Strumień wektora E

Strumień wektora E

Założenie: a, b – powierzchnie sferyczne

E

b

E

a

a

b

+ +q

powierzchnia zamknięta S

ω r

r

a d E

d Φ = r ⋅ r

.

= 0

Φ

2

1

a

a

r

E ∝

2

1

b

b

r

E ∝

a2

r a ∝

b2

r b ∝

= 0

∫ ⋅

S

a d E r r

∫ ^⋅

= Φ

a a

a

E r d a r

ale

∫ ^⋅

= Φ

b b

b

E r d b r

Całkowity strumień wektora E przez dowolną powierzchnię zamkniętą S w polu ładunku punktowego (nie obejmowanym przez tą powierzchnię) jest równy zeru.

Strumień wektora E przez powierzchnię kulistą

+ q

E

r r r E r q r

0 2

4 1

= πε

∫ ^{⋅ =} ∫ ^⋅

= Φ

kuli

S S kuli

S

n da

r r r

da q n E

_ _

0 2

4

1 r r

r r

πε

n S

r

1

|| ⇒ ⋅ = =

r n r

r n r

r r r r r ∫ ⁼

kuli S

r da

_

4 π

ale zatem

ε

= q

Stąd Φ

Strumień wektora E przez powierzchnię S a lokalizacja ładunku punktowego

E

b

E

a

a

b

+ +q q

E +

S Dla dowolnej powierzchni zamkniętej S:

∫ 

 

= 

⋅

S

q q

q a

d

E ,

, 0 ε

r r

Prawo Gaussa.

S

Q

Q

Q

Q

Q

da E

Strumień przez dowolną powierzchnię zamkniętą równy jest sumie strumieni wypływających ze wszystkich części, na które została ona podzielona

∑ ^Φ

= Φ

i

i ⁱ

ε

= Q

ale Φ

Oznaczmy:

∑

=

.

Swewn

i

wewn

Q

Q

Prawo Gaussa:

Strumień pola elektrycznego E w próżni przez dowolną powierzchnię zamkniętą S równy jest

całkowitemu ładunkowi Q

zawartemu wewnątrz tej powierzchni, podzielonemu przez przenikalność elektryczną próżni ε

.

∫ ^{⋅ =}

S

Q

a d E

ε

r r

Prawo Gaussa w postaci różniczkowej

∫ ^{⋅ =} ∫ ^{∇ ⋅}

S V

dV C a

d

C r r r r

obszarze ograniczonym tą powierzchnią, z dywergencji tego wektora

ε

= ρ

⋅

∇ E r r

∫ ^{⋅ =}

S

Q

a d E

ε

r r

( ^{x y z} ) ^dV

Q

V

wewn

⁼ ∫ ^{ρ , ,}

( )

∫ ^{∇ ⋅ =} ∫

V V

z dV y

dV x E

0

, , ε ρ r

r

∫ ^{∇ ⋅ =}

⇔

V

Q

dV E

ε

r r

Dla ciągłego rozkładu ładunku:

Stąd:

Zatem:

 

 



 =

ε

E ρ

div r Różniczkowa postać prawa Gaussa.

(I prawo Maxwella)

Pole ładunku o rozkładzie kulistosymetrycznym

+ q

E

r

R )

ρ (r

ρ =

( )

∫

∫ ^{⋅ =}

V

dV z

y x q da

n

E 1 , ,

ε

r r

rozkład kulistosymetryczny

Z prawa Gaussa:

Wybieramy powierzchnię o takiej samej symetrii jak symetria wytwarzanego przez ładunek pola elektrycznego – tutaj sfera

∫ ^{E r ⋅ n r da =} ∫ ^{Eda = E} ∫ ^{da = 4 π r}

^E

Na powierzchni sfery:

( )

∫

=

) ( 0 2

, 1 ,

4 ) 1 (

r V

dV z

y r x

r

E ρ

Stąd: πε

Pole ładunku o rozkładzie kulistosymetrycznym

( )

 





 







<

=

>

=

∫ ^{x y z dV r R}

r

R r r

Q

R r r

Q r

E

r V )( 0 2

0 2 0 2

, ,

1 , 4

1 4 ,

1 4 ,

1

) (

πε ρ πε

πε ⁼ ∫ ( )

) (

, ,

R V

dV z

y x

Q ρ

Pole ładunku o rozkładzie liniowym

λ – liniowa gęstość ładunku λ

r

E

Wybieramy powierzchnię o takiej samej symetrii

n

jak symetria wytwarzanego przez ładunek pola elektrycznego – tutaj powierzchnia walca, którego oś wyznacza liniowy rozkład ładunku

Strumień wektora E przez podstawy walca równy jest zeru (E jest prostopadłe do osi walca)

h n

0

2 ε

π rlE = λ ^h

Na powierzchni bocznej:

E r

2 πε

= λ

Stąd:

Pole wytworzone przez nieskończoną, równomiernie naładowaną płaszczyznę

σ – powierzchniowa gęstość ładunku

n E σ

S

r

Wybieramy powierzchnię o takiej samej symetrii jak symetria wytwarzanego przez ładunek pola elektrycznego – tutaj powierzchnia walca

prostopadłego do płaszczyzny

n

Strumień wektora E przez powierzchnię boczną walca równy jest zeru (E jest równoległe do osi walca)

0

2 ε

σ S SE =

Na podstawach:

2 ε

= σ

Stąd: E

Pole wytworzone przez dwie nieskończone, równomiernie naładowane płaszczyzny

+ + + +

- - - -

E

E=0 E=0

2 ε

= σ E

+

2 ε

= σ E

+ -

ε

= σ +

= E

E

E _{- E}

+

Równowaga w polu elektrostatycznym

+ +

+

+ Q

Q

Q q

F F

F

Czy położenie (środek trójkąta równobocznego)

ładunku q jest położeniem równowagi trwałej?

P

P

Gdyby punkt P₀ był położeniem równowagi trwałej ładunku dodatniego punktowego, to pole elektryczne wszędzie w jego otoczeniu skierowane byłoby ku niemu.

E S

∫ ^{⋅ ≠}

S

a d

E r r 0

ε

a Q d E ⋅ =

∫ ^{r r Q}

^{= 0}

∫ ^{⋅ =}

S

a d

E r r 0

sprzeczność

Zgodnie z prawami fizyki klasycznej żaden układ

statyczny, w którym działają jedynie siły elektryczne nie

może osiągnąć stanu równowagi trwałej.

Trwałość atomów

Modele atomu

Thomsona Rutherforda_Bohra

+ + +

+ +

+ + +

Elektron jest rozmyty w przestrzeni wokół jądra