STEROWANIE NEURONOWE BEZZAŁOGOWYM POJAZDEM PODWODNYM A

(1)

41, s. 469-478, Gliwice 2011

STEROWANIE NEURONOWE

BEZZAŁOGOWYM POJAZDEM PODWODNYM

ANDRZEJ ŻAK

Instytut Hydroakustyki, Akademia Marynarki Wojennej e-mail: a.zak@amw.gdynia.pl

Streszczenie. Głównym celem artykułu jest przedstawienie wyników badań dotyczących problemów sterowania bezzałogowym pojazdem podwodnym z wykorzystaniem sztucznych sieci neuronowych. W artykule przedstawiono zagadnienia związane z sieciami neuronowymi wykorzystywanymi w procesie sterowania. Omówiono metodę sterowania ruchem pojazdu wykorzystującym technikę sztucznych sieci neuronowych. Na zakończenie przedstawiono przykładowe wyniki badań symulacyjnych przy realizacji zadania stabilizacji parametrów ruchu bezzałogowego pojazdu podwodnego poruszającego się w środowisku wodnym.

1. WSTĘP

Rozwój technik podwodnych jest powodowany wieloma czynnikami. Przede wszystkim upowszechnianiem się samej technologii, jej walorami ekonomicznymi, a także w wielu przypadkach brakiem istnienia alternatywnych technik pozwalających na realizację niektórych zadań. W przeważającej większości bezzałogowe pojazdy podwodne (BPP) są eksploatowane w rejonach wydobycia surowców naturalnych takich jak gaz czy ropa.

Ponieważ technologia wydobywcza sięga do coraz to nowszych złóż położonych w rejonach o dużej głębokości akwenu lub w miejscach występowania silnych zakłóceń środowiskowych, istnieje potrzeba rozpatrzenia wpływu zakłóceń środowiskowych na ruch bezzałogowego pojazdu podwodnego. Należy także wziąć pod uwagę, że dynamika pojazdu ulega znacznym zmianom w przypadku oddziaływania zakłóceń, co utrudnia i wydłuża czas prowadzenia prac podwodnych. Z tych względów możliwość stabilizacji parametrów ruchu bezzałogowego pojazdu podwodnego w warunkach występowania zakłóceń jest ważnym problemem badawczym.

Obiektem badań jest bezzałogowy pojazd podwodny typu “Ukwiał”, który jest na wyposażeniu okrętów Marynarki Wojennej RP. Robot ten jest wykorzystywany do prowadzenie rozpoznania minerskiego i rozminowywania akwenów wodnych. Stosowany jest również w operacjach poszukiwawczo-ratowniczych, poszukiwania i odzyskiwania obiektów morskich oraz prowadzenia inspekcji budowli oceano-technicznych, a także podwodnych części kadłuba okrętów i statków.

(2)

2. STEROWANIE NEURONOWE 2.1. Regulator neuronowe

W pracy proponuje się metodę sterowania neuronowego, którą dalej nazywa się sterowaniem z bezpośrednio odwróconym modelem neuronowym. Idea sterowania z wykorzystaniem bezpośrednio odwróconego modelu jest bardzo prosta w swoich założeniach.

Ogólnie można powiedzieć, że należy utworzyć sieć neuronową, a następnie nauczyć ją modelu odwróconego sterowanego obiektu. Uczenie polega na podaniu na wejściu sieci sygnału wyjściowego obiektu sterowania i takiej modyfikacji parametrów sieci (wartości wag, wartości progów itp.), aby na wyjściu uzyskać sygnał jak najbardziej zbliżony do sygnału sterowania podawanego na obiekt. Oprócz wartości bieżących na wejście sieci można także podawać wartości sygnałów z chwil poprzednich (rys. 1) [3].

Rys. 1. Schemat blokowy tworzenia neuronowego bezpośrednio odwróconego modelem

Następnie tak utworzona i wytrenowana sieć neuronowa jest układem sterowania dla zadanego obiektu (rys. 2) [3].

