchołków grafu, A – oznacza zbiór krawędzi.

Definicja ([6], [19])

Macierz przyległości grafu skierowanego G jest macierzą o wymiarach n×n, Q = [q

], której kaŜdy wyraz q

jest liczbą krawędzi prowadzących z wierzchołka i do wierzchołka j. JeŜeli graf G nie zawiera krawędzi równoległych, macierz Q jest macierzą zero-jedynkową

 

= 

razie.

przeciwnym w

0

ka wierzchoł do

ka wierzchoł od

skierowana krawędź

istnieje jeŜeli

1 i j

q

. (26)

Definicja ([19])

Macierz osiągalności grafu skierowanego G jest macierzą zero-jedynkową o wymiarach n×n, S = [s

], gdzie

 

= 

razie.

przeciwnym w

0

ka wierzchoł z

osiągalny jest

ek wierzchoł jeŜeli

1 j i

s

. (27)

Macierz osiągalności S grafu skierowanego G, bez pętli własnych i krawędzi równoległych, moŜna wyznaczyć na podstawie macierzy przyległości Q ([19]).

n h h

Q S

1

1

−

=

= U , (28)

gdzie operator U oznacza sumę logiczną, elementy [ q

] macierzy Q

(h-tej potęgi macierzy przyległości Q) określają liczbę dróg o długości h, prowadzących z wierzchołka i do wierzchołka j.

Twierdzenie ([6], [12])

Graf skierowany G jest acykliczny ⇔ wyznacznik macierzy (I-Q) jest róŜny od zera, gdzie I jest macierzą jednostkową.

Wówczas istnieje macierz odwrotna (I-Q)

, którą moŜna rozwinąć w szereg nieskończony K

K + +

+ + + +

=

− Q

I Q Q Q Q

I )

( (29)

Szereg I + Q + Q

+ Q

+ K + Q

+ K jest zbieŜny, jeŜeli ∃ ∀ Q = Ο

>

h N h

N

, gdzie Ο jest macierzą o elementach zerowych. ZbieŜność szeregu wynika z załoŜenia o acykliczności grafu.

Warto zauwaŜyć, Ŝe w n – elementowym acyklicznym grafie skierowanym, między elementami grafu moŜe istnieć droga o długości co najwyŜej (n-1), tzn. ∀ Q = Ο

≥ h n

h

.

Stąd

1 3

2

)

( I − Q

= I + Q + Q + Q + K + Q

(30)

oraz

S I Q

I − )

= +

( (31)

przy załoŜeniu, Ŝe det( I − Q ) ≠ 0 .

Podstawiając do wzoru (29) macierz relacji zagregowanej B oraz uwzględniając fakt, Ŝe elementy na przekątnej głównej macierzy B z definicji (3.16) są równe 1, otrzymujemy

B Q

I − )

=

( , (32)

stąd

1

−

= I B

Q , (33)

pod warunkiem, Ŝe wyznacznik macierzy B jest róŜny od zera.

Opisane postępowanie daje poprawne wyniki w przypadku grafów bezobwodowych.

Relacja preferencji zagregowanej dana w postaci binarnej macierzy preferencji zagregowanej

B moŜe być przedstawiona w postaci grafu skierowanego. W pewnych przypadkach (jeŜeli

dany graf jest acykliczny, nie posiada krawędzi równoległych ani obwodów) moŜna łatwo

wyznaczyć macierz przyległości grafu i diagram Hassego.

6. Przykład

Grupa ekspertów przedstawiła uporządkowania siedmiu obiektów: ośmiu ekspertów podało porządki liniowe, trzech porządki częściowe.

T

= { O

, O

, O

, O

, O

, O

, O

} T

= { O

, O

, O

, O

, O

, O

, O

} T

= { O

, O

, O

, O

, O

, O

, O

} T

= { O

, O

, O

, O

, O

, O

, O

} T

= { O

, O

, O

, O

, O

, O

, O

} T

= { O

, O

, O

, O

, O

, O

, O

}

T

= { O

, O

, O

, O

, O

, O

, O

} (34)

T

= { O

, O

, O

, O

, O

, O

, O

}

Opinie ekspertów zostały zapisane w postaci binarnych macierzy porównań parami B

, k = 1,…, n a następnie wyznaczono macierz rozkładu głosów ekspertów L

(8) oraz zmodyfikowaną macierz strat BW .

