• Nie Znaleziono Wyników

Wpływ sposobu pobierania odbitek porównawczych i ujawniania śladów linii papilarnych na obraz i czytelność minucji

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Wpływ sposobu pobierania odbitek porównawczych i ujawniania śladów linii papilarnych na obraz i czytelność minucji"

Copied!
9
0
0

Pełen tekst

(1)

Œlady linii papilarnych powstaj¹ poprzez odwzoro-wanie siê linii papilarnych na powierzchniach dotyka-nych przedmiotów. To, czy œlady zostan¹ odwzorowane i czy bêd¹ widoczne i trwa³e, zale¿y m.in. od struktury i w³aœciwoœci pod³o¿a, iloœci i jakoœci substancji, któr¹ s¹ nanoszone, temperatury, wilgotnoœci otoczenia oraz czasu, jaki up³yn¹³ od momentu ich pozostawienia.

Linie papilarne maj¹ charakterystyczne elementy budowy zwane minucjami. Tworz¹ je ró¿ne uk³ady linii ci¹g³ych, ich pocz¹tków i zakoñczeñ oraz odcinków i kropek, które opisano w metodyce prowadzenia ba-dañ daktyloskopijnych zamieszczonej w wytycznych

CLK KGP nr HJ/W-3/V/05 z dnia 9.02.2005 r. Œlady li-nii papilarnych s¹ na ogó³ niewidoczne i dlatego istnie-je koniecznoœæ ich uwidaczniania za pomoc¹ ró¿nych metod wizualizacji. W tym celu wykorzystuje siê niektó-re zjawiska fizyczne oraz niektó-reakcje chemiczne.

Powszechnymi metodami uwidaczniania œladów linii papilarnych s¹:

 metody optyczne, czyli oglêdziny w ró¿nych za-kresach œwiat³a,

 metody fizyczne wykorzystuj¹ce zjawisko adhe-zji (przylegania) cz¹stek proszków

daktyloskopij-Wpływ sposobu pobierania

odbitek porównawczych i ujawniania

śladów linii papilarnych

na obraz i czytelność minucji

zakoñczenie ridge ending

odcinek island (short rigde)

przejœcie linii grubszej w cieñsz¹ transition of thick ridge into thin ridge

oczko lake

Ryc. 1. Minucje wyznaczone do badañ porównawczych na wielkim palcu prawej rêki sporz¹dzone za pomoc¹ poduszki tuszowej Fig. 1. Minutiae on right hand thumb selected for comparison and made with use of ink cushion

(2)

oczko lake oczko lake haczyk hook (spur) odcinek island (short rigde)

rozwidlenie bifurcation

haczyk hook (spur)

Ryc. 2. Minucje wyznaczone do badañ porównawczych na wskazuj¹cym palcu rêki sporz¹dzone za pomoc¹ poduszki tuszowej Fig. 2. Minutiae on index finger selected for comparison and made with use of ink cushion

(3)

zakoñczenie ridge ending

kropka dot

odcinek island (short rigde)

z³¹czenie bridge pocz¹tek ridge beginning z³¹czenie bridge Ryc. 3. Minucje wyznaczone do badañ porównawczych na wielkim palcu lewej rêki sporz¹dzone za pomoc¹ poduszki tuszowej Fig. 3. Minutiae on left hand thumb selected for comparison and made with use of ink cushion

Ryc. 4. Minucje wyznaczone do badañ porównawczych na wskazuj¹cym palcu lewej rêki sporz¹dzone za pomoc¹ poduszki tuszowej Fig. 4. Minutiae on left hand index finger selected for comparison and made with use of ink cushion

(4)

nych i zawiesin do substancji tworz¹cej œlad (zwy-kle jest to substancja potowo-t³uszczowa),  metody chemiczne wykorzystuj¹ce reakcje

che-miczne zachodz¹ce miêdzy odpowiednimi od-czynnikami chemicznymi a niektórymi sk³adnika-mi substancji tworz¹cej œlad. W wyniku reakcji chemicznych powstaj¹ barwne produkty widoczne go³ym okiem lub obserwuje siê fluorescencjê œla-du pod wp³ywem œwiat³a o okreœlonej d³ugoœci fa-li,

 metody fizykochemiczne wykorzystuj¹ce rów-noczeœnie zjawiska fizyczne i reakcje chemiczne. W Wydziale Daktyloskopii CLK KGP przeprowadzo-no badania, których celem by³o sprawdzenie wp³ywu sposobu pobrania materia³u porównawczego i metody ujawniania œladów linii papilarnych na obraz i czytel-noœæ wybranych minucji.

