Trasa T = hN, E, s, t, pi jest drzewiasta, gdy jest drzewem o korzeniu p, tzn

Egzamin z wykªadu monogracznego

Teoria kategorii w podstawach informatyki semestr zimowy 2018/19

Poj¦cia, terminologia i notacja:

Przyjmujemy zwykª¡ denicj¦ sygnatury algebraicznej Σ, Σ-algebry i Σ-homomorzmu, w razie po- trzeby stosuj¡c notacje z wykªadu.

Tras¡ T = hN, E, s, t, pi nazywa¢ b¦d¦ dowolny graf skierowany hN, E, s, ti ze wskazanym pocz¡tkiem p ∈ N, gdzie N to zbiór wierzchoªków grafu, E to zbiór jego kraw¦dzi, a s, t: E → N wskazuj¡ ¹ródªo i cel kraw¦dzi, odpowiednio. Morzm tras θ: T → T⁰, gdzie T = hN, E, s, t, pi i T⁰ = hN⁰, E⁰, s⁰, t⁰, p⁰i, to morpzm grafów θ = hθnode, θ_edgei: hN, E, s, ti → hN⁰, E⁰, s⁰, t⁰i, czyli para funkcji θnode: N → N⁰ i θedge: E → E⁰ taka »e dla e ∈ E, s⁰(θ_edge(e)) = θ_node(s(e)) i t⁰(θ_edge(e)) = θ_node(t(e)), speªniaj¡cy warunek θnode(p) = p⁰. Z naturalnym zªo»eniem morzmów daje to kategori¦ tras T. Trasa T = hN, E, s, t, pi jest drzewiasta, gdy jest drzewem o korzeniu p, tzn. do ka»dego w¦zªa n ∈ N istnieje w T dokªadnie jedna ±cie»ka z p. Kategoria tras drzewiastych D jest peªn¡ podkategori¡ T, której obiektami s¡ wszystkie trasy drzewiaste. Niech J : D → T oznacza funktor inkluzji.

Peregrynuj¡ca Σ-algebra (tras¡ T = hN, E, s, t, pi) A = hT, hAnin∈N, hheie∈Eiskªada si¦ z trasy T oraz Σ-algebr An, dla n ∈ N, i Σ-homomorzmów he: A_s(e)→ A_t(e)dla e ∈ E. Morzm peregrynuj¡cych Σ- algebr α: A → A⁰, gdzie A = hT, hAnin∈N, hheie∈Ei, T = hN, E, s, t, pi, A⁰ = hT⁰, hA⁰_nin∈N⁰, hh⁰_eie∈E⁰i, T⁰ = hN⁰, E⁰, s⁰, t⁰, p⁰i, skªada si¦ z morzmu tras hαnode, α_egdei: T → T⁰ oraz Σ-homomorzmów αn: An → A⁰_α

node(n), dla n ∈ N, takich »e dla e ∈ E, αs(e);h⁰_α

edge(e)= he;α_t(e).

Z oczywistym zªo»eniem morzmów peregrynuj¡cych algebr, dla ka»dej sygnatury Σ, dostajemy:

• kategori¦ PerAlg(Σ) Σ-algebr peregrynuj¡cych z peregrynuj¡cymi morzmami,

• kategori¦ DPerAlg(Σ) Σ-algebr peregrynuj¡cych trasami drzewiastymi z peregrynuj¡cymi mor-

zmami oraz,

• dla ka»dej trasy T , kategori¦ PerAlg(T, Σ) Σ-algebr peregrynuj¡cych tras¡ T z morzmami, których morzm tras jest identyczno±ci¡ na T .

Mamy oczywisty funktor inkluzji GΣ: DPerAlg(Σ) → PerAlg(Σ). Ponadto, dla ka»dego mor- zmu tras θ: T → T⁰, mamy funktor reduktu Uθ,Σ: PerAlg(T⁰, Σ) → PerAlg(T, Σ) gdzie dla algebry A⁰ = hT⁰, hA_ni_n∈N⁰, hh_ei_e∈E⁰i, deniujemy Uθ,Σ(A⁰) = hT⁰, hA_θnode(n)i_n∈N, hh_θegde(e)i_e∈Ei i podobnie dla morzmów.

1

Zadanie:

1. Które z poni»szych kategorii s¡

Z. zupeªne KZ. kozupeªne

dla ka»dej sygnatury Σ, trasy T i trasy drzewiastej D, gdzie stosowne? Udowodnij lub uzasadnij odpowied¹ negatywn¡.

(a) T (b) D

(c) PerAlg(T, Σ) (d) PerAlg(D, Σ)

(e) DPerAlg(Σ)

2. Które z poni»szych funktorów s¡

C. ci¡gªe KC. koci¡gªe

dla ka»dej sygnatury Σ, drzewiastych tras D i D⁰ oraz ich morzmu δ: D → D⁰, gdzie stosowne?

Udowodnij lub uzasadnij odpowied¹ negatywn¡.

(a) J : D → T

(b) GΣ: DPerAlg(Σ) → PerAlg(Σ) (c) Uδ,Σ: PerAlg(D⁰, Σ) → PerAlg(D, Σ) 3. Które z poni»szych funktorów maj¡

L. lewy sprz¦»ony P. prawy sprz¦»ony

dla ka»dej sygnatury Σ, drzewiastych tras D i D⁰ oraz ich morzmu δ: D → D⁰, gdzie stosowne?

Udowodnij lub uzasadnij odpowied¹ negatywn¡.

(a) J : D → T

(b) GΣ: DPerAlg(Σ) → PerAlg(Σ) (c) Uδ,Σ: PerAlg(D⁰, Σ) → PerAlg(D, Σ)

4. [EXTRA] Zbadaj kozupeªno±¢ kategorii PerAlg(Σ) oraz, dla dowolnych tras T, T⁰i ich morzmu θ: T → T⁰, istnienie lewego sprz¦»onego dla funktora Uθ: PerAlg(T⁰, Σ) → PerAlg(T, Σ). Uwagi:

• Mo»na korzysta¢ z omawianych na wykªadzie konstrukcji i twierdze« bez powtarzania ich do- wodów. A mo»e w niektórych przypadkach wprost daj¡ one odpowied¹?

• Odpowiedzi na powy»sze pytania nie s¡ niezale»ne. Na przykªad, w oczywisty sposób s¡ po- wi¡zane zadania 1.Z.c i 1.Z.d: dowód istnienia granic w ka»dej kategorii PerAlg(T, Σ) poka- zywaªby te» istnienie granic w PerAlg(D, Σ), a kontrprzykªad na istnienie granic w kategorii PerAlg(D, Σ) byªby te» kontrprzykªadem na ich istnienie w PerAlg(T, Σ). W takich przypad- kach wystarczy to po prostu wskaza¢, nie powtarzaj¡c argumentacji.

• Tak naprawde, trudne wydaj¡ si¦ jedynie (powi¡zane ze sob¡) pytania o istnienie lewych sprz¦-

»onych dla funktorów reduktu wzgl¦dem morzmu tras drzewiastych i o kozupeªno±¢ kategorii DPerAlg(Σ). Mo»e nie warto zabiera¢ si¦ za nie od razu.

• 4.[EXTRA] jest ekstra, nie jest wymagane na »adn¡ ocen¦.

2