Rys. 2. Schemat blokowy wykorzystania neuronowego bezpośrednio odwróconego modelu do sterowania obiektem

Formalnie można powiedzieć, że mając obiekt sterowania opisany w następujący sposób:

[

⁽^), ^, ⁽ ^), ⁽^), ^, ⁽ ⁾

]

) 1

(t g y t y t n ut ut m

y + = K − K − (1)

Dąży się do tego, aby utworzona sieć neuronowa była opisana w następujący sposób:

(3)

[

⁽ ¹^), ⁽^), ^, ⁽ ^), ⁽^), ^, ⁽ ⁾

]

) ˆ 1

ˆ(t g ¹ yt yt y t n u t ut m

u + = ⁻ + K − K − (2)

Należy zauważyć, że regulator zbudowany z wykorzystaniem bezpośrednio odwróconego modelu neuronowego ma charakter regulatora typu dead-beat. Dodatkowo zastosowanie w rozwiązaniu sprzężeń zwrotnych pozwala na uzyskanie krótkiego czasu odpowiedzi [3, 4].

Sterowanie z wykorzystaniem bezpośrednio odwróconego modelu neuronowego nakłada pewne ograniczenia, jeżeli chodzi o proces uczenia sieci. Mianowicie dane, które są stosowane w fazie uczenia, powinny być podobne do tych wykorzystywanych później na etapie już działania całego układu. Dodatkowo nie wiadomo, w jaki sposób obiekt sterowania będzie odpowiadał na sygnały sterujące pochodzące z opracowanego regulatora neuronowego wykorzystującego bezpośrednio odwrócony model neuronowy. Rozwiązaniem w tym przypadku może być prowadzenie uczenia metodą iteracyjną.

Samo uczenie może być prowadzone w dwóch trybach: uczenia ogólnego i uczenia specjalizowanego. W przypadku uczenia ogólnego celem jest minimalizacja błędu pomiędzy sygnałem generowanym na wyjściu sieci, a rzeczywistym sygnałem podawanym na obiekt sterowania. W tym przypadku funkcję celu zapisuje się w postaci [4]:

( )

∑

₌ ⁻

= ^N

t

t u t N u J

1

)2

ˆ( ) 2 (

1 (3)

Uczenie specjalizowane polega na minimalizacji błędu pomiędzy sygnałem wyjściowym obiektu sterowania a sygnałem zadawanym na wejściu układu, co można zapisać w postaci [4]:

( )

∑= −

= N

t

t r t N y J

1

)2 ( ) 2 (

1 (4)

W przypadku zastosowania bezpośrednio odwróconych modeli neuronowych do sterowania dynamicznym obiektem wielowymiarowym stosuje się następujące podejście [4]:

− tworzy się zbiór danych na podstawie przeprowadzonego eksperymentu na obiekcie sterowania;

− tworzy się sieć neuronową, która po przeprowadzonym uczenia będzie stanowić bezpośrednio odwrócony model neuronowy obiektu sterowania;

− prowadzi się uczenie metodą ogólną na utworzonym zbiorze danych;

− przeprowadza się uczenie metodą specjalizowaną na modelu obiektu sterowania;

− przeprowadza się uczenie metodą specjalizowaną na obiekcie rzeczywistym.

2.2. Sztuczne sieci neuronowe

Właściwości sieci neuronowych oraz ich możliwości zależą zarówno od architektury połączeń między neuronami jak i od rodzaju samych neuronów. Wprowadzając do statycznego modelu matematycznego sztucznego neuronu różnego rodzaju sprzężenia zwrotne, można otrzymać model dynamiczny. Dynamika zostaje wprowadzona do neuronu w taki sposób, aby aktywność neuronu zależała od jego wewnętrznych stanów [1, 2]. Realizuje się to poprzez dodanie do struktury neuronu liniowego systemu dynamicznego, po którego wykorzystaniu każdy neuron odtwarza przeszłe wartości sygnałów, mając do dyspozycji dwa zbiory sygnałów: sygnały wejściowe i sygnał wyjściowy w chwilach bieżących i przeszłych.