Materiał badawczy oraz przebieg badań

Jako materia³u wzorcowego u¿yto odbitek linii papi-larnych czterech palców tej samej osoby: wielkiego pra-wego, wskazuj¹cego prapra-wego, wielkiego lewego i wskazuj¹cego lewego. Odbitki wykonano na karcie daktyloskopijnej z wykorzystaniem poduszki tuszowej. Na obrazach odwzorowañ linii papilarnych ka¿dego z palców wyznaczono cztery minucje. Rodzaj i umiej-scowienie wybranych cech przedstawiono na ryci-nach 1–4.

Materia³ badawczy stanowi³y odbitki linii papilarnych palców oraz œlady daktyloskopijne pozostawione przez osobê, od której pochodzi³ materia³ wzorcowy.

Odbitki linii papilarnych palców pobrano, wykorzy-stuj¹c:

– urz¹dzenie do elektronicznej daktyloskopii zw. Li-ve Scan,

– farbê drukarsk¹.

Odbitki z wykorzystaniem farby drukarskiej wykona-no dwiema technikami, a miawykona-nowicie poprzez:

– przetoczenie opuszek palców po szybie pokrytej cienk¹ warstw¹ farby drukarskiej,

– przetoczenie opuszek palców po szybie pokrytej grub¹ warstw¹ farby drukarskiej.

Œlady linii papilarnych nanoszono na pod³o¿a wybra-nymi wczeœniej palcami (substancj¹ potowo-t³uszczo-w¹). Na ka¿dym z pod³o¿y ka¿dym z czterech palców wykonano po 10 œladów, które nastêpnie ujawniano ró¿nymi metodami dobranymi w zale¿noœci od rodzaju pod³o¿a:

 na szybie œlady linii papilarnych ujawniono czar-nym proszkiem ferromagnetyczczar-nym z u¿yciem pêdzla magnetycznego, a nastêpnie przeniesiono na przezroczyst¹ foliê daktyloskopijn¹,

 na szybie œlady linii papilarnych ujawniono argen-toratem z u¿yciem pêdzla z w³ókna szklanego, a nastêpnie przeniesiono na czarn¹ foliê ¿elatyno-w¹,

 na p³ycie drewnianej lakierowanej g³adkiej œlady linii papilarnych ujawniono argentoratem z u¿yciem pêdzla z w³ókna szklanego, a nastêp-nie przenastêp-niesiono na czarn¹ foliê ¿elatynow¹,  na p³ycie meblowej laminowanej g³adkiej œlady linii

papilarnych ujawniono czarnym proszkiem ferro-magnetycznym z u¿yciem pêdzla magnetycznego, a nastêpnie przeniesiono na przezroczyst¹ foliê daktyloskopijn¹,

 na papierze offsetowym makulaturowym (papie-rze do drukarki) œlady linii papilarnych ujawniono proszkiem specjalnym czarnym z u¿yciem pêdzla z puchu marabuta, a nastêpnie zabezpieczono fo-li¹ pozytywow¹ wraz z pod³o¿em,

 na papierze offsetowym makulaturowym (papie-rze do drukarki) œlady linii papilarnych ujawniono czarnym proszkiem magnetycznym z u¿yciem pêdzla magnetycznego, a nastêpnie zabezpieczo-no foli¹ pozytywow¹ wraz z pod³o¿em,

 na papierze offsetowym makulaturowym (papie-rze do drukarki) œlady linii papilarnych ujawniono ninhydryn¹,

 na papierze gazetowym kredowanym œlady linii papilarnych ujawniano proszkiem specjalnym czarnym z u¿yciem pêdzla z puchu marabuta, a nastêpnie zabezpieczono foli¹ pozytywow¹ wraz z pod³o¿em,

 na papierze gazetowym kredowanym œlady linii papilarnych ujawniano czarnym proszkiem ma-gnetycznym z u¿yciem pêdzla magnetycznego, a nastêpnie zabezpieczono foli¹ pozytywow¹ wraz z pod³o¿em,

 na papierze gazetowym kredowanym œlady linii papilarnych ujawniano ninhydryn¹,

 na szkle butelkowym ciemnym œlady linii papilar-nych ujawniano oparami cyjanoakrylanów w ko-morze KSX 213 firmy Stanimex,

 na woreczkach strunowych œlady linii papilarnych ujawniano oparami cyjanoakrylanów w komorze KSX 213 firmy Stanimex,

 na szkle butelkowym ciemnym œlady linii papilar-nych ujawniano oparami cyjanoakrylanów w ko-morze KSX 213 firmy Stanimex, a nastêpnie skontrastowano barwnikiem ardrox,

 na woreczkach strunowych œlady linii papilarnych ujawniano oparami cyjanoakrylanów w komorze KSX 213 firmy Stanimex, a nastêpnie skontrasto-wano barwnikiem ardrox.

Do analizy obrazów odbitek i œladów u¿yto powiêk-szaj¹cych przyrz¹dów optycznych:

(5)

– lupy o powiêkszeniu 5x, – mikroskopu stereoskopowego, – skanera,

– lampy UV.

Przyjêto nastêpuj¹ce kryteria oceny i podzia³ odwzo-rowañ na cztery kategorie:

1. Odwzorowanie wzorcowe – minucje bardzo do-brze widoczne.

2. Odwzorowanie œredniej jakoœci – minucje s³abo widoczne.

3. Przejœcie z jednego typu minucji w inny („zafa³-szowanie”) – zmiana rodzaju minucji.

4. Odwzorowanie nieczytelne – minucje ca³kowicie nieczytelne (niewidoczne linie papilarne).

Dla potrzeb badañ przyjêto, ¿e próbka to:

– dla odbitek linii papilarnych: odbitki linii papilar-nych wybrapapilar-nych opuszek palców na karcie dakty-loskopijnej sporz¹dzonej jedn¹ z ww. metod, – w przypadku œladów linii papilarnych: ujawnione

i zabezpieczone odwzorowania linii papilarnych jedn¹ z metod na jednym pod³o¿u.

W celu obliczenia czêstoœci wystêpowania odwzoro-wañ w poszczególnych kategoriach zsumowano liczbê wszystkich wybranych minucji:

– dla odbitek linii papilarnych przyjêto, ¿e 100% to 16 wybranych minucji (to jest po cztery minucje na ka¿dym z czterech palców) na karcie daktylo-skopijnej sporz¹dzonej jedn¹ metod¹,

– dla œladów linii papilarnych przyjêto, ¿e 100% to 160 minucji (to jest po cztery minucje na ka¿-dym z czterech palców pomno¿one przez 10 pró-bek).

Nastêpnie poddano ocenie obraz wybranych minucji na materiale badawczym, zsumowano liczbê

odwzoro-wañ wystêpuj¹cych w poszczególnych kategoriach dla ka¿dej próbki i obliczono ich procentowy udzia³ w ka¿-dej próbce. Pos³u¿ono siê proporcj¹ (1):

a – % danej kategorii minucji w próbce,

n – suma minucji zaliczonych do danej kategorii odwzoro-wañ,

S – suma wybranych minucji w jednej próbce – 100%, (160 dla œladów linii papilarnych, 16 dla odbitek linii papilarnych).

Analiza wyników

Obrazy wybranych minucji odbitek linii papilarnych wybranych opuszek palców na karcie daktyloskopijnej sporz¹dzonej jedn¹ z ww. metod poddano analizie pod k¹tem ich wygl¹du i obliczono procentowy udzia³ minucji w poszczególnych kategoriach. Zestawienie wyników przedstawiono w tabeli 1.

Analizuj¹c wyniki badañ, w czterech przypadkach stwierdzono zmiany w obrazie minucji (ryc. 5).

W kolejnym etapie przyst¹piono do analizy obrazów wybranych minucji na ujawnionych œladach linii papilar-nych, po czym porównywano je z wybranymi wczeœniej minucjami na karcie wzorcowej. Wyniki ukazuj¹ce pro-centowy udzia³ poszczególnych kategorii minucji w ba-danych próbkach przedstawiono w tabeli 2.

Nastêpnie zsumowano liczbê wszystkich ujawnio-nych œladów linii papilarujawnio-nych oraz liczbê odwzorowañ Kat. odwzorowania Rodzaj karty Odwzorowanie wzorcowe Odwzorowanie œredniej jakoœci Odwzorowanie „zafa³szowane” minucje Odwzorowanie nieczytelne Live Scan 62,50% 12,50% 25,00% 0,00% Szyba z cienk¹ warstw¹ farby 87,50% 12,50% 0,00% 0,00% Szyba z grub¹ warstw¹ farby 87,50% 12,50% 0,00% 0,00% Tabela 1 Procentowy udzia³ poszczególnych kategorii minucji dla odbitek linii papilarnych wybranych opuszek palców

na karcie daktyloskopijnej sporz¹dzonej jedn¹ z ww. metod

Percentage of specific minutiae categories for prints of selected finger tips on TP card made with use of one of mentioned above methods

(6)

Odbitka linii papilarnych wielkiego palca prawej rêki z karty sporz¹dzonej z u¿yciem poduszki tuszowej – oczko

Fingerprint of right hand thumb from TP made with ink method – lake

Odbitka linii papilarnych wielkiego palca prawej rêki z karty sporz¹dzonej z u¿yciem Live Scan – haczyk

Fingerprint of right hand thumb from TP made with Live Scan – hook (spur)

Odbitka linii papilarnych wielkiego palca prawej rêki z karty sporz¹dzonej z u¿yciem poduszki tuszowej – odcinek

Fingerprint of right hand thumb from TP made with ink method – island (short ridge)

Odbitka linii papilarnych wielkiego palca prawej rêki z karty sporz¹dzonej z u¿yciem Live Scan – styk boczny

Fingerprint of right hand thumb from TP made with Live Scan – lateral connection

Odbitka linii papilarnych wskazuj¹cego palca prawej rêki z karty sporz¹dzonej z u¿yciem poduszki tuszowej – oczko Fingerprint of right hand index finger from TP made with ink method

– lake

Odbitka linii papilarnych wskazuj¹cego palca prawej rêki z karty sporz¹dzonej z u¿yciem Live Scan – styk boczny Fingerprint of right hand index finger from TP made with Live Scan

– lateral Ryc. 5. Zmiany w obrazie minucji w analogicznych miejscach odbitki wzorcowej i wydruku z Live Scan

(7)

Tabela 2 Procentowy udzia³ poszczególnych kategorii odwzorowañ (œladów linii papilarnych) w zale¿noœci

od rodzaju pod³o¿a i metody ujawniania

Percentage of specific impression categories (fingermarks) depending on type of background and method of development Kat. odwzorowania Pod³o¿e, metoda Odwzorowanie wzorcowe Odwzorowanie œredniej jakoœci Odwzorowanie „zafa³szowane” Odwzorowanie nieczytelne – szyba

– proszek ferromagnetyczny czarny

12,50% 23,73% 0,00% 63,75% – szyba – argentorat 64,38% 26,25% 0,00% 9,38% – drewno lakierowane – argentorat 33,75% 35,00% 0,00% 31,25% – p³yta laminowana – proszek ferromagnetyczny 40,63% 36,25% 0,00% 23,13% – papier do drukarki – proszek specjalny 20,00% 36,25% 0,00% 43,75% – papier do drukarki – ninhydryna 2,50% 4,38% 0,00% 93,13% – papier do drukarki

– proszek ferromagnetyczny czarny

9,38% 14,38% 0,00% 76,25%

– papier gazetowy

– proszek ferromagnetyczny czarny

10,63% 10,00% 0,00% 79,38%

– papier gazetowy – proszek specjalny czarny

0,00% 10,00% 0,00% 90,00% – papier gazetowy – ninhydryna 0,00% 0,63% 0,00% 99,38% – szk³o butelkowe – opary cyjanoakrylanów 8,75% 22,50% 0,00% 68,75% – woreczki foliowe – opary cyjanoakrylanów 0,00% 12,50% 0,00% 87,50%

– szk³o butelkowe ciemne – opary cyjanoakrylanów

– ardrox 8,75% 22,50% 0,00% 68,75%

– woreczki foliowe – opary cyjanoakrylanów

– ardrox 0,00% 12,50% 0,00% 87,50%

Odbitka linii papilarnych wielkiego palca lewej rêki z karty sporz¹dzonej z u¿yciem poduszki tuszowej – odcinek

Fingerprint of left hand thumb from TP made with ink method – island (short ridge)

Odbitka linii papilarnych wielkiego palca lewej rêki z karty sporz¹dzonej z u¿yciem poduszki Live Scan – kropka

(8)

wystêpuj¹cych w poszczególnych kategoriach (na wszystkich ujawnionych œladach linii papilarnych), po czym obliczono ich procentowy udzia³ w tych bada-niach, pos³uguj¹c siê proporcj¹ (1).