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

11 5 4 5 7 5 4 O

11 12 14 12 8 12 14 O

6 11 5 5 7 7 6 O

10 11 11 11 8 8 10 O

7 5 11 3 7 5 7 O

8 11 11 14 8 12 8 L

= O

6 5 6 11 8 9 7 BW = O

10 11 8 11 6 4 8 O

4 4 4 3 11 3 3 O

14 14 14 16 11 16 16 O

6 4 6 2 8 11 5 O

10 14 10 18 6 11 12 O

7 5 4 4 8 6 11 O

8 12 14 14 6 10 11

Kres dolny odległości wynosi 176.

T

: O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

T

: O

O

O

O

O

O

O

T

: O

O

O

O

Binarna macierz rozkładu głosów ekspertów BL oraz badanie przechodniości mają postać.

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

1 1 1 0 0 1 0 O

O

0 1 1 0 0 1 0 O

O

0 1 1 0 0 1 0 O

#

BL= O

1 1 1 1 0 1 1 O

O

1 1 1 1 1 0 0 O

O

0 0 0 0 1 1 0 O

#

O

1 1 1 0 1 1 1

B L * B L ≤≤≤≤ B L

O

#

Relacja preferencji zagregowanej opisanej macierzą BL jest spójna, stąd na podstawie lematu 2, z nieprzechodniości macierzy BL wynika nieprzechodniość macierzy L

. Występuje cykl O

f O

f O

f O

.

Zadanie minimalizacji odległości (22) było rozwiązywane przy uŜyciu pakietu CPLEX (wersja 12.1.0) z róŜnymi zestawami ograniczeń. W zbiorze porządków częściowych (jedynie z ograniczeniem na przechodniość oceny grupowej) otrzymano jako rozwiązanie macierz binarną B

relacji preferencji zagregowanej. Wyznacznik macierzy B

jest równy 1, stąd moŜna zastosować wzór (33) do wyznaczenia macierzy przyległości Q grafu skierowanego odpowiadającego relacji preferencji zagregowanej R.

Macierze B

oraz Q mają postać:

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

1 0 0 0 1 0 0 O

0 0 0 0 1 0 0

O

1 1 0 0 1 1 1 O

0 0 0 0 0 0 1

O

1 0 1 0 1 1 1 O

0 0 0 0 0 0 1

B

= O

1 0 1 1 1 1 1 Q= O

0 0 1 0 0 0 0

O

0 0 0 0 1 0 0 O

0 0 0 0 0 0 0

O

1 0 0 0 1 1 0 O

1 0 0 0 0 0 0

O

1 0 0 0 1 1 1 O

0 0 0 0 0 1 0

Relację preferencji zagregowanej moŜna więc przedstawić w postaci uporządkowania częściowego obiektów

Jego odległość (19) od uporządkowań podanych przez ekspertów wynosi 176.

Rozwiązaniem w zbiorze porządków liniowych są dwa uporządkowania, których odległość od zbioru opinii (34) wynosi 178

R

: O

, O

, O

, O

, O

, O

, O

R

: O

, O

, O

, O

, O

, O

, O

.

Ze względu na równość współczynników zmodyfikowanej macierzy strat bw =

bw

moŜna zamienić miejscami obiekty O

i O

. Odległość uporządkowań

R

: O

, O

, O

, O

, O

, O

, O

R

: O

, O

, O

, O

, O

, O

, O

.

od zbioru opinii (34) wynosi równieŜ 178.

Z uwagi na fakt, Ŝe w zbiorze porządków liniowych nie istnieje uporządkowanie, którego odległość od zbioru opinii ekspertów (34) byłaby mniejsza, otrzymane rozwiązania stanowią medianę Kemeny’ego.

R:

O

O

O

O

O

O

O

Podsumowanie

Jedną z waŜniejszych zalet metody mediany Kemeny’ego jest jej przynaleŜność do metod condorcetowych, co wiąŜe się z posiadaniem typowych dla tej grupy własności.

W szczególności metoda spełnia kryterium Condorceta oraz związane z nim kryterium większościowe (w sensie majority rule). Ponadto, spełnia trzy spośród czterech cytowanych w pracy postulatów Arrowa: warunek nieograniczonej dziedziny, słaby warunek optymalności w sensie Pareto, warunek braku dyktatury. Jak stwierdził Lissowski [14] metoda dobrze oddaje zasady sprawiedliwego podziału będące przedmiotem badań teorii wyboru społecznego. Ma równieŜ dobrą, intuicyjną interpretację odległości między relacjami preferencji.

Do wad metody mediany Kemeny’ego naleŜy niejednoznaczność rozwiązań. MoŜna temu przeciwdziałać wprowadzając dodatkowe ograniczenia na postać rozwiązań. Ponadto, metoda jest obliczeniowo NP-trudna oraz nie spełnia warunku niezaleŜności od alternatyw niezwiązanych, co oznacza brak odporności na manipulacje. ZłoŜoność obliczeniowa metody mediany Kemeny’ego utrudnia jej stosowanie, ogranicza jednak próby manipulowania wynikami agregacji preferencji. Rozwój technologii informatycznych oraz algorytmów heurystycznych ułatwia wykonywanie złoŜonych obliczeń.

W pracy skoncentrowano się na obliczeniowych aspektach wyznaczania oceny grupowej metodą oraz zmodyfikowaną metodą mediany Kemeny’ego.

Problem wyznaczania mediany Kemeny’ego przedstawiono jako zadanie optymalizacji z ograniczeniami. Funkcję celu stanowi odległość – relacji preferencji zagregowanej od zbioru opinii podanych przez ekspertów – definiowana jako norma ℓ

w przestrzeni relacji binarnych. W pewnych warunkach (dzięki wprowadzeniu pomocniczych zmiennych lub w wyniku linearyzacji) przybiera ona postać liniową.

Dzięki zastosowaniu relacyjnego modelu preferencji ekspertów funkcja celu została zapisana za pomocą macierzy relacji binarnych a następnie zlinearyzowana. Jedyną niewiadomą jest macierz binarnej relacji preferencji zagregowanej B=[b

]. Ograniczenia – warunki przechodniości – zostały zapisane za pomocą współczynników tej macierzy. Liczba zmiennych wynosi n(n-1) (b

= 1) oraz mamy n(n-1)(n-2) warunków przechodniości.

Wymienione czynniki miały istotny wpływ na szybkość uzyskiwania rozwiązań numerycznych.

Opisane w pracy macierze strat oraz zmodyfikowane macierze strat są istotne przy

szacowaniu odległości otrzymanego rozwiązania od kresu dolnego odległości. Bury i Wagner

([1], [2]) przeprowadzili analizę kresów dolnych odległości w kontekście przechodniości (lub jej braku) macierzy rozkładu głosów ekspertów lub macierzy strat. Pozwala ona na oszacowanie, na ile odległość relacji preferencji zagregowanej od zbioru opinii ekspertów moŜe róŜnić się od kresu dolnego odległości.

Sformułowanie zadania wyznaczania oceny grupowej (w postaci uogólnionej metody mediany Kemeny’ego) w postaci problemu optymalizacji binarnej jest zgodne z podejściem Kemeny’ego i Snella dla porządków liniowych. Wynika to faktu, Ŝe dla porządków liniowych odległości definiowane przy pomocy klasycznych oraz binarnych macierzy porównań parami są zgodne.

Współcześnie metoda mediany Kemeny’ego jest stosowana do rozwiązywania problemów z zakresu obliczeniowej teorii wyboru społecznego, sieci neuronowych czy problemów wieloagentowych [8], [9]. MoŜe być równieŜ wykorzystywana w wielowymiarowej analizie efektywności inwestycji w otwartych funduszach emerytalnych [7].