(4)

Rys. 3. Schemat blokowy dynamicznego sztucznego neuronu

W dynamicznym modelu neuronu można wyodrębnić trzy bloki: sumator ważonych sygnałów wejściowych; dynamiczny system liniowy; nieliniowy blok aktywacji.

W bloku sumowania następuje obliczanie sumy ważonej informacji dochodzących do neuronu na podstawie zależności [1, 2]:

∑

₌

= ^N

i

i k x k

w k

1

) ( ) ( )

ϕ( (5)

gdzie: w – waga i -tego wejścia; x – i -ty sygnał wejściowy; N – ilość składowych sygnału wejściowego; k – indeks dyskretnego czasu.

Obliczona suma ważona jest następnie przetwarzana w dynamicznym systemie liniowym, który może być filtrem dowolnego rzędu. Opisana ona jest następującym równaniem różnicowym [1, 2]:

) ( ...

) 1 ( ) ( ) ( ...

) 1 ( )

(k =−a₁γ k− − −a_nγ k−p +b₀ϕ k +b₁ϕk− + +b_nϕ k−q

γ (6)

gdzie: ϕ – wejście bloku filtru w chwili k ; γ – wyjście filtru w chwili k ; a , b – wektory wag sprzężeń zwrotnych i połączeń jednokierunkowych; p , q – wartości stałe określające rząd filtru.

Ostatecznie sygnał wyjściowy neuronu, będący sygnałem wyjściowym bloku aktywacji, wyznaczany jest z zależności [1, 2]:

)]y(k)=F[g_sγ(k (7)

gdzie: F – nieliniowa funkcja aktywacji; g – współczynnik nachylenia funkcji aktywacji. _s Celem algorytmu uczenia jest wyznaczenie wartości parametrów dynamicznego modelu neuronu (wartości wag, wartości współczynników dynamicznego systemu liniowego oraz współczynnika nachylenia funkcji aktywacji), przy czym bazuje się na danym zbiorze par wzorców wejściowych i wyjściowych. Ich wyznaczenia można dokonać poprzez rozwiązanie

(5)

problemu optymalizacyjnego, w którym, przyjmując błąd wyjściowy neuronu w postaci [1, 2],

) ( ) ( )

(k y k y k

e = _d − (8)

gdzie: y – żądana odpowiedź układu; y – aktualna odpowiedź układu. _d należy zminimalizować kryterium mające postać:

{ }

⁽ ⁾²

2 1Ee k

J = (9)

gdzie: E – operator wartości oczekiwanej.

Do rozwiązania tak sformułowanego problemu optymalizacyjnego i określenia optymalnych wartości parametrów neuronu zastosowano metodę gradientów sprzężonych.

Aktualizacja wartości parametrów sieci neuronowej przeprowadza się po każdorazowej prezentacji wektora uczącego zgodnie z równaniem [2]:

) 1 ( )

) (

( ) 1

(k+ =v k − ∇vJv₌vk + ∇vJ_v₌_v_k₋

v η μ (10)

gdzie: v – uogólniony parametr sieci, η – współczynnik uczenia, μ – współczynnik sprzężenia, k – krok iteracji.

Biorąc pod uwagę kryterium minimalizacji, gradient może być wyrażony równaniem [1, 2]:

( )

{

^e⁽^k⁾^F ^g ⁽^k⁾^S ⁽^k⁾

}

d E dJ

sγ υ

υ = − ′ (11)

gdzie: )S_υ(k – wektor wrażliwości sygnału gamma na zmianę parametru v , F′ – pochodna funkcji aktywacji neuronu.

3. BADANIA DOŚWIADCZALNE

Na regulator składają się dwie sieci neuronowe: sieć sterująca i sieć identyfikująca (rys. 4), zaś cały regulator wypracowuje sygnał sterujący w dwóch etapach [3]. W pierwszym etapie sieć identyfikująca przeprowadza identyfikację stanu obiektu w danej chwili czasowej, wokół bieżącego punktu równowagi, na podstawie informacji o bieżącym kursie oraz bieżącej prędkości obrotowej wokół osi normalnej pojazdu (prędkość zmiany kursu). Do nauki jako wzorcowy podawany jest sygnał sterujący kursem pojazdu. W drugimi etapie następuje przepisanie wag z sieci identyfikującej do sieci sterującej. W ten sposób sieć sterująca powinna posiadać transmitancję zbliżoną do odwrotnej transmitancji obiektu w danej chwili czasowej, a więc wokół bieżącego punktu równowagi. Na wejście tej sieci podawana jest informacja o rozbieżności między kursem zadanym i bieżącym oraz w związku z tym, że dąży się do tego, żeby pojazd miał zerową prędkość obrotową wokół osi normalnej pojazdu (brak

(6)

myszkowania), podaje się bieżącą prędkość obrotową ze znakiem ujemnym. Sieć po przeliczeniu danych wejściowych wypracowuje sygnał sterujący dla obiektu sterowania [3].

Zastosowane sieci neuronowe ze względu na przyjętą metodę sterowania mają taką samą budowę. Składają się one z trzech warstw, gdzie w pierwszej warstwie jest 20 neuronów, w drugiej warstwie jest 30 neuronów, w trzeciej warstwie jest jeden neuron. Do uczenia sieci identyfikującej zastosowano metodę wstecznej propagacji błędów z momentum. W prezentowanym rozwiązaniu nie ma potrzeby prowadzenia uczenia sieci sterującej. Przed przystąpieniem do sterowania z wykorzystaniem regulatora neuronowego wymagany jest w tym przypadku wstępny trening sieci identyfikującej, w innym przypadku czas regulacji jest znacznie wydłużony dla pierwszych sterowań.

BEZZAŁOGOWY POJAZD PODWODNY

z(t)

Kurs zadany

u v wϕ ψθ τn

τx

τy

τz

SIEĆ STERUJĄCA

Aktualny kurs e

d dt

Prędkość zmiany kursu

SIEĆ IDENTYFIKUJĄCA

− + −

+

−

Rys. 4. Schemat blokowy zastosowanego regulatora neuronowego

W czasie badań laboratoryjnych opracowanego regulatora neuronowego kursu bezzałogowego pojazdu podwodnego przeprowadzono szereg testów. Między innymi sprawdzono poprawność działania regulatora w środowisku, w którym nie występowały zakłócenia oraz przy występujących zakłóceniach w postaci prądu podwodnego. Dodatkowo przeprowadzono próby z wykorzystaniem proponowanego regulatora neuronowego pojazdu podwodnego, który transportuje obiekty o określonej masie. Wybrane wyniki przedstawiono w postaci wykresów na rysunkach poniżej.

Ze względu na aperiodyczny charakter przebiegu procesu przejściowego, przy sterowaniu ruchem bezzałogowego pojazdu podwodnego, do oceny jakości regulacji przyjęto kryteria w postaci: czas regulacji oraz uchyb statyczny. Czas regulacji mierzono od momentu podania na regulator wymuszenia w postaci żądanego kursu do momentu zaniku procesu przejściowego, tj. gdy wartość kąta kursowego pojazdu nie przekraczała zadanej dokładności wynoszącej

±1%. Wartości graniczne uzyskanych danych zostały przedstawione w tabeli 1.