Wyniki przedstawiono w tabeli 3.

Podsumowanie

Na sporz¹dzonych ró¿nymi technikami odbitkach li-nii papilarnych wybranych opuszek palców na kartach daktyloskopijnych minucje zaliczone do pierwszej kate-gorii, tzn. odwzorowañ wzorcowych, stanowi³y zdecy-dowan¹ wiêkszoœæ. Ich procentowy udzia³ wœród wszystkich odwzorowañ na sporz¹dzonych kartach daktyloskopijnych wynosi³ od 62,5% na karcie sporz¹-dzonej z u¿yciem Live Scan do 87,5% przy kartach sporz¹dzonych z wykorzystaniem szyby pokrytej farb¹ drukarsk¹. Odwzorowania, które zaliczono do kategorii œredniej jakoœci, stanowi³y 12,5% odwzorowañ na wszystkich sporz¹dzonych kartach.

Odwzorowania zaliczone do kategorii trzeciej – je-den rodzaj minucji przechodzi w inny, wyst¹pi³y tylko na wydruku z Live Scan. Zmianê obrazu minucji w sto-sunku do wyjœciowych (wzorcowych) zaobserwowano w czterech przypadkach:

– oczko zmieni³o siê w haczyk, – odcinek zmieni³ siê w styk boczny, – oczko zmieni³o siê w styk boczny, – odcinek zmieni³ siê w kropkê.

Wybranych do analizy minucji (oczko, odcinek, ha-czyk, kropka) nie uwzglêdnia siê w procesie automa-tycznego kodowania obrazów odbitek linii papilarnych w systemie AFIS. W systemie tym kodowane s¹ bo-wiem z³¹czenia i rozwidlenia oraz pocz¹tki i zakoñcze-nia linii papilarnych. Powy¿sza analiza wykazuje, ¿e karty daktyloskopijne wykonane za pomoc¹ Live Scan przed wprowadzeniem obrazów linii papilarnych opu-szek do systemu AFIS spe³niaj¹ wszystkie kryteria kon-troli jakoœci.

Odbitki linii papilarnych z karty daktyloskopijnej wy-konanej za pomoc¹ Live Scan stanowi¹ dobry materia³ do rejestracji w systemie AFIS, do badañ

identyfikacyj-nych nale¿y wykonaæ jednak kartê, wykorzystuj¹c po-duszkê tuszow¹ lub farbê drukarsk¹. Wyniki analizy od-bitek linii papilarnych sporz¹dzonych z u¿yciem farby drukarskiej pozwalaj¹ stwierdziæ, ¿e obrazy tak sporz¹dzonych linii papilarnych, jak i poszczególnych rodzajów minucji, pozostaj¹ bez zmian.

Nie zaobserwowano na odbitkach linii papilarnych odwzorowañ spe³niaj¹cych kryteria odwzorowañ nie-czytelnych.

Analizuj¹c œlady linii papilarnych, najlepsz¹ jakoœæ odwzorowañ – zakwalifikowanych dziêki temu do kate-gorii odwzorowañ wzorcowych – zaobserwowano:

– przy ujawnianiu œladów linii papilarnych argentora-tem na powierzchni szyby okiennej 64,38% od-wzorowañ spe³nia kryteria odod-wzorowañ wzorco-wych,

– w przypadku p³yty meblowej laminowanej g³adkiej, po zastosowaniu czarnego proszku ferromagne-tycznego, 40,63% odwzorowañ spe³nia kryteria odwzorowañ wzorcowych,

– w przypadku p³yty meblowej lakierowanej, po za-stosowaniu argentoratu, 33,75% odwzorowañ spe³nia kryteria odwzorowañ wzorcowych. Najwiêcej odwzorowañ nieczytelnych, bo a¿ 99,38%, zaobserwowano po zastosowaniu do ujawniania ninhy-dryny na pod³o¿ach ch³onnych.

