Przewodniki
- substancje zawierające swobodne nośniki ładunku elektrycznego:
elektrony – metale,
jony – wodne roztwory elektrolitów,
elektrony + jony – zjonizowany gaz (plazma)
przewodnictwo elektryczne metali
przewodnictwo elektryczne izolatorów
10
20≈
Przewodniki w polu elektrycznym
+ + + + +
+ + +
+ _
_
_
_ _ _
_ _ _
+ + + +
+ + + _
_ _ _ _
_ _
= 0 E
≠ 0 E
Zewnętrzne pole elektryczne wymusza ruch swobodnych nośników ładunku – dodatnich i ujemnych – w przeciwnych kierunkach.
Prowadzi to gromadzenia się ładunków przeciwnych znaków na powierzchni przewodnika i wytworzenia pola
elektrycznego, które w warunkach równowagi kompensuje początkowe pole zewnętrzne
(całkowite pole elektryczne wewnątrz
przewodnika po ustaleniu się stanu równowagi równe jest zero).
Zjawisko indukcji elektrostatycznej.
Rozkład ładunku w przewodniku
_
_
_
_ _ _ _
_ _ _
_ _
_ _ _ _
_
_ E
_
_
_
_ _
_ _
_ _
_ _
_
_ _ _ _
_
_
E=0
= 0
t t ≠ 0
1-2 warstwy atomowe
Załóżmy, że w chwili t=0 nośniki ładunku rozmieszczone są
równomiernie w całej objętości przewodnika.
Pole elektryczne wewnątrz
przewodnika powoduje ruch nośników ładunku ku jego powierzchni.
Ruch ładunku trwa dotąd, aż pole wewnątrz przewodnika nie zaniknie
0 0
0
=
=
⋅
∇
⇒
= ε
E ρ
E r r r Z tw. Gaussa wynika, że gęstość
ładunku wewnątrz przewodnika jest
równa zeru (ładunek gromadzi się na
powierzchni przewodnika)
Pole elektryczne wokół przewodnika
E=0
E
σ − gęstość powierzchniowa ładunku
σ
Stosujemy prawo Gaussa obliczając strumień pola
elektrycznego przepływający przez powierzchnię boczną walca prostopadłego do powierzchni przewodnika.
Niezerowy strumień przepływa jedynie przez podstawę walca o powierzchni S na zewnątrz przewodnika:
ε
0σ S SE =
Zakładamy, że ładunki nie poruszają się (elektrostatyka) Wewnątrz przewodnika: E = 0 (ϕ = const)
Na zewnątrz: E do powierzchni przewodnika (nie ma ruchu ładunków)
⊥
ε
0= σ E
S
+
+
+ +
+ +
+ + +
+
+ +
⇒
stąd:
(dwa razy więcej niż dla naładowanej płaszczyzny)
Powierzchnia przewodnika jest powierzchnią
ekwipotencjalną
Pole elektryczne we wnęce przewodnika
powierzchnia Gaussa
+ + +
+ +
+ +
+
+
+
+ +
+
pętla Γ
Czy we wnęce występuje pole elektryczne?
Wybieramy powierzchnię Gaussa obejmującą wnękę (cała powierzchnia zawiera się w materiale przewodzącym)
0
0 ⇒ =
= Q
wewE r
Wniosek: suma ładunków na wewnętrznej powierzchni przewodnika równa jest zeru _
++ +
_ _
?
?
Załóżmy, że na wewnętrznej powierzchni przewodnika mamy rozłożone nierównomiernie ładunki dodatnie i ujemne, tzn. we wnęce występuje pole
elektryczne. Całkując po konturze Γ wzdłuż linii pola we wnęce:
∫ E r r ⋅ d s ≠ 0
Oznaczałoby to, że całka po konturze zamkniętym Γ jest różna od zera. Tymczasem dla dowolnego pola
elektrostatycznego:
∫ E r r ⋅ d s = 0
Wniosek: Jeżeli wnęka otoczona jest
przewodnikiem to żaden statyczny rozkład
ładunku na zewnątrz nie może wytworzyć
pola wewnątrz (ekranowanie).
Gęstość ładunku na powierzchni przewodnika
przewodnik
R
r
Przewodzące kule o promieniach R i r połączone przewodzącą nicią są
uproszczonym modelem przewodnika przedstawionego na rysunku.
Załóżmy, że długość nici jest tak duża, że pole w pobliżu powierzchni każdej z kul jest nie zaburzone przez pole
drugiej kuli. Na kule wprowadzamy ładunek Q
W warunkach równowagi:
( ) R ϕ ( ) r
ϕ =
( ) ( )
21
2
= <
= R
r r
q R Q r
E R E r
q Q = R
( ) R
R Q
4
01 ϕ = πε
( ) r
r q
4
01 ϕ = πε
⇒ ⇒
ε
0= σ
( ) R E ( ) r E
E < ⇒ σ ( ) R < σ ( ) r
boPole elektryczne wokół przewodników
2
0
2 2
2 2
2
=
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
z y
x
ϕ ϕ
ϕ równanie Laplace’a
,
= 0
∆ ϕ
Warunki brzegowe, np:
- zadany potencjał na powierzchni przewodnika,
- potencjał w „nieskończoności” dąży do zera,
- zadany ładunek na powierzchni przewodnika,
Metoda obrazów
powierzchnia
ekwipotencjalna
ϕ = 0
A
Uwaga:
wstawienie w miejsce płaszczyzny cienkiej folii wykonanej z materiału
przewodzącego nie zmienia pola elektrycznego:
A E ⊥ ,
= 0
ϕ
Ładunek punktowy w pobliżu powierzchni przewodzącej
+q
-q
obraz ładunku_
_ _ _ 2d _ _ _
x
y z
Siła z jaką uziemiona płaszczyzna przyciąga ładunek +q:
r
E
( )
22
0
2 4
1
d F q
= πε
Ładunek punktowy w pobliżu powierzchni przewodzącej
Zadanie znalezienia pola sprowadza się do obliczenia pola wytworzonego przez dwa ładunki punktowe o jednakowych wartościach lecz przeciwnych znakach:
( ) 4
0 2 2( )
21
d z
y x
r q
− +
= +
+
πε
ϕ r
( ) 4
0 2 2( )
21
d z
y x
r q
+ +
= +
−
πε
ϕ r
( ) r r = ϕ
+( ) r r + ϕ
−( ) r r
ϕ
∞
∫
−
=
⋅
0
2 π rdr q
2
σ
/ 2 3 0 2
4 ) 2 (
2 4
1
+
=
r d E dq
πε ε
0= σ
E
Ładunek punktowy w pobliżu uziemionej kuli przewodzącej
+ r
2a r
1+q a
2/b
b ϕ
1+ ϕ
2= 0
1 2 2
1 0
0 ' '
4 1
r r q
q r
q r
q = ⇒ = −
− πε
-q
Na powierzchni przewodnika:
Czyli:
A
( )
b a a
b
a b b
a a
b
b a a
− =
= −
−
−
2Kula stanowi zbiór punktów, których
odległości od dwóch wybranych punktów są w stałym stosunku, np. punkt A. Jeżeli ładunek q’ umieścić w odległości a2/b od środka kuli:
