Ć w i c z e n i e K 2 b Wyznaczenie osi oboj

Nazwisko i Imię:

Nazwisko i Imię:

Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Grupa nr:

Ocena: Podpis: Data:

Akademia Górniczo – Hutnicza

Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

Ć w i c z e n i e K 2 b

Wyznaczenie osi obojętnej w złożonym pręcie rozciąganym.

1. Podstawy teoretyczne.

W kratownicach płaskich i przestrzennych istotną rolę w przenoszeniu obciążeń odgrywa konstrukcja węzłów a ich podatność wpływa na stan odkształcenia powodując odpowiedni stan naprężenia. Pręty konstrukcji kratowych wykonuje się z prętów o przekrojach prostych i złożonych. Węzły i pręty powinny być tak zaprojektowane aby były spełnione zasady konstruowania zawarte w normach dotyczących obliczeń statycznych i projektowania [ ]. Niekiedy zachodzi konieczność wyznaczenia sił wewnętrznych albo określenia stanu naprężenia przy pomocy badań doświadczalnych. Do analizy przyjęto pręt rozciągany złożony z dwóch kątowników, które są przyspawane do blachy węzłowej.

Analizowane będą dwa przypadki: pręt z przewiązką i bez przewiązki. Dla tych dwóch przypadków będą wyznaczane położenia osi obojętnej zarówno na drodze teoretycznej jak i eksperymentalnej przy zastosowaniu tensometrów rezystacyjnych do wyznaczenia stanu naprężenia. Pręt z blachami węzłowymi oraz przekrój poprzeczny pokazuje rysunek 1.

Rys. 1. Rozciągany pręt z przekrojem poprzecznym.

Dla pręta rozciąganego bez przewiązki kątowniki pracują oddzielnie i po zredukowaniu siły rozciągającej do środka ciężkości analizowanego kątownika otrzymujemy trzy sił wewnętrzne M

, M

, i N. Siła normalna jest równa:

2 N = P

, a odpowiednie momenty:

x y

y x

P e M

b e M P

2 2 2

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ −

=

(1)

Jest to przypadek mimośrodowego rozciągania pręta dla którego naprężenie w dowolnym punkcie można wyznaczyć ze wzoru:

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

= + +

= y

ix x y iy

x A

P

gy gx

r

1

σ 2 σ σ

σ (2)

gdzie: x

, y

, - współrzędne punktu przyłożenia siły P x

= e

, y

=

2 b

- e

,

i

, i

– promienie bezwładności,

i I A

i_x = I^x , _y = ^y

.

Równanie osi obojętnej dla σ =0 ma postać:

= 1 +

y

x

a

y a

x (3)

gdzie: a

, a

miejsce przecięcia osi x i y

p y

p

x y

a ix x

a iy

2 2

, =−

−

=

.

2. Wyznaczenie położenia osi obojętnej przekroju ze wzorów teoretycznych.

Pręt badany wykonany jest z dwóch kątowników L 40 x 40 x 4 posiadających następujące charakterystyki geometryczne:

A = 3,08cm

I

= I

= 4,48cm

I

= 7,09 cm

I

= 1,86cm

e

e

= 1,12cm b = 4cm

Określono wartości współrzędnych przyłożenia siły, a ze wzoru (2) naprężenia w punktach

gdzie naklejono tensometry (rysunek 3):

x

= 1,12cm,

2 , 11

08

, 3

48 ,

4 cm

i

= = y

= -2,0 + 1,12 =-0,88cm, i

= 2,11cm

( x y

P + − ⋅

= 1 0 , 53 0 , 42 16

,

σ 6 ) (4)

Zatem z powyższego wzoru można wyznaczyć naprężenia w punktach 1,2, 3 i 4 o współrzędnych:

x

= -2,28cm y

= 1,12cm x

= 0,52cm y

= 1,12cm x

= 0,72cm y

= -2,28 x

= 0,72cm y

= 0,23cm Równanie osi obojętnej

0,42y-0,53x=1 (5)

dla x=0 y

= 2,38cm

dla y=0 x

= -1,89cm

Wartość naprężeń w punktach naklejenia tensometrów 1, 2, 3 i 4 wyznaczamy ze wzorów:

σ

= - 0,18P ⋅ 10

[Pa]

σ

= 0,13P ⋅ 10

[Pa]

σ

= 0,36P ⋅ 10

[Pa]

σ

= 0,21P ⋅ 10

[Pa]

Wyznaczenie wartości naprężeń w miejscu naklejenia tensometrów pozwala na porównanie ich z naprężeniami wyznaczonymi doświadczalnie. Sposób wyznaczenia położenia osi obojętnej na podstawie wzorów teoretycznych dla mimośrodowego rozciągania pokazuje rysunek 2.

Rys. 2. Oś obojętna wyznaczona teoretycznie.

3. Doświadczalne wyznaczenie położenia osi obojętnej rozciąganego pręta kratownicy.

Do wyznaczenia osi obojętnej podczas eksperymentu posłużono się pomiarem

odkształceń przy pomocy tensometrów rezystancyjnych. Pomiar odkształceń dokonywany jest w czterech punktach jednego przekroju. Miejsce naklejenia tensometrów w przekrojach analizowanego pręta pokazano na rysunku 3. Na podstawie pomiaru odkształceń wyznaczono naprężenia i sporządzono ich wykres, co pokazuje rysunek 4. Sposób wyznaczenia osi

obojętnej na podstawie rozkładu naprężeń otrzymanego na drodze eksperymentalnej pokazuje rysunek 4.

Rys. 3. Schemat naklejenia czujników tensometrycznych.

Rys. 4. Rozkład naprężeń i sposób wyznaczenia osi obojętnej na podstawie pomiarów

eksperymentalnych.

Aby porównać położenie osi obojętnej w przypadku gdy istnieje przewiązka,

postępujemy podobnie jak w przypadku jej braku. Dokonujemy pomiaru odkształceń,

wyznaczamy naprężenia pomiarowe i rysujemy oś obojętną. Następnie dokonujemy

porównania położenia osi obojętnej.

4. Przebieg ćwiczenia:

A – wyznaczenie osi obojętnej na podstawie wzorów teoretycznych:

1. Zmierzyć wymiary przekroju poprzecznego.

2. Wyliczyć współrzędne naklejenia tensometrów.

3. Wyliczyć współrzędne przyłożenia siły rozciągającej.

4. Wyliczyć promienie bezwładności.

5. Narysować oś obojętną po uprzednim wyliczeniu x

i y

ze wzoru (5) (skala przekroju 2:1).

B – wyznaczenie osi obojętnej na podstawie pomiarów tensometrycznych:

1. Zamocować pręt w szczękach maszyny wytrzymałościowej.

2. Wyzerować mostek tensometryczny i dokonać odczytu ( M

).

3. Obciążyć pręt siłą P < 5,0 KN.

4. Odczytać wartości po odkształceniu mostka (M

).

5. Wyliczyć wartości odkształcenia

(

)

M_p

ε .

6. Obliczyć wartości naprężeń σ = ε ⋅ E .

7. Narysować rozkład naprężeń na półkach kątownika.

8. Narysować oś obojętną korzystając z wykresu naprężeń.

C – wyznaczenie osi obojętnej w przypadku gdy jest przewiązka:

1. Postępujemy podobnie jak w punkcie 4B i porównujemy położenie osi obojętnej.

D – Wyniki obliczeń i pomiarów zestawić w tabeli 1.

Tabela 1. Wyniki obliczeń i pomiarów naprężeń oraz położenia osi obojętnej.

Współrzędne naklejenia tensometrów

Naprężenia obliczone teoretycznie

Naprężenia pomiarowe

Położenie osi obojętnej

teoretyczne doświadczalnie Lp. Siła

obciąża- jąca [kN]

Punkt pomia- rowy

x [cm] y [cm] σ0 [MPa] σp [MPa]

x0t[cm] y0t[cm] x0d [cm] y0d[cm]

1 2 3 1

4 5 6 7 2

8