(7)

Rys. 5. Stabilizacja kursu pojazdu w środowisku bez zakłóceń z wykorzystaniem sterownika neuronowego

Rys. 6. Stabilizacja kursu pojazdu w środowisku z występującymi zakłóceniami w postaci prądu podwodnego (prędkość 0.02 m/s, kurs napływu 45^o) z wykorzystaniem sterownika

neuronowego

(8)

Rys. 7. Stabilizacja kursu pojazdu, z wykorzystaniem sterownika neuronowego, w środowisku bez zakłóceń w trakcie przenoszenia przez pojazd obiektu o masie 5 kg

Rys. 8. Stabilizacja kursu pojazdu, z wykorzystaniem sterownika neuronowego, w środowisku z występującymi zakłóceniami w postaci prądu podwodnego (prędkość 0.015

m/s, kurs napływu 135^o) w trakcie przenoszenia przez pojazd obiektu o masie 5 kg

(9)

Tabela 1. Wartości graniczne miar jakości sterowania pojazdem podwodnym z wykorzystaniem regulatora neuronowego.

Miara Wartość maksymalna Wartość minimalna

Czas regulacji 15 sek. 4 sek.

Uchyb statyczny +2.25 deg. -1.9 deg.

Z przeprowadzonych badań wynika, że wartości przyjętych kryteriów jakości sterowania nie zależały od tego, czy obiekt poruszał się w środowisku bez zakłóceń czy w środowisku, w którym występowały zakłócenia w postaci prądów podwodnych. Podobna sytuacja była w przypadku transportowania przez pojazd obiektów o określonej masie.

4. PODSUMOWANIE

Precyzyjne sterowanie pojazdem podwodnym jest szczególnie istotne przy prowadzeniu prac z wykorzystaniem technik głębinowych. Szczególne wymagania są nakładane na jakość sterowania pojazdem podwodnym w trakcie wykonywania zadań inspekcji akwenu podwodnego z wykorzystaniem kamer wizyjnych oraz aktywnych systemów hydroakustycznych. W takich sytuacjach niepożądane jest występowanie zarówno oscylacji wokół zadanego kursu, jak również zbyt gwałtowne zmiany kursu pojazdu.

Na podstawie przeprowadzonych badań można stwierdzić, że zastosowanie regulatora neuronowego do sterowania kursem pojazdu podwodnego zapewnia zadowalającą jakość sterowania, a tym samym tego typu regulator może być wykorzystany do sterowania pojazdem podwodnym przy zadaniach precyzyjnego prowadzenia po zadanym kursie.

Dotyczy to zarówno sterowania ruchem, gdy na pojazd nie oddziałują zakłócenia środowiskowe jak i w przypadku występowania zakłóceń środowiskowych w postaci prądu podwodnego.

Dodatkowo należy stwierdzić, że zastosowanie regulatora neuronowego do sterowania kursem pojazdu podwodnego przy realizacji zadania transportu obiektów o określonej masie daje także zadowalającą jakość sterowania pomimo dużej zmiany dynamiki ruchu układu pojazd podwodny-obiekt transportowany. Z przeprowadzonych badań wynika również, że oddziaływanie na taki układ prądu podwodnego nie wpływa w znaczący sposób na jakość sterowania, co świadczy o dużej odporności regulatora na oddziaływanie zakłóceń zewnętrznych.

Przeprowadzone badania potwierdziły, że wykorzystanie sterowników neuronowych do sterowania obiektami nieliniowymi, szczególnie w przypadku, gdy charakter nieliniowości utrudnia ich opisanie metodami analitycznymi, pozwala na projektowanie układów sterowania zapewniających odpowiednią jakość sterowania takimi obiektami. Poprawność działania tego typu układów wynika z cech sterowania neuronowego, a mianowicie:

− sterowanie neuronowe umożliwia rozwiązanie problemu na podstawie zbioru danych uczących poprzez analizę zależności zbioru danych z wejścia i wyjścia procesu, co ułatwia jego stosowanie,

− sieci neuronowe umożliwiają modelowanie zależności nieliniowych o dużej złożoności, gdzie opis analityczny jest trudny lub niemożliwy,

− sterowanie to jest elastyczne i odporne na nieprecyzyjne dane oraz na zakłócenia,

− sieci neuronowe nadają się do stosowania obliczeń równoległych;

Pomimo wielu zalet regulatorów neuronowych należy także wskazać pewne ich wady.