Wnioski

1. Sposób pobrania materia³u porównawczego bar-dzo istotnie wp³ywa na czytelnoœæ minucji. Zarówno najlepsz¹ jakoœæ odwzorowañ, jak i brak rozbie¿noœci w stosunku do karty wzorcowej, za-obserwowano przy kartach daktyloskopijnych sporz¹dzonych z u¿yciem farby drukarskiej (cien-kiej i grubej warstwy). Najmniej odwzorowañ wzorcowych wyst¹pi³o przy odbitkach linii papilar-nych wykonapapilar-nych z u¿yciem Live Scan. Na wy-druku pochodz¹cym z Live Scan zaobserwowano ponadto zmianê wygl¹du obrazów minucji. Tabela 3 Procentowy udzia³ poszczególnych kategorii odwzorowañ dla œladów linii papilarnych we wszystkich próbkach

Percentage of specific impression categories for fingermarks in all samples Kategoria odwzorowania Odwzorowanie wzorcowe Odwzorowanie œredniej jakoœci Odwzorowanie „zafa³szowane” Odwzorowanie nieczytelne % odwzorowañ we wszystkich próbkach 15,10% 19,06% 0,00% 65,84%

(9)

W omawianych badaniach tak¹ sytuacjê zaobser-wowano w czterech przypadkach, gdy:

– oczko zmieni³o siê w haczyk, – odcinek zmieni³ siê w styk boczny, – oczko zmieni³o siê w styk boczny, – odcinek zmieni³ siê w kropkê.

2. Dobór odpowiedniej metody ujawniania œladów li-nii papilarnych ma bardzo du¿y wp³yw na czytel-noœæ minucji. Metodami, w których uzyskano naj-wiêksz¹ liczbê odwzorowañ wzorcowych, s¹ me-tody fizyczne, a najskuteczniejszym proszkiem daktyloskopijnym argentorat, który dobrze przyle-ga do œladów linii papilarnych pozostawionych substancj¹ potowo-t³uszczow¹. Na drugim miejscu pod wzglêdem skutecznoœci ujawniania znajduje siê czarny proszek ferromagnetyczny u¿yty do ujawniania œladów linii papilarnych na p³ycie meblowej lakierowanej. Najmniej sku-teczn¹ metod¹ ujawniania œladów linii papilarnych jest zaœ metoda chemiczna – ninhydryna na pod-³o¿ach ch³onnych. Nie zaobserwowano zmian w analizowanych obrazach minucji w stosunku do odbitek wzorcowych na ujawnionych œladach linii papilarnych.

Hanna Borkowska Krzysztof Tomaszycki zdj.: autorka BIBLIOGRAFIA

1. Grzeszyk C.: Daktyloskopia, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1992.

2. Metodyka prowadzenia badañ daktyloskopijnych, Wy-tyczne CLK KGP nr HJ/W-3/V/05 z dnia 09.02.2005 r.

3. Moszczyñski J.: Daktyloskopia, Wydawnictwo CLK KGP, Warszawa 1997.

4. Pod redakcj¹ M. Rybczyñskiej-Królik i M. Pêka³y: Przewodnik po metodach wizualizacji œladów daktyloskopij-nych, Wydawnictwo CLK KGP, Warszawa 2006.

Czytelniku,

informujemy, że jest do nabycia „Przewodnik po metodach wizualizacji

śladów daktyloskopijnych” w dwóch oprawach – broszurowej i segregatorowej, obie wersje w tej samej cenie – 54 zł.

Zamówienia można składać na adres: Biuro Logistyki Policji KGP

ul. Domaniewska 36/38, 02-672 Warszawa tel. (022) 60-129-45; faks (022) 60-130-59

Cytaty

Powiązane dokumenty

Odwzorowanie liniowe injektywne (odp. surjektywne, bijektywne) nazywamy monomorfizmem (odp. epimorfizmem, izomorfizmem).. Czy jest

Lokalny serwer DNS wysyła do serwera nazw domeny COM kolejne zapytanie itera- cyjne, również o nazwę www.altavista.digital.com.. Serwer nazw domeny COM zwraca w odpowiedzi adres

ceń odwzorowawczych oraz kształt południków i równoleżników siatki kartograficznej, a także liczbowe parametry: skale równoleżników, wielkości zniekształceń pól i kątów

Uwaga: funkcja ta nie musi być jednakowa dla wszystkich punktów - widzimy to wyraźnie w naszym przykładzie, gdzie otrzymujemy dwie różne funkcje uwikłane generowane przez

[r]

[r]

Wi¸ec, og´ olnie nie mo˙zna powiedzie´ c, ˙ze zbi´ or macierzy symetrycznych jest algebr¸ a

W niniejszej pracy, na skończonym rynku zupełnym, pozbawionym możli- wości arbitrażu, dla warunkowej miary ryzyka, spełniającej uogólniony warunek kalibracji zdefiniowane