We wszystkich tych zagadnieniach uwzględnienie obiektów równowaŜnych i nieporównywalnych zarówno w opiniach ekspertów, jak i w ocenie grupowej w istotny sposób powiększa zakres rozwiązywanych zadań.

Warto zauwaŜyć, Ŝe rozwój współczesnej teorii wyboru społecznego doprowadził do powstania na początku bieŜącego wieku obliczeniowej teorii wyboru społecznego (computational social choice). Jest ona odpowiedzią na problemy związane z agregacją preferencji w systemach sztucznej inteligencji, szczególnie w systemach wieloagentowych.

Aczkolwiek rozwiązywane zadania charakteryzują się zazwyczaj duŜą liczbą obiektów oraz ekspertów, przyjęty w rozprawie zapis problemu w postaci zadań optymalizacji z uwzględnieniem ograniczeń dobrze odpowiada wymaganiom rozwaŜanych systemów.

Zwiększenie mocy obliczeniowej komputerów oraz rozwój technologii informatycznych

umoŜliwia skuteczną implementację (klasycznych) metod wyznaczania oceny grupowej

w strukturach wieloagentowych [8], [9].

Uwagi końcowe

W pracy przedstawiono następujące wyniki.

Sformułowano model preferencji ekspertów opisany przy uŜyciu relacji binarnych, co dało moŜliwość uwzględnienia obiektów nieporównywalnych w opiniach ekspertów oraz obiektów równowaŜnych i nieporównywalnych w ocenie grupowej.

Zdefiniowano binarną macierz rozkładu głosów ekspertów BL i zastosowano ją do badania przechodniości macierzy rozkładu głosów ekspertów L lub L

. Wykazano, Ŝe w przypadku gdy relacja opisywana za pomocą macierzy BL jest spójna, przechodniość macierzy BL jest warunkiem koniecznym i wystarczającym przechodniości macierzy L bądź L

.

Sformułowano uogólnioną (z uwzględnieniem obiektów równowaŜnych i nieporównywal- nych zarówno w opiniach ekspertów, jak i w ocenie grupowej) metodę mediany Kemeny’ego w postaci zadania optymalizacji zero-jedynkowej z ograniczeniami. Jako kryterium przyjęto odległość między uporządkowaniami wyraŜoną w postaci normy ℓ

. W przestrzeni binarnych macierzy porównań parami tę odległość moŜna zlinearyzować, co upraszcza zadanie optymalizacji. Wprowadzenie ograniczeń umoŜliwia narzucenie poŜądanych własności oceny grupowej. Rozwiązaniem zadania jest relacja preferencji zagregowanej R

opisana macierzą binarną B

, której odległość od zbioru opinii ekspertów jest najmniejsza i która spełnia przyjęte ograniczenia.

Paradygmat relacji binarnych ułatwia sformułowanie poŜądanych własności oceny grupowej w formie ograniczeń w zadaniu optymalizacji (porządek liniowy, preporządek liniowy, porządki częściowe, przedziałowe), a szczególnie uwzględnienie przechodniości generowanych rozwiązań.

Zastosowanie metod teorii grafów umoŜliwia – w pewnych przypadkach – przedstawienie rozwiązań w postaci uporządkowań. Macierzowy zapis relacji preferencji zagregowanej moŜna – jeŜeli są spełnione odpowiednie załoŜenia – przekształcić do postaci grafu skierowanego.

Dla porządków liniowych sformułowanie problemu w dziedzinie binarnej jest zgodne

z podejściem Kemeny’ego i Snella. Dla preporządków liniowych odległości między

uporządkowaniami definiowane za pomocą klasycznych, jak i binarnych macierzy

porównań parami są zgodne. Zastosowanie uogólnionej metody mediany Kemeny’ego

do wyznaczania oceny grupowej dla preporządków liniowych znacząco upraszcza

zadanie optymalizacji.