Przede wszystkim zastosowanie regulatora neuronowego powoduje, że czas regulacji jest

(10)

znaczny, a mianowicie w przeprowadzonych badaniach wykonanie niektórych manewrów wymagało czasu ponad 10 sek. Wynika to z konieczności identyfikacji na bieżąco modelu dynamiki pojazdu, co wiąże się z kolei z procesem uczenia sieci neuronowej, który na osiągnięcie odpowiedniego poziomu błędu na wyjściu wymaga dużej ilości epok uczenia.

Jednakże najważniejszą wadą przy stosowaniu sieci neuronowych do sterowania jest brak możliwości wpływania na jakość regulacji poprzez zmianę parametrów regulatora. O ile w przypadku zastosowania regulatorów numerycznych typu PID, dobierając odpowiednio parametry, można wpływać na wartości miary jakości sterowania lub przy zastosowaniu regulatorów rozmytych można dowolnie kształtować charakter regulatora, o tyle w przypadku regulatorów neuronowych nie można w znaczący sposób wpływać na jakość regulacji.

Istnieje pewna możliwość zmiany charakteru regulatora neuronowego poprzez odpowiedni dobór struktury sieci, modelu neuronu, metody nauczania czy funkcji aktywacji, jednakże wprowadzanie takich zmian ma charakter empiryczny, a nie metodyczny.

LITERATURA

1. Back A. D., Tsoi A. C.: FIR and IIR synapses, A new neural network architecture for time series modeling. “Computation” 1991, 3, p. 375-385.

2. Żak A.: Identyfikacja dynamiki bezzałogowego pojazdu podwodnego w warunkach eksploatacyjnych, Rozprawa doktorska. Gdynia: AMW, 2006.

3. Żak B., Żak A.: Wybrane zagadnienia sterowania obiektami morskimi. Gdynia:

Maszoperia Literacka Sp. z o. o., 2010.

4. Żurada J., Barski M., Jędruch W.: Sztuczne sieci neuronowe. Warszawa: Wyd. Nauk.

PWN, 1996.

NEURAL CONTROL OF REMOTELY OPERATED UNDERWATER VEHICLE

Summary. The main aim of paper is to introduce the results of research concentrated on controlling remotely operated underwater vehicle using artificial neural networks. Firstly the mathematical basis of neural network used to control dynamical object were introduced. Next the proposed control system which is using technology of artificial neural network was presented. At the end the example results of research on stabilizing movements’ parameters of underwater vehicle using ROV simulator were presented. The paper is finished by summary which includes conclusions derived from results of research.

(11)

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 1896-771X 41, s. 479-480, Gliwice 2011

TYTUŁ REFERATU (14 pt, czcionka pogrubiona)

JAN KOWALSKI (14 pt)

Katedra Mechaniki Stosowanej, Politechnika Śląska (10 pt, kursywa) e-mail: jan.kowalski@politechnika.slaska.pl

(dwie linie odstępu, 10 pt)

Streszczenie. Streszczenie o charakterze dokumentacyjnym, nie przekraczające ośmiu wierszy. Tekst streszczenia napisany powinien być w języku referatu, czcionką Times New Roman 12 pt. Przy streszczeniu stosować obustronne wcięcie 1 cm, pełne wyjustowanie tekstu, przy zastosowaniu wcięcia 0,25 cm w pierwszym wierszu akapitu.

1. WSTĘP (Times New Roman, 12 pt, duże litery)

(jedna linia odstępu, 12 pt)

Wskazane jest, aby wstęp zawierał syntetyczne omówienie przedstawianego zagadnienia z zaznaczeniem oryginalnych elementów pracy.

Wymaganym edytorem jest Word for Windows, wersja 9.0 (Microsoft Office 2000).

Akceptowane będą artykuły o objętości 6 lub 8 stron (parzysta liczba stron formatu A4 Pełny tekst referatu powinien być napisany czcionką Times New Roman 12 pt bez interlinii, z pełnym wyjustowaniem tekstu, przy zastosowaniu wcięcia 0,5 cm w pierwszym wierszu akapitu i zachowaniem układu według zamieszczonego wzorca. Marginesy (lewy, prawy, górny i dolny) powinny wynosić 2,5 cm, a odstęp pomiędzy górną krawędzią strony a nagłówkiem 2cm.

W nagłówkach na stronach nieparzystych referatu należy umieścić tytuł artykułu wyrównany do środka, natomiast na stronach parzystych inicjały imion i nazwiska autorów wyrównane do środka. Tytuły rozdziałów głównych należy pisać dużymi literami, natomiast tytuły podrozdziałów – małymi pogrubionymi. Po tytułach rozdziałów nie stawiać kropki.

Prosimy o przysłanie wydrukowanego referatu na adres Redakcji oraz wersji elektronicznej na nośniku lub na adres sympozjon@polsl.pl . Prosimy o nazwanie pliku nazwiskami autorów oddzielonymi znakiem podkreślenia (np. Kowalski_Nowak.doc).

2. TYTUŁ ROZDZIAŁU GŁÓWNEGO (Times New Roman, 12 pt, duże litery) (jedna linia odstępu, 12 pt)

2.1. Tytuł podrozdziału (Times New Roman, 12 pt, pogrubiony, litery jak w zdaniu) (jedna linia odstępu, 12 pt)

Równania należy ustawiać na środku linii i numerować wyrównując do prawej strony (Times New Roman, 12 pt) np.:

Q Kq q G B q

M&&+( + )&+ = (1)

(12)

Rysunki i wykresy, wykonane dowolną techniką, powinny stanowić integralną część tekstu i powinny być podpisane (Times New Roman, 12 pt). Podpisy mają być wyśrodkowane w linii i niezakończone kropką. Rysunki i wykresy powinny być tak wykonane, aby przy wydruku czarno-białym były czytelne.

Na życzenie autora możliwy jest druk artykułu w kolorze za dodatkową opłatą.

) (ξ k

α ξ 1 ε

0 εα −1

k1

k2

Rys.1. Zmienna sztywność zazębienia modelowana funkcją skokową (jedna linia odstępu, 12 pt)

Opisy tabel powinny znajdować się nad tabelami i być dosunięte do prawego brzegu tabeli i niezakończone kropką.

(jedna linia odstępu, 12 pt) (Times New Roman, 12 pt) Tabela 1. Częstości drgań własnych

Częstości drgań własnych [Hz] dla:

Numer częstości

własnej Przekładni bez korpusu Przekładni z korpusem

1 0 0

2 481.08 413.22

3 581.14 472.84

Spis literatury wykorzystanej przez autora powinien zawierać, oprócz numeru pozycji, nazwisk i inicjałów autorów, tytułu pracy:

• dla pozycji książkowych: tom, miejsce wydania, wydawnictwo, rok wydania

• dla artykułu: tytuł czasopisma okolony cudzysłowem, rok wydania, numer (ew. wolumin), strony (po skrócie s.)

LITERATURA (Times New Roman, 12 pt, duże litery, bez numeracji) (jedna linia odstępu, 12 pt)

1. Paszek W.: Stany nieustalone maszyn elektrycznych prądu przemiennego. Warszawa:

WNT, 1986.

2. Kosmol J., Lehrich K.: Model cieplny elektrowrzeciona. „Modelowanie Inżynierskie”

2010, t. 8, nr 39, s. 119 – 126

TYTUŁ REFERATU W JĘZYKU OBCYM (jedna linia odstępu, 12 pt)

Summary. Streszczenie w języku obcym (angielskim, niemieckim lub rosyjskim) w formacie jak na początku.